復(fù)變函數(shù)與積分變換第2章

1、第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)一一. .復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)復(fù)變函數(shù)可導(dǎo), ,解析的定義解析的定義二二. .復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)，解析的判定復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)，解析的判定三三. .常見(jiàn)復(fù)變函數(shù)及相關(guān)性質(zhì)常見(jiàn)復(fù)變函數(shù)及相關(guān)性質(zhì)第一節(jié)第一節(jié) 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念定義復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)，進(jìn)而給出解析函數(shù)的定義，定義復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)，進(jìn)而給出解析函數(shù)的定義，并分析二者的聯(lián)系。并分析二者的聯(lián)系。1.1 1.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)zzfzzfz)()(lim000定義定義1.11.1內(nèi)內(nèi)有有定定義義，如如果果的的某某區(qū)區(qū)域域在在包包含含設(shè)設(shè)Dzzfw0)( zwz0lim存在存在, ,可可導(dǎo)導(dǎo)；在在則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)

2、0)(zzf000zzdzdwzfzzfw)( )(處的導(dǎo)數(shù)，記作處的導(dǎo)數(shù)，記作在在極限值稱(chēng)為極限值稱(chēng)為 第三章，我們將看到，若第三章，我們將看到，若復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域內(nèi)在一點(diǎn)的鄰域內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)具有一階導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)就有，則在該點(diǎn)就有任意階的導(dǎo)數(shù)任意階的導(dǎo)數(shù)。 從實(shí)質(zhì)上講，復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，要比實(shí)變函數(shù)從實(shí)質(zhì)上講，復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，要比實(shí)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)要求要高的多，復(fù)雜的多。在一點(diǎn)可導(dǎo)要求要高的多，復(fù)雜的多。對(duì)于實(shí)變函數(shù)不具有這樣的性質(zhì)。對(duì)于實(shí)變函數(shù)不具有這樣的性質(zhì)。:)()(的的可可導(dǎo)導(dǎo)的的可可導(dǎo)導(dǎo)與與實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)xfyzfw注注: :(1)(1)不不一

3、一定定可可導(dǎo)導(dǎo)。則則它它在在連連續(xù)續(xù)在在一一點(diǎn)點(diǎn)若若00,)(zzzfw 一一定定連連續(xù)續(xù)。則則它它在在可可導(dǎo)導(dǎo)在在一一點(diǎn)點(diǎn)若若00,)(zzzfw (2) 連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系 例12( ).f zz求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：22000()( )()limlimlim(2)2zzzf zzf zzzzzzzzz ( )2 .fzz所以(3) (3) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則(1) ( )0,CC （其中 為常數(shù)）1(2) (),nnznzn （其中 為正整數(shù)）(3) ( )( )( )( )f zg zfzg z(4) ( )( )( )( )( )( )f zg zfzg zf zg

4、 z2( )1(5)( )( )( )( ), ( )0( ) ( )f zfzg zf zg zg zg zg z(6) ( )( )( ),( )f g zfw g z wg z1(7)( ),( )( )( )0.( )fzwf zzwww與是互為反函數(shù)且單值函數(shù)，與實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算規(guī)則相同與實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算規(guī)則相同.),(),()(yxvyxuzfw二二元元實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)?復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)的可導(dǎo)的可導(dǎo)),(),(yxvyxu問(wèn)題：?jiǎn)栴}：例例1.2 1.2 討論討論yixzfw2)( 是否可導(dǎo)是否可導(dǎo)? ?解解: :zzfzzfz)()(lim0 根

5、據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義yixyixiyyxxz 2)(2)(lim0)(yixz 設(shè)設(shè)yixyixz 2lim0，則則軸軸的的方方向向趨趨向向于于沿沿若若0 xz 00yxyixyixz 2lim0 xxx0lim =1=1，則則軸軸的的方方向向趨趨向向于于沿沿若若0yz yixyixz 2lim0yiyiy2lim0 =2=2所以，所以，zzfzzfz)()(lim0 不存在不存在yixzfw2)(函函數(shù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)。復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)。00yxyixzfw2)(函函數(shù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)。復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)。對(duì)對(duì)所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的二二元元實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)yixzf2)( yyxv

