復變函數(shù)與積分變換第2章

1、第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)一一. .復變函數(shù)可導復變函數(shù)可導, ,解析的定義解析的定義二二. .復變函數(shù)可導，解析的判定復變函數(shù)可導，解析的判定三三. .常見復變函數(shù)及相關性質常見復變函數(shù)及相關性質第一節(jié)第一節(jié) 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念定義復變函數(shù)的可導，進而給出解析函數(shù)的定義，定義復變函數(shù)的可導，進而給出解析函數(shù)的定義，并分析二者的聯(lián)系。并分析二者的聯(lián)系。1.1 1.1 復變函數(shù)的導數(shù)復變函數(shù)的導數(shù)zzfzzfz)()(lim000定義定義1.11.1內內有有定定義義，如如果果的的某某區(qū)區(qū)域域在在包包含含設設Dzzfw0)( zwz0lim存在存在, ,可可導導；在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)

2、0)(zzf000zzdzdwzfzzfw)( )(處的導數(shù)，記作處的導數(shù)，記作在在極限值稱為極限值稱為 第三章，我們將看到，若第三章，我們將看到，若復變函數(shù)復變函數(shù)在一點的鄰域內在一點的鄰域內具有一階導數(shù)具有一階導數(shù)，則在該點就有，則在該點就有任意階的導數(shù)任意階的導數(shù)。 從實質上講，復變函數(shù)在一點可導，要比實變函數(shù)從實質上講，復變函數(shù)在一點可導，要比實變函數(shù)在一點可導要求要高的多，復雜的多。在一點可導要求要高的多，復雜的多。對于實變函數(shù)不具有這樣的性質。對于實變函數(shù)不具有這樣的性質。:)()(的的可可導導的的可可導導與與實實變變函函數(shù)數(shù)復復變變函函數(shù)數(shù)xfyzfw注注: :(1)(1)不不一

3、一定定可可導導。則則它它在在連連續(xù)續(xù)在在一一點點若若00,)(zzzfw 一一定定連連續(xù)續(xù)。則則它它在在可可導導在在一一點點若若00,)(zzzfw (2) 連續(xù)與可導的關系連續(xù)與可導的關系 例12( ).f zz求函數(shù)的導數(shù)解：22000()( )()limlimlim(2)2zzzf zzf zzzzzzzzz ( )2 .fzz所以(3) (3) 導數(shù)的運算規(guī)則導數(shù)的運算規(guī)則(1) ( )0,CC （其中 為常數(shù)）1(2) (),nnznzn （其中 為正整數(shù)）(3) ( )( )( )( )f zg zfzg z(4) ( )( )( )( )( )( )f zg zfzg zf zg

4、 z2( )1(5)( )( )( )( ), ( )0( ) ( )f zfzg zf zg zg zg zg z(6) ( )( )( ),( )f g zfw g z wg z1(7)( ),( )( )( )0.( )fzwf zzwww與是互為反函數(shù)且單值函數(shù)，與實變函數(shù)的導數(shù)計算規(guī)則相同與實變函數(shù)的導數(shù)計算規(guī)則相同.),(),()(yxvyxuzfw二二元元實實變變函函數(shù)數(shù)對對復復變變函函數(shù)數(shù)?復變函數(shù)的可導復變函數(shù)的可導的可導的可導),(),(yxvyxu問題：問題：例例1.2 1.2 討論討論yixzfw2)( 是否可導是否可導? ?解解: :zzfzzfz)()(lim0 根

5、據導數(shù)的定義根據導數(shù)的定義yixyixiyyxxz 2)(2)(lim0)(yixz 設設yixyixz 2lim0，則則軸軸的的方方向向趨趨向向于于沿沿若若0 xz 00yxyixyixz 2lim0 xxx0lim =1=1，則則軸軸的的方方向向趨趨向向于于沿沿若若0yz yixyixz 2lim0yiyiy2lim0 =2=2所以，所以，zzfzzfz)()(lim0 不存在不存在yixzfw2)(函函數(shù)數(shù)復平面內處處不可導。復平面內處處不可導。00yxyixzfw2)(函函數(shù)數(shù)復平面內處處不可導。復平面內處處不可導。對對所所對對應應的的二二元元實實變變函函數(shù)數(shù)yixzf2)( yyxv

