復(fù)變函數(shù)積分

1、第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分-2-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)1 復(fù)變函數(shù)積分的概念復(fù)變函數(shù)積分的概念1. 積分的定義積分的定義定義定義和在局部弧段上任意取點(diǎn)和在局部弧段上任意取點(diǎn), 極限極限為為A終點(diǎn)為終點(diǎn)為B的一條的一條光滑的有向曲線光滑的有向曲線.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w =f (z)定義在區(qū)域定義在區(qū)域D內(nèi)內(nèi), ()kkfznk 10lim都都存在存在且且唯一唯一，則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)Cf zz( )d記作記作沿沿曲線弧曲線弧C的積分的積分.( )f zABCkkz1kzkz若對(duì)若對(duì)C 的任意分割的任意分割C為在區(qū)域?yàn)樵趨^(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)內(nèi)起點(diǎn)xyo-3-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)關(guān)于定義的說(shuō)

2、明關(guān)于定義的說(shuō)明:( )dCf zz( )dbaf zz(4) 一般不能把一般不能把寫成寫成的形式的形式.( )f z( )dCf zz(1) 用用表示表示沿著曲線沿著曲線C的負(fù)向的積分的負(fù)向的積分.( )d . Cf zz( )f z(2) 沿著閉曲線沿著閉曲線C的積分記作的積分記作( )( ),f zu x(3) 如果如果C是是 x 軸上的區(qū)間軸上的區(qū)間, axb而而則則( )d( )d .bCaf zzu xx-4-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2.積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)CCzzfzzfd)(d)() iMzfCzfLC | )(|)(,)iv上滿足在長(zhǎng)度為設(shè)曲線CCCzzgzzfzzgzfd)(d)

3、(d)()()iii)( ;d)(d)()ii為常數(shù)kzzfkzzfkCCLMszfzzfCCd| )(|d)(則-5-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例1. 1d8 ,1Czzz證證證明證明其中其中 C 為正向圓周：為正向圓周：12z 利用積分估值性質(zhì)，有利用積分估值性質(zhì)，有1d1Czzz1d1Czsz1 2d2Czs 12d2Czs 2dCs8-6-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)3.積分存在的條件及計(jì)算法積分存在的條件及計(jì)算法定理定理:C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為zz tx ty t( )( )i ( ),:t則曲線積分則曲線積分存在存在, 且有且有連續(xù)連續(xù),( )wf z在有向光滑弧在有向光滑弧 C 上有定義且

4、上有定義且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Cf zz( )dddddCCu xv yv xu yif z t z tt ( ) ( )du x ty tv x ty t ( ), ( )i ( ), ( )dx ty tt ( )i( )ddCuvxy(i )(i)-7-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例2. n 1C0dz(zz )解解計(jì)算計(jì)算oyxi0:02C zzre的正向圓周，的正向圓周， 為整數(shù)為整數(shù).n0zr10d()nCzzzi21 i(1)0idnnrere2i0idnner其中其中 C 為以為以 中心，為半徑中心，為半徑0zr0,n 2 i,0,0.n i0zzrez-8-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例3. 解解

5、Re d , Cz z(1) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為( )i(01),z tttt Re, d(1 i)d ,ztzt于是Re dCz z1(1 i);2計(jì)算計(jì)算其中其中C為為:(1) 從原點(diǎn)到點(diǎn)從原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的直線段的直線段;(2) 從原點(diǎn)沿從原點(diǎn)沿 x 軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)1,再到點(diǎn)再到點(diǎn)1+i的折線段的折線段;i1y=xoyx110(1 i)dtt-9-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)1 iy=x(2) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x 軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為( )(01),z ttt 1 1到到1+1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方程為( )1

6、 i(01),z ttt Re, dd ,ztzt于是 Re1, did ,zzt于是Re dCz z10d t t101 idt1i.2oyx1-10-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例4. . 解解: d , Cz z(1) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為( )i(01),z tttt d(1)d ,zit于是dCz z10(i )(1 i)dttti計(jì)算計(jì)算其中其中C為為:(1) 從原點(diǎn)到點(diǎn)從原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的直線段的直線段;(2) 從原點(diǎn)沿從原點(diǎn)沿 x 軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)1,再到點(diǎn)再到點(diǎn)1+i的折線段的折線段;1 iy=xoyx1-11-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)i1y=x(2) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)

