化工系統(tǒng)第2章

1、第一章第一章 緒緒 論論l 第一節(jié)第一節(jié) 過(guò)程系統(tǒng)工程的起源和特性過(guò)程系統(tǒng)工程的起源和特性l 第二節(jié)第二節(jié) 過(guò)程系統(tǒng)工程的主要研究?jī)?nèi)容和現(xiàn)狀過(guò)程系統(tǒng)工程的主要研究?jī)?nèi)容和現(xiàn)狀l 第三節(jié)第三節(jié) 過(guò)程系統(tǒng)工程的的研究方法過(guò)程系統(tǒng)工程的的研究方法2022-6-131第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念第二節(jié)第二節(jié) 單變量方程基本解法單變量方程基本解法第三節(jié)第三節(jié) 非線性代數(shù)方程組解法非線性代數(shù)方程組解法2022-6-132第一篇第一篇 化工系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)模擬分析化工系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)模擬分析第二章第二章 非線性代數(shù)方程組的解法非線性代數(shù)方程組的解法第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念 不同形式的方程，所采取的求解方法不同，不

2、同形式的方程，所采取的求解方法不同，有的解法適合于求解隱式方程，有的解法適合于有的解法適合于求解隱式方程，有的解法適合于求解顯式方程求解顯式方程2022-6-1330)( xf)(xx (1)(2)一、方程的隱式和顯式表達(dá)形式一、方程的隱式和顯式表達(dá)形式隱式隱式顯式顯式2022-6-134 0),(0),(0),(21212211nnnnxxxfxxxfxxxf ),(),(),(2121222111nnnnnxxxxxxxxxxxx 0)(xf)(xx2022-6-135二、兩種表達(dá)形式的相互轉(zhuǎn)化二、兩種表達(dá)形式的相互轉(zhuǎn)化 理論上，只要給出了一種表達(dá)形式的方程，就理論上，只要給出了一種表達(dá)形

3、式的方程，就可以寫(xiě)出另一種表達(dá)形式。但實(shí)際上情況比較復(fù)雜可以寫(xiě)出另一種表達(dá)形式。但實(shí)際上情況比較復(fù)雜從顯式方程組變?yōu)殡[式方程組從顯式方程組變?yōu)殡[式方程組0)( xx )()(xxxf 從隱式方程向顯式方程的轉(zhuǎn)換從隱式方程向顯式方程的轉(zhuǎn)換0273 x273 xxx2/27xx )272(312xxx 2022-6-136對(duì)于方程組對(duì)于方程組 可以有如下兩種不同寫(xiě)法可以有如下兩種不同寫(xiě)法 25222122211xxxxxxx 5322122111xxxxxxx 由隱式方程組中的由隱式方程組中的哪個(gè)方程哪個(gè)方程生成生成哪個(gè)變量哪個(gè)變量的問(wèn)的問(wèn)題，稱(chēng)之為變量與方程的題，稱(chēng)之為變量與方程的“匹配匹配”問(wèn)

4、題。問(wèn)題。 不同匹配方案得到的顯式方程組，對(duì)今后的求不同匹配方案得到的顯式方程組，對(duì)今后的求解有不同的影響。解有不同的影響。對(duì)于方程組來(lái)說(shuō)，除了匹配問(wèn)題，對(duì)于方程組來(lái)說(shuō)，除了匹配問(wèn)題，前面單變量方程所面臨的困境也依然存在。前面單變量方程所面臨的困境也依然存在。 020522121xxxx（1）（2）2022-6-1370)( xf)(xx 難，多解難，多解易，唯一易，唯一如何求解方程或方程組？如何求解方程或方程組？ 解析解解析解 數(shù)值解數(shù)值解2022-6-139三、非線性代數(shù)方程組的迭代求解法三、非線性代數(shù)方程組的迭代求解法迭代：迭代：給定某個(gè)初值，反復(fù)作用于同一個(gè)函數(shù)給定某個(gè)初值，反復(fù)作用于

5、同一個(gè)函數(shù)的過(guò)程的過(guò)程方程的求解：迭代就是對(duì)求解變量的初值進(jìn)行方程的求解：迭代就是對(duì)求解變量的初值進(jìn)行逐步改進(jìn)，使之一步一步地逐漸逼近方程的解逐步改進(jìn)，使之一步一步地逐漸逼近方程的解這樣的每一步，叫做迭代法中的這樣的每一步，叫做迭代法中的一輪迭代一輪迭代如何利用每一輪如何利用每一輪( (或不只一輪或不只一輪) )所提供的信息，所提供的信息，來(lái)來(lái)產(chǎn)生下一輪的改進(jìn)值產(chǎn)生下一輪的改進(jìn)值的過(guò)程，稱(chēng)為的過(guò)程，稱(chēng)為不同的迭代方案就構(gòu)成了各種不同的迭代方案就構(gòu)成了各種迭代法迭代法2022-6-1310用一個(gè)統(tǒng)一的公式來(lái)表示所有的迭代過(guò)程：用一個(gè)統(tǒng)一的公式來(lái)表示所有的迭代過(guò)程：)()()()1(kkkkdtx

