平穩(wěn)過(guò)程1(3)

1、平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程的概念平穩(wěn)過(guò)程的概念相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過(guò)程的譜分解平穩(wěn)過(guò)程的譜分解第二章平穩(wěn)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)線(xiàn)性系統(tǒng)中的平穩(wěn)過(guò)程線(xiàn)性系統(tǒng)中的平穩(wěn)過(guò)程N(yùn)ORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰 第一章 平穩(wěn)過(guò)程的定義第一節(jié)一、嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程一、嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程二、寬平穩(wěn)過(guò)程二、寬平穩(wěn)過(guò)程三、兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程的關(guān)系三、兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程的關(guān)系四、正態(tài)平穩(wěn)過(guò)程四、正態(tài)平穩(wěn)過(guò)程N(yùn)ORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰一一 嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 在工程技

2、術(shù)、自然科學(xué)中經(jīng)常碰到一類(lèi)特殊的隨機(jī)過(guò)程.導(dǎo)彈在飛行中受到湍流的影響；軍艦在海浪中的顛簸；通信中的干擾噪聲等等. . 這類(lèi)隨機(jī)過(guò)程一方面受到隨機(jī)因素的影響產(chǎn)生波動(dòng)，同時(shí)又有一定的慣性. .主主要特點(diǎn)：當(dāng)過(guò)程隨時(shí)間變化產(chǎn)生波動(dòng)時(shí)，前后狀態(tài)有要特點(diǎn)：當(dāng)過(guò)程隨時(shí)間變化產(chǎn)生波動(dòng)時(shí)，前后狀態(tài)有一定聯(lián)系，且這種聯(lián)系不隨時(shí)間的推移而變化一定聯(lián)系，且這種聯(lián)系不隨時(shí)間的推移而變化. .NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰一一 嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程是一類(lèi)特殊的隨機(jī)過(guò)程,它的應(yīng)用極為廣泛.1 定義定義1隨機(jī)過(guò)程 ，如果對(duì)任意 維分布

3、函數(shù)，),(TttXn , 2 , 1n則稱(chēng) 為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程,或稱(chēng)狹義平穩(wěn)過(guò)程狹義平穩(wěn)過(guò)程. )(tX任意實(shí)數(shù) ,滿(mǎn)足: 1212( ,;,)nnF x xx ttt1212( ,; , , )nnF x xx t ttNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的含義是:過(guò)程的任何有限維概率分布 與參數(shù)的原點(diǎn)選取無(wú)關(guān),即嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程在任何時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是相同的，不隨時(shí)間的推移而發(fā)生變化.2. 嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的一維嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的一維,二維分布函數(shù)的性質(zhì)二維分布函數(shù)的性質(zhì)特殊地,取 一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)二維分布函數(shù)

4、二維分布函數(shù)1,t )(11xF111111( ; )( ;)F x tF x t11( ;0)F x2121221212( ,; , )( ,;,)F x x t tF x x tt21221( ,;0,)F x xtt21tt212( ,;0,)F x xNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰上式表明:嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的一維分布函數(shù) 不依賴(lài) )(11xF于參數(shù) , t二維分布函數(shù) 僅依賴(lài)于參數(shù)間距 );,(212xxF12tt 而與 本身無(wú)關(guān). 21,tt3.(1)離散狀態(tài)隨機(jī)過(guò)程離散狀態(tài)隨機(jī)過(guò)程 ,嚴(yán)平穩(wěn)性條件嚴(yán)平穩(wěn)性條

5、件)(tX)(,)(,)(2211nnxtXxtXxtXP (2)連續(xù)狀態(tài)隨機(jī)過(guò)程連續(xù)狀態(tài)隨機(jī)過(guò)程 , ,嚴(yán)平穩(wěn)性條件嚴(yán)平穩(wěn)性條件)(tX),;,(2121nntttxxxf ),;,(2121 nntttxxxf1122(),(),()nnP X tx X txX txNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù) 二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)4. .嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征的性質(zhì)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征的性質(zhì)以以 為連續(xù)狀態(tài)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程為例為連續(xù)狀態(tài)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程為例),(TttXdxxxfdxtxxf

