第三章濾波器設(shè)計

1、測試信號處理測試信號處理機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社目目 錄錄v第章測試信號處理的理論基礎(chǔ)第章測試信號處理的理論基礎(chǔ)v第章離散傅里葉變換第章離散傅里葉變換v第章數(shù)字濾波器的設(shè)計第章數(shù)字濾波器的設(shè)計v第章離散隨機(jī)信號的特征描述及其估計第章離散隨機(jī)信號的特征描述及其估計v第章功率譜估計第章功率譜估計v第章維納濾波器和卡爾曼濾波器第章維納濾波器和卡爾曼濾波器v第章自適應(yīng)濾波器第章自適應(yīng)濾波器v第章小波變換第章小波變換v第章信號測試技術(shù)第章信號測試技術(shù)第章數(shù)字濾波器的設(shè)計第章數(shù)字濾波器的設(shè)計v3.1 引言引言v3.2 時域離散信號與時域離散系統(tǒng)時域離散信號與時域離散系統(tǒng)v3.3 序列傅里葉變換序列傅里

2、葉變換v3.4 序列的序列的z變換變換v3.1 引言引言 濾波器能夠濾除信號中一些不必要的頻率成分。濾波器能夠濾除信號中一些不必要的頻率成分。也就是說，濾波就是改變輸入信號的中所含頻率分也就是說，濾波就是改變輸入信號的中所含頻率分量的相對比例，它是信號處理的主要內(nèi)容之一。模量的相對比例，它是信號處理的主要內(nèi)容之一。模擬濾波器具有成熟的設(shè)計方法，這里不作詳細(xì)介紹。擬濾波器具有成熟的設(shè)計方法，這里不作詳細(xì)介紹。數(shù)字濾波器與模擬濾波器的不同是實現(xiàn)方式。數(shù)字?jǐn)?shù)字濾波器與模擬濾波器的不同是實現(xiàn)方式。數(shù)字濾波是采用數(shù)值運算的方法達(dá)到濾波目的，可以按濾波是采用數(shù)值運算的方法達(dá)到濾波目的，可以按照一定的算法編

3、寫軟件，通過計算機(jī)實現(xiàn)濾波；也照一定的算法編寫軟件，通過計算機(jī)實現(xiàn)濾波；也可以按照算法選用硬件組成專用計算機(jī)實現(xiàn)濾波；可以按照算法選用硬件組成專用計算機(jī)實現(xiàn)濾波；另外目前已研制出各種專用數(shù)字信號處理芯片，可另外目前已研制出各種專用數(shù)字信號處理芯片，可以很方便地實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器。以很方便地實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器。 v3.1 引言引言 數(shù)字濾波器具有高精度、高穩(wěn)定性、可采用超數(shù)字濾波器具有高精度、高穩(wěn)定性、可采用超大規(guī)模集成電路、體積小、重量輕、實現(xiàn)靈活且不大規(guī)模集成電路、體積小、重量輕、實現(xiàn)靈活且不要求阻抗匹配等優(yōu)點。因此數(shù)字濾波器在很多方面要求阻抗匹配等優(yōu)點。因此數(shù)字濾波器在很多方面優(yōu)于模擬濾波

4、器。優(yōu)于模擬濾波器。 數(shù)字濾波器和模擬濾波器一樣，從頻率響應(yīng)分類數(shù)字濾波器和模擬濾波器一樣，從頻率響應(yīng)分類可以劃分成低通、高通、帶通和帶阻等濾波器，當(dāng)可以劃分成低通、高通、帶通和帶阻等濾波器，當(dāng)然還有其它一些按照具體技術(shù)要求提出的濾波器。然還有其它一些按照具體技術(shù)要求提出的濾波器。這里需要說明的是由于序列的傅立葉變換具有以這里需要說明的是由于序列的傅立葉變換具有以2為周期的周期性，濾波器的特性也具有這一周期性，為周期的周期性，濾波器的特性也具有這一周期性，各種濾波器的幅度特性示意圖如圖各種濾波器的幅度特性示意圖如圖3-1所示。由圖所示。由圖可見，低通通帶處于可見，低通通帶處于0或或2整數(shù)倍頻率

5、附近；高通整數(shù)倍頻率附近；高通通帶處于通帶處于的奇數(shù)倍頻率附近。的奇數(shù)倍頻率附近。 數(shù)字濾波器按單位脈沖響應(yīng)長度可分成無數(shù)字濾波器按單位脈沖響應(yīng)長度可分成無限脈沖響應(yīng)濾波器和有限脈沖響應(yīng)濾波器兩限脈沖響應(yīng)濾波器和有限脈沖響應(yīng)濾波器兩類，分別稱為類，分別稱為IIR濾波器和濾波器和FIR濾波器；按照濾波器；按照濾波器的實現(xiàn)方法可以分成遞歸濾波器和非濾波器的實現(xiàn)方法可以分成遞歸濾波器和非遞歸濾波器兩類。當(dāng)然一般情況下遞歸濾波遞歸濾波器兩類。當(dāng)然一般情況下遞歸濾波器對應(yīng)器對應(yīng)IIR濾波器，非遞歸濾波器對應(yīng)濾波器，非遞歸濾波器對應(yīng)FIR濾濾波器。波器。數(shù)字濾波器可用數(shù)字濾波器可用N階差分方程階差分方程

6、NkkMiiknyanxbny10)()1()(來描述，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為來描述，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為濾波器的設(shè)計任務(wù)就是根據(jù)預(yù)先規(guī)定的技術(shù)指濾波器的設(shè)計任務(wù)就是根據(jù)預(yù)先規(guī)定的技術(shù)指標(biāo)，找到一組系數(shù)，使其濾波器的性能滿足標(biāo)，找到一組系數(shù)，使其濾波器的性能滿足技術(shù)指標(biāo)。如果找到了，剩下的問題就是設(shè)技術(shù)指標(biāo)。如果找到了，剩下的問題就是設(shè)計一個具體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)去實現(xiàn)它。計一個具體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)去實現(xiàn)它。NkkkMiiizazbzH101)( 濾波器的技術(shù)指標(biāo)可以在頻域也可以在時域給出，但通常濾波器的技術(shù)指標(biāo)可以在頻域也可以在時域給出，但通常是在頻域給出。圖是在頻域給出。圖3-1所示的是一些理想濾波器的幅度特性，