6、x )(kx第第 k 輪得到的近似值輪得到的近似值 )1( kx第第k+1輪輪得到的近似值得到的近似值)(kd)(kt)()(kkdt搜索方向，搜索方向，即朝哪兒走可以更逼近準(zhǔn)確解即朝哪兒走可以更逼近準(zhǔn)確解步長(zhǎng)因子，步長(zhǎng)因子，純量，在搜索方向上前進(jìn)的距離純量，在搜索方向上前進(jìn)的距離迭代步長(zhǎng)，迭代步長(zhǎng)，表示每一輪改進(jìn)了多少表示每一輪改進(jìn)了多少對(duì)于迭代提出如下問(wèn)題：對(duì)于迭代提出如下問(wèn)題：1 1：迭代是否朝著準(zhǔn)確解的方向：迭代是否朝著準(zhǔn)確解的方向2 2：何時(shí)停止迭代：何時(shí)停止迭代2022-6-1312以以 作為起點(diǎn)，開(kāi)始一個(gè)迭代過(guò)程，得到一個(gè)作為起點(diǎn)，開(kāi)始一個(gè)迭代過(guò)程，得到一個(gè)數(shù)列：數(shù)列：)0(x)

7、()2()1()0(,kxxxx xxkklim)(迭代過(guò)程迭代過(guò)程)(kkxlim 不存在，迭代過(guò)程不存在，迭代過(guò)程的值發(fā)生重復(fù)，不分散不收斂，稱(chēng)為的值發(fā)生重復(fù)，不分散不收斂，稱(chēng)為)(kx準(zhǔn)確解準(zhǔn)確解2022-6-1313例如初始位置在例如初始位置在(0, 0, 0)原點(diǎn)原點(diǎn))0 , 0 , 1()( kd1)( kt 0010011000)1(x 在實(shí)際過(guò)程中，只要某次迭代結(jié)果的精度滿(mǎn)足在實(shí)際過(guò)程中，只要某次迭代結(jié)果的精度滿(mǎn)足應(yīng)用要求就可以了。此時(shí)就需要應(yīng)用要求就可以了。此時(shí)就需要終止判據(jù)終止判據(jù)，當(dāng)解滿(mǎn)，當(dāng)解滿(mǎn)足精度要求時(shí)停止迭代。足精度要求時(shí)停止迭代。沿沿x 軸方向搜軸方向搜索了一個(gè)單

8、位索了一個(gè)單位2022-6-1314常用的終止判據(jù)常用的終止判據(jù) )()(kxf0)()( kxf即基本滿(mǎn)足即基本滿(mǎn)足 )()()(kkxx即基本滿(mǎn)即基本滿(mǎn)足足)()()(kkxx )()1()(kkkxxx0)( kx )1()(kkxx前提為前提為2022-6-1315.是是符號(hào)，它的定義為：符號(hào)，它的定義為：)(.)()()()(2)(22)(21)(knkkkxfxfxfxf 2)1()(2)1(2)(22)1(1)(1)1()()()()( knknkkkkkkxxxxxxxx2022-6-1316注注 意意 雖然這幾種收斂判據(jù)在實(shí)踐中已普遍采用，且雖然這幾種收斂判據(jù)在實(shí)踐中已普遍采

9、用，且一般情況下也都有效，但在某些特殊情況下也不全一般情況下也都有效，但在某些特殊情況下也不全如人意。如人意。 此外，此外，的取值也難恰到好處。因此，在迭代的取值也難恰到好處。因此，在迭代過(guò)程中對(duì)這方面的問(wèn)題也應(yīng)給以一定的重視。過(guò)程中對(duì)這方面的問(wèn)題也應(yīng)給以一定的重視。第二節(jié)第二節(jié) 單變量方程基本解法單變量方程基本解法0)( xf)(xx (1)(2)隱式隱式顯式顯式考慮幾何意義？考慮幾何意義？2022-6-1318第二節(jié)第二節(jié) 單變量方程基本解法單變量方程基本解法 不同形式的方程有不同的解法，而不同迭代不同形式的方程有不同的解法，而不同迭代解法之間的關(guān)鍵區(qū)別就是解法之間的關(guān)鍵區(qū)別就是迭代格式迭

10、代格式的不同。的不同。一、隱式迭代基本方法一、隱式迭代基本方法1.牛頓法牛頓法0)( xf在在 處作泰勒展開(kāi)，保留一次項(xiàng)，可得處作泰勒展開(kāi)，保留一次項(xiàng)，可得)(kxx )()()()()()(kkkxxxfxfxf 希望下一輪迭代時(shí)方程能被滿(mǎn)足，即希望下一輪迭代時(shí)方程能被滿(mǎn)足，即0)()1( kxf2022-6-13190)()()()()1()()()1( kkkkkxxxfxfxf因此，可以得到以下結(jié)果因此，可以得到以下結(jié)果則得則得)()()()()()1(kkkkxfxfxx 牛頓法實(shí)際上是把非線性方程牛頓法實(shí)際上是把非線性方程 逐步線性化逐步線性化 就是在點(diǎn)就是在點(diǎn) 處的斜率，因此，牛

11、頓法處的斜率，因此，牛頓法是是用切線來(lái)不斷近似曲線用切線來(lái)不斷近似曲線的。的。)()(kxf 0)( xf)(kx2022-6-1320牛頓迭代法示意圖牛頓迭代法示意圖切線切線切線方程的解切線方程的解2022-6-1321例：例：簡(jiǎn)單蒸餾時(shí)，某時(shí)刻釜中殘液量與低沸點(diǎn)組簡(jiǎn)單蒸餾時(shí)，某時(shí)刻釜中殘液量與低沸點(diǎn)組成成 x 之間有如下關(guān)系式之間有如下關(guān)系式)11ln(ln11ln000 xxxxFF 解：解：依題意可得依題意可得 6 . 011ln5 . 26 . 0ln15 . 212ln00 xxFF對(duì)于苯對(duì)于苯-甲苯物系，甲苯物系，=2.5，開(kāi)始物系中含苯，開(kāi)始物系中含苯60%，甲，甲苯苯40%，

