待定系數(shù)法應(yīng)用探究

1、待定系數(shù)法應(yīng)用探究待定系數(shù)法應(yīng)用探究待定系數(shù)法的定義待定系數(shù)法的定義 待定系數(shù)法是一種求待定系數(shù)法是一種求未知數(shù)未知數(shù)的方法。將一的方法。將一多項式表示成另一種含有待定系數(shù)的新形多項式表示成另一種含有待定系數(shù)的新形式，這樣就得到一個式，這樣就得到一個恒等式恒等式。然后根據(jù)。然后根據(jù)恒恒等式等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程方程或方程組組，其后通過，其后通過解方程或方程組解方程或方程組便可求出待便可求出待定系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，定系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法。這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法。應(yīng)用范圍應(yīng)用范圍1.1.代

2、數(shù)式變型代數(shù)式變型2.2.分式求值分式求值3.3.因式分解因式分解4.4.求函數(shù)解析式求函數(shù)解析式5.5.求解規(guī)律性問題求解規(guī)律性問題6.6.幾何問題幾何問題應(yīng)用待定系數(shù)法解題以應(yīng)用待定系數(shù)法解題以多項式的多項式的恒等知識恒等知識為理論基礎(chǔ)。為理論基礎(chǔ)。常用方法：常用方法：代入特殊值法代入特殊值法比較系數(shù)法比較系數(shù)法消除待定系數(shù)法消除待定系數(shù)法 “待定系數(shù)法待定系數(shù)法”的應(yīng)用的應(yīng)用 一、在代數(shù)式變型中的應(yīng)用：一、在代數(shù)式變型中的應(yīng)用： eg:eg:( (云南玉溪云南玉溪) )若若x x+6x+k+6x+k是完全平方是完全平方式，則式，則k=( )k=( ) A.9 B.-9 C. 9 D. 3

3、A A例題解析例題解析解：設(shè)解：設(shè) x x+6x+k=+6x+k=(x+Ax+A) 則則 x x+6x+k =x+6x+k =x+2Ax+A+2Ax+A2A=62A=6A A=K=KA=3A=3K=9K=9故選故選 A A應(yīng)用方法：應(yīng)用方法：比較系數(shù)法比較系數(shù)法歸歸 納納: :根據(jù)右邊與左邊多項式中對根據(jù)右邊與左邊多項式中對應(yīng)項的系數(shù)相等的原理列出應(yīng)項的系數(shù)相等的原理列出方程或方程組，從而得到答方程或方程組，從而得到答案案二、在分式求值中的應(yīng)用二、在分式求值中的應(yīng)用( D )( D )例題解析例題解析則則b=5k,a=13kb=5k,a=13k應(yīng)用方法：應(yīng)用方法：消除待定系數(shù)法消除待定系數(shù)法歸

4、歸 納納: :在部分分式求值問題中，已知在部分分式求值問題中，已知一個比例式求另一個分式的值一個比例式求另一個分式的值可以設(shè)待定的參數(shù)，把相關(guān)的可以設(shè)待定的參數(shù)，把相關(guān)的量用它表示出來，再代入所求量用它表示出來，再代入所求分式，從而使問題獲解。分式，從而使問題獲解。三、在因式分解中的應(yīng)用三、在因式分解中的應(yīng)用egeg：（：（湖北黃石湖北黃石）分解因式：）分解因式： x x + x + x 2= 2= (x - 1(x - 1）(x + 2)(x + 2)例題解析例題解析解：設(shè)解：設(shè)x x+x-2=+x-2=（x + Ax + A）(x + B)(x + B)則則x x+x-2= x+x-2=

5、x + (A+B)+ (A+B)X X+AB+ABA+B = 1A+B = 1AB = -2AB = -2A=-1A=-1B= 2B= 2或或A=2A=2B=-1B=-1 x x +x+x2 =2 =（x-1x-1）(x+2)(x+2)應(yīng)用方法：應(yīng)用方法：比較系數(shù)法比較系數(shù)法歸歸 納納: :在因式分解中，除正常提取公因式法、在因式分解中，除正常提取公因式法、公式法、十字相乘法外還可應(yīng)用待定公式法、十字相乘法外還可應(yīng)用待定系數(shù)法。本題實(shí)際運(yùn)用系數(shù)法。本題實(shí)際運(yùn)用“十字相乘法十字相乘法”更容易，只是作為一種解法介紹于此。更容易，只是作為一種解法介紹于此。四、在求函數(shù)解析式中的應(yīng)用四、在求函數(shù)解析式