7、所示的是一些理想濾波器的幅度特性，是非因果的，我們只能設(shè)計一個因果濾波器盡量逼近它，通是非因果的，我們只能設(shè)計一個因果濾波器盡量逼近它，通常只要滿足給定的指標(biāo)就可以了。一個實際濾波器的幅度特常只要滿足給定的指標(biāo)就可以了。一個實際濾波器的幅度特性在通帶中允許有一定的波動，阻帶衰減大于給定的衰減，性在通帶中允許有一定的波動，阻帶衰減大于給定的衰減，且在通帶阻帶之間允許有一定寬度的過渡帶。圖且在通帶阻帶之間允許有一定寬度的過渡帶。圖3-2示出了示出了一個低通濾波器的幅頻特性。一個低通濾波器的幅頻特性。 通帶頻率范圍是通帶頻率范圍是,在通帶中要求在通帶中要求,稱為通帶稱為通帶上限頻率或稱濾波器截止頻率

8、。頻率范圍稱上限頻率或稱濾波器截止頻率。頻率范圍稱為阻帶，在阻帶內(nèi)要求稱為阻帶下限頻率。為阻帶，在阻帶內(nèi)要求稱為阻帶下限頻率。頻率在和之間稱為過渡帶，一般要求在過渡頻率在和之間稱為過渡帶，一般要求在過渡帶幅度特性單調(diào)下降。通帶內(nèi)衰減（波動）帶幅度特性單調(diào)下降。通帶內(nèi)衰減（波動）和阻帶內(nèi)衰減（波動）通常用和阻帶內(nèi)衰減（波動）通常用dB表示。對于表示。對于圖圖3-2，令，令 （3-3) （3-4）dBeHeHeHeHppjjjjp|)()(|lg20|)()(|lg10020dBeHeHeHeHssjjjjs|)()(|lg20|)()(|lg10020 ,式中 稱為濾波器相位頻率特性，一般選頻濾

9、波器對 沒有要求。但要求具有線性相位特性時，設(shè)計時要考慮滿足 （ 為時延常數(shù)）。c)(| )(|)(jjjeeHeH)()()(3.1 無限長單位脈沖響應(yīng)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計 模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯（Butterworth）濾波器、切比雪夫（Chebyshev）濾波器、橢圓（Cauer）濾波器、貝塞爾（Bessel）濾波器等，他們都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。這些典型的濾波器各有特點，例如巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅度特性，切比雪夫濾波器的通帶內(nèi)或阻帶內(nèi)有波動，提高了濾波器的選擇性，貝塞爾濾波器通帶內(nèi)

10、有較好的線性相位特性。 c 根據(jù)以上特點只要選定一種類型，就可根據(jù)以上特點只要選定一種類型，就可以用相應(yīng)的設(shè)計公式或曲線圖表，按規(guī)定的以用相應(yīng)的設(shè)計公式或曲線圖表，按規(guī)定的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計出模擬濾波器的傳輸函數(shù)。為技術(shù)指標(biāo)設(shè)計出模擬濾波器的傳輸函數(shù)。為了利用模擬濾波器這些成熟的理論和設(shè)計方了利用模擬濾波器這些成熟的理論和設(shè)計方法，設(shè)計數(shù)字濾波器可以按技術(shù)要求設(shè)計一法，設(shè)計數(shù)字濾波器可以按技術(shù)要求設(shè)計一個模擬濾波器個模擬濾波器 ,再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的 。這樣問題。這樣問題就變成了如何將就變成了如何將s平面上的平面上的 轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成z平平面

11、上的數(shù)字濾波器面上的數(shù)字濾波器 。 c)(sHa)(sHa)(zH)(sHa)(zH 為了保證轉(zhuǎn)換后的仍滿足技術(shù)要求，必須對轉(zhuǎn)為了保證轉(zhuǎn)換后的仍滿足技術(shù)要求，必須對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出如下要求：換關(guān)系提出如下要求： 1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器后，仍因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器后，仍是因果穩(wěn)定的。模擬濾波器是因果穩(wěn)定的。模擬濾波器 因果穩(wěn)定要求極因果穩(wěn)定要求極點位于點位于s平面左半平面上；數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定要平面左半平面上；數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定要求極點位于單位圓內(nèi)。因此轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)使求極點位于單位圓內(nèi)。因此轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)使s平面的平面的左半平面映射左半平面映射z平面的單位圓內(nèi)部。平面的單位

12、圓內(nèi)部。 2)數(shù)字濾波器的頻響應(yīng)模仿的頻響數(shù)字濾波器的頻響應(yīng)模仿的頻響 ，即要求，即要求s平面的虛軸平面的虛軸j線性映射到線性映射到z平面的單位圓上。平面的單位圓上。 將傳輸函數(shù)將傳輸函數(shù) 從從s平面轉(zhuǎn)換到平面轉(zhuǎn)換到z平面的方法有平面的方法有很多種，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙很多種，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法，下面我們分別對這兩種方法進(jìn)行研線性不變法，下面我們分別對這兩種方法進(jìn)行研究。究。)(sHa)(sHa)(sHa 3.2.1脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為 ，相應(yīng)，相應(yīng)的單位沖擊響應(yīng)是的單位沖擊響應(yīng)是 。 對對 進(jìn)行

13、等間隔采樣，采樣間隔為進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T,得到得到 ,將將 作為數(shù)字濾波器作為數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)函數(shù) 便是便是 的的Z變換。因此脈沖響應(yīng)不變變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時域上的轉(zhuǎn)換方法，它使法是一種時域上的轉(zhuǎn)換方法，它使 在采在采樣點上等于樣點上等于 。)(sHa)(tha)()(thLTsHaa)(tha)()(nThnha)(zH)(nTha)(nh)(nh)(tha 設(shè)模擬濾波器設(shè)模擬濾波器 只有單階極點，且只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將將 用部

14、分分式表示：用部分分式表示： （3-5） 式中式中 為為 的單階極點。將的單階極點。將 進(jìn)行拉進(jìn)行拉氏反變換得到氏反變換得到 （3-6） 式中式中 是單位階躍函數(shù)。對是單位階躍函數(shù)。對 進(jìn)行等進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為間隔采樣，采樣間隔為T,得到得到 )(sHa)(sHa)(sHa)(sHaNiiassAisH1)(is)(tha)()(1tueAthtsNiiai)(tu)(tha （3-7） 對式（對式（3-7）進(jìn)行）進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)器的系統(tǒng)函數(shù) （3-8） 如果如果 是一個是一個r階極點，其逆拉氏變換階極點，其逆拉氏變換 為為 )()()(1nTue