6、tXE)(),()(11X(常數(shù)); dxxfxdxtxfxtXE)(),()(121222X(常數(shù));)0 ;(11xf)(11xf111111( ; )( ;)f x tf x t2121221212( ,; , )( ,;,)fx x t tfx x tt212212( ,;0,)( ,; )fx xfx xNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰2222)()()(XXtXEtXEtXD2X (常數(shù)); 2121221),;,()()(dxdxttxxfxxtXtXE )();,(2121221XRdxdxxxfx

7、x (僅依賴(lài)于僅依賴(lài)于 , ,而不依賴(lài)于而不依賴(lài)于 );t)()()()(tEXtXtEXtXE)()(tXtXE)()(tXEtXE)()(2XXXCR于是得到NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰 定理定理 設(shè) 是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程,如果過(guò)程的二 ),(TttX階矩存在,那么 (1) XtXE)(22)(XtXE2)(XtXD均為常數(shù),與參數(shù) 無(wú)關(guān);t(2) )()()(XRtXtXE)()()()(tEXtXtEXtXE)(XC僅依賴(lài)于參數(shù)間距 ,而不依賴(lài)于 .tNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二

8、章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰數(shù)字特征的這一性質(zhì)也稱(chēng)為平穩(wěn)性.定理一的逆定理是不成立的. 例例 (Bernoulli序列序列) 獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行某項(xiàng)試驗(yàn),每次 試驗(yàn)成功的概率為 ,失敗的概率為 . ) 10( ppp1以表示 第 次試驗(yàn)成功的次數(shù),nXn, 3 , 2 , 1, nXn是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程. 試驗(yàn)證1,nXBp提示提示NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰例例 設(shè) 是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量, YX,0,)()(22ttYXtZ試驗(yàn)證隨機(jī)過(guò)程 不是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程, )(tZ)(tZ的數(shù)字特征也不

9、具有平穩(wěn)性. 提示提示1 2222XY 12221022nynf xyeyn 111222212111222yyf xyeyeNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰例例 設(shè) 是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量, YX,0,)()(22ttYXtZ試驗(yàn)證隨機(jī)過(guò)程 不是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程, )(tZ)(tZ的數(shù)字特征也不具有平穩(wěn)性. 提示提示222XY 111222212111222xxf xxexe 1xf xafa a 122221( )() 2xtxZ tXYtf xettNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二

10、章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰例例 設(shè) 是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量, YX,0,)()(22ttYXtZ試驗(yàn)證隨機(jī)過(guò)程 不是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程, )(tZ)(tZ的數(shù)字特征也不具有平穩(wěn)性. 提示提示3 122221( )() 2xtxZ tXYtf xett22( )()2 ,0E Z tEXYtt t222222121 21 2( ) ( )()()E Z t Z tEXYt tt t EXY22242241 21 2()2t t EXYt tXX YYNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰1 定義定義

11、2 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 ,對(duì)于任意 ,滿(mǎn)足: )(tXTt (1) 存在且有限;)(2tXE(2) 是常數(shù);XtXE)(3) 僅依賴(lài)于 ,而與 無(wú)關(guān),)()()(XRtXtXEt則稱(chēng) 為廣義平穩(wěn)過(guò)程廣義平穩(wěn)過(guò)程,或稱(chēng)寬平穩(wěn)過(guò)程或稱(chēng)寬平穩(wěn)過(guò)程,簡(jiǎn)稱(chēng) )(tX平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程. 參數(shù)集 為整數(shù)集或可列集的平穩(wěn)過(guò)程又稱(chēng)為平穩(wěn) T序列,或稱(chēng)平穩(wěn)時(shí)間序列.二二 寬平穩(wěn)過(guò)程寬平穩(wěn)過(guò)程N(yùn)ORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰2 廣義平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征的性質(zhì)廣義平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征的性質(zhì)設(shè) 是平穩(wěn)過(guò)程,則),(TttX(1) 僅依賴(lài)于 ,而與 無(wú)關(guān)