6、xyxu2),(),(“處處可導處處可導”(平面內偏導數(shù)存在平面內偏導數(shù)存在).),(),()(yxivyxuzfw對對于于函函數(shù)數(shù)可導（具有偏導數(shù)），可導（具有偏導數(shù)），若若),(),(yxvyxu(4)(4).),(),()(不不一一定定可可導導則則函函數(shù)數(shù)yxivyxuzfw1.2 1.2 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念定義定義1.2:1.2:)(zf若若函函數(shù)數(shù))(zf則則稱稱內內每每一一點點解解析析，在在區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù)Dzf)(0z 0zz不不解解析析，在在如如果果0)(zzf內內的的解解析析函函數(shù)數(shù)。是是或或內內解解析析在在區(qū)區(qū)域域則則稱稱DzfDzf)(,)(不不可可導導在在

7、（即即0)(zzf是是處處處處可可導導）的的任任何何一一個個鄰鄰域域內內均均不不可可導導，但但在在在在或或00zzzf)(可可導導，在在0z，的的一一個個鄰鄰域域內內處處處處可可導導且且在在0z解解析析。在在0z的的為為則則稱稱)(0zfz奇點。奇點。D注注: :(1)(1)函數(shù)解析與可導之間的關系函數(shù)解析與可導之間的關系: :針對一個點針對一個點: :處可導處可導在在0)(zzf處解析處解析在在0)(zzf處解析處解析在在0)(zzf處可導處可導在在0)(zzf針對一個區(qū)域針對一個區(qū)域: :內可導內可導在區(qū)域在區(qū)域Dzf)(內解析內解析在區(qū)域在區(qū)域Dzf)(0znnzazazaazP2210

8、)(例例：多多項項式式函函數(shù)數(shù)在在復平面復平面內處處解析。內處處解析。在在復平面復平面內處處可導內處處可導 例22( )( )2( ) |.f zzg zxyih zz研究函數(shù)，的解析性解：2( )f zz(1)前面章節(jié)中已經討論過函數(shù)在整個復平面上處處可導，所以在整個復平面處處解析( )2g zxyi(2)已經討論過函數(shù)在整個復平面上處處不可導，所以在整個復平面處處不解析2(3)( ) |.h zz討論函數(shù)的解析性22000000()()limlimzzzzzh zzh zzz 00000000()()limlimzzzz zzz zzzzzz zzz 000000lim()lim,zzzz

9、zzzzzzz 0z任取 ，由于00(0)0zf當時，；000000()zzzyyk xxz當時，讓沿直線趨向于 ，1111yizxi ykixyzxi ykiix k隨著 的變化而變化，20( ) |0h zzz故在可導，而其它點卻不可導，函數(shù)在復平面上處處不解析 例1.wz研究函數(shù)的解析性解：2110dwwzzdzz 復平面內除點外處處可導，且，0z 所以在除外的復平面內，函數(shù)處處解析，(2) (2) 與解析相關的結論與解析相關的結論: :（P16 P16 定理定理1.11.1，1.21.2）定理1：在區(qū)域D內解析函數(shù)的和、差、積、商（除去分母為0的點）在D內解析定理2：設函數(shù)( )hg

10、zzD在 平面上的區(qū)域 內解析，( )wf hhG在 平面上的區(qū)域 內解析,( ),Dzg zG如果對 內的每一個點 ，函數(shù)的對應值都屬于 ( ).wf g zG那么復合函數(shù)在 內解析如：任何有理分式函數(shù)( )0,0( )P zQ z在分母不為 的點的區(qū)域內是解析函數(shù) 使分母為 的點是函數(shù)奇點.?) 1(1)(10的奇點的奇點函數(shù)函數(shù)zzzf個個不不同同的的值值）的的十十次次根根，的的點點（即即10101, 010zz例：例：小小 結結1.1.熟練掌握熟練掌握: :復變函數(shù)的可導與它所對應一對實變函復變函數(shù)的可導與它所對應一對實變函數(shù)可導間的關系。數(shù)可導間的關系?？蓪Вň哂衅珜?shù)），可導（具有