15、AnThnhnTsNiiai)(zHNiTsizeAzHi111)(is)(tha)()!1()()(11tuetrcsscLTthtsrriai 對對 進(jìn)行采樣得到進(jìn)行采樣得到 ，再進(jìn)行，再進(jìn)行Z變換變換得到得到 ,它們分別為它們分別為 可記為可記為 )(zH)(tha)(nh)11()!1()()()()!1()()(111TsrnTsriiezdzdzdzdzdzdzrcTzHnTuenTrcnThnhTsrriezdzdzrcTzH11111)!1()( 由式（由式（3-5）和式（）和式（3-8）表明，對于單）表明，對于單階極點階極點 ,映射到映射到z平面上，其極點為平面上，其極點為

16、。實。實際轉(zhuǎn)換時可以先將際轉(zhuǎn)換時可以先將 部分分式展開，直接部分分式展開，直接將極點將極點 轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成z平面上的平面上的 ，按照式（，按照式（3-8）寫出寫出 表示式。表示式。 例如一個例如一個RC低通濾波電路如圖低通濾波電路如圖3-3所示。所示。 傳輸函數(shù)傳輸函數(shù) 為為)(zHisisTsie)(sHaTsie)(sHaRCsRCscRscsHa1111)( 極點為極點為-1/RC。轉(zhuǎn)換成。轉(zhuǎn)換成H（z）,H（z）的極）的極點為點為 , 因此因此H（z）用下式表示：）用下式表示： 另另 =RC,稱為稱為RC電路的時間常數(shù)，電路的時間常數(shù)， 為為 相應(yīng)的差分方程為相應(yīng)的差分方程為 TRCe1

17、11/1)(zeRCzHRCT)(zH111)(zezHT)()/1 () 1()()(/nxnyenyT 下面我們進(jìn)一步討論脈沖響應(yīng)不變法的下面我們進(jìn)一步討論脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換性能。設(shè)用轉(zhuǎn)換性能。設(shè)用 表示的采樣信號表示的采樣信號 ，那，那么么 的傅里葉變換的傅里葉變換 與邊與邊 的傅里葉變的傅里葉變換換 之間的關(guān)系用下式表示：之間的關(guān)系用下式表示： （3-9） 令令 ,得到相應(yīng)拉氏變換之間關(guān)系：得到相應(yīng)拉氏變換之間關(guān)系： （3-10） )(tha)(tha)()(nThthaa)(tha)( jHa)(tha)( jHa)2(1)(rTjjHTjHraa js)2(1)(rTjsHTsH

18、raa根據(jù)拉氏變換的定義，寫出根據(jù)拉氏變換的定義，寫出因此因此 （3-11）dtethsHstaa)()(sTsTezneznsnTnastnazHznhenThdtenTtth | )(|)()()()(raezrTjsHTzHsT)2(1| )( 式（式（3-11）說明，將模擬信號）說明，將模擬信號 的拉氏變的拉氏變換換 在在s平面上沿虛軸周期延拓后，再按平面上沿虛軸周期延拓后，再按照照 的映射關(guān)系映射到的映射關(guān)系映射到z平面上，就得平面上，就得到到 。為了更清楚地說明這種映射關(guān)系，。為了更清楚地說明這種映射關(guān)系，將將s和和z分別用直角坐標(biāo)形式和極坐標(biāo)型式分別用直角坐標(biāo)形式和極坐標(biāo)型式表示

19、，即令表示，即令 將將s和和z的表示式代入關(guān)系的表示式代入關(guān)系 中，得到中，得到 )(tha)(sHasTez )(zHjsjrez sTez TjTjeerez因此得到因此得到 那么那么 上面關(guān)系式說明上面關(guān)系式說明s平面的虛軸（平面的虛軸（ =0）映射）映射z平面的平面的單位圓（單位圓（r=1）。）。S平面左半平面（平面左半平面（ 0 ）映射）映射z平面單位圓內(nèi)（平面單位圓內(nèi)（r1） ,s平面右半平面映射平面右半平面映射z平面平面單位圓外（單位圓外（r1）。這說明如果）。這說明如果 因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的換后得到的 仍是因果穩(wěn)定的。仍是因果穩(wěn)定的。 Ter （3-12） T10

20、1010rrr)(sHa)(zH另外注意到另外注意到 是一個周期函數(shù)，可寫成是一個周期函數(shù)，可寫成 , M任意整數(shù)任意整數(shù) 當(dāng)當(dāng) 不變，模擬頻率不變，模擬頻率變化變化 的整數(shù)倍時，映射值的整數(shù)倍時，映射值不變?；蛘哒f將不變?；蛘哒f將s平面沿著平面沿著j軸分割成一條條寬為軸分割成一條條寬為2/T的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映射關(guān)系對應(yīng)著整個射關(guān)系對應(yīng)著整個z平面。此時平面。此時 所在的所在的s平面平面與與 所在的所在的z平面映射關(guān)系如圖平面映射關(guān)系如圖3-4所示。所示。 （3-12） sTez TjTsTeeeTMTjTee)2(T2)(sHa)(z

21、H 由該圖表明，每條水平帶的左邊映射為該圖表明，每條水平帶的左邊映射為z平面單位平面單位圓內(nèi)部，模擬頻率圓內(nèi)部，模擬頻率從從- /T變化到變化到 /T,相應(yīng)的數(shù)字相應(yīng)的數(shù)字頻率則從頻率則從- 變化到變化到 ，在單位圓上轉(zhuǎn)了一周，由式，在單位圓上轉(zhuǎn)了一周，由式（3-12）式，模擬頻率）式，模擬頻率與數(shù)字頻率與數(shù)字頻率成線性關(guān)系，成線性關(guān)系，因此滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系中要求的頻率線性映射關(guān)系。因此滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系中要求的頻率線性映射關(guān)系。 以上分析結(jié)果表明脈沖響應(yīng)不變法，其轉(zhuǎn)換關(guān)以上分析結(jié)果表明脈沖響應(yīng)不變法，其轉(zhuǎn)換關(guān)系滿足前面提出的兩點要求。系滿足前面提出的兩點要求。 但是由公式（但是由公式（3-9）看到對）

22、看到對 采樣后得到的采樣后得到的 ,其其傅立葉變換傅立葉變換 是由是由 按照周期按照周期2/T，即采樣角頻率，即采樣角頻率s周期延拓而成，如果原模擬信號周期延拓而成，如果原模擬信號 并不是帶限于并不是帶限于/T之間，則會在之間，則會在/T的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，相的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，相應(yīng)的在應(yīng)的在z平面上就在平面上就在=附近產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。頻率附近產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。頻率混疊現(xiàn)象產(chǎn)生在混疊現(xiàn)象產(chǎn)生在=的奇數(shù)倍附近，脈沖響應(yīng)不變法的頻的奇數(shù)倍附近，脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象如圖率混疊現(xiàn)象如圖3-5所示。如果產(chǎn)生了頻率混疊現(xiàn)象，用所示。如果產(chǎn)生了頻率混疊現(xiàn)象，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計