12、若殘液量為原料加料量的一半時(shí)，試求殘，若殘液量為原料加料量的一半時(shí)，試求殘液中苯含量。液中苯含量。 收斂判據(jù)選收斂判據(jù)選 取取0.0001 )1()(kkxx2022-6-1322整理得到整理得到07402. 0)ln()1ln(5 . 2 xx令令 f(x)=2.5ln(1-x)-ln(x)+0.7402，則，則xxxf115 . 2)( 取取x 0 =0.4則則f(x0)=0.3794f (x0)=-6.6666x1=x0- f (x0)/f (x0)=0.4569再次迭代再次迭代 f(x1)=0.0003 f (x1)=-6.7919x2=x1- f (x1)/f (x1)=0.4569

13、4則則 00004. 0)4569. 045694. 0(212xx所以所以45694. 0 x2022-6-1323注意：注意：解題時(shí)要寫(xiě)出解題時(shí)要寫(xiě)出 和和 ，以及迭代，以及迭代公式和每一次的迭代結(jié)果，這樣計(jì)算結(jié)果一目了然，公式和每一次的迭代結(jié)果，這樣計(jì)算結(jié)果一目了然，容易檢查錯(cuò)誤，一般可寫(xiě)成列表形式：容易檢查錯(cuò)誤，一般可寫(xiě)成列表形式：)(xf)(xf )(kx)()(kxf)()(kxf 0 0.4 0.3794 -6.66661 0.4569 0.0003 -6.7919 0.45694迭代次數(shù)迭代次數(shù) k 如題目中沒(méi)有給出如題目中沒(méi)有給出精度要求和收斂判據(jù)精度要求和收斂判據(jù)，則，則解

14、題時(shí)要根據(jù)具體問(wèn)題給予解題時(shí)要根據(jù)具體問(wèn)題給予明確設(shè)定明確設(shè)定牛頓法求解隱式方程小結(jié)：牛頓法求解隱式方程小結(jié)：基本思想：采用切線線性化基本思想：采用切線線性化數(shù)學(xué)依據(jù)：數(shù)學(xué)依據(jù)：Taylor公式公式公式形式：包含變量值，變量函數(shù)值，公式形式：包含變量值，變量函數(shù)值， 變量導(dǎo)數(shù)值變量導(dǎo)數(shù)值2022-6-1325(1) 牛頓法對(duì)函數(shù)便于牛頓法對(duì)函數(shù)便于解析求導(dǎo)解析求導(dǎo)的方程求根是一種的方程求根是一種有效的方法，特別適用于高次代數(shù)方程和超越方程，有效的方法，特別適用于高次代數(shù)方程和超越方程，而且易于編程實(shí)現(xiàn)，收斂速度也較快。而且易于編程實(shí)現(xiàn)，收斂速度也較快。(2) 牛頓法每輪迭代只需利用前一輪的信息

15、，因此，牛頓法每輪迭代只需利用前一輪的信息，因此，只需只需設(shè)一個(gè)初始點(diǎn)設(shè)一個(gè)初始點(diǎn)。當(dāng)方程存在多解時(shí)，初始點(diǎn)設(shè)。當(dāng)方程存在多解時(shí)，初始點(diǎn)設(shè)得離哪個(gè)點(diǎn)近，通常就收斂到哪個(gè)解。得離哪個(gè)點(diǎn)近，通常就收斂到哪個(gè)解。2022-6-1326(3) 如果函數(shù)比較復(fù)雜或解析求導(dǎo)有困難時(shí)，可采如果函數(shù)比較復(fù)雜或解析求導(dǎo)有困難時(shí)，可采用數(shù)值求導(dǎo)的方法，即用用數(shù)值求導(dǎo)的方法，即用差分代替導(dǎo)數(shù)差分代替導(dǎo)數(shù)，公式為，公式為)()()(2)()()()()1(hxfhxfxfhxxkkkkk h 數(shù)值導(dǎo)數(shù)的半步長(zhǎng)數(shù)值導(dǎo)數(shù)的半步長(zhǎng) 這公式也就是用這公式也就是用 附近的一條割線斜率附近的一條割線斜率代替切線斜率代替切線斜率近

16、似牛頓法近似牛頓法)(kx2022-6-13272.割線法割線法 把牛頓法中的把牛頓法中的切線切線改成改成割線割線，即用割線近似，即用割線近似代替原曲線代替原曲線 ，就得到了割線法。，就得到了割線法。割線割線2022-6-1328 利用函數(shù)曲線上的兩個(gè)點(diǎn)利用函數(shù)曲線上的兩個(gè)點(diǎn) 和和 ，構(gòu)造一條直線段來(lái)近似曲線段。迭代公式是：構(gòu)造一條直線段來(lái)近似曲線段。迭代公式是：)1( kx)(kx)()()()()1()()1()()()1(kkkkkkkxfxfxfxxxx 或?qū)懗苫驅(qū)懗?()()()()1(kkkkxfxx )()()1()()1()()( kkkkkxfxfxx 2022-6-1329

17、例：例：求求在大氣壓下在大氣壓下，苯、甲苯和乙苯的摩爾分?jǐn)?shù)，苯、甲苯和乙苯的摩爾分?jǐn)?shù)分別為分別為0.5、0.3和和 0.2 混合物的混合物的沸點(diǎn)沸點(diǎn)，并求，并求平衡蒸平衡蒸汽組成汽組成。每一純組分。每一純組分 i 的飽和蒸汽壓的飽和蒸汽壓 與絕對(duì)與絕對(duì)溫度溫度T 有下列關(guān)系有下列關(guān)系0ipTbapiii )(lg010P：mmHgT：K7600 iipxP2022-6-1330解：依題意解：依題意07602 . 03 . 05 . 0)(030201 pppTfK360)0( TK370)1( T138)()0( Tf91)()1( Tf設(shè)：設(shè)：有：有：所以所以K03 . 366)()()()