12、;)()()(XRtXtXEt(2) 是常數(shù);XtXE)(3) 是常數(shù); 2X)(2tXE)0()0()(XRtXtXE(4) 是常數(shù); 22)()()(tEXtEXtXD222XXX(5) )(),(cov(),(tXtXttCX)()(tXtXE)()(tXEtXE)()(2XXXCR(僅依賴(lài)于 ,而與 無(wú)關(guān))。tNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰平穩(wěn)過(guò)程的例子平穩(wěn)過(guò)程的例子 例1隨機(jī)相位正弦波)cos()(tatX,式中 和 a 是常數(shù), 是 上服從均勻分布的隨機(jī)變量. )2 , 0(驗(yàn)證 是平穩(wěn)過(guò)程. )(t

13、X證明：201( )cos()cos()2E X tE atatxdx20sin()02atx 2212121201,cos()cos()2XRt tE X tX tatxtxdx22122101cos(2 )cos()4attxttdx221cos2att211,2XaRt tNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰平穩(wěn)過(guò)程的例子平穩(wěn)過(guò)程的例子例2 隨機(jī)振幅正弦波 tYtXtZ2sin2cos)(,其中 和 都是隨機(jī)變量,且 XY, 0 EYEX1 DYDX. 0)(XYE驗(yàn)證 是平穩(wěn)過(guò)程.)(tZ證明： ( )cos2

14、sin20E Z ttE XtE Y 2212121212,cos2cos2sin2sin2XRt tE Z t Z ttt E Xtt E Y221cos 2E Xtt 2,1XRt tE Z t Z tE XNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰例3(白噪聲序列白噪聲序列) 互不相關(guān)的隨機(jī)變量序列 , 2, 1, 0, nXn, 0nEX02nDX是一個(gè)平穩(wěn)序列. 證明：0nEX 2,0XnmnmRn mE X XnmNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子

15、課件 張 峰例4 通訊系統(tǒng)中的加密序列通訊系統(tǒng)中的加密序列設(shè) ,1100 nn是相互獨(dú)立的隨機(jī) 變量序列. ), 2 , 1 , 0( nn同分布, ), 2 , 1 , 0( nn同分布, , 0nnEE. 02nnDD設(shè) )() 1(nnnnnnX則加密序列 是平穩(wěn)序列., 2 , 1 , 0, nXn證明：( 1)()0nnnnnnEXEEE ,( 1) ()( 1) ()nmXnnnnmmmmRn mE ( 1) ()( 1) ()( 1) ()( 1) ()( 1)()()nnnmnmnnmnmnmnnmmmn mnmmnmmnnmmEEE 240nmnmNORTH UNIVERSI

16、TY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰 例5 隨機(jī)電報(bào)信號(hào)隨機(jī)電報(bào)信號(hào) 電報(bào)信號(hào)用電流 或 給出,任意時(shí)刻 的電報(bào) IIt信號(hào) 為 或 的概率各為 .又以 表示 )(tXII21)(tN), 0t內(nèi)信號(hào)變化的次數(shù),已知 是一泊松 0),(ttN過(guò)程,則 是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程. 0),(ttX泊松過(guò)程的定義|!|)|()()(ekktNtNPk , 2 , 1 , 0, 0 kNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰21 ,12,0,1,2,!kX ttIIP X tIP X tIt

17、tN t tP N t tkekk ，。，且；即：，。若隨機(jī)過(guò)程滿(mǎn)足下列條件則稱(chēng)為隨機(jī)電報(bào)信號(hào)相繼取值+ 或-在任意區(qū)間內(nèi)變號(hào)的次數(shù)服從泊松分布。試討論其平穩(wěn)性NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰22其一條樣本函數(shù)曲線(xiàn)為： X tt1 11 1- -0 0 11110.22E X t 先計(jì)算均值函數(shù)為常數(shù)NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰23 0022100201,1,1,1,2,212!21 !XkkkkkkkXkN t tX t X tN

18、 t tRt tE X t X tP N t tP N t tP N t tkP N t tkeekkeeRk 再計(jì)算自相關(guān)函數(shù):為偶為奇為偶為奇NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰24t與 無(wú)關(guān)，可見(jiàn)隨機(jī)電報(bào)信號(hào)是平穩(wěn)過(guò)程。其相關(guān)函數(shù)圖如下： XR t1 10 0NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程與廣義平穩(wěn)過(guò)程的關(guān)系嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程與廣義平穩(wěn)過(guò)程的關(guān)系推論 存在二階矩的嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程必定是廣義平穩(wěn)過(guò)程.1.廣義平穩(wěn)過(guò)程,不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程.

