二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)》MMUlKK

1、 第三章函數(shù)及其圖象第三章函數(shù)及其圖象 第第12講講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)主講教師：主講教師： 王耀雄王耀雄 考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理過關(guān)過關(guān)考點(diǎn)考點(diǎn)1 二次函數(shù)的概念及解析式二次函數(shù)的概念及解析式概念概念一般地，形如yax2bxc(a，b，c是常數(shù)，a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)解析式解析式一般式y(tǒng)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)頂點(diǎn)式_ya(xh)2k_(a，h，k為常數(shù)，a0)交點(diǎn)式_ya(xx1)(xx2)_(x1，0)，(x2，0)為拋物線與x軸的交點(diǎn)考點(diǎn)考點(diǎn)2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) a0a0)個(gè)單位，則為_ya(xhm)2k_；若再向上(向下)平移n

2、(n0)個(gè)單位，則為_ya(xh)2kn_考點(diǎn)考點(diǎn) 3 拋物線的平移規(guī)律拋物線的平移規(guī)律提示：二次函數(shù)的平移有以下規(guī)律：左右平移在括號(hào)，上下平移在末稍；左加右減須記牢，上加下減錯(cuò)不了具體如下：(1)上下平移，規(guī)律口訣：“在括號(hào)外上加下減”；(2)左右平移，規(guī)律口訣：“在括號(hào)內(nèi)左加右減”考點(diǎn)考點(diǎn)4 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系根的關(guān)系根的關(guān)系二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)一元二次方程的_根_交點(diǎn)情況交點(diǎn)情況b24ac0拋物線與x軸有_兩個(gè)_不同的交點(diǎn)，相應(yīng)的一元二次方程有_兩個(gè)不相等_的實(shí)數(shù)根b24ac0拋物線與x軸有_唯一的公共點(diǎn)_，相應(yīng)的一

3、元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b24ac0拋物線與x軸_無_交點(diǎn)，相應(yīng)的一元二次方程_無_實(shí)數(shù)根若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，0)，B(x2，0)，則拋物線對稱軸是x_ _，兩交點(diǎn)間距離AB_|x2x1|_2xx21典型例題典型例題運(yùn)用運(yùn)用類型類型1 1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例1】二次函數(shù)yax2bxc(a0)的大致圖象如圖所示，關(guān)于該二次函數(shù)，下列說法中錯(cuò)誤的是()D【思路分析】根據(jù)拋物線的開口方向，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷A；根據(jù)圖形直接判斷B；根據(jù)圖象，當(dāng)1x2時(shí)，拋物線落在x軸的下方，則y0，進(jìn)而判斷C；根據(jù)對稱軸結(jié)合開口方向得出函數(shù)的增減性，從而判斷D.312

4、1A函數(shù)有最小值B對稱軸是直線xC當(dāng)1x2時(shí)，y 時(shí)，y隨x的增大而增大技法點(diǎn)撥 解決這類問題要掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵 21D由拋物線的開口向上，可知a0，函數(shù)有最小值，正確，故A選項(xiàng)不符合題意；由圖象可知，對稱軸為x ，正確，故B選項(xiàng)不符合題意；由圖象可知，當(dāng)1x2時(shí)，y0，正確，故C選項(xiàng)不符合題意；因?yàn)閍0，拋物線開口向上，對稱軸為x ，所以當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而增大，而當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而減小，錯(cuò)誤，故D選項(xiàng)符合題意212121變式運(yùn)用 1.對于拋物線y(x1)23，下列結(jié)論：拋物線的開口向下；對稱軸為直線x1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)；x1時(shí)，y隨x