18、 1()0() 1()0() 1() 1()2( TfTfTfTTTT經(jīng)經(jīng)4輪迭代，輪迭代，得到得到T366.33K，各組分分壓為：，各組分分壓為：P苯苯=x苯苯*P苯苯0=0.5*1159.3=579. 64P甲苯甲苯=140.23； P乙苯乙苯=40.11平衡蒸汽組成平衡蒸汽組成：y苯苯= P苯苯/P= 0.7627， y甲苯甲苯=0.1845， y乙苯乙苯=0.05282022-6-1331本例題的迭代計(jì)算歷程本例題的迭代計(jì)算歷程注注 意意1. 不用求導(dǎo)，函數(shù)復(fù)雜不便于求導(dǎo)時(shí)，可用割線法不用求導(dǎo)，函數(shù)復(fù)雜不便于求導(dǎo)時(shí)，可用割線法2. 在作每一輪計(jì)算時(shí)，需要前兩輪的信息，即需要在作每一輪計(jì)

19、算時(shí)，需要前兩輪的信息，即需要兩個(gè)初始點(diǎn)，才能開(kāi)始計(jì)算過(guò)程。兩個(gè)初始點(diǎn)，才能開(kāi)始計(jì)算過(guò)程。2022-6-1332二、二、 顯式迭代基本方法顯式迭代基本方法1. 直接迭代法直接迭代法 對(duì)于顯式方程對(duì)于顯式方程)(xx 最簡(jiǎn)單的迭代法就是直接迭代法，它的思路是最簡(jiǎn)單的迭代法就是直接迭代法，它的思路是把第把第 k 輪的函數(shù)值直接作為下一輪的輪的函數(shù)值直接作為下一輪的 x 值，值，故迭代公式：故迭代公式：)()(1kkxx 2022-6-1333 直接迭代法的幾何意義很明顯，就是求直接迭代法的幾何意義很明顯，就是求 y=(x) 與直線與直線 y=x 的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。迭代收斂迭代收斂 迭代發(fā)散迭代發(fā)散是

20、否收斂？是否收斂？函數(shù)形式非常重要函數(shù)形式非常重要2022-6-1334例子例子邏輯斯諦方程邏輯斯諦方程)1(xaxx 例例1：a=2)1(2xxx 2022-6-1335例例2：a=3.1)1(1 . 3xxx 2022-6-1336例例3：a=3.9)1(9 . 3xxx 2022-6-1337直接迭代法特征直接迭代法特征(1) 直接迭代法只需計(jì)算函數(shù)值，且只需一個(gè)初始點(diǎn)，直接迭代法只需計(jì)算函數(shù)值，且只需一個(gè)初始點(diǎn)，所以非常容易編程實(shí)現(xiàn)。所以非常容易編程實(shí)現(xiàn)。(2) 直接迭代法是否收斂，取決于直接迭代法是否收斂，取決于 的性質(zhì)，即的性質(zhì)，即 時(shí)，肯定收斂。時(shí)，肯定收斂。 時(shí)，則可能收斂也可

21、能不收斂。時(shí)，則可能收斂也可能不收斂。)(x 1)( x 1)( x 2022-6-13382韋格施坦法韋格施坦法 Wegstein 于于1958年提出，年提出，目的是加快直接迭目的是加快直接迭代法的收斂速度。代法的收斂速度。 韋格施坦法在單變量方程中的應(yīng)用，其實(shí)質(zhì)韋格施坦法在單變量方程中的應(yīng)用，其實(shí)質(zhì)就是割線法應(yīng)用于顯式方程求根。就是割線法應(yīng)用于顯式方程求根。 從任意兩個(gè)初始點(diǎn)從任意兩個(gè)初始點(diǎn) 和和 可以得到通過(guò)可以得到通過(guò) 和和 兩點(diǎn)的直線，其兩點(diǎn)的直線，其斜率為斜率為)1( kx)(kx)(,()1()1( kkxx )(,()()(kkxx )1()()1()()()()( kkkkk

22、xxxxs 2022-6-1339直線方程為直線方程為)()()()()(kkkxxsxy 因?yàn)樗c因?yàn)樗c y=x 相交于相交于 x (k+1) 點(diǎn)點(diǎn))()()()()() 1(kkkkkxxxx 解出解出)()(11kks )1()()1()()()()( kkkkkxxxxs 其中其中)()()() 1()()() 1(kkkkkxxsxx 故：故：2022-6-13402022-6-1341 韋格施坦法特征韋格施坦法特征(1) 只需計(jì)算函數(shù)值，收斂較快，特別適合計(jì)算機(jī)只需計(jì)算函數(shù)值，收斂較快，特別適合計(jì)算機(jī)計(jì)算。計(jì)算。(2) 每一輪計(jì)算，需要前兩輪的信息。每一輪計(jì)算，需要前兩輪的信息。

23、 在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要設(shè)置在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要設(shè)置兩個(gè)初始點(diǎn)兩個(gè)初始點(diǎn)。但應(yīng)用。但應(yīng)用中設(shè)置一個(gè)初始點(diǎn)，中設(shè)置一個(gè)初始點(diǎn)，第一輪迭代用直接迭代法第一輪迭代用直接迭代法得到得到第二個(gè)初始點(diǎn)，從第二輪開(kāi)始用韋格施坦法。第二個(gè)初始點(diǎn)，從第二輪開(kāi)始用韋格施坦法。2022-6-1342(3) 如果令如果令 q=1-，經(jīng)幾步迭代后，經(jīng)幾步迭代后，q 就逐步達(dá)到一就逐步達(dá)到一個(gè)比較穩(wěn)定的值，則可根據(jù)個(gè)比較穩(wěn)定的值，則可根據(jù) q 的值判斷收斂的性質(zhì)的值判斷收斂的性質(zhì)q0 單調(diào)收斂，收斂較快，但易不穩(wěn)定單調(diào)收斂，收斂較快，但易不穩(wěn)定0q0.5 振蕩收斂，收斂較慢，但穩(wěn)定振蕩收斂，收斂較慢，但穩(wěn)定0.5q1 單調(diào)發(fā)散