19、2.嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程,(如果二階矩不存在),不一定是廣義 平穩(wěn)過(guò)程. NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰三三 . 兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程的關(guān)系兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程的關(guān)系下文中廣義平穩(wěn)過(guò)程簡(jiǎn)稱(chēng)平穩(wěn)過(guò)程. 定義定義3 設(shè) 和 是兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程,如果互相關(guān))(tX)(tY函數(shù) )()()(XYRtYtXE僅是參數(shù)間距 的函數(shù),則稱(chēng) 與 平穩(wěn)相關(guān),或稱(chēng)其為 )(tX)(tY聯(lián)合平穩(wěn)的.此時(shí))(),(cov()(tYtXCXY)()(tYtXE)()(tYEtXEYXXYR)(NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)

20、過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰定義定義4 4 )0()0()()(YXXYXYCCC稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)互協(xié)方差函數(shù). 特別當(dāng) 時(shí),稱(chēng)兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程與不相關(guān). 0)(XY22)()()()(),(cov()0(XXtDXtEXtXEtXtXC22)()()()(),(cov()0(YYtDYtEYtYEtYtYC(均為常數(shù)).NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰四四 正態(tài)平穩(wěn)過(guò)程正態(tài)平穩(wěn)過(guò)程1.正態(tài)過(guò)程 正態(tài)隨機(jī)變量復(fù)習(xí)： 一維正態(tài)隨機(jī)變量 ,概率密度),(2NX,21)(222)(xexfx二維正態(tài)隨機(jī)變量);,;,(),(

21、222211NYX)()(2)()1 ( 21exp121),(2222212121212221yyxxyxfNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰維正態(tài)分布n),(21nXXX 概率密度)()(21exp)(det)2(1),(121221 xCxCxxxfnn其中nxxxx21n21協(xié)方差矩陣 ,)(nnijCC),(jiijXXCovC NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰定義定義5 如果隨機(jī)過(guò)程 ,對(duì)任意正整數(shù) , )(tXn,21Ttt

22、tn )(,),(),(21ntXtXtX 服從正態(tài)分布則稱(chēng) 為正態(tài)過(guò)程,又稱(chēng)高斯(Gauss)過(guò)程. )(tX獨(dú)立正態(tài)過(guò)程獨(dú)立正態(tài)過(guò)程:如果 是正態(tài)過(guò)程,同時(shí)又 ),(TttX是獨(dú)立過(guò)程,則稱(chēng) 為獨(dú)立正態(tài)過(guò)程. ),(TttX正態(tài)序列：正態(tài)序列：正態(tài)過(guò)程 ,如果 是可列集,),(TttXT,21 ntttT記 ;)(tXtX那么, ,21 ntttttX是正態(tài)序列.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰2. 2. 正態(tài)平穩(wěn)過(guò)程正態(tài)平穩(wěn)過(guò)程設(shè) 是正態(tài)過(guò)程, 服從正態(tài)分布,則 ),(TttX)(tX)()(22tXEtX必

23、存在,即二階矩存在.定義 如果正態(tài)過(guò)程 又是(廣義)平穩(wěn)過(guò)程,則 )(tX稱(chēng) 為正態(tài)平穩(wěn)過(guò)程. )(tX定理定理：設(shè) 是正態(tài)過(guò)程.)(tX則 為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 為廣義平穩(wěn)過(guò)程.)(tX)(tXNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰例1 設(shè)正態(tài)過(guò)程 的均值函數(shù) ),(ttX, 0)(tX自相關(guān)函數(shù) ),(),(1221ttRttRXX試寫(xiě)出過(guò)程的一維、二維概率密度函數(shù).例2 設(shè) 是正態(tài)平穩(wěn)過(guò)程,且 )(tX, 0)()(ttXEX令 0)(, 00)(, 1)(tXtXtY當(dāng)當(dāng)證明 是平穩(wěn)過(guò)程.)(tYNORTH UNIVER

