大學(xué)物理波動(dòng)課件

1、 1 機(jī)械波的形成及描述機(jī)械波的形成及描述 一機(jī)械波的產(chǎn)生一機(jī)械波的產(chǎn)生 二描述波的物理量二描述波的物理量 2 平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波 一波函數(shù)一波函數(shù) 二波動(dòng)曲線(xiàn)二波動(dòng)曲線(xiàn) 三波動(dòng)方程三波動(dòng)方程作業(yè)：作業(yè)：2.3、 2.6、2.7第二章第二章 波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ) 振動(dòng)在空間的傳播過(guò)程叫做振動(dòng)在空間的傳播過(guò)程叫做波動(dòng)波動(dòng)第二章第二章 波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ) 機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播稱(chēng)為機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播稱(chēng)為機(jī)械波機(jī)械波。如聲波、水波、地震波等如聲波、水波、地震波等變化電場(chǎng)或變化磁場(chǎng)在空間的傳播稱(chēng)為變化電場(chǎng)或變化磁場(chǎng)在空間的傳播稱(chēng)為電磁波。電磁波。如無(wú)線(xiàn)電波、光波等如無(wú)線(xiàn)電波、光波等雖然各類(lèi)波的

2、本質(zhì)不同，各有其特殊的性質(zhì)和規(guī)律，雖然各類(lèi)波的本質(zhì)不同，各有其特殊的性質(zhì)和規(guī)律，共同的特征和規(guī)律：共同的特征和規(guī)律： 都以振動(dòng)作為波源都以振動(dòng)作為波源;都具有一定的傳播速度，都伴隨著能量的傳播；都具有一定的傳播速度，都伴隨著能量的傳播；都能產(chǎn)生反射、折射、干涉或衍射等現(xiàn)象。都能產(chǎn)生反射、折射、干涉或衍射等現(xiàn)象。機(jī)械波機(jī)械波（需要媒質(zhì)作為載體）（需要媒質(zhì)作為載體）電磁波電磁波（無(wú)須媒質(zhì)作為載體）（無(wú)須媒質(zhì)作為載體）（簡(jiǎn)稱(chēng)波簡(jiǎn)稱(chēng)波）一一. . 機(jī)械波的產(chǎn)生機(jī)械波的產(chǎn)生1 機(jī)械波的形成及描述機(jī)械波的形成及描述1. 機(jī)械波產(chǎn)生的條件機(jī)械波產(chǎn)生的條件振源振源作機(jī)械振動(dòng)的物體作機(jī)械振動(dòng)的物體波源波源媒媒質(zhì)

3、質(zhì)傳播機(jī)械振動(dòng)的物體傳播機(jī)械振動(dòng)的物體在物體內(nèi)部傳播的機(jī)械波，是靠物體的彈性形成的，在物體內(nèi)部傳播的機(jī)械波，是靠物體的彈性形成的，因此這樣的媒質(zhì)又稱(chēng)因此這樣的媒質(zhì)又稱(chēng)彈性媒質(zhì)。彈性媒質(zhì)。什么是物質(zhì)的彈性？什么是物質(zhì)的彈性？機(jī)械振動(dòng)是如何靠彈性來(lái)傳播呢？機(jī)械振動(dòng)是如何靠彈性來(lái)傳播呢？物質(zhì)的彈性物質(zhì)的彈性形變形變:物體包括固體、液體和氣體，在受到外力作物體包括固體、液體和氣體，在受到外力作 用時(shí)，形狀或體積都會(huì)發(fā)生或大或小的變化。用時(shí)，形狀或體積都會(huì)發(fā)生或大或小的變化。當(dāng)外力不太大因而引起的形變也不太大時(shí)，當(dāng)外力不太大因而引起的形變也不太大時(shí)，去掉外力，形狀或體積仍能復(fù)原。去掉外力，形狀或體積仍能

4、復(fù)原。這個(gè)外力的限度稱(chēng)作這個(gè)外力的限度稱(chēng)作彈性限度。彈性限度。在彈性限度內(nèi)，外力和形變具有簡(jiǎn)單的關(guān)系，在彈性限度內(nèi)，外力和形變具有簡(jiǎn)單的關(guān)系，由于由于 外力施加的方式不同，形變可以有以下外力施加的方式不同，形變可以有以下幾種基本方式：幾種基本方式： 長(zhǎng)變長(zhǎng)變一段固體棒，當(dāng)在其兩端加以方向相反大小相等的一段固體棒，當(dāng)在其兩端加以方向相反大小相等的外力時(shí)，其長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生改變。外力時(shí)，其長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生改變。以以F 表示力的大小，以表示力的大小，以S 表示棒的橫截面積，表示棒的橫截面積，則叫則叫FS 叫做叫做應(yīng)力應(yīng)力，以，以 l 表示棒的長(zhǎng)度，表示棒的長(zhǎng)度，llFFS實(shí)驗(yàn)表明：實(shí)驗(yàn)表明：在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和

