第1講圖形的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)和位似

1、第八章 圖形的變化第1講 圖形的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)和位似知識(shí)梳理知識(shí)梳理一、圖形的軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形一、圖形的軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形1 把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形它能與另一個(gè)圖形 ，就說這兩，就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線個(gè)圖形關(guān)于這條直線 ，這條直，這條直線叫做對(duì)稱軸線叫做對(duì)稱軸重合重合 對(duì)稱對(duì)稱 2 2 如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁 的部分能夠互相的部分能夠互相 ，這個(gè)圖形就叫，這個(gè)圖形就叫做做 ，這條直線就是它的對(duì)稱軸，這條直線就是它的對(duì)稱軸 如線段、等邊三角形、等腰梯形等都是軸對(duì)如線段、等邊三角

2、形、等腰梯形等都是軸對(duì) 稱圖形稱圖形軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形 重合重合3 軸對(duì)稱的基本性質(zhì)軸對(duì)稱的基本性質(zhì)（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線直線對(duì)稱，對(duì)稱， 那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線 段的段的 ； （2）關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形 全等全等垂直平分線垂直平分線二、圖形的平移二、圖形的平移1在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形沿著某一直線方向在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形沿著某一直線方向移動(dòng)，得到一個(gè)新的圖形，圖形的這種移移動(dòng)，得到一個(gè)新的圖形，圖形的這種移動(dòng)叫做平移變換，簡(jiǎn)稱動(dòng)叫做平移變換，簡(jiǎn)稱 平移平移2 2平移的基本性質(zhì)平移的基本性質(zhì)（1 1）圖

3、形平移不改變圖形的形狀和大小，即平移圖形平移不改變圖形的形狀和大小，即平移前、后的圖形前、后的圖形 ；（2 2） 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線 （或在同一或在同一直線上直線上）特別提醒特別提醒：平移由平移的方向和平移的距離兩個(gè)平移由平移的方向和平移的距離兩個(gè)要素決定要素決定 全等全等平行且相等平行且相等三、圖形的旋轉(zhuǎn)三、圖形的旋轉(zhuǎn)1把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角 度，叫做圖形度，叫做圖形 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2 2旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)的基本性質(zhì)（1 1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離 ；（2 2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線的夾角等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連

4、線的夾角等于 ；（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形旋轉(zhuǎn)前、后的圖形 相等相等旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角全等全等 四、四、中心中心對(duì)稱與對(duì)稱與中心中心對(duì)稱圖形對(duì)稱圖形1 1把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ，如，如果它能與另一個(gè)圖形果它能與另一個(gè)圖形 ，那么就說這，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱180重合重合2 2 把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ，如，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與原來的圖形果旋轉(zhuǎn)后的圖形與原來的圖形 ，那么這，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形如如：平行四邊形、矩形、平行四邊形、矩形、菱形都是中心對(duì)稱圖形菱形都是

5、中心對(duì)稱圖形180重合重合3 3中心對(duì)稱的性質(zhì)中心對(duì)稱的性質(zhì)（1 1）中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是 圖形；圖形；（2）中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)的連線都經(jīng)中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)的連線都經(jīng) 過過 ，并且被，并且被 所平分所平分 對(duì)稱中心對(duì)稱中心全等全等對(duì)稱中心對(duì)稱中心五、關(guān)于平移、坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)五、關(guān)于平移、坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)1 1 在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（x x，y y）向右（或向向右（或向左左）平移個(gè)平移個(gè)a a單位長度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)單位長度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x x+ +a a，y y）（或或（ ， ）；）； 將點(diǎn)將點(diǎn)（x x，y y）

6、向上（或向下）平移個(gè)向上（或向下）平移個(gè)b b單位長度，可以單位長度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x x，y y+ +b b）（）（或或（ ， ）x-ayxy-b2 2 點(diǎn)點(diǎn)（x x，y y）關(guān)于關(guān)于x x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）；）； 點(diǎn)點(diǎn)（x x，y y）關(guān)于關(guān)于y y軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）3 3 兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào) ， 即點(diǎn)即點(diǎn)（x x，y y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 （-x，-y） x-y-xy相反相反六、圖形的位似六、圖形的位似1 1 兩個(gè)位似的圖形一定是兩個(gè)位似的圖形一定是 圖形

7、，圖形， 但兩個(gè)相似圖形不一定是位似圖形但兩個(gè)相似圖形不一定是位似圖形 位似比也是位似比也是 比比相似相似 相似相似 2位似圖形的性質(zhì)位似圖形的性質(zhì)： 兩個(gè)位似圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都與位似中心兩個(gè)位似圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都與位似中心在一條直線上，并且新圖形與原圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位在一條直線上，并且新圖形與原圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似中心的距離之比等于位似似比比 課堂精講課堂精講考點(diǎn)考點(diǎn)1：圖形的軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形：圖形的軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形例例1（2012廣東廣東）如圖，在矩形紙片如圖，在矩形紙片ABCD中，中，AB= 6，BC = 8把把BCD沿對(duì)角線沿對(duì)角線BD 折疊，使點(diǎn)折疊，使

8、點(diǎn)C落在落在C處，處， BC交交AD于點(diǎn)于點(diǎn)G；E， F分別是分別是CD和和BD上的點(diǎn)，線段上的點(diǎn)，線段EF交交AD于點(diǎn)于點(diǎn)H，把把FDE沿沿EF折疊，使點(diǎn)折疊，使點(diǎn)D落在落在A處，點(diǎn)處，點(diǎn)D恰好恰好與點(diǎn)與點(diǎn)A重合重合（1）求證：）求證：ABG CDG；（2）求）求tanABG的值；的值；（3）求求EF的長的長 （1）求證：）求證：ABG CDG；（2）求）求tanABG的值；的值；（3）求求EF的長的長（1 1）證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD為矩形，為矩形，C C= = BADBAD =90=90，ABAB = = CDCD，由圖形的折疊性質(zhì)，得由圖形的折疊性質(zhì)，得CD CD =

