機(jī)械測(cè)試技術(shù)課件5

1、六、快速傅里葉變換（FFT） 離散傅里葉變換的計(jì)算公式為：式中 N個(gè)點(diǎn)的X(k)需做N2次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法。而做一次復(fù)數(shù)乘法需要做四次實(shí)數(shù)相乘和兩次實(shí)數(shù)相加，做一次復(fù)數(shù)加法需要做兩次實(shí)數(shù)相加。 例：N=1024時(shí)，則需要總共1,048,576次復(fù)數(shù)乘，即4,194,304次實(shí)數(shù)乘法。 112:NonnkNNonnkNjWnxenxkXDFT 11211:NoknkNNoknkNjWkXNekXNnxIDFT1, 1 ,0Nk1, 1 ,0Nn（4.202）（4.203）NjNeW2快速傅里葉變換(FFT，F(xiàn)ast Fourier Transform)算法的本質(zhì):充分利用因子WN

2、的周期性和對(duì)稱性。n對(duì)稱性： n周期性：FFT算法的基本思想：避免運(yùn)算中的重復(fù)運(yùn)算，將長(zhǎng)序列的DFT分割為短序列的DFT的線性組合，從而達(dá)到整體降低運(yùn)算量的目的。效果：使原來(lái)的N點(diǎn)DFT的乘法計(jì)算量從N2次降至為N/2log2N次，如N=1024，則計(jì)算量現(xiàn)在為5120次，僅為原計(jì)算量的4.88% 。nkNNnkNWW2nkNnkNNWW（4.204）（4.205）時(shí)間抽取基2算法 對(duì)式(4.202)，令N=2M,將x(n)序列分割成長(zhǎng)度各為N/2的奇序列和偶序列，即令n=2r和n=2r+1,，r=0,1, ,N/2-1則式（4.202）重寫為式中 這是因?yàn)?12212212121221221

3、22NorrkNNorkNrkNNorNorrNrkNWrxWWrxkWrxWrxkX（4.206）NjNjNeeW4222222222NNjNjNWeeW令則式（4.206）可改寫為而 因此將式（4.209）完整地寫成 12212, 1 , 02NorrkNNkWrxkA 12212, 1 ,012NorrkNNkWrxkB（4.207）（4.208） 1, 1 ,0NkkBWkAkXkN（4.209） kBkNBkAkNA22 12,2, 1 ,022NkkBWkANkXkBWkAkXNkNkN（4.210）又因?yàn)?，因此最終可得 12NNW 12,2, 1 ,02NkkBWkANkXkB

4、WkAkXkNkN（2.211）圖4.98 分割一次后的A(k)、B(k)及X(k)之間的關(guān)系（N=8） 按照上述思路繼續(xù)對(duì)A(k)和B(k)作奇偶序列分解。令r=2l，r=2l+1，l=0,1, ,N/4-1，則有：令 則 14042120414012214022244244NllkNkNNllkNNlklNNllkNWlxWWlxWlxWlxkA 14, 1 , 04414NkWxkCkNNo（4.212） 14, 1 ,024414NkWxkDkNNo（4.213） 14, 1 ,02NkhDWkCkAkN（4.214） 14, 1 ,042NkkDWkCNkAkN（4.215）同樣，令

5、則有： 14, 1 , 014414NkWxkEkNNo 14, 1 ,034414NkWxkFkNNo（4.216）（4.217） 14, 1 , 02NkkFWkEkBkN（4.218） 14, 1 ,042NkkFWkENkBkN（4.219）對(duì)于一個(gè)N=8的序列，此時(shí)的C(k)、D(k)、E(k)和F(k)均已為兩點(diǎn)的序列，無(wú)需再分，此時(shí)有 圖4.99 FFT時(shí)間抽取算法信號(hào)流圖 （N=8）C(0)=x(0)+x(4)，E(0)=x(1)+x(5)C(1)=x(0)-x(4)，E(1)=x(1)-x(5)D(0)=x(2)+x(6)，F(xiàn)(0)=x(3)+x(7)D(1)=x(2)-x(