5、應(yīng)變成正比。在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。以以 l 表示在外力表示在外力 F 作用下的長(zhǎng)度變化。作用下的長(zhǎng)度變化。則則 ll 叫相對(duì)長(zhǎng)度變化，又叫叫相對(duì)長(zhǎng)度變化，又叫應(yīng)變應(yīng)變 長(zhǎng)變長(zhǎng)變llYSF llFFS胡克定律胡克定律在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。為關(guān)于長(zhǎng)度的比例系數(shù)，它隨材料不同而不同，為關(guān)于長(zhǎng)度的比例系數(shù)，它隨材料不同而不同，叫叫楊氏模量。楊氏模量。Y 切變切變一塊矩形材料，當(dāng)它的兩個(gè)側(cè)面受到與側(cè)面平行的一塊矩形材料，當(dāng)它的兩個(gè)側(cè)面受到與側(cè)面平行的大小相等方向相反的力作用時(shí)，形狀就要發(fā)生改變，大小相等方向相反的力作用時(shí)，形狀就要發(fā)生改變，如圖，如圖，

6、FFS外力外力F 和施力面積和施力面積 S 之比，為切變的之比，為切變的應(yīng)力應(yīng)力施力面積相互錯(cuò)開(kāi)而引起的材料角度的變化施力面積相互錯(cuò)開(kāi)而引起的材料角度的變化 ，叫切變的叫切變的應(yīng)變。應(yīng)變。FFSDd dD這種形式的形變叫這種形式的形變叫切變切變。 切變切變?cè)趶椥韵薅葍?nèi)，切變的應(yīng)力也和應(yīng)變成正比。在彈性限度內(nèi)，切變的應(yīng)力也和應(yīng)變成正比。FFSFFdDSDdNNSF 稱(chēng)作稱(chēng)作切變彈性模量。由材料的性質(zhì)決定。切變彈性模量。由材料的性質(zhì)決定。N 體變體變一塊物質(zhì)周?chē)艿降膲簭?qiáng)改變時(shí)，一塊物質(zhì)周?chē)艿降膲簭?qiáng)改變時(shí)，其體積也會(huì)發(fā)生改變，如圖，其體積也會(huì)發(fā)生改變，如圖，以以 V 表示原體積，表示原體積，P

7、表示壓強(qiáng)的改變，表示壓強(qiáng)的改變，以以 V V 表示相應(yīng)體積的相對(duì)變化，表示相應(yīng)體積的相對(duì)變化，即即應(yīng)變應(yīng)變，則有，則有VVBP VP叫體變彈性模量它由物質(zhì)的性質(zhì)決定叫體變彈性模量它由物質(zhì)的性質(zhì)決定B“”表示壓強(qiáng)的增大總導(dǎo)致體積的減小表示壓強(qiáng)的增大總導(dǎo)致體積的減小2. 機(jī)械波的傳播機(jī)械波的傳播3. 縱波和橫波縱波和橫波按質(zhì)元振動(dòng)方向與波傳播的方向之間的關(guān)系波劃分為按質(zhì)元振動(dòng)方向與波傳播的方向之間的關(guān)系波劃分為橫波橫波縱波縱波振動(dòng)方向與波傳播方向垂直的波。振動(dòng)方向與波傳播方向垂直的波。振動(dòng)方向與波傳播方向在一條直線(xiàn)上的波。振動(dòng)方向與波傳播方向在一條直線(xiàn)上的波。 如如彈簧中傳播的波以及聲波彈簧中傳播

8、的波以及聲波如如細(xì)繩中傳播的波細(xì)繩中傳播的波對(duì)橫波、縱波來(lái)說(shuō)，對(duì)橫波、縱波來(lái)說(shuō)，質(zhì)元發(fā)生形變情形是什么樣的呢？質(zhì)元發(fā)生形變情形是什么樣的呢？ 僅產(chǎn)生于固體中僅產(chǎn)生于固體中 可產(chǎn)生于固體、流體中可產(chǎn)生于固體、流體中橫波橫波從圖上可以明顯看出在橫波中各質(zhì)元發(fā)生從圖上可以明顯看出在橫波中各質(zhì)元發(fā)生切變切變，外形有波峰波谷之分外形有波峰波谷之分縱波縱波在縱波中，各質(zhì)元發(fā)生在縱波中，各質(zhì)元發(fā)生長(zhǎng)變或體變長(zhǎng)變或體變，因而媒質(zhì)的密度發(fā)生改變，各處疏密不同，因而媒質(zhì)的密度發(fā)生改變，各處疏密不同，所以縱波也叫疏密波。所以縱波也叫疏密波?？v波在氣體、液體、固體媒質(zhì)中都可以傳播縱波在氣體、液體、固體媒質(zhì)中都可以傳播