24、SITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰 第一章 平穩(wěn)過(guò)程的性質(zhì)第二節(jié)一、一、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)二、聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程及互相關(guān)函二、聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程及互相關(guān)函 數(shù)的性質(zhì)數(shù)的性質(zhì)NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰一一. .相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)( (實(shí)平穩(wěn)過(guò)程實(shí)平穩(wěn)過(guò)程) 22,(1)00(2)0XXXXXXXXXX ttTRRE XtRRRRE X t X tE X tX tRR，。設(shè)是平穩(wěn)過(guò)程，相關(guān)函數(shù)為即是偶函數(shù)由此性質(zhì)，在實(shí)際問(wèn)題中只需計(jì)算或測(cè)量在的值即可

25、2222222(3)00()00XXXXXXRRBBE XYEXEYRE X t X tE XtE XtR，。施瓦茲不等式表明自相關(guān)函數(shù)在處取得最大值NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰35 11,1,1,1,121(4),0,0XnnnXijiji jnnXijijijiji ji jnijiji jniiiRttaaRt ta aRt ta aE X tX ta aEX tX ta aEX t a，：具有非負(fù)定性，即對(duì)任意實(shí)數(shù)有在理論上可證明：任一連續(xù)函數(shù)只要具有非負(fù)定性，則該函數(shù)必是某平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)。NOR

26、TH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰36 (5)XXXXXX tTRTX tX tTRRTRTE X t X tTE X t X tR。為周期 的平穩(wěn)過(guò)程以 為周期即：證： 0020220020222XXXXXRRTRRRTtXtXEtXETtXEtXTtXEtXTtXD 0X tTX tCE X tTX tX tTX tT。根據(jù)方差性質(zhì)知：即以 為周期的平穩(wěn)過(guò)程N(yùn)ORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰 2(6)limXXX tX tX tRm，若是不含

27、周期分量的非周期過(guò)程當(dāng)時(shí)與相互獨(dú)立則 0X tX t，。在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)非周期性的噪聲和干擾一般當(dāng) 值適當(dāng)增大和即呈現(xiàn)獨(dú)立性，若為零均值，則其自相關(guān)函數(shù)趨于 (7),0XXRR 。在連續(xù)在連續(xù) 2limlimlimlimXXRE X t X tE X tX tE X tEX tmNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰38二.聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程及互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) ,XYYXX ttTY ttTRt tRt ttX tY t，設(shè)和是兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程若它們的互相關(guān)函數(shù)僅與 有關(guān)而與 無(wú)關(guān)則稱(chēng)和是聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程。 W t =X t +Y t

28、 X t Y tNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰39 X tY tW t，當(dāng)兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程是聯(lián)合平穩(wěn)時(shí)則它們的和也是平穩(wěn)過(guò)程且其相關(guān)函數(shù)為： YXXYYXWRRRRR 2(1)00 ,XYXYX tY tRRR類(lèi)似可得聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程與的互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰40 222200XYXYRE X t Y tE X tE YtRR證：由施瓦茲不等式： (2)XYYXXYYXRRRE X t Y tE Y tX tR：證N

29、ORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰41 2020sinsin, ,0,2sinsin1sinsin2sinsincos2cossinXYYXXYX tAtY tBtA BURRRE X t Y tE AtBtABttdABttABtd ：，。例設(shè)為兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，其中為常數(shù)求和解:cos2 1cos2XYYXYXRRRAB根據(jù)得NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰 第二章 平穩(wěn)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)第三節(jié)一、時(shí)間平均一、時(shí)間平均三、一些例子三、一些例子二