23、出的數(shù)字濾波器，在脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計出的數(shù)字濾波器，在=附近的頻率附近的頻率響應(yīng)應(yīng)會不同程度的偏離模擬濾波器在響應(yīng)應(yīng)會不同程度的偏離模擬濾波器在/T附近的頻率響附近的頻率響應(yīng)。其最終的結(jié)果使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術(shù)要求。應(yīng)。其最終的結(jié)果使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術(shù)要求。為此要求模擬濾波器是一個帶限濾波器，但實際上的頻響為此要求模擬濾波器是一個帶限濾波器，但實際上的頻響不可能真正帶限，只要在折疊頻率不可能真正帶限，只要在折疊頻率/T以上頻響衰減加快，以上頻響衰減加快，即是銳截止的，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計出的數(shù)字濾波器仍即是銳截止的，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計出的數(shù)字濾波器仍能較好地滿足要求。能較好地滿

24、足要求。 )(tha)(tha)( jHa)( jHa)(txa假設(shè)假設(shè) 沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足 按 照 （按 照 （ 3 - 1 1 ） 式 ， 并 代 入 關(guān) 系 式） 式 ， 并 代 入 關(guān) 系 式s=j,=T,得到得到 （3-13） 說明用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器可說明用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響。以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響。 )( jHa， |/T 0)(jHa，| )(1)(TjHTeHaj 在式（在式（3-13）中，）中， 的幅度特性與采樣的幅度特性與采樣間隔成正比，這樣當(dāng)間隔成正比，這樣當(dāng)T較小時，較小時，

25、 就會有就會有太高的增益，為避免這一現(xiàn)象，令太高的增益，為避免這一現(xiàn)象，令 那么那么 此時此時 ,| )(jeH)(jeH)()(nTThnhaNiTsizeTAzHi111)()/()(TjHeHaj 一般 的極點是一個復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)。在式（3-5）中將一對復(fù)數(shù)共軛極點放在一起，形成一個二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為 可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)（只有實數(shù)乘法）的形式為 )( jHa21211)(ss極點11jTTTezTezTez111221111cos21cos1如果模擬濾波器二階基本節(jié)形式為 則相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的形式為 利用以上這些變換關(guān)

26、系，可以簡化設(shè)計。 21211)(s極點11jTTTezTezTez111221111cos21sin例3-1已知模擬低通濾波器的 為 用脈沖響應(yīng)不變法將 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 。解:首先將 寫成部分分式極點為 H（z）的極點 )(sHa7079. 06449. 05012. 0)(2sssHa)(sHa)(zH)(sHa7772. 03224. 03224. 07772. 03224. 03224. 0)(jsjjsjsHa)7772. 03224. 0()7772. 03224. 0(21jsjsTsTsezez2121,按照式（3-7）寫出 ，經(jīng)過整理得到設(shè)T=1s,T=0.1s兩

27、種情況，分別求出系統(tǒng)函數(shù) 、 ：或者將 寫成如下形式：利用前面介紹的第二種二階基本節(jié)的形式，直接寫出 的表示式，其結(jié)果和上面得到結(jié)果一樣。)(zH26449. 03224. 0113224. 0)7772. 0cos(21)7772. 0sin(3224. 02)(zeTezzTezHTT)(1zH)(2zH211221119375. 093072. 110485. 0)(5247. 00328. 113276. 0)(zzzzHzzzzH)(sHa22)7772. 0()3224. 0(7772. 06448. 0)(ssHa)(zH3.2.2雙線性變換法 脈沖響應(yīng)不變法的缺點是會產(chǎn)生頻率混

28、疊現(xiàn)象，而雙線性變換法的優(yōu)點之一則是不會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。 我們知道脈沖響應(yīng)不變法產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象的原因是模擬低通的最高截止頻率超過了折疊頻率/T，在數(shù)字化后產(chǎn)生了頻譜混疊，再通過映射關(guān)系 ，結(jié)果在附近形成頻譜混疊現(xiàn)象。為了克服這一缺點，雙線性變換法采用了非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸壓縮到/T之間，再用 轉(zhuǎn)換到z平面上。)(zHsTez sTez 設(shè)設(shè) （ ）經(jīng)過非線性壓縮后用）經(jīng)過非線性壓縮后用 （ ）表示，雙線性變換法用正切變換實現(xiàn)頻率壓表示，雙線性變換法用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮：縮： （3-14）式中式中T是采樣間隔，當(dāng)是采樣間隔，當(dāng) 從從-/T經(jīng)過經(jīng)過0變化到變化到/T時，時， 則從

29、則從 經(jīng)過經(jīng)過0變化到變化到 ，實現(xiàn)了，實現(xiàn)了 平面平面上整個虛軸完全壓縮到上整個虛軸完全壓縮到 平面上虛軸的平面上虛軸的 之間之間的轉(zhuǎn)換。兩個平面的轉(zhuǎn)換公式為：的轉(zhuǎn)換。兩個平面的轉(zhuǎn)換公式為： （3-15） )(zH js)(sHa)(1sHa js1TtgT12121s1sT/TsTseeTs11112再通過再通過 轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到z平面，得到平面，得到 （3-16）由式（3-16）解出z，得到 （3-17） 式（3-16）或式（3-17）稱為雙線性變換式，設(shè)已知 ，利用式（3-16）可直接求出 ，即 （3-18） Tsez111112zzTssTsTz22)(sHa)(zH11112| )()

30、(zzTsasHzH雙線性變換實質(zhì)就是先從雙線性變換實質(zhì)就是先從 平面映射到平面映射到 平平面，再從面，再從 平面映射到平面映射到z平面，如圖平面，如圖3-6所示。所示。由于從由于從 平面到平面到 平面具有非線性頻率壓縮的平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，這是雙功能，因此不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，這是雙線性變換法相對于脈沖響應(yīng)不變法最大的優(yōu)線性變換法相對于脈沖響應(yīng)不變法最大的優(yōu)點點 s1s1ss1s 從從 平面轉(zhuǎn)換到平面轉(zhuǎn)換到z平面仍然采用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換關(guān)平面仍然采用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換關(guān)系系 ， 平面的之間水平帶平面的之間水平帶 的左半部分的左半部分映射到映射到z平面的單位園內(nèi)部，虛軸映