9、振動(dòng)與波動(dòng)振動(dòng)與波動(dòng)波動(dòng)與振動(dòng)密不可分。任何波都是以振動(dòng)作為波源的。波動(dòng)與振動(dòng)密不可分。任何波都是以振動(dòng)作為波源的。區(qū)別區(qū)別振動(dòng)研究一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)振動(dòng)研究一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)波動(dòng)波動(dòng)研究研究大量有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)大量有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的集體表現(xiàn)振動(dòng)的集體表現(xiàn)聯(lián)系聯(lián)系振動(dòng)是波動(dòng)的根源振動(dòng)是波動(dòng)的根源波動(dòng)是振動(dòng)的傳播波動(dòng)是振動(dòng)的傳播振動(dòng)是波動(dòng)的基礎(chǔ)，同時(shí)，波動(dòng)又發(fā)展了振動(dòng)振動(dòng)是波動(dòng)的基礎(chǔ)，同時(shí)，波動(dòng)又發(fā)展了振動(dòng)把振動(dòng)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)擴(kuò)展、傳播出去，成為集體運(yùn)動(dòng)。把振動(dòng)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)擴(kuò)展、傳播出去，成為集體運(yùn)動(dòng)。4. 波的特征波的特征(1)(1) 媒質(zhì)中各質(zhì)元均在各自的平衡位置附近振動(dòng)，媒質(zhì)中各質(zhì)元均在各自的平衡位置附近振

10、動(dòng)， 質(zhì)元本身并不遷移，質(zhì)元并未質(zhì)元本身并不遷移，質(zhì)元并未“隨波逐流隨波逐流”。 (2)后面質(zhì)點(diǎn)重復(fù)前面質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，有相位落后后面質(zhì)點(diǎn)重復(fù)前面質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，有相位落后。(3) 波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播過(guò)程波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播過(guò)程, ,波形、能量向前傳播波形、能量向前傳播。 (4) (4) 在媒質(zhì)中沿波傳播方向，相隔一定距離在媒質(zhì)中沿波傳播方向，相隔一定距離 存在同相質(zhì)元存在同相質(zhì)元-質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)相同質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)相同5. 波的幾何描述波的幾何描述波的傳播可以用位相的傳播來(lái)說(shuō)明。波的傳播可以用位相的傳播來(lái)說(shuō)明。各質(zhì)元的各質(zhì)元的位相的關(guān)系位相的關(guān)系以及以及波傳播的方向波傳播的方向，常用幾何圖形加以

11、描述。常用幾何圖形加以描述。波線(xiàn)：波線(xiàn)： 用帶箭頭的線(xiàn)表示波傳播的方向。用帶箭頭的線(xiàn)表示波傳播的方向。 波面：波面：媒質(zhì)中振動(dòng)位相相同的質(zhì)元組成的曲面。媒質(zhì)中振動(dòng)位相相同的質(zhì)元組成的曲面。波前：波前：(同位相面同位相面)由于這一波面在波傳播方向的由于這一波面在波傳播方向的最前方，所以又叫做最前方，所以又叫做波前波前或或波陣面波陣面。根據(jù)波前的形狀不同，根據(jù)波前的形狀不同，波可分為波可分為平面波平面波，球面波球面波，柱面波柱面波。球面波球面波平面波平面波波波線(xiàn)線(xiàn) 波面波面二描述波的物理量二描述波的物理量1. 周期周期 T、頻率、頻率 波是機(jī)械振動(dòng)的傳播，波是機(jī)械振動(dòng)的傳播，由于振動(dòng)具有時(shí)間上的周

12、期性，由于振動(dòng)具有時(shí)間上的周期性，所以波也具有時(shí)間上的周期性，所以波也具有時(shí)間上的周期性，媒質(zhì)中質(zhì)元完成一次全振動(dòng)的時(shí)間，媒質(zhì)中質(zhì)元完成一次全振動(dòng)的時(shí)間，也即也即傳過(guò)一個(gè)完整的波經(jīng)歷的時(shí)間傳過(guò)一個(gè)完整的波經(jīng)歷的時(shí)間叫波的叫波的周期周期，周期的倒數(shù)叫周期的倒數(shù)叫頻率頻率。 u在媒質(zhì)中沿波傳播方向，每隔一定距離，在媒質(zhì)中沿波傳播方向，每隔一定距離，媒質(zhì)的質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)在各時(shí)刻都相同媒質(zhì)的質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)在各時(shí)刻都相同 -質(zhì)元的振動(dòng)同相質(zhì)元的振動(dòng)同相表明波具有表明波具有空間上的周期性?？臻g上的周期性。引入引入波長(zhǎng)波長(zhǎng)的概念來(lái)描述波在空間上的周期性。的概念來(lái)描述波在空間上的周期性。2. 波長(zhǎng)波長(zhǎng) 在波的

