機(jī)械振動(dòng)一章習(xí)題解答

1、機(jī)械振動(dòng)一章習(xí)題解答習(xí)題121 把單擺擺球從平衡位置向位移正方向拉開，使單擺與豎直方向成一微小角度，然后由靜止位置放手任其振動(dòng)，從放手時(shí)開始計(jì)時(shí)，若用余弦函數(shù)表示其運(yùn)動(dòng)方程，則該單擺振動(dòng)的初位相為：(A) 。(B) 。 題解121 圖 t=0 (C) 0。 (D) 。解：?jiǎn)螖[的振動(dòng)滿足角諧振動(dòng)方程，這里所給的是初始角位移，也是角振幅，而非初位相。由旋轉(zhuǎn)矢量法容易判斷該單擺振動(dòng)的初位相為“0”，因此，應(yīng)當(dāng)選擇答案(C) 。習(xí)題122 輕彈簧上端固定，下端系一質(zhì)量為m1的物體，穩(wěn)定后在m1下邊又系一質(zhì)量為m2的物體，于是彈簧又伸長(zhǎng)了，若將m2移去，并令其振動(dòng)，則振動(dòng)周期為：(A) 。(B) 。(C

2、) 。 (D) 。解：諧振子的振動(dòng)周期只與其本身的彈性與慣性有關(guān)，即與其倔強(qiáng)系數(shù)k和質(zhì)量m有關(guān)。其倔強(qiáng)系數(shù)k可由題設(shè)條件求出所以該振子的質(zhì)量為m1，故其振動(dòng)周期為應(yīng)當(dāng)選擇答案(B)。習(xí)題123 兩倔強(qiáng)系數(shù)分別為k1和k2的輕彈簧串聯(lián)在一起，下面掛著質(zhì)量為m的物體，構(gòu)成一個(gè)豎掛的彈簧諧振子，則該系統(tǒng)的振動(dòng)周期為：(A) 。(B) 。(C) 。(D) 。解：兩彈簧串聯(lián)的等效倔強(qiáng)系數(shù)為，因此，該系統(tǒng)的振動(dòng)周期為所以應(yīng)當(dāng)選擇答案(C)。習(xí)題124 一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為T，當(dāng)它由平衡位置向X軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時(shí)間為：(A) T/4。(B) T/12。(C

3、) T/6。(D) T/8。 t X A A 60° A/2 題解124圖解：參見旋轉(zhuǎn)矢量圖，可得關(guān)系式有該式解得所以應(yīng)當(dāng)選擇答案(C)。k m m習(xí)題125圖 習(xí)題125 一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧截成三等份，取其中的兩根，將它們并聯(lián)在一起，下面掛一質(zhì)量為m的物體，如圖所示。則振動(dòng)系統(tǒng)的頻率為：(A) 。(B) 。(C) 。(D) 。解：彈簧截成三等份，其每一段的倔強(qiáng)系數(shù)為3k；再取其中兩段并聯(lián)的等效倔強(qiáng)系數(shù)為6k，因此，我們可得該振動(dòng)系統(tǒng)的頻率為故應(yīng)當(dāng)選擇答案(B)。習(xí)題126 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅相同、周期相同，第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)從相對(duì)平衡位置的正位

4、移處回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)正在最大位移處，則第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：(A) 。(B) 。 X 題解126圖 O (C) 。(D) 。解：可畫出這兩個(gè)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，容易看出這兩個(gè)振動(dòng)的位相差為因此，只有答案(B)是正確的。習(xí)題127 一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的曲線如圖所示，若質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律用余弦函數(shù)描述，則其初位相為。 題解127圖 O 習(xí)題127圖 t (s) 解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律為則其運(yùn)動(dòng)速度為式中是運(yùn)動(dòng)速度的初位相，由題給速度曲線用旋轉(zhuǎn)矢量法容易知道因此習(xí)題128 一彈簧振子簡(jiǎn)諧作振動(dòng)，振幅為A，周期為T，其運(yùn)動(dòng)方程用余弦表示。若t=0(1) 振子在負(fù)的最大位移處，則初位

5、相為；(2) 振子在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)，則初位相為；(3) 振子在位移為A/2處，且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則初位相為。解：用旋轉(zhuǎn)矢量法可以確定：情況(1)的初位相為；情況(2)的初位相為；情況(3)的初位相為。X t=0 (1) 題解128圖 X t=0 (2) X t=0 (3) 習(xí)題129 一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為，已知t=0時(shí)的初位移為0.04m，初速度為0.09m/s，則振幅A=，初相。解：由初位移x0和初速度v0可求振幅A和初相而 注意：本題的答案可能有誤，根據(jù)計(jì)算結(jié)果該振動(dòng)的初位相應(yīng)該是負(fù)值。習(xí)題1210 一系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為T，以余玄函數(shù)表示振動(dòng)時(shí)，初位相為零。在范圍內(nèi)，系統(tǒng)在t=時(shí)刻

6、動(dòng)能和勢(shì)能相等。解：依題意有如下關(guān)系即 或者故在范圍內(nèi)，當(dāng)或者時(shí)刻，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能相等。習(xí)題1211 兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線如圖所示，兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率之比f1:f2=，加速度最大值之比a1:a2=，初始速率之比v10:v20=。 X XX1 X2 A A t O 習(xí)題1211圖 解：由曲線圖可以看出，x1的周期是x2的一半，因此它們的頻率之比應(yīng)為2:1；而加速度的最大值正比于頻率的平方，因此第二個(gè)空白應(yīng)填4:1；由于初始速度t (s) X 2 O 4 2 習(xí)題1212圖 而x1和x2的初相、振幅都相等，因而它們的初速都應(yīng)與頻率成正比，即它們的初始速率之比v10:v20與頻率之比相等，也為2:1。