6、中的應(yīng)用初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)主要有：正比例函數(shù)：正比例函數(shù)：y=kx(k0)y=kx(k0)一次函數(shù)：一次函數(shù)：y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)二次函數(shù)：二次函數(shù)：y=axy=ax+bx+c(a0)+bx+c(a0)反比例函數(shù)：反比例函數(shù)： 二次函數(shù)：二次函數(shù)： 題目不同可設(shè)不同的解析式題目不同可設(shè)不同的解析式a a：一般式：一般式：y=axy=ax+bx+c(a0)+bx+c(a0)b b：頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)（平移式）（平移式）c c：交點(diǎn)式：交點(diǎn)式：y=ay=a（x-xx-x1 1）（）（x-xx-x2 2）(a0(a0）（

7、雙根式）（雙根式）y=axy=ax2 2沿沿 X X 軸軸左左 右右 平平 移移 （頂點(diǎn)在（頂點(diǎn)在x x軸）軸）上上 下下 平平 移移y=axy=ax2 2+k+ky=a(x-h)y=a(x-h)2 2上上 下下 平平 移移y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k沿沿 X X 軸軸左左 右右 平平 移移（頂點(diǎn)在（頂點(diǎn)在y y軸）軸）（頂點(diǎn)式）（頂點(diǎn)式）平移規(guī)律：平移規(guī)律：左加右減，自變量；左加右減，自變量；上加下減，常數(shù)項。上加下減，常數(shù)項。（頂點(diǎn)在原點(diǎn)）（頂點(diǎn)在原點(diǎn)）例：例：( (山東聊城）山東聊城）如圖直線如圖直線ABAB與與x x軸交于軸交于點(diǎn)點(diǎn)A A（1,01,0），與），與y

8、y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)B B（0 0，-2-2）（1 1）：求直線）：求直線ABAB的解析式？的解析式？ 例題解析例題解析解：設(shè)直線解：設(shè)直線ABAB的解析式為的解析式為y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)直線直線ABAB過點(diǎn)過點(diǎn)A A（1,01,0），點(diǎn)），點(diǎn)B B（0,-20,-2） k+b=0k+b=0 b=-2 b=-2k=2k=2 b=-2 b=-2 直線直線ABAB的解析式為的解析式為 y=2x-2y=2x-2 應(yīng)用方法：應(yīng)用方法：特殊值法特殊值法歸納：歸納：經(jīng)過原點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)的直線是的直線是正比例正比例函數(shù)；函數(shù)；不經(jīng)過原點(diǎn)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線是的直線是一次一次函數(shù)；函數(shù)；解析式中有解

9、析式中有一個待定系數(shù)一個待定系數(shù)就在就在圖象上找圖象上找一個點(diǎn)一個點(diǎn)；解析式中有解析式中有兩個待定系數(shù)兩個待定系數(shù)就就在圖象上找在圖象上找兩個點(diǎn)兩個點(diǎn)。 egeg：已知一個二次函數(shù)的圖象過：已知一個二次函數(shù)的圖象過（-1,10-1,10）（1,61,6）、（0,70,7）三點(diǎn)，求這個函數(shù)的三點(diǎn)，求這個函數(shù)的解析式解析式？例題解析例題解析解：設(shè)二次函數(shù)解析式為解：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0) a ab+c=10b+c=10 a+b+c=6 a+b+c=6 c=7 c=7由題得由題得解得解得 a=1a=1 b=-2 b=-2 c=7 c=7這個二次函

10、數(shù)的解析式為這個二次函數(shù)的解析式為y=xy=x2 2-2x+7-2x+7 egeg：已知拋物線的頂點(diǎn)為：已知拋物線的頂點(diǎn)為（-1,-3-1,-3）與與y y 軸交點(diǎn)為（軸交點(diǎn)為（0 0，-5-5），求拋物線的解析求拋物線的解析 式？式？ 例題解析例題解析解：設(shè)所求拋物線的解析式為解：設(shè)所求拋物線的解析式為 y=a(x+1)y=a(x+1)2 2-3(a0)-3(a0) 點(diǎn)（點(diǎn)（0 0，-5-5）在拋物線上）在拋物線上 a-3a-3=-5=-5 a=-2a=-2 所求拋物線的解析式為所求拋物線的解析式為 y=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2-3-3即即y=-2xy=-2x2 2-4x-5-