24、單調(diào)發(fā)散q=0 直接迭代法直接迭代法)()()()()() 1(kkkkkxxxx )()(11kks 2022-6-1343 為了使迭代過(guò)程既快又穩(wěn)定，提出了改進(jìn)做法，為了使迭代過(guò)程既快又穩(wěn)定，提出了改進(jìn)做法，主要是主要是限界和延遲（間歇）的應(yīng)用限界和延遲（間歇）的應(yīng)用631maxmin 1010maxmin 05maxmin 常用的界限有：常用的界限有：在界限外在界限外 取最大或最小值取最大或最小值maxmin ，就是規(guī)定就是規(guī)定2022-6-1344 ，指不是在每輪中連續(xù)應(yīng)用韋格施坦法，指不是在每輪中連續(xù)應(yīng)用韋格施坦法，而是而是每隔幾輪直接迭代法，調(diào)用一次韋格施坦法每隔幾輪直接迭代法，調(diào)

25、用一次韋格施坦法，則可以改善迭代過(guò)程的穩(wěn)定性和收斂效果。則可以改善迭代過(guò)程的穩(wěn)定性和收斂效果。通常可取間隔為通?？扇￠g隔為35輪輪2022-6-1345例：例：用韋格施坦法解范德華方程用韋格施坦法解范德華方程RTbVVaP )(2確定在確定在T=100和和P=50atm下氮?dú)獾捏w積。對(duì)氮?dú)庀碌獨(dú)獾捏w積。對(duì)氮?dú)?3-6/mol)matm10 1.351( a/molm1038.643-6 b解：解：首先，把方程變成的顯式形式首先，把方程變成的顯式形式bVaPRTV 2第一輪用直接迭代法，第一輪用直接迭代法，設(shè)設(shè)/mol0.01m3 )0(V66266)0()1(10737.3221064.380

26、1. 010351. 15015.1731006.82)( VV 則：則：2022-6-1346從第二輪起用韋格施坦法從第二輪起用韋格施坦法6)1(10270.264)( V 006034. 0)()()0()1()0()1()1( VVVVs 00607. 111)1()1( s 6)2(109496.263 V計(jì)算進(jìn)程如下表：計(jì)算進(jìn)程如下表：2022-6-1347第三節(jié)第三節(jié) 非線性代數(shù)方程組解法非線性代數(shù)方程組解法一、直接迭代法、韋格施坦法和割線法一、直接迭代法、韋格施坦法和割線法 由單變量方程擴(kuò)展而來(lái)，在應(yīng)用中有共同的特由單變量方程擴(kuò)展而來(lái)，在應(yīng)用中有共同的特點(diǎn)。點(diǎn)。1. 直接迭代法直

27、接迭代法 把單變量方程直接迭代法的公式，用向量的形把單變量方程直接迭代法的公式，用向量的形式寫(xiě)出，得到方程組的直接迭代法的公式：式寫(xiě)出，得到方程組的直接迭代法的公式：)()()1(kkxx 2022-6-1348 對(duì)一實(shí)際存在的循環(huán)系統(tǒng)，只要迭代變量的初對(duì)一實(shí)際存在的循環(huán)系統(tǒng)，只要迭代變量的初始值足夠接近于解，直接迭代法必定能收斂。始值足夠接近于解，直接迭代法必定能收斂。 對(duì)于化工過(guò)程流程模擬，直接迭代相當(dāng)于模對(duì)于化工過(guò)程流程模擬，直接迭代相當(dāng)于模擬裝置的開(kāi)工過(guò)程，擬裝置的開(kāi)工過(guò)程，對(duì)于能穩(wěn)定操作的化工裝置，對(duì)于能穩(wěn)定操作的化工裝置，直接迭代法必定能收斂。直接迭代法必定能收斂。它的分量形式：它

28、的分量形式：),.,()()(2)(1)1(knkkikixxxx （i=1，2，,n）2022-6-13492. 韋格施坦法韋格施坦法迭代公式如下：迭代公式如下：)()()()()()1(kikikikikixxxx 式中，式中，)()(11kikis )1()()1()()()()( kikikikikixxxxs （i=1，2，,n）2022-6-13503. 割線法割線法迭代公式如下：迭代公式如下：)()()()()1(kikikikixfxx )()()1()()1()()( kikikikikixfxfxx （i=1，2，n）2022-6-1351 使用三種方法的注意事項(xiàng)使用三種方

29、法的注意事項(xiàng)(1) 按照按照“一個(gè)方程收斂一個(gè)變量一個(gè)方程收斂一個(gè)變量”的方式進(jìn)行求解，的方式進(jìn)行求解，只適用于求解變量間只有只適用于求解變量間只有弱交互作用弱交互作用的方程組。的方程組。(2) 只須計(jì)算各方程的函數(shù)值，便于用計(jì)算機(jī)求解。只須計(jì)算各方程的函數(shù)值，便于用計(jì)算機(jī)求解。直接迭代法要一個(gè)初始點(diǎn)；韋格施坦法第一輪迭直接迭代法要一個(gè)初始點(diǎn)；韋格施坦法第一輪迭代時(shí)用直接迭代法，然后用韋格施坦法；割線法代時(shí)用直接迭代法，然后用韋格施坦法；割線法需兩個(gè)初始點(diǎn)。需兩個(gè)初始點(diǎn)。(3) 適用于求解顯式方程組，在化工流程模擬中，所適用于求解顯式方程組，在化工流程模擬中，所建立的顯式模型方程，變量與方程間