7、習(xí)題1212 一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)圖線如圖所示，根據(jù)此圖，它的周期T=，用余玄函數(shù)描述時(shí)的初位相。t=0 t=2 X 題解1212圖 解：根據(jù)振動(dòng)圖線可畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖，可得從旋轉(zhuǎn)矢量圖還可以得到或習(xí)題1213 質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)，按方程(SI)沿著X軸振動(dòng)。求：(1) t=0時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小；(2) 作用于質(zhì)點(diǎn)的力的最大值和此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置。解：(1) 質(zhì)點(diǎn)的加速度為作用于質(zhì)點(diǎn)的力為把t=0s代入上式得 (2)作用于質(zhì)點(diǎn)的力的最大值為該力的大小為 由于令上式中 可得 習(xí)題1214 一質(zhì)量為M的物體在光滑水平面上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅是12cm ,在距平衡位置6cm處速度是24cm/s，求：(

8、1) 周期T；(2) 當(dāng)速度是12cm/s時(shí)的位移。解：(1) 設(shè)物體的振動(dòng)方程為 因而物體的振動(dòng)速度為 把x=0.06m代入得由三角關(guān)系把v=0.24m/s和均代入并取絕對(duì)值得由此解得(3) 把v=0.12m/s代入可得可得 把代入得A B X 習(xí)題1215圖 習(xí)題1215 一質(zhì)點(diǎn)在X軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t=0)，經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過B點(diǎn)，再經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，且10cm。求：(1) 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2) 質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速率。解：(1) 依題意可畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖，由于，A、B相對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱，AB中點(diǎn)為平衡

9、位置，也是坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為顯然，由于時(shí)間均為2秒，圖示的兩個(gè)角度相等，均為，因此圓頻率滿足A B X t=0 t=2 t=4 題解1215圖 ，初位相（或者寫成）振幅m所以質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為(SI)(2) 質(zhì)點(diǎn)的速率求A點(diǎn)的速率，可令t =0注：該題是旋轉(zhuǎn)矢量法的典型應(yīng)用，用該法能直觀、方便地進(jìn)行求解；用解析法也可以求解，但是較繁而且不直觀。習(xí)題1216 一物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其速度最大值vm=3×10-2m/s，振幅A=2×10-2m。若t =0時(shí)，物體位于平衡位置且向X軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求：(1) 振動(dòng)周期T；(2) 加速度的最大值am； (3) 振動(dòng)方程的數(shù)值表達(dá)

10、式。解：(1) 振動(dòng)周期 (2) 加速度的最大值(3) 因t =0時(shí)，物體位于平衡位置且向X軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，所以振動(dòng)的初位相，故振動(dòng)方程為 (SI)習(xí)題1217 兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為，(SI)求：合振動(dòng)方程。解：設(shè)合振動(dòng)方程為則初位相滿足因此故合振動(dòng)方程為(SI)習(xí)題1218 在豎直面內(nèi)半徑為R的一段光滑圓弧形軌道上，放一小物體，使其靜止于軌道的最低處。然后輕碰一下此物體，使其沿圓弧形軌道來回作小幅度運(yùn)動(dòng)，試證：(1) 此物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)；(2) 此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期。O R 題解1218圖 解：(1) 以半徑R與豎直方向的夾角表示小物體的角位移，并且規(guī)定在豎直方向右側(cè)，反之在豎直方向左

11、側(cè)，則。當(dāng)物體在任一角位移處時(shí)，它所受到的對(duì)O點(diǎn)的外力矩為若把小物體看成單質(zhì)點(diǎn)的“剛體”，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有即可令 則有因此，小物體是作角諧振動(dòng)。(2) 該物體作角諧振動(dòng)的周期為習(xí)題1219 兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為20cm，與第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差為，若第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為=17.3cm，則第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為cm，第一、二兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差。X 題解1219圖 解：合振動(dòng)的振幅矢量與兩個(gè)分振動(dòng)的振幅矢量有如下關(guān)系由此可得第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為從振幅矢量關(guān)系圖容易看出和之間的夾角為，也就是說，第一、二兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差。機(jī)械振動(dòng)一章補(bǔ)充習(xí)題及答案習(xí)題728(2000.1

12、習(xí)題集)一輕彈簧在60N的拉力下伸長(zhǎng)30cm，現(xiàn)把質(zhì)量為4kg的物體懸掛在該彈簧的下端并使之靜止，再把物體下拉10cm，然后由靜止釋放并開始計(jì)時(shí)，求：(1) 物體的振動(dòng)方程；(2) 物體在平衡位置上方5cm時(shí)彈簧對(duì)物體的拉力；(3) 物體從第一次越過平衡位置時(shí)刻起到它運(yùn)動(dòng)到上方5cm處所需要的最短時(shí)間。解：(1) 設(shè)振動(dòng)方程為由初始條件：t =0時(shí)，x0=0.10m，v0=0 ，(SI)(2) 彈簧靜止時(shí)的伸長(zhǎng)量l0滿足 在平衡位置上方5cm處的伸長(zhǎng)量l為這時(shí)彈簧對(duì)物體的拉力或者：t=0 t1 t2 X 補(bǔ)充題解728圖 (3) 由旋轉(zhuǎn)矢量圖可得即有或者用解析法：x =0， ，x = -0.05 ， ，習(xí)題77(2000.1習(xí)題集