中考幾何證明方法專題

1、既然選擇了遠方，就必須風雨兼程 第五講 幾何證明專題 時間： 年 月 日 劉滿江老師 學生簽名： 一、 興趣導入動物中的數(shù)學天才蜘蛛結的“八卦”形網(wǎng)，是既復雜又美麗的八角形幾何圖案，人們即使用直尺的圓規(guī)也很難畫出像蜘蛛網(wǎng)那樣勻稱的圖案。冬天，貓睡覺時總是把身體抱成一個球形，這其間也有數(shù)學，因為球形使身體的表面積最小，從而散發(fā)的熱量也最少。真正的數(shù)學“天才”是珊瑚蟲。珊瑚蟲在自己的身上記下“日歷”，它們每年在自己的體壁上“刻畫”出365條斑紋，顯然是一天“畫”一條。奇怪的是，古生物學家發(fā)現(xiàn)3億5千萬年前的珊瑚蟲每年“畫”出400幅“水彩畫”。天文學家告訴我們，當時地球一天僅21.9小時，一年不是

2、365天，而是400天。     二、 學前測試1、如圖，ABC中，ACB=900,AC=BC,延長BC到F，使用CF=CD，BE平分ABC，變AC于D。FCBEDA（1） 求證：ACFBCD；（2） 求證：2CE=BD（3） 求tanAFC的值。三、方法培養(yǎng)知識講解：1、你能證明它嗎？（1）三角形全等的性質及判定性質：全等三角形的對應邊相等，對應角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形

3、。定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（HL）3、線段的垂直平分線（1）線段垂直平分線的性質及判定性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。4、角平分線（1）角平分線的性質及判定定理性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；判定：在一個角的內部，且到角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。5、平行四邊行（1）平行四邊形的定義、性質及判定定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形性質：平行四邊形的對邊分別平行；平行四邊形的對邊分別相等；平行四邊形的對角分別相等；平行四邊形的對角線互相平分。判定：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是

4、平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊行。（2）等腰梯形的性質及判定性質：等腰梯形在同一底上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。判定：同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；對角線相等的梯形是等腰梯形。（3）三角形中位線定義及性質定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。性質：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。6、特殊圖形的證明名稱性質判定矩形1、 矩形的對邊平行且相等，對角相等，四個角都是直角2、 矩形的對角線互相平分且相等有一個角是直角的平行四邊形是矩形有三個角是直角的四邊形是矩形對角線相等的四邊形是矩形對角線互相平分且相

5、等的四邊形是矩形菱形1、 菱形的四條邊都相等2、 菱形的對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形正方形1、 正方形的四條邊都相等，四個角都是直角2、 正方形的對角線互相垂直、平分且相等，且每條對角線平分一組對角一組鄰邊相等，一個角是直角的平行四邊形是正方形一組鄰邊相等的矩形是正方形有一個角是直角的菱形是正方形對角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形 圓1、 圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線；圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心2、 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分

6、這條弦，并且平分弦所對的弧3、 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角是直角；900的圓周角所對的弦是直徑同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半專題1：直角三角形的判定【例1】如圖，ABC 中，CD 為AB 邊上的中線，CD=AB求證：ABC 是直角三角形【例2】（等腰三角形的判定）如圖 ，已知ABC 中，B=90°，AB=BC，BD=CE，M 是AC 邊的中點求證：DEM 是等腰三角形【變式

7、訓練】如圖，ABC 中，AB=AC，BD、CF 分別平分B、C 且AGBD，垂足為G，AHCE 于F 交BC 于H求證：(1)AFG 為等腰三角形(2)CAH 是等腰三角形專題2：證明角的和、差、倍、分和相等的關系【例3】如圖，在ABC 中，BAC=90°，AB=AC，M 為AC的中點，ADBM求證：CMD=MBD+MCD【變式訓練】A1、已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2CCDB2、以的、為邊向三角形外作等邊、，連結、相交于點求證：平分 專題3：證明線段的和、差、倍、分和相等的關系【例4】如圖，已知ABC 為等邊三角形，延長BC到D，延BA到E，使AE=BD，連結

8、CE、DE求證：CE=DE 【變式訓練】1、如圖，ABC 中，C=90°，BC=AC，BD 是ABC的平分線，AEBD，垂足為E，求證：BD=2AE 2、如圖 ，AB=AC，DB=DC，E 是AD 延長線上的一點求證：BE=CE專題4：線段的倍差關系【例5】如圖，已知ABC 中，AB=AC，A=100°，B 的平分線交AC 于D求證：AD+BD=BC【變式訓練】1已知三角形ABC 中，A=90°，AB=AC，B 的平分線交AC 于D求證：AD+AB=BC一般性：已知ABC 中，A=2B，B 的平分線交AC 于D，求證AD+AB=BC2已知ABC 中，A=108&#

9、176;，AB=AC，B 的平分線交AC 于D，求證：AB+CD=BC3已知ABC 中，A=120°，AB=AC，B 的平分線交AC 于D，求證：AB+2AD=BC4、 強化練習（1）填空、1、ABC中，AB=AC ，AB的中垂線交于AC于D，DBC=ABD，則BAC= ，2、已知ABC 中，m 是BC 邊上的中線，AB=8，AC=6，則中線m 的取值范圍是 （2）解答題3、已知如圖，AD 是ABC 的角平分線交BC 于D，EF 是AD 的垂直平分線交BC 的延長線于點F求證：BAF=ACF4、如圖3-110，ABC 中，AD 是BAC 的平分線，BE=EC，過E 作GHAD，交AC

10、、AD 和AB 的延長線于H、F、G，求證：AC-AB=2BG五、訓練輔導專題5：拓展訓練【例5】如圖3-101，以RtABC 的兩直角邊AC、BC 為邊向外作等邊三角形ACE 和等邊BCF，BE 和AF 相交于點D求證：EC、FC 是DEF 的內角平分線變式練習5如圖，在ABC中，ACB=45°，AD是ABC的高，在AD上取點E，使得DE=DB，連接CE并延長，交邊AB于點F，連接DF.（三中）（1）求證：AB=CE；（2）求證：BF+EF=FD.六、反思總結：（課后手寫） 人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。圖中有角平分

11、線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直

12、徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗?；咀鲌D很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。 虛心勤學加苦練，成績上升成直線 ! 附件：堂堂清落地訓練 （堅持堂堂清，學習很爽心） 1. （10分）（2012成都）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于H，過CD延長線上一點E作O的切線交AB的延長線于F切點為G，連接AG交CD于K（1）求證：KE=GE；（2）若KG2=KDGE，試判斷AC與EF的位置關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若sinE=，AK=，求FG的長 2.