5、的增大而減小，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4CCa10，拋物線的開口向下，正確；對稱軸為直線x1，錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)，正確；x1時(shí)，y隨x的增大而減小，x1時(shí)，y隨x的增大而減小一定正確；綜上所述，結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是共3個(gè)類型類型2 2 二次函數(shù)的圖象與幾何變換二次函數(shù)的圖象與幾何變換【例2】 2017襄陽中考將拋物線y2(x4)21先向左平移4個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，平移后所得拋物線的解析式為()Ay2x21 By2x23Cy2(x8)21 Dy2(x8)23A拋物線y2(x4)21先向左平移4個(gè)單位長度，得到的拋物線解析式為y2(x44)21，即y2x21

6、，再向上平移2個(gè)單位長度得到的拋物線解析式為y2x212，即y2x21.A變式運(yùn)用 2.2017婁底模擬把拋物線y2x24x1的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是()Ay2(x1)26By2(x1)26 Cy2(x1)26Dy2(x1)26C原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)，向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，6)可設(shè)新拋物線的解析式為y2(xh)2k，代入得y2(x1)26.C類型類型3 3 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【例3】2017煙臺(tái)中考二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，對稱軸是直線x1，下列

7、結(jié)論：【思路分析】由拋物線開口方向得到a0，然后利用拋物線的對稱軸得到b的符號(hào)，則可對進(jìn)行判斷；利用判別式的意義和拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)可對進(jìn)行判斷；利用x1時(shí)，y0和c0，即abc0，則可對進(jìn)行判斷ab4ac；ab2c0；3ac0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a0)，對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；b24ac0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；b24ac0；4ac0；其頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ，2)；當(dāng)x0正確的有()2121BA3個(gè)B4個(gè)C5個(gè)D6個(gè)六年真題六年真題全練全練命題點(diǎn)命題點(diǎn)1 1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)12012泰安，16，3分二次函數(shù)ya(xm

8、)2n的圖象如圖，則一次函數(shù)ymxn的圖象經(jīng)過()CC根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在第四象限，得出n0，m0，即可得出一次函數(shù)ymxn的圖象經(jīng)過第二、三、四象限A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D(zhuǎn)第一、三、四象限22012泰安，19，3分設(shè)A(2，y1)，B(1，yy2)，C(2，y3)是拋物線y(x1)2a上的三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為()Ay1y2y3 By1y3y2Cy3y2y1 Dy3y1y2AA函數(shù)的解析式是y(x1)2a，對稱軸是x1，點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A是(0，y1)，那么點(diǎn)A，B，C都在對稱軸的右邊，而在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小，于是y1y2y3.3

9、2013泰安，10，3分對于拋物線y (x1)23，下列結(jié)論：拋物線的開口向下；對稱軸為直線x1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)；x1時(shí)，y隨x的增大而減小其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4 21CCa 0，拋物線的開口向下，正確；對稱軸為直線x1，錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)，正確；x1時(shí)，y隨x的增大而減小，x1時(shí)，y隨x的增大而減小一定正確綜上所述，結(jié)論正確的是.2142013泰安，16，3分在同一坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)yaxb與二次函數(shù)yax28xb的圖象可能是()CC由解析式易知：直線和拋物線都經(jīng)過y軸上的同一點(diǎn)(0，b)，故排除選項(xiàng)B和D；選項(xiàng)A，由直線位置得a0，當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口

10、應(yīng)向下，圖象與結(jié)論不符；選項(xiàng)C，由直線位置得a0，此時(shí)拋物線開口向上，圖象與結(jié)論相符52015泰安，16，3分在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)ymxn2與二次函數(shù)yx2m的圖象可能是()DA由直線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，n20，故A不符合題意；由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上可知，m0，由直線可知，m0，故B不符合題意；由拋物線y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，m0，由直線可知，m0，故C不符合題意；由拋物線y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，m0，由直線可知，m0，故D符合題意D62016泰安，12，3分二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)yaxb的圖象大致是()AA由yax2