11、偏導數(shù)），若若),(),(yxvyxu.),(),()(不不一一定定可可導導則則函函數(shù)數(shù)yxivyxuzfw2.2.熟練掌握：熟練掌握：區(qū)分復變函數(shù)的連續(xù)與可導，可導與解析兩區(qū)分復變函數(shù)的連續(xù)與可導，可導與解析兩個概念，個概念，奇點的兩種情況奇點的兩種情況. .不不一一定定可可導導。則則它它在在連連續(xù)續(xù)在在一一點點若若00,)(zzzfw 一一定定連連續(xù)續(xù)。則則它它在在可可導導在在一一點點若若00,)(zzzfw 函數(shù)解析與可導之間的關系函數(shù)解析與可導之間的關系: :針對一個點針對一個點: :處可導處可導在在0)(zzf處解析處解析在在0)(zzf處解析處解析在在0)(zzf處可導處可導在在0

12、)(zzf針對一個區(qū)域針對一個區(qū)域: :內可導內可導在區(qū)域在區(qū)域Dzf)(內解析內解析在區(qū)域在區(qū)域Dzf)(練練 習習一。判斷對錯一。判斷對錯: :存在。存在。連續(xù)，則連續(xù)，則在在如果如果)( )(. 100zfzzf解解析析。在在存存在在，則則如如果果00)()( . 2zzfzf一一定定不不可可導導。在在的的奇奇點點，則則是是如如果果00)()(. 3zzfzfz也也可可導導。則則可可導導（偏偏導導數(shù)數(shù)存存在在），如如果果),(),()(),(),(. 4yxivyxuzfyxvyxu ( (錯錯) )( (錯錯) )( (錯錯) )( (錯錯) )（A A）充分不必要條件）充分不必要條件

13、（B B）必要不充分條件）必要不充分條件（C C）充分必要條件）充分必要條件 （D D）既非充分條件也非必要條件）既非充分條件也非必要條件解解析析的的在在點點可可導導是是在在點點函函數(shù)數(shù)zzfzzf)()(（ ）二。二。，則則若若iff10101)(,)()(?)(limzzfz10三。三。?)( )()()(的的所所有有根根，則則方方程程若若015125zfzizzfB第二節(jié) 函數(shù)解析的充要條件 本節(jié)主要討論:復變函數(shù)解析的判定問題.),(yxuu 對對應應的的改改變變量量。表表示示的的改改變變量量，表表示示令令uyxuyyxxuuyxyx),(),(, 可可表表示示為為若若 u)(loyB

14、xAu 的的無無窮窮小小量量是是關關于于，不不依依賴賴于于其其中中，22)()()(;,yxlloyxBA 可微?？晌ⅰＴ邳c在點則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(),(yxyxuu 預備知識:二元實變函數(shù) 的可微)(loyBxAu 的偏導數(shù)存在，則的偏導數(shù)存在，則點可微，則點可微，則若若),(),()(yxuuyx1),(),(yxyxyuBxuA可微的可微的，在點在點函數(shù)函數(shù))(),()2(yxyxuu 存在且連續(xù)。存在且連續(xù)。與與的偏導數(shù)的偏導數(shù)在點在點yuxuyxyxuu ),(),(),(),()(yxvyxuzfw二二元元實實變變函函數(shù)數(shù)對對復復變變函函數(shù)數(shù)?復變函數(shù)的可導的可導的可導),(),

15、(yxvyxu問題：),(),()(yxivyxuzfw對對于于函函數(shù)數(shù)可導（具有偏導數(shù)），可導（具有偏導數(shù)），若若),(),(yxvyxu.),(),()(不不一一定定可可導導則則函函數(shù)數(shù)yxivyxuzfw2.1. 復變函數(shù)可導的條件定理2.1),(),()(yxivyxuzf函函數(shù)數(shù):可導的充要條件是可導的充要條件是在點在點iyxz可可微微；在在點點）（),(),(),(1yxyxvyxu xvyuyvxuyx黎黎曼曼方方程程滿滿足足柯柯西西）在在點點（),(2(CR方程)證明：必要性0()( )( )( )limzf zzf zf zzxiyfzz 在處可導，存在0()( )( )()