13、傳播方向上兩個(gè)相鄰的同相在波的傳播方向上兩個(gè)相鄰的同相(相位差為相位差為 ) )質(zhì)元之間的距離叫做質(zhì)元之間的距離叫做波長(zhǎng)波長(zhǎng)。記作。記作 相鄰兩個(gè)波峰或波谷之間的距離等于一個(gè)波長(zhǎng)相鄰兩個(gè)波峰或波谷之間的距離等于一個(gè)波長(zhǎng)2. 波長(zhǎng)波長(zhǎng) 在波的傳播方向上兩個(gè)相鄰的同相質(zhì)在波的傳播方向上兩個(gè)相鄰的同相質(zhì)元之間的距離叫做元之間的距離叫做波長(zhǎng)波長(zhǎng)。記作。記作 縱波的一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)有一個(gè)疏部和一個(gè)密部?？v波的一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)有一個(gè)疏部和一個(gè)密部。相鄰兩個(gè)密部或疏部之間的距離等于一個(gè)波長(zhǎng)相鄰兩個(gè)密部或疏部之間的距離等于一個(gè)波長(zhǎng)橫波中的一峰一谷和縱波的一疏一密構(gòu)成了橫波中的一峰一谷和縱波的一疏一密構(gòu)成了一個(gè)一個(gè)“完整波

14、完整波”包含了全部振動(dòng)狀態(tài)，包含了全部振動(dòng)狀態(tài)，因此因此 一個(gè)波長(zhǎng)就是一個(gè)一個(gè)波長(zhǎng)就是一個(gè)“完整波完整波”的長(zhǎng)度。的長(zhǎng)度。3. 周期周期 T、頻率、頻率 與波長(zhǎng)與波長(zhǎng) 的關(guān)系的關(guān)系在一個(gè)周期內(nèi)，某一確定的振動(dòng)狀態(tài)，在一個(gè)周期內(nèi)，某一確定的振動(dòng)狀態(tài)，所傳播的距離正好是所傳播的距離正好是一個(gè)波長(zhǎng)一個(gè)波長(zhǎng)。u 表示振動(dòng)狀態(tài)表示振動(dòng)狀態(tài)(或振動(dòng)相位或振動(dòng)相位)的傳播速度，的傳播速度，則描述波動(dòng)的三個(gè)特征物理量的之間的關(guān)系則描述波動(dòng)的三個(gè)特征物理量的之間的關(guān)系 TuT T反映波的時(shí)間周期性反映波的時(shí)間周期性 反映波的空間周期性反映波的空間周期性波源定波源定媒質(zhì)定媒質(zhì)定改寫(xiě)改寫(xiě) Tuu 表明：表明：波的頻

15、率等于單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)媒質(zhì)波的頻率等于單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)媒質(zhì) 某一點(diǎn)的某一點(diǎn)的“完整波完整波”的個(gè)數(shù)。的個(gè)數(shù)。u波速與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度是不相同的物理量波速與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度是不相同的物理量在各向同性的均勻媒質(zhì)中，在各向同性的均勻媒質(zhì)中， u = 恒量（不隨時(shí)間變化）恒量（不隨時(shí)間變化）u振動(dòng)速度振動(dòng)速度是是媒質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)在各自平衡位置附近往返媒質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)在各自平衡位置附近往返振動(dòng)的速度，它隨時(shí)間變化。振動(dòng)的速度，它隨時(shí)間變化。3、波速、波速 u 與振動(dòng)速度與振動(dòng)速度的區(qū)別的區(qū)別4. 波速波速 u 波速的大小決定于媒質(zhì)的性質(zhì)，波速的大小決定于媒質(zhì)的性質(zhì)，振動(dòng)狀態(tài)或振動(dòng)位相的傳播速度，也稱(chēng)振動(dòng)狀態(tài)或振動(dòng)位相的

16、傳播速度，也稱(chēng)相速度相速度Y Y 楊氏彈性模量楊氏彈性模量 體密度體密度Yu (2)(2) 固體棒中的縱波固體棒中的縱波(1)(1) 固體中的橫波固體中的橫波Gu G G 切變模量切變模量G G Y Y, , 固體中固體中 橫波橫波 縱波縱波(3)(3) 彈性繩上的橫波彈性繩上的橫波 Tu T T 繩的初始張力繩的初始張力, , 繩的線(xiàn)密度繩的線(xiàn)密度(4)(4) 流體中的聲波流體中的聲波k k體積模量體積模量, , 0 0 無(wú)聲波時(shí)的流體密度無(wú)聲波時(shí)的流體密度g= = CpCp/ /CvCv , , 摩爾質(zhì)量摩爾質(zhì)量gRTu 理想氣體理想氣體: :0ku 2 平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波如果媒質(zhì)中所傳