6、xyxu2),(),(“處處可導(dǎo)處處可導(dǎo)”(平面內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在平面內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在).),(),()(yxivyxuzfw對(duì)對(duì)于于函函數(shù)數(shù)可導(dǎo)（具有偏導(dǎo)數(shù)），可導(dǎo)（具有偏導(dǎo)數(shù)），若若),(),(yxvyxu(4)(4).),(),()(不不一一定定可可導(dǎo)導(dǎo)則則函函數(shù)數(shù)yxivyxuzfw1.2 1.2 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念定義定義1.2:1.2:)(zf若若函函數(shù)數(shù))(zf則則稱(chēng)稱(chēng)內(nèi)內(nèi)每每一一點(diǎn)點(diǎn)解解析析，在在區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù)Dzf)(0z 0zz不不解解析析，在在如如果果0)(zzf內(nèi)內(nèi)的的解解析析函函數(shù)數(shù)。是是或或內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域則則稱(chēng)稱(chēng)DzfDzf)(,)(不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在

7、（即即0)(zzf是是處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)）的的任任何何一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)均均不不可可導(dǎo)導(dǎo)，但但在在在在或或00zzzf)(可可導(dǎo)導(dǎo)，在在0z，的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)且且在在0z解解析析。在在0z的的為為則則稱(chēng)稱(chēng))(0zfz奇點(diǎn)。奇點(diǎn)。D注注: :(1)(1)函數(shù)解析與可導(dǎo)之間的關(guān)系函數(shù)解析與可導(dǎo)之間的關(guān)系: :針對(duì)一個(gè)點(diǎn)針對(duì)一個(gè)點(diǎn): :處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在0)(zzf處解析處解析在在0)(zzf處解析處解析在在0)(zzf處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在0)(zzf針對(duì)一個(gè)區(qū)域針對(duì)一個(gè)區(qū)域: :內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在區(qū)域在區(qū)域Dzf)(內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域Dzf)(0znnzazazaazP2210

8、)(例例：多多項(xiàng)項(xiàng)式式函函數(shù)數(shù)在在復(fù)平面復(fù)平面內(nèi)處處解析。內(nèi)處處解析。在在復(fù)平面復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)內(nèi)處處可導(dǎo) 例22( )( )2( ) |.f zzg zxyih zz研究函數(shù)，的解析性解：2( )f zz(1)前面章節(jié)中已經(jīng)討論過(guò)函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上處處可導(dǎo)，所以在整個(gè)復(fù)平面處處解析( )2g zxyi(2)已經(jīng)討論過(guò)函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上處處不可導(dǎo)，所以在整個(gè)復(fù)平面處處不解析2(3)( ) |.h zz討論函數(shù)的解析性22000000()()limlimzzzzzh zzh zzz 00000000()()limlimzzzz zzz zzzzzz zzz 000000lim()lim,zzzz

9、zzzzzzz 0z任取 ，由于00(0)0zf當(dāng)時(shí)，；000000()zzzyyk xxz當(dāng)時(shí)，讓沿直線趨向于 ，1111yizxi ykixyzxi ykiix k隨著 的變化而變化，20( ) |0h zzz故在可導(dǎo)，而其它點(diǎn)卻不可導(dǎo)，函數(shù)在復(fù)平面上處處不解析 例1.wz研究函數(shù)的解析性解：2110dwwzzdzz 復(fù)平面內(nèi)除點(diǎn)外處處可導(dǎo)，且，0z 所以在除外的復(fù)平面內(nèi)，函數(shù)處處解析，(2) (2) 與解析相關(guān)的結(jié)論與解析相關(guān)的結(jié)論: :（P16 P16 定理定理1.11.1，1.21.2）定理1：在區(qū)域D內(nèi)解析函數(shù)的和、差、積、商（除去分母為0的點(diǎn)）在D內(nèi)解析定理2：設(shè)函數(shù)( )hg