16、,lim()0zf zzf zfzzzzz 其中()( )f zzf zui v 設，0zxi y 對充分小的，有12( ),()fzaibziui v 所以12()()()()aibxi yixi y 1221()()a xb yxyi b xa yxy 12()ua xb yxy 從而，21()vb xa yxy 12()ua xb yxy 從而，21()vb xa yxy 0lim()0zz 由于，12() zi而，120,00,0lim0,lim0 xyxy 所以2212( ()() )xyoxy 因此，2221( ()() )xyoxy 22( ()() ),ua xb yoxy 2

17、2( ()() )vb xa yoxy ( , ), ( , )( , )u x y v x yx y于是在處可微.( , ), ( , )( , )u x y v x yx y于是在處可微.22( ()() ),ua xb yoxy 22( ()() )vb xa yoxy uax=，.uby- =uvxy從而，.uvyx vbx=，.vay=(CR方程)充分性()( )(,)( , ) (,)( , )f zzf zu xx yyu x yi v xx yyv x y由于ui v ( , ), ( , )( , )u x y v x yx y又因為在點可微，可知22( ()() ),uA

18、xB yoxy 22( ()() )vC xD yoxy 進一步可表示為：34vvvxyxyxy 12,uuuxyxyxy 00lim0,1,2,3,4kxyk ，其中1234()( )()()()()uvuvf zzf zixiyixiyxxyy 因此1234()( )()()()()uvuvf zzf zixiyixiyxxyy 因此2,uvuvvCRixyyxx 根據方程：1324()( )()()f zzf zuvxyiiizxxzz0()( )( )lim.zf zzf zuvfzizxx 0()( )( )lim.zf zzf zvufzizyy 或0()( )1( )lim.zf

19、 zzf zuvfzziyy 或推論2.1的的與與，如果，如果設設),(),(),(),()(yxvyxuyxivyxuzf 處連續(xù)，處連續(xù)，在在四個偏導數(shù)四個偏導數(shù)),(,yxyvxvyuxu 黎曼方程，黎曼方程，處滿足柯西處滿足柯西且在且在 ),(yx處可導。處可導。在點在點則則iyxzzf )(可微的可微的，在點在點函數(shù)函數(shù))(),()2(yxyxuu 存在且連續(xù)。存在且連續(xù)。與與的偏導數(shù)的偏導數(shù)在點在點yuxuyxyxuu ),(),(（3）將-定理2.1-推廣至區(qū)域D),(),()(yxivyxuzf 函函數(shù)數(shù)內內處處處處可可微微；在在區(qū)區(qū)域域 Dyxvyxu),(),( xvyuy

20、vxuD黎黎曼曼方方程程內內處處處處滿滿足足柯柯西西在在區(qū)區(qū)域域在區(qū)域 內可導的充要條件:D2.2 函數(shù)解析的充要條件內內解解析析在在區(qū)區(qū)域域函函數(shù)數(shù)Dyxivyxuzf),(),()( :的的充充要要條條件件是是定理2.2內處處可微；內處處可微；在在Dyxvyxu),(),( xvyuyvxuD黎曼方程黎曼方程內處處滿足柯西內處處滿足柯西在在推論2.2內有定義，如果內有定義，如果在區(qū)域在區(qū)域設設Dyxivyxuzf),(),()( 處處連續(xù)，處處連續(xù)，在在的四個偏導數(shù)的四個偏導數(shù)Dyvxvyuxuyxvyxu ,),(),(黎黎曼曼方方程程，內內處處處處滿滿足足柯柯西西且且在在 D內解析。內

21、解析。在區(qū)域在區(qū)域則則Dzf)(何何處處可可導導，何何處處解解析析？判判定定函函數(shù)數(shù))(.zf32);,(),()(.yxvyxuzfa虛虛部部的的實實部部確確定定函函數(shù)數(shù)續(xù)續(xù)？判判定定它它們們在在哪哪些些點點處處連連計計算算偏偏導導數(shù)數(shù)yvxvyuxub ,.,)(,d.的的可可導導點點中中的的共共同同點點為為判判定定zfcb黎黎曼曼方方程程？柯柯西西在在哪哪些些點點處處滿滿足足判判定定偏偏導導數(shù)數(shù) yvxvyuxu,. c若可導的點構成一個區(qū)域,在在這這一一區(qū)區(qū)域域內內解解析析；若可導的點只是一個點或不構成區(qū)域,.復復平平面面內內處處處處不不解解析析)(zf則則)(zf則則（計算步驟） 例