6、6)，F(xiàn)(1)=x(3)-x(7)在FFT的整個(gè)運(yùn)算過(guò)程中，每?jī)蓚€(gè)等式的運(yùn)算過(guò)程可以用一個(gè)形似蝴蝶結(jié)的“X”形結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示，八個(gè)等式對(duì)應(yīng)于四個(gè)蝶形結(jié)構(gòu)，因此這種信號(hào)流程圖稱為FFT的蝶形運(yùn)算流程圖，將這種運(yùn)算的基本單元稱為蝶形運(yùn)算單元。圖4.100 蝶形運(yùn)算單元 時(shí)間抽取算法的規(guī)律：1.分級(jí)運(yùn)算：將N個(gè)點(diǎn)的序列逐次對(duì)分，直至分到N/2個(gè)兩個(gè)點(diǎn)的序列為止。圖4.101 8點(diǎn)FFT時(shí)間抽取算法信號(hào)流圖 蝶形運(yùn)算單元組 每一級(jí)上的N/2個(gè)蝶形單元可分為若干組，我們稱之為蝶形運(yùn)算單元組，每一組中的蝶形單元有著相同的結(jié)構(gòu)和Wr因子分布。Wr因子的分布 Wr因子分布的一般規(guī)律為：其中m為級(jí)次。12, 1

7、, 0,12mrrWm數(shù)據(jù)排列順序 從圖4.101可見(jiàn)，變換后的輸出序列X(k)按正序排列，但在輸入端序列的排列次序不是原來(lái)的自然順序，而變成了0，4，2，6，1，5，3，7。 圖4.102 數(shù)據(jù)整序方法（a）奇偶分解整序 （b）碼位倒置整序 2.3 測(cè)試系統(tǒng)特性分析王伯雄2.3 測(cè)試系統(tǒng)特性分析 一、概述二、測(cè)量誤差三、測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性 四、測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 五、測(cè)試系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)精確測(cè)量的條件 六、測(cè)試系統(tǒng)的負(fù)載效應(yīng) 一、概述信號(hào)與系統(tǒng)緊密相關(guān)。被測(cè)的物理量亦即信號(hào)作用于一個(gè)測(cè)試系統(tǒng)，而該系統(tǒng)在輸入信號(hào)亦即激勵(lì)的驅(qū)動(dòng)下對(duì)它進(jìn)行“加工”，并將經(jīng)“加工”后的信號(hào)進(jìn)行輸出。輸出信號(hào)的質(zhì)量必定差于輸

8、入信號(hào)的質(zhì)量。n受測(cè)試系統(tǒng)的特性影響；n受信號(hào)傳輸過(guò)程中干擾的影響。 一個(gè)測(cè)試系統(tǒng)與其輸入、輸出之間的關(guān)系 ：若已知輸入量和系統(tǒng)的傳遞特性，則可求出系統(tǒng)的輸出量。已知系統(tǒng)的輸入和輸出量，求系統(tǒng)的傳遞特性。 已知系統(tǒng)的傳遞特性和輸出量，來(lái)推知系統(tǒng)的輸入量。 希望輸入與輸出之間是一種一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系，因此要求系統(tǒng)的傳遞特性是線性的。n對(duì)于靜態(tài)測(cè)量，系統(tǒng)的線性特性要求并非是必須的，采取曲線校正和補(bǔ)償技術(shù)來(lái)作非線性校正較為容易。1.對(duì)于動(dòng)態(tài)測(cè)量 ，對(duì)測(cè)試裝置或系統(tǒng)的線性特性關(guān)系的要求便是必須的。在動(dòng)態(tài)測(cè)量的條件下，非線性的校正和處理難于實(shí)現(xiàn)且十分昂貴。 圖2.52 測(cè)試系統(tǒng)框圖 二、測(cè)量誤差 定義：

9、n誤差E是指示值與真值或準(zhǔn)確值的差： E=xm-x(2.142)xm指示值；x真值或準(zhǔn)確值。 n校正值或修正值B是與誤差E的數(shù)值相等但符號(hào)相反的值 ：B=x-xm(2.143)分類一（根據(jù)誤差的性質(zhì)）：n系統(tǒng)誤差：w定義：每次測(cè)量同一量時(shí)，呈現(xiàn)出相同的或確定性方式的那些測(cè)量誤差。w產(chǎn)生原因：由標(biāo)定誤差、持久發(fā)生的人為誤差、不良儀器造成的誤差、負(fù)載產(chǎn)生的誤差、系統(tǒng)分辨率局限產(chǎn)生的誤差等因素所產(chǎn)生。 n隨機(jī)誤差：w定義：每次測(cè)量同一量時(shí)，其數(shù)值均不一致、但卻具有零均值的那些測(cè)量誤差。 w產(chǎn)生的原因有：測(cè)量人員的隨機(jī)因素、設(shè)備受干擾、實(shí)驗(yàn)條件的波動(dòng)、測(cè)量?jī)x器靈敏度不夠等。 n過(guò)失誤差或非法誤差：w意