31、射到單位平面的單位園內(nèi)部，虛軸映射到單位園上。這樣，園上。這樣， 因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換成的因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換成的 也是也是因果穩(wěn)定的。因果穩(wěn)定的。 下面我們對式（3-16）進(jìn)一步分析，說明雙線性變換法消除頻率混疊的原因。令 （3-19） （3-20） 1s1sTsez1T/)(sHa)(zHTsez1TsTseeTs11112利用上兩式將從利用上兩式將從s平面轉(zhuǎn)換到平面轉(zhuǎn)換到z平面的過程分成平面的過程分成兩步，第一步利用式（兩步，第一步利用式（3-20）將）將 轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到s1平面上，平面上， 為為第二步利用式（第二步利用式（3-19）將）將 轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到z平面，平面， 為為令令 ，代入式（，代入式（3

32、-16）得到）得到即即 （3-21） )(1sHa)(1sHaTsTseeTsaasHsH111121| )()()(1sHa)(zHzTsassHzHln11| )()(jezjs,jjeeTj11221tan2T上式說明，上式說明，s平面上平面上 與與z平面的平面的成非線性正成非線性正切關(guān)系，如圖切關(guān)系，如圖3-7所示。在所示。在=0附近接近線性附近接近線性關(guān)系，當(dāng)關(guān)系，當(dāng)增加時，增加時， 增加得越來越快，當(dāng)增加得越來越快，當(dāng)趨近于時，趨近于時， 趨近于趨近于。其實也正是因為這種。其實也正是因為這種非線性關(guān)系消除了頻率混疊現(xiàn)象。非線性關(guān)系消除了頻率混疊現(xiàn)象。 圖圖3-7 雙線性變換法的頻率

33、變換關(guān)系雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 圖圖3-8 非線性變換法的非線性映射非線性變換法的非線性映射 與與 之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點，直接影響數(shù)之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點，直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響，幅度特性和相位字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響，幅度特性和相位特性失真的情況如圖特性失真的情況如圖3-8所示。這種非線性影響的實質(zhì)問題所示。這種非線性影響的實質(zhì)問題是：如果的是：如果的 刻度是均勻的，映射到刻度是均勻的，映射到z平面平面的刻度不是均勻的刻度不是均勻的，而是隨的，而是隨增加越來越密。因此如果模擬濾波器的頻響具有增加越來越密。因此如果模擬濾

34、波器的頻響具有片斷常數(shù)特性，轉(zhuǎn)換到片斷常數(shù)特性，轉(zhuǎn)換到z平面數(shù)字濾波器仍具有片斷常數(shù)特平面數(shù)字濾波器仍具有片斷常數(shù)特性，主要是特性轉(zhuǎn)折點頻率值與模擬濾波器特性轉(zhuǎn)折點的頻率性，主要是特性轉(zhuǎn)折點頻率值與模擬濾波器特性轉(zhuǎn)折點的頻率值成非線性關(guān)系。當(dāng)然對于不是片斷常數(shù)的相位特性仍有非線值成非線性關(guān)系。當(dāng)然對于不是片斷常數(shù)的相位特性仍有非線性失真。因此雙線性變換法適合片斷常數(shù)特性的濾波器的設(shè)性失真。因此雙線性變換法適合片斷常數(shù)特性的濾波器的設(shè)計。實際中，一般設(shè)計濾波器通帶和阻帶均要求是片斷常數(shù)，計。實際中，一般設(shè)計濾波器通帶和阻帶均要求是片斷常數(shù)，因此雙線性變換法得到了廣泛的應(yīng)用。在設(shè)計時要注意邊界頻因

35、此雙線性變換法得到了廣泛的應(yīng)用。在設(shè)計時要注意邊界頻率如通帶截止頻率、阻帶下截止頻率等的轉(zhuǎn)換關(guān)系要用式率如通帶截止頻率、阻帶下截止頻率等的轉(zhuǎn)換關(guān)系要用式（3-21）計算。）計算。 例例3-2已知模擬濾波器已知模擬濾波器 ,試?yán)秒p線試?yán)秒p線性變換法，將性變換法，將 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 。解解: 圖3-9 與的幅頻特性 )1/(1)(ssHa)(sHa)(zH11112| )()(zzTsasHzH)1 ()1 (2)1 (111zTzzT設(shè)設(shè)T=1s 與與 幅頻特性如圖幅頻特性如圖3-9所示。所示。 圖圖3-9中，模擬濾波器中，模擬濾波器 并不是帶限的，他并不是帶限的，他拖了個

36、拖了個“長尾巴長尾巴”，但由于雙線性變換法具有，但由于雙線性變換法具有頻頻率壓縮作用，數(shù)字濾波器的頻響限制在率壓縮作用，數(shù)字濾波器的頻響限制在0與與之間，不存在頻率混疊作用。之間，不存在頻率混疊作用。 雙線性變換法可由簡單的代數(shù)公式（雙線性變換法可由簡單的代數(shù)公式（3-16）將將 直接轉(zhuǎn)換成直接轉(zhuǎn)換成 ，這是該變換法的優(yōu)，這是該變換法的優(yōu)點，但當(dāng)階數(shù)稍高時，將點，但當(dāng)階數(shù)稍高時，將 整理成需要的形整理成需要的形式，也不是一件簡單的工作。式，也不是一件簡單的工作。 1131)(zzzH)(sHa)(zH)( jHa)(sHa)(zH)(zH為簡化設(shè)計，已將模擬濾波器各系數(shù)和經(jīng)雙線性變換法得到的為

37、簡化設(shè)計，已將模擬濾波器各系數(shù)和經(jīng)雙線性變換法得到的數(shù)字濾波器的各系數(shù)之間關(guān)系，列成表格共設(shè)計時使用，這里數(shù)字濾波器的各系數(shù)之間關(guān)系，列成表格共設(shè)計時使用，這里不作介紹，需要時請讀者參考其它有關(guān)資料。不作介紹，需要時請讀者參考其它有關(guān)資料。 以上我們研究了由模擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器常用的兩以上我們研究了由模擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器常用的兩種轉(zhuǎn)換方法，下面總結(jié)一下設(shè)計數(shù)字低通濾波器的步驟種轉(zhuǎn)換方法，下面總結(jié)一下設(shè)計數(shù)字低通濾波器的步驟 :1.確定數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)：通帶截止頻率確定數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)：通帶截止頻率 、通帶衰、通帶衰減減 、阻帶截止頻率、阻帶截止頻率 、阻帶衰減、阻帶