30、匹配恰當(dāng)，建立的顯式模型方程，變量與方程間匹配恰當(dāng)，求解順利。求解順利。2022-6-1352 (4) 直接迭代法形式最簡(jiǎn)單，應(yīng)用范圍廣，但在下列直接迭代法形式最簡(jiǎn)單，應(yīng)用范圍廣，但在下列場(chǎng)合不太適用：場(chǎng)合不太適用： A 組分間相互作用較強(qiáng)的溶液汽液平衡計(jì)算組分間相互作用較強(qiáng)的溶液汽液平衡計(jì)算 B 逆流分離過(guò)程逆流分離過(guò)程 C 冷熱流之間溫差較小的換熱器網(wǎng)絡(luò)冷熱流之間溫差較小的換熱器網(wǎng)絡(luò) D 強(qiáng)烈放熱化學(xué)反應(yīng)器的模擬強(qiáng)烈放熱化學(xué)反應(yīng)器的模擬 韋格施坦法韋格施坦法（限界）（限界），因收斂較快，運(yùn)行穩(wěn)定，因收斂較快，運(yùn)行穩(wěn)定，在化工過(guò)程模擬中應(yīng)用最廣泛在化工過(guò)程模擬中應(yīng)用最廣泛 割線法實(shí)際應(yīng)用較少

31、割線法實(shí)際應(yīng)用較少2022-6-1353例：例：用直接迭代法解用直接迭代法解初始點(diǎn)（初始點(diǎn)（0.75,0.25）解：解：首先寫(xiě)出迭代公式首先寫(xiě)出迭代公式 )(1)1(22/12)(2)1(11)(1(kkkkxxxx25. 0,75. 0)0(2)0(1 xx所以所以已知已知 25. 075. 016882. 0)25. 01()1(22/12)1(1xx最后，可以解得最后，可以解得0, 121 xx 122/12211)1(xxxx(1)(2)2022-6-1354例：例：用韋格施坦法解用韋格施坦法解初值（初值（2，10，5）精度為精度為0.0001解：解：第一步用直接迭代法第一步用直接迭代

32、法5488397. 010)54(3)1(1 x211102. 7)5281(2/122)1(2 x158579. 310233)1(3 x232/131)4(xxx 2/123212)81(xxx 22/11333xxx 2022-6-1355 158579. 3211102. 75488397. 0)()1()0(xx 得到：得到： 47354. 440965. 852290. 1)()2()1(xx 7141. 04298. 0671. 0)1(s)0()1()0()1()1()()(iiiiixxxxs 5834. 06994. 05984. 0)1( )1()1(11iis 2022

33、-6-1356 9257. 30494. 81317. 1)()1()1()1()1()2(xxxx 最后得近似解為：最后得近似解為： 0000. 40000. 80000. 1自學(xué)：自學(xué)：P18 例例2-1、2-2方程匹配、限界、延遲方程匹配、限界、延遲2022-6-1357二、牛頓二、牛頓- -拉夫森（拉夫森（Newton-RaphsonNewton-Raphson）法）法 單變量方程解法牛頓法向方程組情況的推廣。單變量方程解法牛頓法向方程組情況的推廣?；舅枷耄夯舅枷耄簩⒎蔷€性方程組逐次進(jìn)行線性化處理將非線性方程組逐次進(jìn)行線性化處理對(duì)于方程組對(duì)于方程組0)( xf 在在 （第（第 k

34、輪迭代輪迭代 的計(jì)算值）處作的計(jì)算值）處作一階泰勒展開(kāi)，得：一階泰勒展開(kāi)，得：)(kxx x)()()()()()(kkkxxJxfxf 雅可比矩陣雅可比矩陣2022-6-1358J函數(shù)向量函數(shù)向量 的的雅可比（雅可比（Jacobian）矩陣）矩陣，相當(dāng)于單變量方程情況下函數(shù)相當(dāng)于單變量方程情況下函數(shù) f(x) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) J（k）第第 k 輪迭代中雅可比矩陣的數(shù)值：輪迭代中雅可比矩陣的數(shù)值：)(xf)(xf 11112222( )12( )12.nknnnnknfffxxxfffxxxJfffxxxx2022-6-1359希望下一次迭代希望下一次迭代 能等于能等于 ：)()1( kxf0所

35、以：所以：0)()()()1()()( kkkkxxJxf推出：推出：)()()(1)()()1(kkkkxfJxx 的的逆矩陣逆矩陣)(kJ2022-6-1360 應(yīng)用牛頓應(yīng)用牛頓-拉夫森法的注意事項(xiàng)拉夫森法的注意事項(xiàng)1. 牛頓牛頓-拉夫森法適用于解拉夫森法適用于解隱式方程隱式方程，尤其是變量，尤其是變量之間存在強(qiáng)交互作用的方程。之間存在強(qiáng)交互作用的方程。2. 只需一個(gè)初始點(diǎn)即可開(kāi)始迭代過(guò)程，而且收斂只需一個(gè)初始點(diǎn)即可開(kāi)始迭代過(guò)程，而且收斂速度快。速度快。3. 對(duì)初始值要求高對(duì)初始值要求高，需要用解析法或數(shù)值法求導(dǎo)，需要用解析法或數(shù)值法求導(dǎo)，當(dāng)函數(shù)復(fù)雜，方程多時(shí)，需要花大量時(shí)間。當(dāng)函數(shù)復(fù)雜，