7、成積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x 軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為( )(01),z ttt 1 1到到1+1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方程為( )1 i(01),z ttt dd ,zt于是 did ,zt于是dCz z10d t t10(1 i ) idtt12oyx11i2 i-12-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2 柯西定理柯西定理. 0d)(CzzfB 內(nèi)內(nèi)處處解析處處解析, 定理定理1任何一條封閉曲線任何一條封閉曲線 C 的積分的積分則則 f (z) 在在B內(nèi)內(nèi)(黎曼證明，把條件加強(qiáng)：假設(shè)黎曼證明，把條件加強(qiáng)：假設(shè) 連續(xù)連續(xù) .)( )fz 證證假設(shè)在單連通域假設(shè)在單連通域 B

8、 內(nèi)內(nèi), ( )if zuv解析解析,( )fz連續(xù)連續(xù).BC1. 柯西定理柯西定理如果函數(shù)如果函數(shù) f (z) 在在單連通域單連通域?yàn)榱銥榱?-13-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)? )ii,xxyyfzuvvu所以所以,xyxyuuvv,在在B 內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)， 且滿足且滿足C-R條件條件.任取任取B內(nèi)閉曲線內(nèi)閉曲線C, 則則( )dCf zz ddiddCCuxvyvxuy由由格林公式格林公式得得dd()d0 xyCDuxvyvudd()d0 xyCDvxuyuv所以所以. 0d)(Czzf-14-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)解解11d .23z zz123 z 由柯西定理由柯西定理, 有有11d0.

9、23zzz1 z 計(jì)算積分計(jì)算積分例例1.因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)在在內(nèi)解析，內(nèi)解析，-15-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)21i21d .(1)zzz z 211111,(1)2iiz zzzz1 z21i21d(1)zzz z 1i211111d2i2izzzzz 1i2z 解解由柯西定理由柯西定理, 有有計(jì)算積分計(jì)算積分因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)都在都在上解析，上解析，例例2.和和1i z -16-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)111iii22211111ddd2i2izzzzzzzzz 01i211d2izzz 12 i2 i. -17-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù). 0d)(Czzf函數(shù)函數(shù) f (z)處處解析處處解析定理定理2在在單

10、連通域單連通域 B 內(nèi)，內(nèi)，( )dABf zz與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān).BC函數(shù)函數(shù) f (z)在在B內(nèi)內(nèi)解析解析，定理定理3的內(nèi)部，的內(nèi)部，C 為一條封閉曲線為一條封閉曲線, 在在 上連續(xù)上連續(xù)BBC則則. 0d)(Czzf B為為C-18-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)Bxyo2. 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分如果函數(shù)如果函數(shù) f (z)在單連通域在單連通域定理定理4與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān).B 內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, Czzfd)(則積分則積分定理定理5處處解析處處解析,如果如果 f (z)在單連通域在單連通域B內(nèi)內(nèi)則函數(shù)則函數(shù)F (z) = f (z)必為必為B內(nèi)的一個(gè)內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)解析函數(shù), 并

11、且并且0z( )zF zf zz( )d0zz-19-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證.B zK證證為中心以z.KB內(nèi)的小圓作一含于充分取 z)()(zFzzFzzzzzff00d)(d)( , )( 的定義由zF , 內(nèi)在小使Kzz由于由于積分與路線無(wú)關(guān)積分與路線無(wú)關(guān), ,0( )d zzzf0 zz先先取取到到 ，的積分路線可, zzz沿直線到然后從于是zz 0z, 內(nèi)任一點(diǎn)為設(shè)Bz-20-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)0( )dd(zzzzzff()( )F zzF z0( )dzzf,d)(zzzf zzzzfd)( 因?yàn)?zzzzfd)(,)(zzf)()()( zfzzFzzF所以)(d)