38、衰減 。2.確定對應(yīng)模擬低通濾波器的性能指標(biāo)。這里主要是將數(shù)字濾確定對應(yīng)模擬低通濾波器的性能指標(biāo)。這里主要是將數(shù)字濾波器的邊界頻率波器的邊界頻率 、3dB截止頻率等轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的截止頻率等轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的相應(yīng)邊界頻率。對于脈沖響應(yīng)不變法，該轉(zhuǎn)換關(guān)系為相應(yīng)邊界頻率。對于脈沖響應(yīng)不變法，該轉(zhuǎn)換關(guān)系為 ；對于雙線性變換法，轉(zhuǎn)換關(guān)系為對于雙線性變換法，轉(zhuǎn)換關(guān)系為 。通帶及阻帶衰減與。通帶及阻帶衰減與數(shù)字低通濾波器相同。數(shù)字低通濾波器相同。 )(zHppsssp和T212tgT3.按照模擬低通濾波器的性質(zhì)指標(biāo)，設(shè)計模擬濾波器按照模擬低通濾波器的性質(zhì)指標(biāo)，設(shè)計模擬濾波器 。各。各種模擬濾波器（巴特沃

39、斯濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波種模擬濾波器（巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波器等）的設(shè)計在其它資料中都有詳細(xì)介紹。器等）的設(shè)計在其它資料中都有詳細(xì)介紹。4.利用雙線性變換法或者脈沖響應(yīng)不變法將利用雙線性變換法或者脈沖響應(yīng)不變法將 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通通 。 在設(shè)計數(shù)字低通濾波器的過程中，要用到采樣間隔在設(shè)計數(shù)字低通濾波器的過程中，要用到采樣間隔T參數(shù)。參數(shù)。下面討論下面討論T參數(shù)的選擇問題。如采用脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行設(shè)參數(shù)的選擇問題。如采用脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行設(shè)計，為避免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，要求所設(shè)計的模擬低通濾波器計，為避免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，要求所設(shè)計的模擬低通濾波器帶限于帶限于

40、/T之間，考慮到實際低通濾波器都有一定寬度的過之間，考慮到實際低通濾波器都有一定寬度的過渡帶，可選擇參數(shù)渡帶，可選擇參數(shù)T，使?jié)M足公式，使?jié)M足公式|/T式中為低通濾波器式中為低通濾波器阻帶截止頻率阻帶截止頻率 。但如果給定的數(shù)字低通濾波器的阻帶截止頻。但如果給定的數(shù)字低通濾波器的阻帶截止頻率，由于率，由于 ，當(dāng)滿足，當(dāng)滿足 時，時， 一定要滿足一定要滿足 的要求的要求。 )(sHa)(sHa)(zHsTssTs/|ss 因此在確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)時，因此在確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)時，要考慮這一條件。我們知道數(shù)字濾波器的傳輸要考慮這一條件。我們知道數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)函數(shù) 是以是以2

41、為周期的函數(shù)，最高頻率在為周期的函數(shù)，最高頻率在處，因此這一條件對數(shù)字低通濾波器而言，處，因此這一條件對數(shù)字低通濾波器而言，一般是滿足的，因此參數(shù)一般是滿足的，因此參數(shù)T可任選，可任選，T選定后，選定后，模擬低通濾波器的模擬低通濾波器的 也定了。為了簡單，一般也定了。為了簡單，一般選選T=1。 如采用雙線性變換法進(jìn)行設(shè)計。這種方法本如采用雙線性變換法進(jìn)行設(shè)計。這種方法本身保證不產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，不需要考慮這方身保證不產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，不需要考慮這方面因素的影響。因此面因素的影響。因此T可以任選，也可以選可以任選，也可以選T=1。 s)(jeHs例例3-3 設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低

42、于設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2 rad時，容許幅度誤差在時，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率以內(nèi)；在頻率0.3到到之間的阻之間的阻帶衰減大于帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計濾波器。器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計濾波器。解解 : （1）用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字巴特沃斯低通濾波器。）用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字巴特沃斯低通濾波器。 巴特沃斯低通濾波器的幅度特性是單調(diào)下降的。巴特沃斯低通濾波器的幅度特性是單調(diào)下降的。 按照式（按照式（3-3）和式（）和式（3-4）其技術(shù)指

43、標(biāo)要求可用下式描述：）其技術(shù)指標(biāo)要求可用下式描述：式中式中 ， 。按要求通帶最大衰減。按要求通帶最大衰減 ，阻帶，阻帶最小衰減最小衰減 (在在=0處，幅度歸一化到處，幅度歸一化到1， ）。）。15| )(|lg201| )(|lg20ppjjeHeH3 . 0s2 . 0pdBp1dBs151)(0jeH設(shè)計步驟如下：設(shè)計步驟如下：1.將設(shè)計要求轉(zhuǎn)換為對模擬濾波器的設(shè)計要求。將設(shè)計要求轉(zhuǎn)換為對模擬濾波器的設(shè)計要求。 脈沖響應(yīng)不變法模擬頻率和數(shù)字頻率之間的映射關(guān)系是線性脈沖響應(yīng)不變法模擬頻率和數(shù)字頻率之間的映射關(guān)系是線性的，即的，即 ，為了簡單，設(shè)，為了簡單，設(shè)T=1，由式（，由式（3-13）可

44、知，）可知，|時時 ，因此直接寫出本例模擬濾，因此直接寫出本例模擬濾波器的設(shè)計要求：波器的設(shè)計要求：v （3-22）v （3-23）式中通帶截止頻率式中通帶截止頻率 rad/s,阻帶起始頻率阻帶起始頻率 rad/s。通帶最大衰減通帶最大衰減 ，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 。 2.計算模擬濾波器所需階數(shù)計算模擬濾波器所需階數(shù)N及及3dB截止頻率截止頻率 。按照巴特沃斯濾波器的設(shè)計方法，階數(shù)按照巴特沃斯濾波器的設(shè)計方法，階數(shù)N計算如下：計算如下：T)()(1)(jHTjHTeHaaj1| )(|lg20pjeH15| )(|lg20pjeH2 . 0p3 . 0sdBp1dBs15clglgkN式

45、中式中 N只能取整數(shù)，為滿足技術(shù)指標(biāo)要求，取只能取整數(shù)，為滿足技術(shù)指標(biāo)要求，取N=6。為求。為求3dB截截止頻率止頻率 ，將，將 ， 代入代入 中，中，得到得到 =0.7032 rad/s。顯然采用此值正好滿足通帶指標(biāo)，同。顯然采用此值正好滿足通帶指標(biāo)，同時給阻帶衰減留一定的余量，這對防止時給阻帶衰減留一定的余量，這對防止頻率混疊效應(yīng)是有好處的。頻率混疊效應(yīng)是有好處的。5 . 12 . 03 . 0ps092. 0)110110(211 . 01 . 0spk884. 55 . 1lg092. 0lgNc2 . 0p1p10/2101pNcpc3.根據(jù)階數(shù)根據(jù)階數(shù)N=6， =0.7032 ra