10、zzD在 平面上的區(qū)域 內(nèi)解析，( )wf hhG在 平面上的區(qū)域 內(nèi)解析,( ),Dzg zG如果對(duì) 內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn) ，函數(shù)的對(duì)應(yīng)值都屬于 ( ).wf g zG那么復(fù)合函數(shù)在 內(nèi)解析如：任何有理分式函數(shù)( )0,0( )P zQ z在分母不為 的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù) 使分母為 的點(diǎn)是函數(shù)奇點(diǎn).?) 1(1)(10的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)函數(shù)函數(shù)zzzf個(gè)個(gè)不不同同的的值值）的的十十次次根根，的的點(diǎn)點(diǎn)（即即10101, 010zz例：例：小小 結(jié)結(jié)1.1.熟練掌握熟練掌握: :復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)與它所對(duì)應(yīng)一對(duì)實(shí)變函復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)與它所對(duì)應(yīng)一對(duì)實(shí)變函數(shù)可導(dǎo)間的關(guān)系。數(shù)可導(dǎo)間的關(guān)系?？蓪?dǎo)（具有偏導(dǎo)數(shù)），可導(dǎo)（具有

11、偏導(dǎo)數(shù)），若若),(),(yxvyxu.),(),()(不不一一定定可可導(dǎo)導(dǎo)則則函函數(shù)數(shù)yxivyxuzfw2.2.熟練掌握：熟練掌握：區(qū)分復(fù)變函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)，可導(dǎo)與解析兩區(qū)分復(fù)變函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)，可導(dǎo)與解析兩個(gè)概念，個(gè)概念，奇點(diǎn)的兩種情況奇點(diǎn)的兩種情況. .不不一一定定可可導(dǎo)導(dǎo)。則則它它在在連連續(xù)續(xù)在在一一點(diǎn)點(diǎn)若若00,)(zzzfw 一一定定連連續(xù)續(xù)。則則它它在在可可導(dǎo)導(dǎo)在在一一點(diǎn)點(diǎn)若若00,)(zzzfw 函數(shù)解析與可導(dǎo)之間的關(guān)系函數(shù)解析與可導(dǎo)之間的關(guān)系: :針對(duì)一個(gè)點(diǎn)針對(duì)一個(gè)點(diǎn): :處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在0)(zzf處解析處解析在在0)(zzf處解析處解析在在0)(zzf處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在0

12、)(zzf針對(duì)一個(gè)區(qū)域針對(duì)一個(gè)區(qū)域: :內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在區(qū)域在區(qū)域Dzf)(內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域Dzf)(練練 習(xí)習(xí)一。判斷對(duì)錯(cuò)一。判斷對(duì)錯(cuò): :存在。存在。連續(xù)，則連續(xù)，則在在如果如果)( )(. 100zfzzf解解析析。在在存存在在，則則如如果果00)()( . 2zzfzf一一定定不不可可導(dǎo)導(dǎo)。在在的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)，則則是是如如果果00)()(. 3zzfzfz也也可可導(dǎo)導(dǎo)。則則可可導(dǎo)導(dǎo)（偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在），如如果果),(),()(),(),(. 4yxivyxuzfyxvyxu ( (錯(cuò)錯(cuò)) )( (錯(cuò)錯(cuò)) )( (錯(cuò)錯(cuò)) )( (錯(cuò)錯(cuò)) )（A A）充分不必要條件）充分不必要條件

13、（B B）必要不充分條件）必要不充分條件（C C）充分必要條件）充分必要條件 （D D）既非充分條件也非必要條件）既非充分條件也非必要條件解解析析的的在在點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)是是在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)zzfzzf)()(（ ）二。二。，則則若若iff10101)(,)()(?)(limzzfz10三。三。?)( )()()(的的所所有有根根，則則方方程程若若015125zfzizzfB第二節(jié) 函數(shù)解析的充要條件 本節(jié)主要討論:復(fù)變函數(shù)解析的判定問(wèn)題.),(yxuu 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的改改變變量量。表表示示的的改改變變量量，表表示示令令uyxuyyxxuuyxyx),(),(, 可可表表示示為為若若 u)(loyB