10、想不到而存在的誤差。w如實(shí)驗(yàn)中因過(guò)失或錯(cuò)誤引起的誤差，實(shí)驗(yàn)之后的計(jì)算誤差等。 隨機(jī)誤差具有明顯的統(tǒng)計(jì)分布特性。常常采用統(tǒng)計(jì)分析來(lái)估計(jì)該誤差的或然率大小。 系統(tǒng)誤差則不可以用統(tǒng)計(jì)方法來(lái)處理，因?yàn)橄到y(tǒng)誤差是一個(gè)固定的值，它并不呈現(xiàn)一種分布的特征。 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差常常同時(shí)發(fā)生。 圖2.53 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差 (a)系統(tǒng)誤差大于隨機(jī)誤差 (b)隨機(jī)誤差大于系統(tǒng)誤差 分類二（根據(jù)測(cè)量的類型 ）：n靜態(tài)誤差：w定義：用來(lái)確定時(shí)不變測(cè)量值的線性測(cè)量?jī)x器，其傳遞特性為一常數(shù)。而相應(yīng)的非線性測(cè)量?jī)x器的輸入輸出關(guān)系是用代數(shù)方程或超越方程來(lái)描述的。因而所產(chǎn)生的誤差一般僅取決于測(cè)量值大小而其本身不是時(shí)間的函數(shù)。

11、這種誤差稱靜態(tài)誤差。 n動(dòng)態(tài)誤差：w定義：在測(cè)量時(shí)變物理量時(shí)，要用微分方程來(lái)描述輸入輸出關(guān)系。此時(shí)產(chǎn)生的誤差不僅取決于測(cè)量值的大小，而且還取決于測(cè)量值的時(shí)間過(guò)程。將這種誤差稱動(dòng)態(tài)誤差。 三、測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性當(dāng)被測(cè)量是恒定的、或是慢變的物理量時(shí) ，涉及到系統(tǒng)的靜態(tài)特性。 靜態(tài)特性包括：重復(fù)性；漂移；誤差；精確度；分辨率；線性度；1.非線性。 重復(fù)性（亦稱精度）：表示由同一觀察者采用相同的測(cè)量條件、方法及儀器對(duì)同一被測(cè)量所做的一組測(cè)量之間的接近程度。表征測(cè)量?jī)x器隨機(jī)誤差接近于零的程度。 漂移：儀器的輸入未產(chǎn)生變化時(shí)其輸出所發(fā)生的變化。由儀器的內(nèi)部溫度變化和元件的不穩(wěn)定性引起。誤差：儀器的誤差有兩

12、種表達(dá)方式：絕對(duì)誤差：用專門的測(cè)量單位來(lái)表示；相對(duì)誤差：表達(dá)為被測(cè)量的一個(gè)百分比值，或表達(dá)為某個(gè)專門值比如滿量程指示值的一個(gè)百分比。 精確度：測(cè)量?jī)x器的指示值和被測(cè)量真值的符合程度，通過(guò)所宣稱的概率界限將儀器輸出與被測(cè)量的真值關(guān)聯(lián)起來(lái)。精確度是由諸如非線性、遲滯、溫度變化、漂移等一系列因素所導(dǎo)致的不確定度之和。靈敏度：n單位被測(cè)量引起的儀器輸出值的變化。n靈敏度有時(shí)亦稱增益或標(biāo)度因子。 分辨率： n當(dāng)一個(gè)被測(cè)量從一個(gè)相對(duì)于零值的任意值開(kāi)始連續(xù)增加時(shí)，使指示值產(chǎn)生一定變化量所需的輸入量的變化量 。n如果指示值不是連續(xù)的，將指示的不連續(xù)步距值稱作分辨率 。w數(shù)顯式儀器的分辨率是指顯示值最后一位數(shù)的數(shù)距。 圖2.54 分辨率概念不同意義的例子 線性度 第一種定義：用理論刻度的端點(diǎn)值來(lái)確定參考直線。一個(gè)無(wú)抑零范圍的測(cè)量?jī)x器的這條直線規(guī)定為穿過(guò)零點(diǎn)和最大值的終點(diǎn)。線性度按誤差限的概念定義為最大的偏離量并以示值范圍的百分比給出 。第二種定義：用定標(biāo)測(cè)量點(diǎn)來(lái)描述參考直線。采用線性回歸技術(shù)來(lái)求出該直線，使得測(cè)量值