46、d/s,可得到低通巴特沃斯濾可得到低通巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)為波器的傳輸函數(shù)為 4.將將 展成部分分式，并按式（展成部分分式，并按式（3-8）作變換，求得數(shù)字）作變換，求得數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)濾波器的傳輸函數(shù) 為為將將 代入代入 中，得到該濾波器的頻響，所設(shè)中，得到該濾波器的頻響，所設(shè)計的濾波器是滿足技術(shù)指標(biāo)的。計的濾波器是滿足技術(shù)指標(biāo)的。 c3342566141. 9464. 7863. 3()(sssssHcccca6524863. 3464. 7cccss3456179. 3691. 3716. 2(1209. 0ssss)1209. 0121. 0825. 12ss)(sHa)(zH

47、211211369. 00691. 111454. 11428. 26949. 01297. 014466. 02871. 0)(zzzzzzzH2112570. 09972. 016304. 08558. 1zzzjez )(zH(2)用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字巴特沃斯低通濾波器，技術(shù)指用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字巴特沃斯低通濾波器，技術(shù)指標(biāo)同前。標(biāo)同前。1.將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)變?yōu)橄鄳?yīng)的模擬濾波器指標(biāo)。將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)變?yōu)橄鄳?yīng)的模擬濾波器指標(biāo)。為解決雙線性變的頻率非線性關(guān)系，模擬頻率必須對相應(yīng)為解決雙線性變的頻率非線性關(guān)系，模擬頻率必須對相應(yīng)的數(shù)字頻率作預(yù)畸變，即按公式的數(shù)字頻率作預(yù)畸變，即

48、按公式 求模擬濾波器頻求模擬濾波器頻率。為了簡單，仍設(shè)率。為了簡單，仍設(shè)T=1，模擬濾波器的通帶截止頻率，模擬濾波器的通帶截止頻率 和和阻帶起始頻率阻帶起始頻率 計算如下：計算如下：模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)仍用公式（模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)仍用公式（3-22）和（）和（3-23）描）描述。述。22tgTpssradtgtgTsradtgtgTsspp/019. 123 . 02212/650. 02 . 02122122.計算模擬濾波器的階數(shù)計算模擬濾波器的階數(shù)N和和3dB截止頻率截止頻率 。對于巴特沃斯濾波器，其階數(shù)對于巴特沃斯濾波器，其階數(shù)N計算如下：計算如下：為滿足技術(shù)指標(biāo)，取為滿足技術(shù)指標(biāo)，取

49、N=6。由公式。由公式 計算出計算出3dB截止頻率截止頻率 。對于這個。對于這個 值，通帶技值，通帶技術(shù)術(shù)指標(biāo)已經(jīng)超過，阻帶指標(biāo)剛剛滿足。對于雙線性變換這樣指標(biāo)已經(jīng)超過，阻帶指標(biāo)剛剛滿足。對于雙線性變換這樣計算計算 值是合理的，因為沒有必要涉及混疊問題。值是合理的，因為沒有必要涉及混疊問題。cclglgkN306. 5568. 1lg092. 0lg092. 0568. 1Nkps10/2101sNcssradc/76622. 0cc 3.由求得的階數(shù)由求得的階數(shù)N和和3dB截止頻率確定模擬濾波器傳輸函數(shù)。截止頻率確定模擬濾波器傳輸函數(shù)。根據(jù)階數(shù)根據(jù)階數(shù)N=6， ,可得到低通巴特沃斯濾波器的傳

50、可得到低通巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)為輸函數(shù)為 4.用雙線性變換法求數(shù)字低通濾波器用雙線性變換法求數(shù)字低通濾波器 。 其幅度特性和相位特性都滿足要求。其幅度特性和相位特性都滿足要求。 sradc/76622. 0)5871. 0480. 1)(5871. 0083. 1)(5871. 0396. 0(20238. 0)(222sssssssHa)(zH11112| )()(zzsasHzH)3583. 00106. 11)(7051. 02686. 11 ()1 (0007378. 0212161zzzzz)2155. 09044. 01 (121zz3.2.3數(shù)字濾波器的頻率變換數(shù)字濾波器的頻

51、率變換 前面我們介紹了數(shù)字低通濾波器的設(shè)計方法，對于數(shù)字高前面我們介紹了數(shù)字低通濾波器的設(shè)計方法，對于數(shù)字高通、數(shù)字帶通和數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計，通常是先設(shè)計一低通通、數(shù)字帶通和數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計，通常是先設(shè)計一低通濾波器，再應(yīng)用頻率變換的方法將低通轉(zhuǎn)換成所需類型的濾波濾波器，再應(yīng)用頻率變換的方法將低通轉(zhuǎn)換成所需類型的濾波器。頻率變換可以在模擬域進(jìn)行，因此轉(zhuǎn)換方法有兩種。第一器。頻率變換可以在模擬域進(jìn)行，因此轉(zhuǎn)換方法有兩種。第一種方法是先設(shè)計模擬低通，在模擬域進(jìn)行頻率變換，將模擬低種方法是先設(shè)計模擬低通，在模擬域進(jìn)行頻率變換，將模擬低通轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器，然后從通轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾

52、波器，然后從s平面轉(zhuǎn)換到平面轉(zhuǎn)換到z平面得平面得到所需類型的數(shù)字濾波器。第二種方法是設(shè)計完模擬低通濾波到所需類型的數(shù)字濾波器。第二種方法是設(shè)計完模擬低通濾波器以后，就將模擬低通從器以后，就將模擬低通從s平面轉(zhuǎn)換到平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾平面，得到數(shù)字低通濾波器，然后在數(shù)字域進(jìn)行頻率變換，得到所需類型的數(shù)字濾波波器，然后在數(shù)字域進(jìn)行頻率變換，得到所需類型的數(shù)字濾波器。由于從器。由于從s平面轉(zhuǎn)變到平面轉(zhuǎn)變到z平面，應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法可能產(chǎn)生平面，應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，從而引起頻響的失真，因此不適合高通、帶阻頻率混疊現(xiàn)象，從而引起頻響的失真，因此不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計