9、=C C D D， C C = = CC = 90 = 90， BADBAD= = CC，ABAB = = CDCD，又又AGBAGB= =CGDCGD，ABGABGCDGCDG（AASAAS）（2 2）解解：設(shè)設(shè)AGAG為為x x，ABGABGCDGCDG，AD=AD=8 8，AG=xAG=x，BGBG = = DGDG = = AD AD AGAG = 8 = 8 x x，在在 Rt Rt ABGABG 中，有中，有 BG 2 =AG 2 +AB 2，ABAB = 6 = 6， （8 8x x）2 2= =x x2 2+6+62 2，解得，解得 ， tantanABGABG= = 47x2

10、47ABAG （3 3）由圖形的折疊性質(zhì)，得由圖形的折疊性質(zhì)，得EHDEHD=90=90，DHDH= = AHAH= 4= 4，AB/EFAB/EF，DHFDHFDABDAB， ， 即即 ， HFHF=3=3，又又ABGABGCDGCDG，ABG=ABG=HDEHDE， tan tan ABG ABG = tan = tan HDEHDE = = ， 即即 = = ， EF EF = = EHEH + + HFHF = = ADDHABHF216HFHDEH2474EH67EH625367 【舉一反三舉一反三】1如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是以如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是以直線直線AF為對(duì)稱軸的軸對(duì)

11、稱圖形，下列結(jié)論中不一為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，下列結(jié)論中不一定成立的是定成立的是（ ）A ABD ACDB AF垂直平分垂直平分EGC直線直線BG，CE的交點(diǎn)在的交點(diǎn)在AF上上 DDEG是等邊三角形是等邊三角形 D考點(diǎn)考點(diǎn)2 2；圖形變化圖形變化平移平移例例2 2在如圖所示的單位正方形網(wǎng)格中，在如圖所示的單位正方形網(wǎng)格中，ABCABC經(jīng)過平經(jīng)過平移后得到移后得到A A1 1B B1 1C C1 1，已知在，已知在ACAC上一點(diǎn)上一點(diǎn)P P（2.2.4 4，2 2）平平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P P1 1，點(diǎn)，點(diǎn)P P1 1繞點(diǎn)繞點(diǎn)O O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180180，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)P

12、 P2 2，則，則P P2 2點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A A（1.41.4， 1 1）B B（1.51.5，2 2）C C（1.61.6，1 1）D D（2.42.4，1 1）C【舉一反三舉一反三】2（2015 大連大連）在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（中，將點(diǎn)（2，3）向上平移向上平移1個(gè)單位，所得到的點(diǎn)個(gè)單位，所得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是（） A （1，3）B （2，2）C （2，4）D （3，3） C 3如圖所示，一塊邊長為如圖所示，一塊邊長為8米的正方形土地，上面米的正方形土地，上面各修了橫豎兩條道路，寬都是各修了橫豎兩條道路，寬都是2米，空白的部分米，空白的部分種上種上各種

13、花草，請(qǐng)利用平移的知識(shí)求出種花各種花草，請(qǐng)利用平移的知識(shí)求出種花草的面積草的面積解：由平移，可把種花草的面積看成是如圖邊長為解：由平移，可把種花草的面積看成是如圖邊長為4米的正米的正方形的面積，方形的面積， 種花草的面積為種花草的面積為44 = 16 （米米2）考點(diǎn)考點(diǎn)3 3：圖形變化：圖形變化旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)例例3 3如圖，在如圖，在ABCABC中，中，CABCAB=75=75，在同一平面，在同一平面內(nèi)，將內(nèi)，將ABCABC繞點(diǎn)繞點(diǎn)A A旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)到 ABCABC的位置，使得的位置，使得CCCC/ABAB，則，則BAB BAB = =（ ）A A 3030B B 3535C C 4040D D 50

14、50A A 【舉一反三舉一反三】4（2015孝感孝感）如圖，正方形如圖，正方形OABC的兩邊的兩邊OA，OC分別在分別在x軸、軸、y軸上，點(diǎn)軸上，點(diǎn)D（5，3）在邊在邊AB 上，以上，以C為中心，把為中心，把CDB旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)90，則，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是（ ）A（2，10）B（2，0）C（2，10）或（或（2，0） D （10，2）或（或（2，0）C5（2015蘭州蘭州）如圖，在如圖，在ABC中，中，ACB =90，ABC= 30，AB=2將將ABC繞直角頂點(diǎn)繞直角頂點(diǎn)C逆逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得得 ABC，則點(diǎn)則點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長轉(zhuǎn)過的路徑長為為（ ）A B C

15、 D 33332B考點(diǎn)考點(diǎn)4：軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形：軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形例例4下列圖形下列圖形：平行四邊形平行四邊形；菱形菱形；圓圓；梯形梯形；等腰三角形等腰三角形；直角三角形直角三角形；國旗國旗上的五角上的五角星星這些圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中這些圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有心對(duì)稱圖形的有（ ）A 1種種B 2種種C 3種種D 4種種B 【舉一反三舉一反三】6（2015 莆田莆田）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形的是形，但不是中心對(duì)稱圖形的是（） A B C D B考點(diǎn)考點(diǎn)5：位似：位似例例5在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E（4，2），），F(xiàn)（ 2，