14、xAu 的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量是是關(guān)關(guān)于于，不不依依賴(lài)賴(lài)于于其其中中，22)()()(;,yxlloyxBA 可微?？晌?。在點(diǎn)在點(diǎn)則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)),(),(yxyxuu 預(yù)備知識(shí):二元實(shí)變函數(shù) 的可微)(loyBxAu 的偏導(dǎo)數(shù)存在，則的偏導(dǎo)數(shù)存在，則點(diǎn)可微，則點(diǎn)可微，則若若),(),()(yxuuyx1),(),(yxyxyuBxuA可微的可微的，在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù))(),()2(yxyxuu 存在且連續(xù)。存在且連續(xù)。與與的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)yuxuyxyxuu ),(),(),(),()(yxvyxuzfw二二元元實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)?復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)的可導(dǎo)的可導(dǎo)),(),

15、(yxvyxu問(wèn)題：),(),()(yxivyxuzfw對(duì)對(duì)于于函函數(shù)數(shù)可導(dǎo)（具有偏導(dǎo)數(shù)），可導(dǎo)（具有偏導(dǎo)數(shù)），若若),(),(yxvyxu.),(),()(不不一一定定可可導(dǎo)導(dǎo)則則函函數(shù)數(shù)yxivyxuzfw2.1. 復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的條件定理2.1),(),()(yxivyxuzf函函數(shù)數(shù):可導(dǎo)的充要條件是可導(dǎo)的充要條件是在點(diǎn)在點(diǎn)iyxz可可微微；在在點(diǎn)點(diǎn)）（),(),(),(1yxyxvyxu xvyuyvxuyx黎黎曼曼方方程程滿(mǎn)滿(mǎn)足足柯柯西西）在在點(diǎn)點(diǎn)（),(2(CR方程)證明：必要性0()( )( )( )limzf zzf zf zzxiyfzz 在處可導(dǎo)，存在0()( )( )()

16、,lim()0zf zzf zfzzzzz 其中()( )f zzf zui v 設(shè)，0zxi y 對(duì)充分小的，有12( ),()fzaibziui v 所以12()()()()aibxi yixi y 1221()()a xb yxyi b xa yxy 12()ua xb yxy 從而，21()vb xa yxy 12()ua xb yxy 從而，21()vb xa yxy 0lim()0zz 由于，12() zi而，120,00,0lim0,lim0 xyxy 所以2212( ()() )xyoxy 因此，2221( ()() )xyoxy 22( ()() ),ua xb yoxy 2

17、2( ()() )vb xa yoxy ( , ), ( , )( , )u x y v x yx y于是在處可微.( , ), ( , )( , )u x y v x yx y于是在處可微.22( ()() ),ua xb yoxy 22( ()() )vb xa yoxy uax=，.uby- =uvxy從而，.uvyx vbx=，.vay=(CR方程)充分性()( )(,)( , ) (,)( , )f zzf zu xx yyu x yi v xx yyv x y由于ui v ( , ), ( , )( , )u x y v x yx y又因?yàn)樵邳c(diǎn)可微，可知22( ()() ),uA

18、xB yoxy 22( ()() )vC xD yoxy 進(jìn)一步可表示為：34vvvxyxyxy 12,uuuxyxyxy 00lim0,1,2,3,4kxyk ，其中1234()( )()()()()uvuvf zzf zixiyixiyxxyy 因此1234()( )()()()()uvuvf zzf zixiyixiyxxyy 因此2,uvuvvCRixyyxx 根據(jù)方程：1324()( )()()f zzf zuvxyiiizxxzz0()( )( )lim.zf zzf zuvfzizxx 0()( )( )lim.zf zzf zvufzizyy 或0()( )1( )lim.zf

19、 zzf zuvfzziyy 或推論2.1的的與與，如果，如果設(shè)設(shè)),(),(),(),()(yxvyxuyxivyxuzf 處連續(xù)，處連續(xù)，在在四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)),(,yxyvxvyuxu 黎曼方程，黎曼方程，處滿(mǎn)足柯西處滿(mǎn)足柯西且在且在 ),(yx處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。在點(diǎn)在點(diǎn)則則iyxzzf )(可微的可微的，在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù))(),()2(yxyxuu 存在且連續(xù)。存在且連續(xù)。與與的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)yuxuyxyxuu ),(),(（3）將-定理2.1-推廣至區(qū)域D),(),()(yxivyxuzf 函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)處處處處可可微微；在在區(qū)區(qū)域域 Dyxvyxu),(),( xvyuy