17、播的是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如果媒質(zhì)中所傳播的是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則媒質(zhì)中各質(zhì)元均作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則媒質(zhì)中各質(zhì)元均作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則相應(yīng)的波稱(chēng)作則相應(yīng)的波稱(chēng)作簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)諧波，又叫，又叫正弦波。正弦波。平面簡(jiǎn)諧波：平面簡(jiǎn)諧波：波面是平面的簡(jiǎn)諧波。波面是平面的簡(jiǎn)諧波。球面簡(jiǎn)諧波：球面簡(jiǎn)諧波：波面是球面的簡(jiǎn)諧波。波面是球面的簡(jiǎn)諧波。任何形式的波都是由簡(jiǎn)諧波（或諧波）組成的任何形式的波都是由簡(jiǎn)諧波（或諧波）組成的最基本、最簡(jiǎn)單、最重要的是平面簡(jiǎn)諧波！最基本、最簡(jiǎn)單、最重要的是平面簡(jiǎn)諧波！一平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)（波的表達(dá)式）一平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)（波的表達(dá)式）波函數(shù)的含義：波函數(shù)的含義：與簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式對(duì)比說(shuō)明與簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式對(duì)比說(shuō)明x

18、 =Acos ( t o )表示時(shí)刻表示時(shí)刻 t 質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移，取決于位相的位移，取決于位相 t o 一平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)（波的表達(dá)式）一平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)（波的表達(dá)式） 波函數(shù)波函數(shù)波的表達(dá)式波的表達(dá)式應(yīng)表示出中所有質(zhì)元在時(shí)刻應(yīng)表示出中所有質(zhì)元在時(shí)刻 t 的位移，的位移，除了取決除了取決 t o 外，外，還應(yīng)與質(zhì)元的位置坐標(biāo)有關(guān)還應(yīng)與質(zhì)元的位置坐標(biāo)有關(guān)平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式假設(shè)一平面簡(jiǎn)諧波在理想的、不吸收振動(dòng)能量的假設(shè)一平面簡(jiǎn)諧波在理想的、不吸收振動(dòng)能量的均勻無(wú)限大媒質(zhì)中傳播。均勻無(wú)限大媒質(zhì)中傳播。u波傳播的速度為波傳播的速度為 ，方向如圖，方向如圖u

19、選擇平行波線(xiàn)方向的直線(xiàn)為選擇平行波線(xiàn)方向的直線(xiàn)為 x 軸。軸。xo研究波動(dòng)抓研究波動(dòng)抓住一條波線(xiàn)住一條波線(xiàn)研究即可研究即可u在垂直在垂直 x 軸的平面上的各質(zhì)元（振動(dòng)狀態(tài)相同），軸的平面上的各質(zhì)元（振動(dòng)狀態(tài)相同），它們?cè)谕粫r(shí)刻對(duì)各自的平衡位置有相同的位移。它們?cè)谕粫r(shí)刻對(duì)各自的平衡位置有相同的位移。因此，對(duì)于平面波來(lái)說(shuō)只需知道因此，對(duì)于平面波來(lái)說(shuō)只需知道 x 軸上各質(zhì)元的軸上各質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)就可以了。振動(dòng)狀態(tài)就可以了。xo換句話(huà)說(shuō)，平面波的波函數(shù)給出的是換句話(huà)說(shuō)，平面波的波函數(shù)給出的是 x 軸上各質(zhì)元軸上各質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式的振動(dòng)表達(dá)式),( xtyyu已知平面簡(jiǎn)諧波沿已知平面簡(jiǎn)諧波沿 x 軸

20、正向傳播，軸正向傳播， x 軸上質(zhì)元離開(kāi)平衡位置的位移用軸上質(zhì)元離開(kāi)平衡位置的位移用 y 表示表示xo)cos(atAy 0y設(shè)設(shè) t 時(shí)刻位于原點(diǎn)時(shí)刻位于原點(diǎn) o 的質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式為：的質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式為：0 xu假設(shè)在振動(dòng)傳播過(guò)程中，媒質(zhì)并不吸收假設(shè)在振動(dòng)傳播過(guò)程中，媒質(zhì)并不吸收振動(dòng)的能量，所以各質(zhì)元的振動(dòng)的振幅相等。振動(dòng)的能量，所以各質(zhì)元的振動(dòng)的振幅相等。當(dāng)當(dāng) o 點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)以波速點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)以波速 u 傳到任一點(diǎn)傳到任一點(diǎn)P 時(shí)時(shí)P)cos(atAy 0 xoy0 xu P 點(diǎn)質(zhì)元重復(fù)點(diǎn)質(zhì)元重復(fù) o點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)，點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)，但但 P 點(diǎn)振動(dòng)的位相要比點(diǎn)振動(dòng)的位相要比 o 點(diǎn)落后。