22、1判定下列函數(shù)在何處可導，在何處解析？ (1),wz(2)( )(cossin ),xf xeyiy(3)Re( ).wzz解：(1),wzxiy,ux vy 因為偏導數(shù)連續(xù)1,0,0,1,uuvvxyxyuvxy可知，,CR即不滿足方程wz所以函數(shù)在復平面內處處不可導，從而處處不解析.注：函數(shù))Im(),Re(,)(zzzzzf或或或或或或在復平面內處處不解析(2)( )(cossin ),xf xeyiycos ,sinxxuey vey因此偏導數(shù)連續(xù)，cos ,sin ,sin ,cosxxxxuuvveyeyeyeyxyxy 且，CR以上四個偏導數(shù)連續(xù)，且滿足方程，( )f z所以在復

23、平面內處處可導，( )(cossin )( ).xfzeyiyf z于是處處解析，且 這個函數(shù)特點：其導數(shù)是本身，這個函數(shù)就是復變函數(shù)中的指數(shù)函數(shù) 2(3)Re( )(),wzzxiy xxixy2,2 ,0,uuvvux vxyxyxxyxy且，0 xyCR這四個偏導數(shù)連續(xù)，但只有當時，才滿足方程,0z 因此函數(shù)僅在處可導，但在復平面內處處不解析.解：32),(xyxu 33),(yyxv 062 yuxxu290yyvxv 連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)在在復復平平面面內內處處處處009622yx黎曼方程黎曼方程針對柯西針對柯西上上成成立立僅僅在在直直線線xy36 處處可可導導僅僅在在直直線線xyz

24、f36)( 解解析析。在在整整個個復復平平面面內內處處處處不不)(zf（平面內的直線不夠 成區(qū)域）iyxzf33321)()(例：判斷函數(shù)何處可導,何處解析?在復平面內處處解析？在復平面內處處解析？使使求求設函數(shù)設函數(shù))(,),()(2222zfdcbaydxycxibyaxyxzf 解:2222),(),(ydxycxyxvbyaxyxyxu byaxyuayxxu22 ydxyvdycxxv22偏導數(shù)復平面內處處連續(xù) byaxdycxydxayx2222黎黎曼曼方方程程針針對對柯柯西西要求處處成立,才可保證函數(shù)處處可導.2, 1, 1, 2 dcba從而處處解析.比較系數(shù),得例2.23 .

25、 2例例內內為為常常數(shù)數(shù)。在在，則則處處處處為為在在區(qū)區(qū)域域若若DzfDzf)(0)( 證證：01yvyuixvixuzf)( 0 yvxvyuxu內為常數(shù)。內為常數(shù)。在在常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)，Dzfyxvyxu)(),(),(注：常數(shù)，或常數(shù)，或，若，若內解析的函數(shù)內解析的函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域)(Re)(zfzfD內內為為常常數(shù)數(shù)。在在區(qū)區(qū)域域常常數(shù)數(shù)，則則Dzfzf)()(Im內內的的解解析析函函數(shù)數(shù)）為為區(qū)區(qū)域域Dzf)(),(),()(yxivyxuzf設設小 結1.熟練掌握：復變函數(shù)何處可導,解析的判定;2.熟練掌握：復變函數(shù)導數(shù)的公式-P15的求導法則.yuiyvxvixuzf1)(

26、 xvyuyvxu黎黎曼曼方方程程柯柯西西3.熟練掌握:例3的結論 取值為常數(shù)。取值為常數(shù)。若其導數(shù)為零，則若其導數(shù)為零，則內解析的函數(shù)內解析的函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域)(),(zfzfDP18(2.4)為為處處解析，則常數(shù)處處解析，則常數(shù)在復平面內在復平面內若函數(shù)若函數(shù)axaxyyiyxyxzf)()(.222221(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2( )( )(.ifiyxzf1222，則，則設設( )i 2i 1i 22 (A) 2(B)(C)(D)CA練 習 題內內為為在在區(qū)區(qū)域域則則為為常常數(shù)數(shù)內內解解析析，若若在在區(qū)區(qū)域域設設DzfvuDivuzf)(,)(. 4)()()(