20、vxuD黎黎曼曼方方程程內(nèi)內(nèi)處處處處滿(mǎn)滿(mǎn)足足柯柯西西在在區(qū)區(qū)域域在區(qū)域 內(nèi)可導(dǎo)的充要條件:D2.2 函數(shù)解析的充要條件內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域函函數(shù)數(shù)Dyxivyxuzf),(),()( :的的充充要要條條件件是是定理2.2內(nèi)處處可微；內(nèi)處處可微；在在Dyxvyxu),(),( xvyuyvxuD黎曼方程黎曼方程內(nèi)處處滿(mǎn)足柯西內(nèi)處處滿(mǎn)足柯西在在推論2.2內(nèi)有定義，如果內(nèi)有定義，如果在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè)Dyxivyxuzf),(),()( 處處連續(xù)，處處連續(xù)，在在的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)Dyvxvyuxuyxvyxu ,),(),(黎黎曼曼方方程程，內(nèi)內(nèi)處處處處滿(mǎn)滿(mǎn)足足柯柯西西且且在在 D內(nèi)解析。內(nèi)

21、解析。在區(qū)域在區(qū)域則則Dzf)(何何處處可可導(dǎo)導(dǎo)，何何處處解解析析？判判定定函函數(shù)數(shù))(.zf32);,(),()(.yxvyxuzfa虛虛部部的的實(shí)實(shí)部部確確定定函函數(shù)數(shù)續(xù)續(xù)？判判定定它它們們?cè)谠谀哪男┬c(diǎn)點(diǎn)處處連連計(jì)計(jì)算算偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)yvxvyuxub ,.,)(,d.的的可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)中中的的共共同同點(diǎn)點(diǎn)為為判判定定zfcb黎黎曼曼方方程程？柯柯西西在在哪哪些些點(diǎn)點(diǎn)處處滿(mǎn)滿(mǎn)足足判判定定偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) yvxvyuxu,. c若可導(dǎo)的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)區(qū)域,在在這這一一區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析；若可導(dǎo)的點(diǎn)只是一個(gè)點(diǎn)或不構(gòu)成區(qū)域,.復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處不不解解析析)(zf則則)(zf則則（計(jì)算步驟） 例

22、1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析？ (1),wz(2)( )(cossin ),xf xeyiy(3)Re( ).wzz解：(1),wzxiy,ux vy 因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)連續(xù)1,0,0,1,uuvvxyxyuvxy可知，,CR即不滿(mǎn)足方程wz所以函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)，從而處處不解析.注：函數(shù))Im(),Re(,)(zzzzzf或或或或或或在復(fù)平面內(nèi)處處不解析(2)( )(cossin ),xf xeyiycos ,sinxxuey vey因此偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，cos ,sin ,sin ,cosxxxxuuvveyeyeyeyxyxy 且，CR以上四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且滿(mǎn)足方程，( )f z所以在復(fù)

23、平面內(nèi)處處可導(dǎo)，( )(cossin )( ).xfzeyiyf z于是處處解析，且 這個(gè)函數(shù)特點(diǎn)：其導(dǎo)數(shù)是本身，這個(gè)函數(shù)就是復(fù)變函數(shù)中的指數(shù)函數(shù) 2(3)Re( )(),wzzxiy xxixy2,2 ,0,uuvvux vxyxyxxyxy且，0 xyCR這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但只有當(dāng)時(shí)，才滿(mǎn)足方程,0z 因此函數(shù)僅在處可導(dǎo)，但在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.解：32),(xyxu 33),(yyxv 062 yuxxu290yyvxv 連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處009622yx黎曼方程黎曼方程針對(duì)柯西針對(duì)柯西上上成成立立僅僅在在直直線線xy36 處處可可導(dǎo)導(dǎo)僅僅在在直直線線xyz