30、、遍歷過(guò)程二、遍歷過(guò)程(各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程)四、平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性定理四、平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性定理NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰 在實(shí)際工作中，確定隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征很重要，然而要求這些數(shù)字特征需知一維、二維分布函數(shù)，而這些分布在實(shí)際問(wèn)題中沒(méi)給出，為此，只能用統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)觀(guān)察數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，如可把均值和自相關(guān)函數(shù)近似表示為： 11112112111NXkkNXXkkkmtE X txtNRRttxt xtN統(tǒng)計(jì)平均 XXmR，因此，估計(jì)需作大量實(shí)驗(yàn)，次數(shù)越多越精確，而在實(shí)際中，能否通過(guò)一次

31、實(shí)驗(yàn)，長(zhǎng)時(shí)間的觀(guān)察值來(lái)估計(jì)？即按時(shí)間取平均來(lái)代替統(tǒng)計(jì)平均，這就是所謂的遍歷性問(wèn)題。NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰4411,1,2,1lim1.,11nnNkNknNkknXnE XmPXmNXnXNmE X，則。由大數(shù)定律可知,對(duì)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列若存在均值則用隨機(jī)過(guò)程的觀(guān)點(diǎn)看可看作是具有離散參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)按不同時(shí)刻取平均，它隨樣本不同而變，是個(gè)隨機(jī)變量，而是隨機(jī)過(guò)程的均值，即在某一時(shí)刻過(guò)程的現(xiàn)實(shí)取值的統(tǒng)計(jì)平均值NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平

32、穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰4511NPkkXmN 表明nE X。隨機(jī)過(guò)程的樣本按時(shí)間的平均值以越來(lái)越大的概率無(wú)限接近隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均值。每個(gè)樣本函數(shù)都能夠遍歷各種可也就是說(shuō)，只要觀(guān)測(cè)的時(shí)間足夠長(zhǎng)，則能狀態(tài)，隨機(jī)過(guò)程的這種特性叫各態(tài)隨過(guò)程的歷經(jīng)性機(jī)NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰一、遍歷過(guò)程一、遍歷過(guò)程(各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程)1.時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)函數(shù) ),(),(txteX樣本函數(shù) 在區(qū)間 )(tx)0(,lll設(shè)隨機(jī)過(guò)程 ),(),(TttX任固定 ,Se樣本上的函數(shù)平

33、均值定義為 )(tx在 上的函數(shù)平均值定義為),(當(dāng) 變化時(shí), e1( )( , )( , )2.i.mlllX tX e tX e t dtlL1( )( ).2llx tx t dtl11( )( ).( )22limlllllx tx t dtx t dtllNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰 定義定義11( )( , )( , )2.i.mTTlX tX e tX e t dtTL稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程 )(tX對(duì)于參數(shù) 的平均值,通常稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程 t)(tX的時(shí)間均值時(shí)間均值(時(shí)間平均時(shí)間平均). 在任意 處,給任意

34、實(shí)數(shù) 過(guò)程在 ,和 的兩個(gè)ttt狀態(tài)的乘積 ( , )( ,)X e t X e t在 上的平均值, ),(記為1( )( , )( ,)( , )( ,)2.i.mlllX t X tX e t X e tX e t X e tdtlL顯然 是一個(gè)隨機(jī)變量.1( )( , )( , )2.i.mTTlX tX e tX e t dtTLNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰定義定義2 時(shí)間相關(guān)函數(shù)時(shí)間相關(guān)函數(shù)1( )()( , )( ,)( , )( ,)2.i.mTTlX t X tX e t X e tX e t

35、X e tdtTL稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程 的時(shí)間相關(guān)函數(shù)時(shí)間相關(guān)函數(shù). )(tX(顯然它是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程. )對(duì)隨機(jī)過(guò)程 此時(shí), ), 0),(TttX時(shí)間均值時(shí)間均值 1( , )( , )2.i.mTTlX e tX e t dtTL時(shí)間相關(guān)函數(shù)時(shí)間相關(guān)函數(shù)1( )()( , )( ,)( , )( ,)2.i.mTTlX t X tX e t X e tX e t X e tdtTLNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰 例1 求隨機(jī)相位正弦波求隨機(jī)相位正弦波)cos()(tatX的時(shí)間均 值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)值和時(shí)間相關(guān)函數(shù).(