53、，所以第一種方法適合用雙線性變換法。第二種濾波器的設(shè)計，所以第一種方法適合用雙線性變換法。第二種則沒有這種限制。下面介紹數(shù)字域的頻率變換則沒有這種限制。下面介紹數(shù)字域的頻率變換。 設(shè)數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用設(shè)數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用 表示，希望類型的表示，希望類型的濾波器用濾波器用 表示。這里希望類型的濾波器是指另外一個低表示。這里希望類型的濾波器是指另外一個低通或高通或帶通或帶阻濾波器。為了在數(shù)字域?qū)⑼ɑ蚋咄ɑ驇ɑ驇ё铻V波器。為了在數(shù)字域?qū)?直接轉(zhuǎn)直接轉(zhuǎn)換成換成 ，希望找到，希望找到 與與 之間的關(guān)系之間的關(guān)系 ，使，使 從數(shù)字低通濾波器從數(shù)字低通濾波器 轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器轉(zhuǎn)換成希

54、望類型的濾波器 ，我，我們可以按下列步驟進(jìn)行：們可以按下列步驟進(jìn)行：1.用雙線性變換法將用雙線性變換法將 轉(zhuǎn)換成面模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成面模擬低通濾波器 ，再，再對對3dB截止頻率截止頻率 進(jìn)行歸一化，得到進(jìn)行歸一化，得到 。2.利用已知的模擬域頻率變換公式利用已知的模擬域頻率變換公式 ，將模擬低通濾波，將模擬低通濾波器器 轉(zhuǎn)換成希望類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的模擬濾波器 。3.再利用雙線性變換關(guān)系將再利用雙線性變換關(guān)系將 轉(zhuǎn)換成希望類型的數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 。 通過以上三個步驟，可以找出通過以上三個步驟，可以找出 與與 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。)(1zHL

55、)(zHd)(1zHL)(zHd1zz)(111zGz)(1111| )()(zGzLdzHzH)(1zHL)(zHd)(1zHL)(sALc)(pAL)(sfp )(pAL)(sAd)(sAd)(zHd1zz 設(shè)設(shè) 是高通數(shù)字濾波器，現(xiàn)在用前面的步驟推是高通數(shù)字濾波器，現(xiàn)在用前面的步驟推導(dǎo)由低通數(shù)字濾波器得到高通數(shù)字濾波器的頻率變換導(dǎo)由低通數(shù)字濾波器得到高通數(shù)字濾波器的頻率變換關(guān)系。關(guān)系。1.從數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換到模擬低通濾波器用雙線性從數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換到模擬低通濾波器用雙線性變換公式變換公式v （3-24）再將再將s對對3dB截止頻率截止頻率 進(jìn)行歸一化，歸一化后拉氏進(jìn)行歸一化，歸一化后

56、拉氏變量用變量用p表示：表示：v （3-25）數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器3dB截止頻率用截止頻率用 表示，則表示，則將上式代入（將上式代入（3-25）式中，得到）式中，得到v （3-26）)(zHd1111112zzTsc1111112zzTspccccctgT212cctgzzp211111112.將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器，只要將拉氏變量將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器，只要將拉氏變量p換成換成p-1即可。即可。 v （3-27）3.利用雙線性變換將模擬高通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器。利用雙線性變換將模擬高通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器。 這里這里p是歸一化的拉氏變量，應(yīng)用高

57、通下截止頻率是歸一化的拉氏變量，應(yīng)用高通下截止頻率 去歸一去歸一化，即用化，即用p/ 代替原來的代替原來的pv （3-28）式中式中 是數(shù)字高通濾波器的下截止頻率。將式（是數(shù)字高通濾波器的下截止頻率。將式（3-27）代入式）代入式（3-28），得到（），得到（3-26）cctgzzp2111111111112zzTpllllctgTzzTzzTp21211211211111l)21(1111)21(111111cltgzzzzctg求解上式得到求解上式得到 （3-29）式中式中 （3-30）式（式（3-29）、式（）、式（3-30）即是數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換到）即是數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字高通濾波

58、器的頻率變換公式。用類似的方法，可數(shù)字高通濾波器的頻率變換公式。用類似的方法，可推導(dǎo)出數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)變到其它類型的數(shù)字濾波器推導(dǎo)出數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)變到其它類型的數(shù)字濾波器（低通、帶通、帶阻等）的轉(zhuǎn)換公式。（低通、帶通、帶阻等）的轉(zhuǎn)換公式。 上面推導(dǎo)出數(shù)字域頻率變換公式，它解決了從數(shù)字上面推導(dǎo)出數(shù)字域頻率變換公式，它解決了從數(shù)字低通轉(zhuǎn)換到希望類型的數(shù)字濾波器的問題。低通轉(zhuǎn)換到希望類型的數(shù)字濾波器的問題。l11111azazz)(21cos)(21coslclca 下面以設(shè)計數(shù)字高通濾波器為例，說明利用數(shù)字域頻率變下面以設(shè)計數(shù)字高通濾波器為例，說明利用數(shù)字域頻率變換的設(shè)計步驟。換的設(shè)計步驟。1.

59、首先將數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器的首先將數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器的技術(shù)要求；技術(shù)要求；2.再將模擬高通的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通的技術(shù)要求；再將模擬高通的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通的技術(shù)要求；3.設(shè)計模擬低通濾波器；設(shè)計模擬低通濾波器；4.將設(shè)計好的模擬低通轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通；將設(shè)計好的模擬低通轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通；5.最后利用數(shù)字域頻率變換將數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通最后利用數(shù)字域頻率變換將數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器。濾波器。 由上面看到這種設(shè)計過程曲折又麻煩，用起來不方便。這由上面看到這種設(shè)計過程曲折又麻煩，用起來不方便。這里核心問題是具體設(shè)計一個模擬低通濾

60、波器，因此找到從模擬里核心問題是具體設(shè)計一個模擬低通濾波器，因此找到從模擬低通濾波器到希望類型的數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換公式，會使設(shè)計方法低通濾波器到希望類型的數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換公式，會使設(shè)計方法更簡捷。更簡捷。 從模擬高通濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字高通濾波器，轉(zhuǎn)換關(guān)系用雙線從模擬高通濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字高通濾波器，轉(zhuǎn)換關(guān)系用雙線性變換公式，即性變換公式，即將上式代入將上式代入 中，得到中，得到v （3-31）將將 ， 代入上式，得到代入上式，得到由于幅度函數(shù)是由于幅度函數(shù)是 的偶函數(shù)，因此上式負(fù)號可以去掉，即的偶函數(shù)，因此上式負(fù)號可以去掉，即11112zzTsspc/11112zzTpccjpjez 21212Tctg