24、f36)( 解解析析。在在整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處不不)(zf（平面內(nèi)的直線不夠 成區(qū)域）iyxzf33321)()(例：判斷函數(shù)何處可導(dǎo),何處解析?在復(fù)平面內(nèi)處處解析？在復(fù)平面內(nèi)處處解析？使使求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(,),()(2222zfdcbaydxycxibyaxyxzf 解:2222),(),(ydxycxyxvbyaxyxyxu byaxyuayxxu22 ydxyvdycxxv22偏導(dǎo)數(shù)復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù) byaxdycxydxayx2222黎黎曼曼方方程程針針對(duì)對(duì)柯柯西西要求處處成立,才可保證函數(shù)處處可導(dǎo).2, 1, 1, 2 dcba從而處處解析.比較系數(shù),得例2.23 .

25、 2例例內(nèi)內(nèi)為為常常數(shù)數(shù)。在在，則則處處處處為為在在區(qū)區(qū)域域若若DzfDzf)(0)( 證證：01yvyuixvixuzf)( 0 yvxvyuxu內(nèi)為常數(shù)。內(nèi)為常數(shù)。在在常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)，Dzfyxvyxu)(),(),(注：常數(shù)，或常數(shù)，或，若，若內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域)(Re)(zfzfD內(nèi)內(nèi)為為常常數(shù)數(shù)。在在區(qū)區(qū)域域常常數(shù)數(shù)，則則Dzfzf)()(Im內(nèi)內(nèi)的的解解析析函函數(shù)數(shù)）為為區(qū)區(qū)域域Dzf)(),(),()(yxivyxuzf設(shè)設(shè)小 結(jié)1.熟練掌握：復(fù)變函數(shù)何處可導(dǎo),解析的判定;2.熟練掌握：復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式-P15的求導(dǎo)法則.yuiyvxvixuzf1)(

26、 xvyuyvxu黎黎曼曼方方程程柯柯西西3.熟練掌握:例3的結(jié)論 取值為常數(shù)。取值為常數(shù)。若其導(dǎo)數(shù)為零，則若其導(dǎo)數(shù)為零，則內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域)(),(zfzfDP18(2.4)為為處處解析，則常數(shù)處處解析，則常數(shù)在復(fù)平面內(nèi)在復(fù)平面內(nèi)若函數(shù)若函數(shù)axaxyyiyxyxzf)()(.222221(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2( )( )(.ifiyxzf1222，則，則設(shè)設(shè)( )i 2i 1i 22 (A) 2(B)(C)(D)CA練 習(xí) 題內(nèi)內(nèi)為為在在區(qū)區(qū)域域則則為為常常數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)解解析析，若若在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)DzfvuDivuzf)(,)(. 4)()()(

27、 .zfzfzzf內(nèi)內(nèi)則在則在，內(nèi)處處為零，且內(nèi)處處為零，且在單位圓在單位圓若若11013(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 任意常數(shù)（ ）C常數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 初等函數(shù)初等函數(shù) 介紹幾種常見(jiàn)的復(fù)變函數(shù)介紹幾種常見(jiàn)的復(fù)變函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù), ,對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù), ,冪函數(shù)冪函數(shù), ,三角函數(shù)三角函數(shù)3.1 3.1 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);)1(在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)范范圍圍的的推推廣廣是是實(shí)實(shí)指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)復(fù)復(fù)指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)xzee的的一一些些性性質(zhì)質(zhì)。保保留留許許多多實(shí)實(shí)指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)xe)2(定義復(fù)指數(shù)函數(shù)的主要思路定義復(fù)指數(shù)函數(shù)的主要思路: :1.定義：( )f z在復(fù)平面內(nèi)定義一個(gè)函數(shù)