21、點(diǎn)落后。由于沿波傳播方向每隔一個(gè)波長(zhǎng)由于沿波傳播方向每隔一個(gè)波長(zhǎng) ，位相就要落后位相就要落后 2 ，每隔單位長(zhǎng)度位相落后，每隔單位長(zhǎng)度位相落后 2 設(shè)設(shè) P 點(diǎn)距點(diǎn)距 o 點(diǎn)的距離為點(diǎn)的距離為 x，P 點(diǎn)振動(dòng)的位相要比點(diǎn)振動(dòng)的位相要比 o 點(diǎn)落后點(diǎn)落后 x 2 )cos(atAy 0 xoy0 xPuxP 點(diǎn)振動(dòng)的位相要比點(diǎn)振動(dòng)的位相要比 o 點(diǎn)落后點(diǎn)落后 x2 )cos(atAy 0 xoy0 xPuxat t 時(shí)刻時(shí)刻o 點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)位相：點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)位相：t 時(shí)刻時(shí)刻 P 點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)位相：點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)位相：xta2 )cos(atAy 0 xoy0 xPux結(jié)果：結(jié)果：xta2 t 時(shí)

22、刻時(shí)刻 P點(diǎn)質(zhì)元振動(dòng)的振幅和頻率與點(diǎn)質(zhì)元振動(dòng)的振幅和頻率與o 點(diǎn)相同，點(diǎn)相同， P 點(diǎn)振動(dòng)的位相點(diǎn)振動(dòng)的位相t 時(shí)刻時(shí)刻 P點(diǎn)質(zhì)元振動(dòng)的表達(dá)式：點(diǎn)質(zhì)元振動(dòng)的表達(dá)式：)cos(axtAy 2xoyPux)cos(axtAy 2因?yàn)橐驗(yàn)镻點(diǎn)是任選的，上式就是點(diǎn)是任選的，上式就是 x 軸上任意質(zhì)元軸上任意質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式，即平面簡(jiǎn)諧波的的振動(dòng)表達(dá)式，即平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)波函數(shù)波函數(shù)波函數(shù)還有其它形式還有其它形式y(tǒng)up.xox1、波函數(shù)表達(dá)式的建立波函數(shù)表達(dá)式的建立),( xtyy 波函數(shù)波函數(shù)1 1）建立坐標(biāo)）建立坐標(biāo)2 2）寫(xiě)出參考點(diǎn)在）寫(xiě)出參考點(diǎn)在t t 時(shí)刻的振動(dòng)方程：時(shí)刻的振動(dòng)方程：)cos

23、(0 tAyp求波函數(shù)的步驟及方法求波函數(shù)的步驟及方法3 3）求波動(dòng)方程）求波動(dòng)方程u從時(shí)間落后角度推出從時(shí)間落后角度推出x x處質(zhì)元的振動(dòng)方程處質(zhì)元的振動(dòng)方程波函數(shù)波函數(shù)由波動(dòng)的特點(diǎn)，我們知道任意質(zhì)元由波動(dòng)的特點(diǎn)，我們知道任意質(zhì)元P P重復(fù)重復(fù)O O點(diǎn)的振動(dòng)，點(diǎn)的振動(dòng)，即即P P點(diǎn)比點(diǎn)比O O點(diǎn)晚點(diǎn)晚 t=x/u t=x/u 時(shí)間振動(dòng)，所以時(shí)間振動(dòng)，所以P P點(diǎn)在點(diǎn)在t t時(shí)刻的振動(dòng)時(shí)刻的振動(dòng) = = O O點(diǎn)在（點(diǎn)在（t - x/ut - x/u）的振動(dòng)）的振動(dòng))(cos uxtAyppp點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)方程點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)方程)cos(axtAy 2 TuT，2)(cos(axtAy 2)(co

24、s(axTtAy 2)(cos(auxtAy 令令uk 2波數(shù)波數(shù))cos(akxtAy 是是 、 的函數(shù)的函數(shù)，分三種情況討論分三種情況討論：ytxyt)(cos uxtAyopxxuy1x.1）當(dāng)當(dāng) x 一定時(shí)一定時(shí)（觀察一個(gè)定點(diǎn)觀察一個(gè)定點(diǎn) xx1 ）看到看到（ xx1 ）處的質(zhì)元作簡(jiǎn)諧振動(dòng)處的質(zhì)元作簡(jiǎn)諧振動(dòng)x1 處的質(zhì)元處的質(zhì)元 振動(dòng)曲線(xiàn)振動(dòng)曲線(xiàn) （yt 曲線(xiàn)曲線(xiàn)）)(cos11 uxtAyyxx)(),(1tytxyy xx1 處的處的質(zhì)元作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式質(zhì)元作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義：波函數(shù)的意義波函數(shù)的意義2）當(dāng)當(dāng) t 一定時(shí)，即鎖定某一時(shí)刻一定時(shí)，即鎖