36、記住這個(gè)例題的結(jié)論,以后要用)11( , )( , )cos()22.i.m.i.mTTTTllX e tX e t dtatdtTTLL 1( , )cos()coscossinsin2.i.m.i.m2TTTTllX e tatdtttdtTaLLTsincoscossin.i.m2TTlttaLT2sincos0.i.m2lTaLTNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰 例1 求隨機(jī)相位正弦波求隨機(jī)相位正弦波)cos()(tatX的時(shí)間均 值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)值和時(shí)間相關(guān)函數(shù). (記住這個(gè)例題的結(jié)論,以后要用).i.m

37、lL1( )()( , )( ,)( , )( ,)2.i.mTTlX t X tX e t X e tX e t X e tdtTL1cos() cos2TTatatdtT.i.mlL2cos(22 )cos4TTatdtT .i.mlL2sin(2)cos|42TTattT2sin(2)sin( 2)2 cos42.i.mlaTTTTL 2cos2aNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰二二. 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性設(shè) 是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程 或 )(tX),(T), 0 T(即 為常 數(shù), ) )()()(XRtXtXE (

38、1) 如果 則稱(chēng)過(guò)程 )(tX的均值具有各態(tài)遍歷性均值具有各態(tài)遍歷性;( )( )1,PX tE X t( ),E X t22( )E Xt ( )( )X tE X t注：注：即：隨機(jī)過(guò)程 的時(shí)間平均時(shí)間平均)(tX1( )2.i.mTTlX t dtTL 等于空間平均空間平均( )E X t定義定義 均值的各態(tài)歷經(jīng)性均值的各態(tài)歷經(jīng)性 (遍歷性遍歷性) NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰二二. 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性定義定義 相關(guān)函數(shù)的遍歷性相關(guān)函數(shù)的遍歷性 設(shè) 是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程 )(tX ( )()1,XPX t X

39、 tR如果 ，則稱(chēng)過(guò)程 具有自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性.)(tX ( )()( )()XX t X tE X t X tR注：注：即：隨機(jī)過(guò)程 的時(shí)間平均時(shí)間平均 )(tX等于空間平均空間平均()X t1( )()( )()2.i.mTTlX t X tX t X tdtTL ( )()XE X t X tRNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰二二. 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性定義定義 平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性 設(shè) 是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程 )(tX如果均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)遍歷性，則稱(chēng)過(guò)程 具有各態(tài)歷經(jīng)

40、性各態(tài)歷經(jīng)性.)(tX ( )()( )()XX t X tE X t X tR即滿(mǎn)足即滿(mǎn)足：（1）( )( )X tE X t（2）的隨機(jī)過(guò)程，為具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)過(guò)程.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰 三三 各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)( 遍歷過(guò)程遍歷過(guò)程)的例子的例子例 設(shè) , ,其中 是)cos()(tatX),(t)0(,a實(shí)常數(shù), 服從區(qū)間 上的均勻分布,討論 )2 , 0()(tX的各態(tài)遍歷性.解：201( )cos()cos()2E X tE atatxdx 20sin()02atxX t

41、 2212121201,cos()cos()2XRt tE X tX tatxtxdx22122101cos(2 )cos()4attxttdx 2cos( )(2aX t X t 具有遍歷性具有遍歷性NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰例：例：設(shè) 是一個(gè)隨機(jī)變量,且 YYtX,)(0DY證明 是平穩(wěn)過(guò)程;)(tX而 不具有各態(tài)遍歷性.)(tX證： ( )E X tE YC 21212,XRt tE X tX tE Y不具有遍歷性不具有遍歷性是平穩(wěn)過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程2221( )()( )()212.i.m.i.mTTlT

42、TlX t X tX t X tdtTY dtYE YTLL 12.i.m.i.mTTTTX tYdtYCTLLYNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰四四. 平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性定理平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性定理引理引理 設(shè) 是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程,則它的 ),(ttX時(shí)間均值的數(shù)學(xué)期望和方差分別為1( )( )2TXTEX t dtE X tT22011( )(1)( )22TlXXTDX t dtRdTTT證：111( )( )( )222TTTTTTEX t dtEX t dtEX t dtTTT22111( )( )( )222TT