28、，滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：(1)( )f z 在復(fù)平面內(nèi)處處解析；(2)( )( );fzf z(3)Im( )0( )Re( ).xzf zexz當(dāng)時(shí)，其中z則稱(chēng)它們?yōu)閺?fù)變量 的指數(shù)函數(shù)，exp(cossin ).xwzeyiy記做：exp ,zzeze 代這里 沒(méi)有冪的定義，只是一種符號(hào).(cossin ).zxeeyiy即：2性質(zhì)：(1) exp0,z exp(exp )2,0, 1, 2,xzeArgzykk 模：，輻角：1212(2)expexpexp()zzzz加法定理：22(3)(cos2sin2)2zk izk izzeeeekikeTk i周期性：，即；(4)();zzzeee指數(shù)

29、函數(shù) 是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)，且(5)zez 復(fù)變量指數(shù)函數(shù) ，當(dāng)時(shí)沒(méi)有極限；0limlimzxzxz xzee 當(dāng) 沿著實(shí)軸正向趨向于 時(shí)，有，0limlim0zxzxz xzee 當(dāng) 沿著實(shí)軸負(fù)向趨向于 時(shí)，有，111222,zxiyzxiy設(shè)，則12121122expexp(cossin)(cossin)xxzzeyiyeyiy1212121212(coscossinsin)(sincoscossin)xxeyyyyiyyyy12121212(cos()(sin()exp().xxeyyiyyzz(5)(2)(cossin ).zxeeyiy即： 例134ie 計(jì)算的值.解：據(jù)指數(shù)的定

30、義，有 334(cossin)44ieei 322(sin).22ei 例2132.12ii 利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示計(jì)算11113(arctan)1323(arctanarctan2)2arctan225125iiiieeie 解：因?yàn)?1(2)32,0,1,2ikek56623131.2222iiieieiei 于是所求之值有3個(gè)：，二、對(duì)數(shù)函數(shù)二、對(duì)數(shù)函數(shù) 與實(shí)變量函數(shù)一樣，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù) 1.定義：(0)( ).wez zwf zwLnz稱(chēng)滿(mǎn)足方程的函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，記做wLnz現(xiàn)在來(lái)認(rèn)識(shí)它：，,iwuivzre令wez代入中，得：u iviere,2uer vk比較得：，l

31、n2urvk即：，ln(2)ln0, 1, 2,wLnzzikziArgzk 因此，(1)2 i它是一多值函數(shù)，每?jī)芍迪嗖畹恼麛?shù)倍；(2)lnargziz其中為一單值函數(shù)，lnlnargzzizwLnz記：，稱(chēng)為的主值,ln20, 1, 2,Lnzzk ik 其它各值表示為：，(3)0lnln.zxLnzzx當(dāng)時(shí)，的主值是實(shí)數(shù)中對(duì)數(shù)函數(shù) 例32( 1),( 23 )LnLnLni 求，及其相應(yīng)的主值.解：2ln2(2)LniArgln2主值是，( 1)ln1( 1)(2)(21),LniArgikkiln( 1)i主值是；( 23 )ln23( 23 )LniiiArgi 13ln13( ar

32、ctan(21) ),0, 1, 2,22ikk 13ln( 23 )ln13(arctan).22ii 主值是13ln13(arctan2)22ikln22,k i2性質(zhì)：11212122(1)()zLn zzLnzLnzLnLnzLnzz運(yùn)算性質(zhì)：，1,nnLnzLnznLnzLn zLnzn是多值函數(shù)，lnlnarg ,zziz(2)解析性，研究主值：ln z模：除原點(diǎn)外在其它點(diǎn)都連續(xù)；argz輻角：在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上不連續(xù).0000ReReReReIm0 0Im0 00limarglimargzzzzzzzxxzz 因?yàn)閷?duì)負(fù)實(shí)軸上任意一點(diǎn) = ，則當(dāng)時(shí)，ln.z所以，除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外，在