25、定某一時(shí)刻（ t t1），則），則)(cos11 uxtAyytt看到的是鎖定時(shí)刻看到的是鎖定時(shí)刻（ t t1 ）的的“快照快照”波形波形)(cos uxtAyxy)(),(1xyxtyy 波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義：給定時(shí)刻給定時(shí)刻（ t t1）的的波形波形給出了給出了t1 時(shí)刻各個(gè)質(zhì)元振動(dòng)離開(kāi)平衡位置時(shí)刻各個(gè)質(zhì)元振動(dòng)離開(kāi)平衡位置 t 時(shí)刻時(shí)刻的的波形曲線(xiàn)波形曲線(xiàn) （yx 圖線(xiàn)圖線(xiàn)） t u tt行波行波oxyttt xtu )(cos uxtAy)(cos utuxttA 波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播重要結(jié)論重要結(jié)論1繼續(xù)分析繼續(xù)分析表明：表明：（t+ t ）時(shí)刻在時(shí)刻在（x

26、+ x ）處的質(zhì)點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn) 振動(dòng)狀態(tài)振動(dòng)狀態(tài)與與t 時(shí)刻在時(shí)刻在 x 處的質(zhì)點(diǎn)的處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)相同振動(dòng)狀態(tài)相同表明：表明： t 時(shí)刻時(shí)刻 x 處的質(zhì)元處的質(zhì)元振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過(guò)了振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過(guò)了t+ t 時(shí)間后時(shí)間后 傳到了傳到了 x+ x 處了處了xyo t u tt)(cos uxtAy3 3）當(dāng)）當(dāng)x、t 變化時(shí)變化時(shí)，),(txyy 行波行波u不同的時(shí)刻對(duì)應(yīng)不同的波形不同的時(shí)刻對(duì)應(yīng)不同的波形波形的傳播波形的傳播波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義：考察下一時(shí)刻各個(gè)質(zhì)元振動(dòng)情況，考察下一時(shí)刻各個(gè)質(zhì)元振動(dòng)情況， 可得另一時(shí)刻的波形可得另一時(shí)刻的波形波函數(shù)給出了不同時(shí)刻的波形波函數(shù)給出了不同時(shí)刻的波

27、形)cos(axtAy 23. 沿負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式沿負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式xoyuxP)cos(axtAy 2求波動(dòng)表達(dá)式（波函數(shù)求波動(dòng)表達(dá)式（波函數(shù))？)cos( tAyapx解：解：uxxta )(cos uxxtAyaxyuaxoa練習(xí)練習(xí)：已知波沿已知波沿 正向傳播，波速為正向傳播，波速為 ， 處處 振動(dòng)方程為振動(dòng)方程為xuaxx )(cos ttAy由題意可知：由題意可知：求波動(dòng)表達(dá)式（波動(dòng)方程求波動(dòng)表達(dá)式（波動(dòng)方程)為為關(guān)鍵是求關(guān)鍵是求 t二波動(dòng)曲線(xiàn)二波動(dòng)曲線(xiàn))cos(axtAy 2根據(jù)波動(dòng)表達(dá)式根據(jù)波動(dòng)表達(dá)式以以 t 時(shí)刻，質(zhì)元的平衡位置時(shí)刻，質(zhì)元的平衡位置 x

28、 為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，以質(zhì)元離開(kāi)平衡位置的位移以質(zhì)元離開(kāi)平衡位置的位移y 為縱坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，畫(huà)出的曲線(xiàn)，叫畫(huà)出的曲線(xiàn)，叫t 時(shí)刻波形曲線(xiàn)。時(shí)刻波形曲線(xiàn)。xyo u t)cos(axtAy 2xyo t u波長(zhǎng)波長(zhǎng):波形曲線(xiàn)上兩相鄰波峰或波谷之間的距離波形曲線(xiàn)上兩相鄰波峰或波谷之間的距離 表示一個(gè)周期內(nèi)波傳播的距離。表示一個(gè)周期內(nèi)波傳播的距離。波的振幅波的振幅:波形曲線(xiàn)上波峰或波谷的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值波形曲線(xiàn)上波峰或波谷的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值 表示質(zhì)元離開(kāi)平衡位置的最大位移。表示質(zhì)元離開(kāi)平衡位置的最大位移。-AA )cos(axtAy 2xyo t u tto-AA 不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)有不同的波形曲線(xiàn)不同時(shí)刻