36、方程多時(shí)，需要花大量時(shí)間。2022-6-13614. 求雅可比矩陣的逆矩陣時(shí)工作量大求雅可比矩陣的逆矩陣時(shí)工作量大 在求解過(guò)程中，雅可比矩陣有可能是奇異矩陣。在求解過(guò)程中，雅可比矩陣有可能是奇異矩陣。兩種原因：兩種原因：建模型時(shí)出錯(cuò)，此時(shí)需建模型時(shí)出錯(cuò)，此時(shí)需對(duì)模型進(jìn)行檢查修正對(duì)模型進(jìn)行檢查修正；迭代過(guò)程中出現(xiàn)的（相當(dāng)于單變量情況下迭代過(guò)程中出現(xiàn)的（相當(dāng)于單變量情況下 時(shí)的情形），此時(shí)可時(shí)的情形），此時(shí)可重設(shè)初始值重設(shè)初始值。0)( xf2022-6-13625. 解析求導(dǎo)困難時(shí)，可用下式進(jìn)行數(shù)值求導(dǎo)：解析求導(dǎo)困難時(shí)，可用下式進(jìn)行數(shù)值求導(dǎo)：xi 為差分步長(zhǎng)，為差分步長(zhǎng)，xi 一般可取為一般可取

37、為0.001ijmiijijxxfxxxxxfxf )(),.,.,(212022-6-1363例：例：對(duì)串聯(lián)的油換熱器組進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)時(shí)，得到對(duì)串聯(lián)的油換熱器組進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)時(shí)，得到如下方程組如下方程組求油換熱器進(jìn)出口的溫度求油換熱器進(jìn)出口的溫度T1 和和 T2，已知初始值是，已知初始值是（180，292）。要求精度為）。要求精度為0.01 221212)400(02. 0400)300(0075. 0400TTTT)(Tf 0)400(02. 04000)300(0075. 040022122121TTfTTf解：（解：（1）寫(xiě)出）寫(xiě)出即：即：2022-6-1364)()0(Tf（2）計(jì)算）計(jì)

38、算 28.13)292400(02. 0400180)(0)180300(0075. 0400292)(2)0(22)0(1TfTf112 Tf（3）求出）求出 J)300(015. 0111TTf 121 Tf)400(04. 0222TTf )400(04. 011)300(015. 021TTJ 22122121)400(02. 0400)300(0075. 0400TTfTTf2022-6-1365（4）計(jì)算）計(jì)算 32. 4118 . 1)0(J（5）求逆）求逆 2656. 01476. 01476. 06375. 01)0(J（6）迭代）迭代 5277.2959599.181527

39、7. 39599. 1292180)()0(1)0()0()1(TfJTT（7）重復(fù)）重復(fù)(2)至至(6)步，直到滿(mǎn)足計(jì)算精度要求步，直到滿(mǎn)足計(jì)算精度要求776. 611)32. 4()8 . 1(32. 4118 . 1 JJ計(jì)算計(jì)算若：若：J 的行列式為非奇異（滿(mǎn)秩）方陣，即的行列式為非奇異（滿(mǎn)秩）方陣，即0 J則則 J 的逆矩陣為：的逆矩陣為： JJJ112022-6-1366J 的伴隨矩陣的伴隨矩陣矩陣求逆矩陣求逆 8 . 11132. 422122111JJJJJ求求 J*：先求：先求 中元素的代數(shù)余子式：中元素的代數(shù)余子式：J32. 432. 4)1(1111 J11)1(2112

40、 J121 J8 . 122 J 2656. 01476. 01476. 06375. 08 . 11132. 4776. 6111JJJ則則2022-6-1367三、布洛伊頓（三、布洛伊頓（BroydenBroyden）擬牛頓法）擬牛頓法l 牛頓牛頓-拉夫森法優(yōu)點(diǎn)：有一定理論基礎(chǔ)，收斂速度拉夫森法優(yōu)點(diǎn)：有一定理論基礎(chǔ)，收斂速度較快，效果較好。較快，效果較好。l 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：迭代公式中含有一個(gè)待解方程組中函數(shù)向迭代公式中含有一個(gè)待解方程組中函數(shù)向量量 的雅可比矩陣的逆矩陣的雅可比矩陣的逆矩陣雅可比矩陣的求取雅可比矩陣的求取，是同方程組數(shù)學(xué)形式直接有，是同方程組數(shù)學(xué)形式直接有關(guān)的運(yùn)算，當(dāng)方程組的

41、規(guī)模較大時(shí)，相當(dāng)麻煩。關(guān)的運(yùn)算，當(dāng)方程組的規(guī)模較大時(shí)，相當(dāng)麻煩。用解析求導(dǎo)，工作量很大，有時(shí)還有困難；用數(shù)用解析求導(dǎo)，工作量很大，有時(shí)還有困難；用數(shù)值求導(dǎo)也并不簡(jiǎn)單。值求導(dǎo)也并不簡(jiǎn)單。2022-6-1368)(xfl 比照著牛頓比照著牛頓-拉夫森法的迭代公式把迭代公式寫(xiě)成拉夫森法的迭代公式把迭代公式寫(xiě)成如下形式：如下形式： （2-31）l 如果如果 ，（，（2-31）式就是牛頓）式就是牛頓-拉夫拉夫森迭代公式。如果不按照牛頓森迭代公式。如果不按照牛頓-拉夫森方法取值，拉夫森方法取值，則這樣的求解方法就叫做則這樣的求解方法就叫做擬牛頓法擬牛頓法（Quasi-Newton Method）。）。l