33、復(fù)平面內(nèi)其它點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)處處連續(xù)Lnwz綜合上述，對(duì)數(shù)函數(shù)在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面是連續(xù)的。ln111wwdzdedzezdw由反函數(shù)求導(dǎo)法則可知：Lnz因此，的各個(gè)分支在除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)也解析，并且有相同的導(dǎo)數(shù)值.三乘冪與冪函數(shù)三乘冪與冪函數(shù) 1.ab乘冪ln0,aabbabe在實(shí)數(shù)中，若為實(shí)數(shù)，則現(xiàn)將其推廣到復(fù)數(shù)中.定義1：ba設(shè) 為不等于零的一個(gè)復(fù)數(shù)， 為任一復(fù)數(shù)，aaLnbbe定義為，.aaLnbbe即：ln(arg2)Lnbbibk由于是多值的，ab因而也是多值的，有多少值呢？(1)a當(dāng) 為正整數(shù)時(shí)，ln(arg2)ab ibkaaLnbbee(lnarg ) 2ln,abi

34、bk aiabeeab所以是單值的.(2)(0)papqqq當(dāng)和 為互質(zhì)的整數(shù)，時(shí)，ln(arg2)pppbibkqqqbelncos(arg2)sin(arg2),0,1,2,(1)pbqppebkibkkqqq0,1,2,(1)abqkq所以具有 個(gè)值，即當(dāng)時(shí)相應(yīng)的各值.(3)aab當(dāng) 是無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，具有無(wú)窮多個(gè)值. 例2211(1)iiii求， 和的值.解：221221cos(22)sin(22),0, 1, 2,Lnk ieekikk (2)(2)22,0, 1, 2,iik ikiiLniieeek (1)ln2(2)1(1)(1)4(1)iikii Lniiee(ln22)(2

35、ln2)44kike242cos(2ln2)sin(2ln2),0, 1, 2,.44kekikk 2冪函數(shù)定義2： ,(0)aaaLnzwzzeaz函數(shù)規(guī)定為：為復(fù)數(shù),.z稱(chēng)為復(fù)變量 的冪函數(shù).aLnzLnze由于是多值函數(shù)，所以一般也是多值函數(shù)ln| |(arg2)arg(1)|nnLnznzizknizawzeeze當(dāng) 為正整數(shù)時(shí)，1()nnznz 在復(fù)平面內(nèi)是單值解析函數(shù)，且導(dǎo)數(shù)；1(2)()ann當(dāng)為正整數(shù) 時(shí)，1111arg2ln| |(arg2)|,0,1,2,(1)zkLnzzizkinnnnnwzeezekn它的各分支除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸外在復(fù)平面上是解析的，1111.nnzzn

36、且其導(dǎo)數(shù)為：(3)(0)paapqqq當(dāng) 為有理數(shù)和 為互質(zhì)的整數(shù)時(shí)，ln(arg2),0,1,2,(1)pppzizkqqqwzekq是一個(gè)多值函數(shù).(4)aawz當(dāng) 為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，有多窮多值，1().aazaz 各分支除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸外在復(fù)平面是解析的，且四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 1三角函數(shù) cossin ,cossiniyiyeyiyeyiy據(jù)歐拉公式：兩式相加與相減，分別得： cos,sin22iyiyiyiyeeeeyyi（1）三角函數(shù)定義 2izizeez稱(chēng)為復(fù)變量 的余弦函數(shù)，2izizeezi稱(chēng)為復(fù)變量 的正弦函數(shù)，cos ,sinzz分別記做：，即：c

37、os,sin22izizizizeeeezzi（2）性質(zhì) (1)cos ,sinzz單值性：均為單值函數(shù)；(2)cossin2.zz周期性：，是以為周期的函數(shù)(3)cossinzz奇偶性：為偶函數(shù)，奇函數(shù)；(4)(cos )sin(sin )cos .zzzz 解析性：在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)處處解析，且，(cos )2izizeez 證明：sin22izizizizieieeezi （3）三角公式 121212(1) cos()coscossinsin;zzzzzz121221(2)sin()sincossincos;zzzzzz22(3)sincos1zz ；(5), cos2yyyeeziyiy 無(wú)界性：取11sin().22yyyyyiyeeeei sincos11(4) tan,cot,sec,csc.cossincossinzzzzzzzzzz2雙曲函數(shù) cosh2zzeez雙曲余弦：cosh;2xxeexsinh2zzeez雙曲正弦：sinh;2xxeexsinhtanh;coshzzzzzeezzee雙曲正切：coshcoth.