12、(1zffzzzzd)()(1zffzzzz-21-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù) ( ) , f zD因?yàn)樵趦?nèi)解析 ( ) , f zD所所以以在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), 0, 0 故 的一切使得滿足 z , 時(shí)即z,)()( zff總有由積分的估值性質(zhì), , 內(nèi)都在 K)()()( zfzzFzzFd)()(1zffzzzz-22-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù))()()( zfzzFzzFd)()(1zffzzzzszffzzzzd| )()(|1.1zz, 0)()()(lim 0zfzzFzzFz于是).()( zfzF即 證畢證畢 -23-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)定義定義1 如果在區(qū)域如果在區(qū)域 B 內(nèi)內(nèi)在區(qū)域在區(qū)域

13、B 內(nèi)的內(nèi)的原函數(shù)原函數(shù).F (z) = f (z) ,則稱則稱 F(z) 為為 f (z)f z( )在區(qū)域在區(qū)域 B上的原函數(shù)全體上的原函數(shù)全體不定積分不定積分, 記作記作定義定義2F zC( )f zz( )df z( )在在 B上的上的稱為稱為定理定理610zzf zz( )d如果如果 f (z) 在單連通域在單連通域 B 內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), 則則這里這里z0, z1為域?yàn)橛?B 內(nèi)的兩點(diǎn)內(nèi)的兩點(diǎn).G(z)為為 f (z)10G zG z()(),-24-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例3. 解解計(jì)算積分i20(1)cosdzzz1 i1(2)dzzezi20(1

14、)cosdzzzi2201cosd()2zz2i2011sinsin22z 1 i1(2)dzzez1 i1 i11dzzzeez1 i1 i1(1 i)zeee1 iie-25-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)3.復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理定理定理71( )d( )d ,;knkkCCf zzf zzCCi)與均取正方向是在是在 C 內(nèi)部的內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線, 且且 設(shè)設(shè)C為為多連通域多連通域 D 內(nèi)的內(nèi)的互不包含互不包含也也互不相交互不相交, 另外以另外以C, C1, C2, . , Cn 為邊界的區(qū)域?yàn)檫吔绲膮^(qū)域iid0f zz)( ),如果如果 f (z) 在在D內(nèi)內(nèi)解析解析, 則則一條一條簡(jiǎn)

15、單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線, C1, C2, . , CnD1CC2C1nCCC .全含于全含于D.-26-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)證證這樣區(qū)域這樣區(qū)域D就被分為就被分為D1和和D2兩兩考慮只有兩條圍線考慮只有兩條圍線C0, C1 的情況的情況.區(qū)域，區(qū)域，作輔助線段作輔助線段L1和和L2連接連接 C0,和和C1，D0C1C域域, 而且而且 f (z) 在在 內(nèi)內(nèi)解析解析, 12DD和由柯西積分定理，有由柯西積分定理，有,1( )d0,Df zz2( )d0,Df zz所以所以12( )d0,DDf zz1L2L2D1D顯然顯然D1和和D2都是單連通都是單連通-27-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)12011212DDC

16、CLLLL而+，所以所以12( )dDDf zz01( )d( )dCCf zzf zz11( )d( )dLLf zzf zz即即01( )d( )d0,CCf zzf zz或或01( )d( )d .CCf zzf zz22( )d( )d0LLf zzf zzD0C1C1L2L2D1D-28-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)xyo121C2C解解 , 21圍成一個(gè)圓環(huán)域和CC, 處處解析在此圓環(huán)域和其邊界上函數(shù)zez圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,dzzez例例4.計(jì)算積分計(jì)算積分其中其中 為正向圓周為正向圓周2z和負(fù)向圓周和負(fù)向圓周 組成組成.1z. 0d zzez得得-29-工程數(shù)

17、學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例5. 10d()nCzzz解解計(jì)算計(jì)算oyx簡(jiǎn)單閉曲線，簡(jiǎn)單閉曲線， n 為整數(shù)為整數(shù).0z110d()nCzzz其中其中 C 為包圍為包圍 z0 的任意正向的任意正向0,n 2 i,0,0.n 在在C內(nèi)部作以內(nèi)部作以z0為圓心的圓周為圓心的圓周C1，取正向取正向. 由復(fù)合閉路定理，得由復(fù)合閉路定理，得10d()nCzzz-30-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)C例例6. 221d ,Czzzz解解:計(jì)算計(jì)算oyx0,1zz的正向簡(jiǎn)單閉曲線的正向簡(jiǎn)單閉曲線.包含圓周包含圓周1z 11C2C為奇點(diǎn)為奇點(diǎn).在在C內(nèi)作互不相交，互不包含的內(nèi)作互不相交，互不包含的12,C C1C只包含只包含0,z