42、對(duì)于迭代矩陣的具體構(gòu)成，可以提出各種不同的對(duì)于迭代矩陣的具體構(gòu)成，可以提出各種不同的方案，這樣就可形成不同的擬牛頓法。方案，這樣就可形成不同的擬牛頓法。2022-6-13691)()()( kkJH)()()()()1(kkkkxfHxx l 各種擬牛頓法中的迭代矩陣，一般各種擬牛頓法中的迭代矩陣，一般并不與待解方并不與待解方程組的數(shù)學(xué)形式直接掛鉤程組的數(shù)學(xué)形式直接掛鉤。因此在應(yīng)用擬牛頓法。因此在應(yīng)用擬牛頓法時(shí)，只需逐輪進(jìn)行各方程的時(shí)，只需逐輪進(jìn)行各方程的函數(shù)值函數(shù)值的計(jì)算，就可的計(jì)算，就可使迭代進(jìn)行下去，方便，適用范圍更廣。使迭代進(jìn)行下去，方便，適用范圍更廣。l 布洛伊頓法是應(yīng)用得最廣泛的擬

43、牛頓法。在某些布洛伊頓法是應(yīng)用得最廣泛的擬牛頓法。在某些文獻(xiàn)中，在稱(chēng)擬牛頓法時(shí)，指的就是布洛伊頓法。文獻(xiàn)中，在稱(chēng)擬牛頓法時(shí)，指的就是布洛伊頓法。2022-6-1370自學(xué)布洛伊頓法，例自學(xué)布洛伊頓法，例2-4作業(yè)：作業(yè)：P 250，習(xí)題，習(xí)題 4迭代法總結(jié)：迭代法總結(jié)：1.確定迭代方法確定迭代方法2.轉(zhuǎn)換方程形式轉(zhuǎn)換方程形式3.寫(xiě)出迭代通式寫(xiě)出迭代通式4.列表計(jì)算列表計(jì)算5.終止迭代終止迭代建議建議-多借助軟件多借助軟件MatlabMathematicMaple四、方程組的分塊和切割四、方程組的分塊和切割1.稀疏方程組稀疏方程組l 一個(gè)方程組共含有一個(gè)方程組共含有n個(gè)變量和個(gè)變量和n個(gè)方程，但

44、這并不個(gè)方程，但這并不意味著，意味著，n個(gè)方程中的每一個(gè)，都必含有個(gè)方程中的每一個(gè)，都必含有n個(gè)變量個(gè)變量的全體。很可能是某些方程中只含有的全體。很可能是某些方程中只含有n個(gè)變量中的個(gè)變量中的某幾個(gè)，另一些方程只含有某幾個(gè)，另一些方程只含有n個(gè)變量中的另外幾個(gè)。個(gè)變量中的另外幾個(gè)。這叫做方程組具有這叫做方程組具有“稀疏性稀疏性(Sparseness)”。這。這樣的方程組也被稱(chēng)為樣的方程組也被稱(chēng)為稀疏方程組稀疏方程組。l 化工系統(tǒng)的模型方程，通常都是稀疏方程組。而化工系統(tǒng)的模型方程，通常都是稀疏方程組。而且稀疏程度一般很高。且稀疏程度一般很高。2022-6-1373l 方程組的分塊和變量切割，就

45、是針對(duì)求解稀疏方方程組的分塊和變量切割，就是針對(duì)求解稀疏方程組的一種方法。程組的一種方法。l 方程組的分塊和變量的切割稱(chēng)為方程組的分塊和變量的切割稱(chēng)為方程組的分解方程組的分解。它與第六章要介紹的它與第六章要介紹的化工系統(tǒng)的分解化工系統(tǒng)的分解，本質(zhì)上是，本質(zhì)上是一致的，做法也類(lèi)似。一致的，做法也類(lèi)似。l 僅介紹方程組分塊和變量切割的基本概念。僅介紹方程組分塊和變量切割的基本概念。2022-6-1374 2.方程組的分塊（方程組的分塊（Partitioning） l例：稀疏方程組例：稀疏方程組2022-6-13750),(0),(0),(0),(0),(5315414421354322411xxx

46、fxxfxxxfxxxxfxxf 將方程組分成單獨(dú)求解的維數(shù)較低的子方程組，將方程組分成單獨(dú)求解的維數(shù)較低的子方程組，并確定子方程組求解順序的過(guò)程并確定子方程組求解順序的過(guò)程x1、 x4f1 、f4x2f3x3、 x5f2 、f5123 3. 變量的切割（變量的切割（Tearing） l 稀疏方程組分塊后，其子方程組還可能是稀疏的，稀疏方程組分塊后，其子方程組還可能是稀疏的，但又不能再通過(guò)分解降維。可以設(shè)想以下求解辦但又不能再通過(guò)分解降維?？梢栽O(shè)想以下求解辦法：法：l 首先選擇幾個(gè)變量并給以估計(jì)值，然后利用稀疏首先選擇幾個(gè)變量并給以估計(jì)值，然后利用稀疏方程算出這些變量的計(jì)算值，利用前面介紹的迭方程算出這些變量的計(jì)算值，利用前面介紹的迭代計(jì)算方法，計(jì)算出這些變量的解。代計(jì)算方法，計(jì)算出這些變量的解。l 這一方法叫做這一方法叫做切割法切割法，被選擇的少數(shù)幾個(gè)變量叫，被選擇的少數(shù)幾個(gè)變量叫做做切割變量切割變量（Tearing Variables）。）。 2022-6-1376稀疏方程的切割解法稀疏方程的切割解法 2022-6-13770),(0),(0),(0),(0),(5435542145432354125321xxxfxxxxfx