27、 .zfzfzzf內內則在則在，內處處為零，且內處處為零，且在單位圓在單位圓若若11013(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 任意常數(shù)（ ）C常數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 初等函數(shù)初等函數(shù) 介紹幾種常見的復變函數(shù)介紹幾種常見的復變函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù), ,對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù), ,冪函數(shù)冪函數(shù), ,三角函數(shù)三角函數(shù)3.1 3.1 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);)1(在在復復數(shù)數(shù)范范圍圍的的推推廣廣是是實實指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)復復指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)xzee的的一一些些性性質質。保保留留許許多多實實指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)xe)2(定義復指數(shù)函數(shù)的主要思路定義復指數(shù)函數(shù)的主要思路: :1.定義：( )f z在復平面內定義一個函數(shù)

28、，滿足下列三個條件：(1)( )f z 在復平面內處處解析；(2)( )( );fzf z(3)Im( )0( )Re( ).xzf zexz當時，其中z則稱它們?yōu)閺妥兞?的指數(shù)函數(shù)，exp(cossin ).xwzeyiy記做：exp ,zzeze 代這里 沒有冪的定義，只是一種符號.(cossin ).zxeeyiy即：2性質：(1) exp0,z exp(exp )2,0, 1, 2,xzeArgzykk 模：，輻角：1212(2)expexpexp()zzzz加法定理：22(3)(cos2sin2)2zk izk izzeeeekikeTk i周期性：，即；(4)();zzzeee指數(shù)

29、函數(shù) 是整個復平面上的解析函數(shù)，且(5)zez 復變量指數(shù)函數(shù) ，當時沒有極限；0limlimzxzxz xzee 當 沿著實軸正向趨向于 時，有，0limlim0zxzxz xzee 當 沿著實軸負向趨向于 時，有，111222,zxiyzxiy設，則12121122expexp(cossin)(cossin)xxzzeyiyeyiy1212121212(coscossinsin)(sincoscossin)xxeyyyyiyyyy12121212(cos()(sin()exp().xxeyyiyyzz(5)(2)(cossin ).zxeeyiy即： 例134ie 計算的值.解：據指數(shù)的定

30、義，有 334(cossin)44ieei 322(sin).22ei 例2132.12ii 利用復數(shù)的指數(shù)表示計算11113(arctan)1323(arctanarctan2)2arctan225125iiiieeie 解：因為 1(2)32,0,1,2ikek56623131.2222iiieieiei 于是所求之值有3個：，二、對數(shù)函數(shù)二、對數(shù)函數(shù) 與實變量函數(shù)一樣，對數(shù)函數(shù)的定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù) 1.定義：(0)( ).wez zwf zwLnz稱滿足方程的函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，記做wLnz現(xiàn)在來認識它：，,iwuivzre令wez代入中，得：u iviere,2uer vk比較得：，l

31、n2urvk即：，ln(2)ln0, 1, 2,wLnzzikziArgzk 因此，(1)2 i它是一多值函數(shù)，每兩值相差的整數(shù)倍；(2)lnargziz其中為一單值函數(shù)，lnlnargzzizwLnz記：，稱為的主值,ln20, 1, 2,Lnzzk ik 其它各值表示為：，(3)0lnln.zxLnzzx當時，的主值是實數(shù)中對數(shù)函數(shù) 例32( 1),( 23 )LnLnLni 求，及其相應的主值.解：2ln2(2)LniArgln2主值是，( 1)ln1( 1)(2)(21),LniArgikkiln( 1)i主值是；( 23 )ln23( 23 )LniiiArgi 13ln13( ar

32、ctan(21) ),0, 1, 2,22ikk 13ln( 23 )ln13(arctan).22ii 主值是13ln13(arctan2)22ikln22,k i2性質：11212122(1)()zLn zzLnzLnzLnLnzLnzz運算性質：，1,nnLnzLnznLnzLn zLnzn是多值函數(shù)，lnlnarg ,zziz(2)解析性，研究主值：ln z模：除原點外在其它點都連續(xù)；argz輻角：在原點與負實軸上不連續(xù).0000ReReReReIm0 0Im0 00limarglimargzzzzzzzxxzz 因為對負實軸上任意一點 = ，則當時，ln.z所以，除原點與負實軸外，在