18、1,z 2C只包含只包含其中其中 C 為為圓周圓周由復(fù)合閉路定理，得由復(fù)合閉路定理，得221dCzzzz12222121ddCCzzzzzzzz-31-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)C11C2Coyx221dCzzzz12222121ddCCzzzzzzzz11221111dddd11CCCCzzzzzzzz4 i2 i02 i0121111dd11CCzzzzzz-32-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例7. 2d,(1)Czz z 解解:計(jì)算計(jì)算其中其中 C 為為正向圓周：正向圓周：3i2z iCi1C2C0,i,zz 在在C內(nèi)作互不相交，互不包含的內(nèi)作互不相交，互不包含的12,;C C1C只包含只包含0,z i

19、.z 2C只包含只包含圓周圓周得得21d(1)Czz z 122211dd(1)(1)CCzzz zz zC內(nèi)包含奇點(diǎn)內(nèi)包含奇點(diǎn)由復(fù)合閉路定理，由復(fù)合閉路定理，oyx-33-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)21d(1)Czz z 122211dd(1)(1)CCzzz zz z111111d2i2iCzzzz211111d2i2iCzzzz2 i12 i2iiCi1C2Coyx-34-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)3 柯西公式柯西公式定理定理1 如果如果 f (z) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, C 為為 D 內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線閉曲線,它的內(nèi)部完全含于它的內(nèi)部完全含于 D, z0

20、為為 C 內(nèi)的任一點(diǎn)內(nèi)的任一點(diǎn), 則則0012Cf zf zzzz( )()diDC0z1.柯西公式柯西公式-35-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)證：證：0( )().f zf z0,0, 當(dāng)當(dāng)00zz時(shí)，時(shí)，由于由于f (z) 在在 連續(xù)，連續(xù)，0z所以所以 在在C內(nèi)部作圓周內(nèi)部作圓周0:,KzzR 那么那么00( )( )ddCKf zf zzzzzzz0000()( )()ddKKf zf zf zzzzzzz000( )()2 i()dKf zf zf zzzzDC0zR-36-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)0000( )()( )()ddKKf zf zf zf zzszzzz而而d2KsR即即00( )(

21、)d0Kf zf zzzz001( )()d2 iCf zf zzzz所以所以-37-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)注：注：1）柯西公式常寫作）柯西公式常寫作00( )d2 i()Cf zzf zzz2）i0:,C zzRe若若則則2i0001()()d2f zf zRe平均值公式平均值公式-38-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例1.(2 例例6. )221d ,Czzzz的正向簡(jiǎn)單閉曲線.包含圓周1z 其中 C 為221dCzzzz12222121ddCCzzzzzzzz解解:121111dd11CCzzzzzz1221 1211dd11CCzzzzzzzz2 i212 i1zzz212 i01zzz2 i4 i

22、C11C2Coyx-39-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2d,(1)Czz z 解解:其中其中 C 為為正向圓周：正向圓周：3i2z Coyxii1C2C21d(1)Czz z 122211dd(1)(1)CCzzz zz z1221111dd1(i)iCCzzzzz zz212 i01 zz12 ii(i) zz z 2 iii例例2. (2 例例7.)-40-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例3. 42sind ,1CzIzz解解:計(jì)算計(jì)算其中其中 C 為為(1) 正向圓周：正向圓周：11 2z (3) 正向圓周：正向圓周：2z (2) 正向圓周：正向圓周：11 2z 44sinsin11dd2121CCzzIz