29、對(duì)應(yīng)有不同的波形曲線(xiàn) 例例1. o 點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式；點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式； P 點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式；點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式； Q，P 點(diǎn)的位相差點(diǎn)的位相差 波函數(shù)波函數(shù) Q 點(diǎn)振動(dòng)方向點(diǎn)振動(dòng)方向 P 點(diǎn)振動(dòng)方向；點(diǎn)振動(dòng)方向；xyo1080 msu.220.40.QP0 t o 點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式；點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式；解：解：設(shè)設(shè) o 點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式xyo1080 msu.220.40.QP0 t)cos(00 tAymmA402. ，由波形圖由波形圖TuT2 ，u2 140 s. o 點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式；點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式；解：解：xyo1080 msu.220.40.QP0 t)cos(00 tAy1402 radsmA.，000

30、 yt，20 ).cos(.240400 ty00 v20 解：解：xyo1080 msu.220.40.QP0 t 波函數(shù)波函數(shù))cos(02 xtAymmA402. ，140 s.20 ).cos(.254040 xty解：解：xyo1080 msu.220.40.QP0 t).cos(.054040 xty P 點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式；點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式；40. x)224 . 0cos(2 tyP)234 . 0cos(2 tyP解：解：xyo1080 msu.220.40.QP0 t Q，P 點(diǎn)的位相差點(diǎn)的位相差 Q 點(diǎn)振動(dòng)方向點(diǎn)振動(dòng)方向 P 點(diǎn)振動(dòng)方向點(diǎn)振動(dòng)方向向上向上向下向下st1 0 t210

31、.omx/my/例例2. 波的周期、角頻率和波數(shù)波的周期、角頻率和波數(shù) 波函數(shù)波函數(shù)某平面簡(jiǎn)諧波在某平面簡(jiǎn)諧波在 t=0 和和 t=1s 時(shí)的波形如圖時(shí)的波形如圖（ t=1s 時(shí)的波形對(duì)時(shí)的波形對(duì) t=0 的波形圖向右移過(guò)的波形圖向右移過(guò) /4 st1 0 t210.omx/my/解：解：比較兩圖可知在比較兩圖可知在 1s 內(nèi)波沿內(nèi)波沿 x 正方向移動(dòng)正方向移動(dòng) /4 波的周期波的周期 sT4 122 sT12 mkm2 波的周期、角頻率和波數(shù)波的周期、角頻率和波數(shù)波長(zhǎng)波長(zhǎng) st1 0 t210.omx/my/解：解：1210 smA，. 波函數(shù)波函數(shù)設(shè)設(shè) o 點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式)cos

32、(00 tAy00000 vyt，20 )cos(.22100 tyst1 0 t210.omx/my/解：解： 波函數(shù)波函數(shù))cos(.xty 2210)cos(02 xtAymmA402. ，140 s.20 三波動(dòng)方程三波動(dòng)方程)cos(axtAy 2將平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)分別對(duì)將平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)分別對(duì) t 及及 x 求兩次偏導(dǎo)數(shù)求兩次偏導(dǎo)數(shù))cos(axtAty 2222)cos()(axtAxy 22222比較兩式比較兩式22222212tyxy )(1. 波動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)學(xué)推導(dǎo)波動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)學(xué)推導(dǎo)22222212tyxy )(TuT ，2 2 u222221tyuxy 波動(dòng)方程波動(dòng)方

33、程注意：注意：波動(dòng)方程是由平面簡(jiǎn)諧波推導(dǎo)出的，波動(dòng)方程是由平面簡(jiǎn)諧波推導(dǎo)出的，但對(duì)其它平面波仍然成立，但對(duì)其它平面波仍然成立，從數(shù)學(xué)上，平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)從數(shù)學(xué)上，平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)只是上述波動(dòng)方程的一個(gè)特解。只是上述波動(dòng)方程的一個(gè)特解。222221tyuxy 波動(dòng)方程波動(dòng)方程2. 波動(dòng)方程的動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)波動(dòng)方程的動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)以平面波在固體細(xì)長(zhǎng)棒中的傳播為例以平面波在固體細(xì)長(zhǎng)棒中的傳播為例以上是按運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)討論波動(dòng)過(guò)程的傳播規(guī)律，以上是按運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)討論波動(dòng)過(guò)程的傳播規(guī)律，還可以進(jìn)一步從動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)，更本質(zhì)地分析還可以進(jìn)一步從動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)，更本質(zhì)地分析波動(dòng)方程的意義波動(dòng)方程的意義設(shè)有一截面積為設(shè)有一截面積為S ，密度為，密度為 的固體細(xì)棒，的固體細(xì)棒