33、復平面內其它點對數(shù)函數(shù)處處連續(xù)Lnwz綜合上述，對數(shù)函數(shù)在除去原點和負實軸的復平面是連續(xù)的。ln111wwdzdedzezdw由反函數(shù)求導法則可知：Lnz因此，的各個分支在除原點及負實軸的復平面內也解析，并且有相同的導數(shù)值.三乘冪與冪函數(shù)三乘冪與冪函數(shù) 1.ab乘冪ln0,aabbabe在實數(shù)中，若為實數(shù)，則現(xiàn)將其推廣到復數(shù)中.定義1：ba設 為不等于零的一個復數(shù)， 為任一復數(shù)，aaLnbbe定義為，.aaLnbbe即：ln(arg2)Lnbbibk由于是多值的，ab因而也是多值的，有多少值呢？(1)a當 為正整數(shù)時，ln(arg2)ab ibkaaLnbbee(lnarg ) 2ln,abi

34、bk aiabeeab所以是單值的.(2)(0)papqqq當和 為互質的整數(shù)，時，ln(arg2)pppbibkqqqbelncos(arg2)sin(arg2),0,1,2,(1)pbqppebkibkkqqq0,1,2,(1)abqkq所以具有 個值，即當時相應的各值.(3)aab當 是無理數(shù)或復數(shù)時，具有無窮多個值. 例2211(1)iiii求， 和的值.解：221221cos(22)sin(22),0, 1, 2,Lnk ieekikk (2)(2)22,0, 1, 2,iik ikiiLniieeek (1)ln2(2)1(1)(1)4(1)iikii Lniiee(ln22)(2

35、ln2)44kike242cos(2ln2)sin(2ln2),0, 1, 2,.44kekikk 2冪函數(shù)定義2： ,(0)aaaLnzwzzeaz函數(shù)規(guī)定為：為復數(shù),.z稱為復變量 的冪函數(shù).aLnzLnze由于是多值函數(shù)，所以一般也是多值函數(shù)ln| |(arg2)arg(1)|nnLnznzizknizawzeeze當 為正整數(shù)時，1()nnznz 在復平面內是單值解析函數(shù)，且導數(shù)；1(2)()ann當為正整數(shù) 時，1111arg2ln| |(arg2)|,0,1,2,(1)zkLnzzizkinnnnnwzeezekn它的各分支除去原點和負實軸外在復平面上是解析的，1111.nnzzn

36、且其導數(shù)為：(3)(0)paapqqq當 為有理數(shù)和 為互質的整數(shù)時，ln(arg2),0,1,2,(1)pppzizkqqqwzekq是一個多值函數(shù).(4)aawz當 為無理數(shù)或復數(shù)時，有多窮多值，1().aazaz 各分支除去原點和負實軸外在復平面是解析的，且四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 1三角函數(shù) cossin ,cossiniyiyeyiyeyiy據歐拉公式：兩式相加與相減，分別得： cos,sin22iyiyiyiyeeeeyyi（1）三角函數(shù)定義 2izizeez稱為復變量 的余弦函數(shù)，2izizeezi稱為復變量 的正弦函數(shù)，cos ,sinzz分別記做：，即：c

37、os,sin22izizizizeeeezzi（2）性質 (1)cos ,sinzz單值性：均為單值函數(shù)；(2)cossin2.zz周期性：，是以為周期的函數(shù)(3)cossinzz奇偶性：為偶函數(shù)，奇函數(shù)；(4)(cos )sin(sin )cos .zzzz 解析性：在整個復平面內處處解析，且，(cos )2izizeez 證明：sin22izizizizieieeezi （3）三角公式 121212(1) cos()coscossinsin;zzzzzz121221(2)sin()sincossincos;zzzzzz22(3)sincos1zz ；(5), cos2yyyeeziyiy 無界性：取11sin().22yyyyyiyeeeei sincos11(4) tan,cot,sec,csc.cossincossinzzzzzzzzzz2雙曲函數(shù) cosh2zzeez雙曲余弦：cosh;2xxeexsinh2zzeez雙曲正弦：sinh;2xxeexsinhtanh;coshzzzzzeezzee雙曲正切：coshcoth.