43、TTTTDX t dtDX t dtEX t dtTTT2112221( )( )4TTTTEX t dtX t dtTNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰四四. 平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性定理平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性定理引理引理 設(shè) 是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程,則它的 ),(ttX時(shí)間均值的方差為證：2121221,4TTXTTRt tdt dtT 積分變換 1122212211122124ttTXTttTRdT 2201(1)( )2TXRdTT22011() (1)( )22TlXXTDX t dtRdTTT2211( ) ( ) 22TTT

44、TDX t dtEX t dtTTNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰四四. 平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性定理平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性定理定理定理 (均值各態(tài)遍歷定理均值各態(tài)遍歷定理)平穩(wěn)過(guò)程 ),(ttX的均值具有各態(tài)遍歷性的充要條件是證：要證2201(1)( )02limTXXTRdTT( )( )X tE X t即1( )2.i.mTTTX t dtTL 211( )( )imim22TTTTTTDX t dtEX t dtllTT2201(1)( )02limTXXTRdTTNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章

45、第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰四四. 平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性定理平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性定理定理定理 (相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)定理相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)定理)平穩(wěn)過(guò)程 的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)遍歷性的充要條件是其中：2211101(1) ( )( )02limTXTBRdTT( ),X t tR 111( )BE X t X tX tX t證證：將 看成一個(gè)新的隨機(jī)過(guò)程，利用均值各態(tài)歷經(jīng)定理 X t X t2201(1)( )02limTXXTRdTT X t X t的自相關(guān)函數(shù) 1111( )YRE X t X tX tX tB XE X t X tRNORTH UNIVERSITY OF C

46、HINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰例例 設(shè) ,其中 是實(shí)常數(shù), A,B是獨(dú)立隨機(jī)變量 的均值各態(tài)遍歷性.解解： 2( )0,cosXE X tR( )cos()sin()X tAtBt(0) 0E AE B 2,D AD B討論( )X t2201(1)( )02limTXXTRdTT22220011(1)( )(1)cos22limlimTTXXTTRddTTTT 2202221(1)cos21 cos202limlimTTTdTTTT NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰解： 1

47、( )sin(2)sin(2)2BE X tE ABtAytxfy dxdy 1sin(2)02BAytxdxfy dy 21,sin(2)sin 2()2XBRt tAytxy ty fydx具有遍歷性具有遍歷性例例 設(shè) , 其中 是實(shí)常 數(shù),服從區(qū)間 上的均勻分布,證明 )(tX是平穩(wěn)過(guò)程.( )sin(2)X tABtA(, ) ( )X t的均值各態(tài)遍歷性，B的密度為偶函數(shù),BB，獨(dú)立 2cos22BBXRAfy dyy fy dyR NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰解：具有均值遍歷性具有均值遍歷性例例 設(shè)

48、 , 其中 是實(shí)常 數(shù),服從區(qū)間 上的均勻分布,證明 )(tX是平穩(wěn)過(guò)程.( )sin(2)X tABtA(, ) ( )X t的均值各態(tài)遍歷性，B的密度為偶函數(shù),BB，獨(dú)立11( )( )sin(2)022.i.m.i.mTTTTllX tX t dtABtdtTTLL XX tmtNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程中北大學(xué)隨機(jī)過(guò)程電子課件 張 峰近似計(jì)算 提供依據(jù).X例 設(shè) 是以 為周期的隨機(jī)相位周期 )()(tStXT過(guò)程,即滿(mǎn)足( 是周期函數(shù))S)()(TtSTtX)()(tXtS其中 是在 上服從均勻分布的隨機(jī)變量. ), 0(T試證: (1) 是平穩(wěn)過(guò)程;)()(tStX (2) 是遍歷過(guò)程. )()(tStX五：引入遍歷過(guò)程的目的五：引入遍歷過(guò)程的目的,應(yīng)用意義應(yīng)用意義NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平