23、zzz(1)1122 i (sin)i242zIz -41-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)解解:44sinsin11dd2121CCzzIzzzz(2)1122 i ( sin)i242zIz(3)11112 i ( sinsin2 i2424zzIzz例例3. 42sind ,1CzIzz計(jì)算計(jì)算其中其中 C 為為(3)正向圓周：正向圓周：2z (2)正向圓周：正向圓周：11 2z -42-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)i(1)d , :i1;izCezCzz2| | 2(2)d(5)(i)zzzzz求下列積分的值求下列積分的值. .ii 1(1)dizzezz 解：解：ii2 i2izzee例例4.-43-工程數(shù)

24、學(xué)-復(fù)變函數(shù)2( )5zf zz22d(5)(i)zzzzz(2) 注意到函數(shù)注意到函數(shù)2z 在在內(nèi)解析，而內(nèi)解析，而i2z 在在內(nèi)，由柯西積分公式得內(nèi)，由柯西積分公式得i22i5zzz2| 25dizzzzz13 2| | 2(2)d(5)(i)zzzzz-44-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2| 5371( )dzf zz 故得到故得到 ( )2i(67)fzz1 i( )|( 1 i)zfzf 2| 5371( )dzf zz 1 i( )|zfz 設(shè)設(shè) 例例5.根據(jù)柯西積分公式，得到根據(jù)柯西積分公式，得到22 i(371)|z22i(371)zz解：解：求求2i6( 1 i)7=122 i -45

25、-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2. 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)0101 22nnCnf zfzznzz( )!( )()d(, ,)i()解析函數(shù)解析函數(shù) f (z)的導(dǎo)數(shù)為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為解析函數(shù), 其中其中 C 為在為在 f (z) 的解析區(qū)域的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞 z0 的任何一條正向的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線, 而且它的內(nèi)部全含于而且它的內(nèi)部全含于D.定理定理2它的它的n階導(dǎo)數(shù)為階導(dǎo)數(shù)為:注注：高階導(dǎo)數(shù)公式常寫成如下形式高階導(dǎo)數(shù)公式常寫成如下形式01021 2nnCf zzfznzzn( )( )id()(, ,)()!-46-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例6. 3cosd ,(i)Cz

26、zz 解解:計(jì)算計(jì)算的正向閉曲線的正向閉曲線.iz 其中其中 C 為繞為繞3cosd(i)Czzz 22zziicos!zzii( cos )12eei() -47-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例7. 324cosd .(1)zzIzzz解解:計(jì)算計(jì)算在在 內(nèi)有奇點(diǎn)：內(nèi)有奇點(diǎn)：4z 0,1zz作圓周作圓周1211:,:1,23CzCz于是于是123232coscosdd(1)(1)CCzzIzzzzzz12II-48-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)20221zzzicos!()6i()1123cos1d(1)CzIzzz6 i2232cos1d(1)CzIzzz312zzzcosi所以所以12(12) iIII

27、1211:,:1,23CzCz-49-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系22220 xy定義定義1在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)偏內(nèi)具有二階連續(xù)偏若二元函數(shù)若二元函數(shù)x y( , )導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯（導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯（Laplace）方程）方程則稱則稱為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 D內(nèi)的內(nèi)的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù).x y( , )若若 為解析函數(shù)，為解析函數(shù)，f zu x yv x y( )( , )i ( , )定理定理1則其實(shí)部則其實(shí)部 u和虛部和虛部 v 都是都是調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù).設(shè)設(shè) f (z)=u+iv 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, 則由則由C.-R.條件條件證：

28、證：-50-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),xvyuyvxu 得得222222,uvuvxx yyy x 22220uuxy同理同理,22220vvxy即即u及及v都是都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù).2vx y 2uy x 因因 與與 D內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，它們它們 必定相等，必定相等， 故在故在D內(nèi)有內(nèi)有-51-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)定義定義2定理定理2設(shè)設(shè)f zu x yv x y( )( , )i ( , )則則 v(x,y)必為必為 u(x,y)的的共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù).u(x,y),v(x,y)是是D內(nèi)的內(nèi)的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)，且滿足，且滿足C.-R.條件：條件：,xvyuyvxu 則稱則稱 v(x,