11、4x-5 egeg：已知拋物線與：已知拋物線與x x軸交于軸交于A A（-1,0-1,0），）， B B（1,01,0）兩點(diǎn)，并且圖象過）兩點(diǎn)，并且圖象過M M（0,10,1），），求拋物線的解析式？求拋物線的解析式？例題解析例題解析解：設(shè)拋物線的解析式為：解：設(shè)拋物線的解析式為： y=ay=a( (x+1x+1) )（x-1x-1）( (a0a0) )圖象過點(diǎn)圖象過點(diǎn)M M（0,10,1） a(0+1 a(0+1）（）（0-10-1）=1=1 a=-1 a=-1該拋物線的解析式為該拋物線的解析式為 y= - y= - ( (x+1x+1)()(x-1x-1) ) 即即:y= -x:y= -x

12、2 2+1+1練習(xí)：觀察下列條件，說出求解析式的方法。練習(xí)：觀察下列條件，說出求解析式的方法。（1 1）拋物線經(jīng)過（）拋物線經(jīng)過（ 0 0，-5-5）, ,（5,05,0）兩點(diǎn)，）兩點(diǎn)， 對稱軸對稱軸是直線是直線x=2x=2，求函數(shù)解析式？，求函數(shù)解析式？解：設(shè)解析式為：解：設(shè)解析式為： y=a(x-2) y=a(x-2)2 2+k(a0+k(a0）y=a(x-5)(x+1)(a0y=a(x-5)(x+1)(a0）（2 2）二次函數(shù)圖象經(jīng)過）二次函數(shù)圖象經(jīng)過(0,4),(0,4),且當(dāng)且當(dāng) x=1x=1時函數(shù)值為時函數(shù)值為3 3，當(dāng)，當(dāng)x=-1x=-1時函時函 數(shù)值為數(shù)值為4 4，求函數(shù)解析式

13、？，求函數(shù)解析式？解：設(shè)解析式為：解：設(shè)解析式為：y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)（3 3）拋物線的）拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)為為(2,4)(2,4)且經(jīng)過原且經(jīng)過原 點(diǎn)，求函數(shù)解析式？點(diǎn)，求函數(shù)解析式？解：設(shè)函數(shù)解析式為：解：設(shè)函數(shù)解析式為：y=a(x-2)y=a(x-2)2 2+4+4（a0a0）（4 4）拋物線經(jīng)過點(diǎn)（）拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0,-40,-4）且當(dāng)）且當(dāng)x=2x=2時函數(shù)圖象時函數(shù)圖象最高點(diǎn)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為4 4，求函，求函數(shù)解析式？數(shù)解析式？ 解：設(shè)函數(shù)解析式為：解：設(shè)函數(shù)解析式為：y=a(x-2)y=a(x-2)2 2+4(a0)+4(a0) 求二

14、次函數(shù)解析式的一般方法：求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖像上的三點(diǎn)或三對對應(yīng)值通常用：已知圖像上的三點(diǎn)或三對對應(yīng)值通常用：一般式一般式已知圖象與已知圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,x2通常用：通常用：交點(diǎn)式交點(diǎn)式已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（或?qū)ΨQ軸或最值）通常：已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（或?qū)ΨQ軸或最值）通常：頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式 探究探究：有一個拋物線形的立交橋，這：有一個拋物線形的立交橋，這 個橋拱的最大高度為個橋拱的最大高度為16m16m，跨度為，跨度為 40m40m，現(xiàn)把它的圖形放在直角坐標(biāo)系，現(xiàn)把它的圖形放在直角坐標(biāo)系 里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式？，求拋物線的

15、解析式？設(shè)拋物線解析式為設(shè)拋物線解析式為y=axy=ax2 2+bx+c (a0)+bx+c (a0) 解法一：解法一： 設(shè)拋物線解析式為設(shè)拋物線解析式為y=a(x-20)y=a(x-20)2 2+16 (a0)+16 (a0) 解法二：解法二： 解法三：設(shè)拋物線解析式為解法三：設(shè)拋物線解析式為 y=a(x-0y=a(x-0）（）（x-40 x-40） (a0)(a0) 歸納：歸納：解法一選用一般式，過程比較復(fù)雜。解法一選用一般式，過程比較復(fù)雜。 解法二選用頂點(diǎn)式，方法簡單靈活。解法二選用頂點(diǎn)式，方法簡單靈活。 解法三選用交點(diǎn)式，方法靈活巧妙，解法三選用交點(diǎn)式，方法靈活巧妙，過程也較簡捷。過程