11、bxc的圖象的開口向上，a0.對稱軸在y軸的左側(cè)，b0，一次函數(shù)yaxb的圖象經(jīng)過第一、二、三象限猜押預(yù)測 1.2017遼寧模擬關(guān)于拋物線yx2(a1)xa2，下列說法錯(cuò)誤的是()A開口向上B當(dāng)a2時(shí)，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)OCa0時(shí)，對稱軸在y軸左側(cè)D不論a為何值，都經(jīng)過定點(diǎn)(1，2)C命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2 二次函數(shù)的圖象與平移變換二次函數(shù)的圖象與平移變換72012泰安，12，3分將拋物線y3x2向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，那么得到的拋物線的解析式為()Ay3(x2)23 By3(x2)23Cy3(x2)23 Dy3(x2)23AA由“上加下減”的原則可知，將拋物線y3x2向上平移3個(gè)單位所得

12、拋物線的解析式為y3x23；由“左加右減”的原則可知，將拋物線y3x23向左平移2個(gè)單位所得拋物線的解析式為y3(x2)23.82015泰安，19，3分某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)yax2bxc圖象時(shí)，列出了下面的表格：Dx x21012y y11 2125由于粗心，他算錯(cuò)了其中一個(gè)y值，則這個(gè)錯(cuò)誤的數(shù)值是()A11 B2 C1 D5D觀察表格可知，拋物線的對稱軸為y軸，圖象過(1，2)(0，1)(1，2)，代入函數(shù)表達(dá)式，得a3，b0，c1，所以函數(shù)關(guān)系式為y3x21，當(dāng)x2時(shí)，y11，所以y5是錯(cuò)誤的92016泰安，21，3分將拋物線y2(x1)22向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，那么

13、得到的拋物線的表達(dá)式為_ _y2(x2)22拋物線y2(x1)22向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得y2(x13)2242(x2)22.y2(x2)22猜押預(yù)測 2.將某拋物線向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位所得的拋物線是y2x24x1，則該拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是_ _y2(x1)26y2x24x12(x1)23，頂點(diǎn)為(1，3)，原拋物線頂點(diǎn)為(1，6)，函數(shù)關(guān)系式為y2(x1)26.該拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，6)，函數(shù)關(guān)系式是y2(x1)26.y2(x1)26得分要領(lǐng) (1)由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？?/p>

14、利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式(2)二次函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移規(guī)律：左加右減，上加下減命題點(diǎn)命題點(diǎn)3 3 二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)與一元二次方程102012泰安，10，3分二次函數(shù)yax2bx的圖象如圖，若一元二次方程ax2bxm0有實(shí)數(shù)根，則m的最大值為( )BB一元二次方程ax2bxm0有實(shí)數(shù)根，即拋物線yax2bx與直線ym有交點(diǎn)，二者有交點(diǎn)時(shí)，m3，m3，所以m的最大值為3.A3 B3 C6 D9112014泰安，20，3分二次函數(shù)yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，且a0)中的x

15、與y的部分對應(yīng)值如下表：B下列結(jié)論：(1)ac1時(shí)，y的值隨x值的增大而減??；(3)3是方程ax2(b1)xc0的一個(gè)根；(4)當(dāng)1x0.其中正確的個(gè)數(shù)為()A4 B3 C2 D1x x1013y y1353B由圖表中數(shù)據(jù)可得出二次函數(shù)yax2bxc開口向下，a0；又x0時(shí)，y3，所以c30，所以ac0，故(1)正確；二次函數(shù)yax2bxc開口向下，且對稱軸為x 1.5，當(dāng)x1.5時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故(2)錯(cuò)誤；x3時(shí)，y3，9a3b33，9a3b0，3是方程ax2(b1)xc0的一個(gè)根，故(3)正確；x1時(shí)，ax2bxc1，x1時(shí)，ax2(b1)xc0.x3時(shí)，ax2(b1)xc0，且函數(shù)有最大值，當(dāng)1x3時(shí)，ax2(b1)xc0，故(4)正確 230122017泰安，15，3分已知二次函數(shù)yax2bxc的y與x的部分對應(yīng)值如