29、y) 為為 u(x,y)的的共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù).是區(qū)域是區(qū)域 D 的解析函數(shù)，的解析函數(shù)，-52-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例1. 解解:已知已知arctan(0)yvxx是右半復(fù)平面的調(diào)和函數(shù)，是右半復(fù)平面的調(diào)和函數(shù)，求調(diào)和函數(shù)求調(diào)和函數(shù) u，使使 u 的共軛調(diào)和函數(shù)是的共軛調(diào)和函數(shù)是 v.22,yxyuvxy 由由C.-R.條件，得條件，得22,xyxuvxy( , )(1,0)ddx yxyuuxuy22101ddxyyxyxxy221ln()2xyddd ,xyuuxuy-53-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例2. 解解:已知已知323,uxxy驗(yàn)證驗(yàn)證 u 是調(diào)和函數(shù)，是調(diào)和函數(shù)， 并求以并求

30、以 u為為實(shí)部實(shí)部的解析函數(shù)的解析函數(shù) f (z), 使使 f (0) = i .2233,xuxy因?yàn)橐驗(yàn)?,yuxy 6( 6 )0,xxyyuuxx 所以所以 u 是調(diào)和函數(shù)是調(diào)和函數(shù).( )iuufzxy22(33)i6xyxy23z33( )( )d3df zfzzzzzC又又 f (0) = i ，所以所以3i,( )iCf zz-54-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)作業(yè)作業(yè)P31 1. (1)(3); 2. ;4.(1)(3)(4)(5)(6)(8)(9)(12);5. 6. 9. 10.-55-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù) ch3 復(fù)變函數(shù)積分復(fù)變函數(shù)積分一、知識(shí)要點(diǎn)一、知識(shí)要點(diǎn)Cf zz( )dC

31、Cuxvyivxuyddddf z t z tt ( ) ( )dCuivxiy()(dd )1. 復(fù)積分基本計(jì)算法復(fù)積分基本計(jì)算法曲線曲線C:( )( )( )zz tx tiy t,:t-56-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2. 柯西柯西-古薩基本定理古薩基本定理, 0d)(Czzf函數(shù)函數(shù) f (z)在在單連通域單連通域 B 內(nèi)，內(nèi)，( )ABf z dz與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān).1) 其中其中C是是 B 任意一條簡(jiǎn)單封閉曲線任意一條簡(jiǎn)單封閉曲線.2)解析解析, 并且并且0z( )zF zf z dz( )3)F zf z( )( ).1100z10( )zzzf z dzG zG zG z( )()(

32、)4)-57-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)3.復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理1ii)( )d( )d ,;knkkCCf zzf zzCC與均取正方向iii0f z dz)( ),1nCCC i)( )d( )dCCf zzf zz-58-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)4. 柯西積分公式柯西積分公式00112Cf zf zzizz( )()d01021 22nnCnf zfzdznizz( )!( )()(, ,)()-59-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)5. 調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)22220 xy1) 調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)2) 共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)xvyuyvxu,若若 為解析函數(shù)，為解析函數(shù)，f zu x yiv x y( )( ,

33、)( , )3)則其虛部則其虛部 v是實(shí)部是實(shí)部 u 的的共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù).-60-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù) 二、典型例題二、典型例題.10,d)1 (3的光滑閉曲線與是不經(jīng)過(guò)其中計(jì)算CzzzeCz解解: 分以下四種情況討論：分以下四種情況討論：則也不包含既不包含若封閉曲線, 10) 1C,)1 ()(3內(nèi)解析在Czzezfz. 0d)1 (3Czzzze由柯西定理得例例1.-61-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)則而不包含包含若封閉曲線, 10)2C由柯西積分公式得內(nèi)解析在,)1 ()(3CzezfzxyOC 1zzzezzzeCCzzd)1 (d)1 (3303)1 (2zzzei.2 i-62-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)則而不包含包含若封閉曲線, 01)3C,)(內(nèi)解析在Czezfz由高階導(dǎo)數(shù)公式得zzzezzzeCCzzd)1 (d)1 (33zzzeCzd) 1(3) 1 (! 22fi 132)22(zzzezzi. ie-63-工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù), 01)4又包含既包含若封閉曲線C,0,1 , 021CC為半徑作圓以為圓心則分別以據(jù)復(fù)合閉路定理有Czzzzed)1 (321d)1 (d)1 (33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C,2121互不