極限思想及其應(yīng)用 數(shù)學(xué)

1、極限思想及其應(yīng)用摘要：1關(guān)鍵詞1Abstract1Key words1引言：21.極限思想的形成及發(fā)展22.選題的背景及意義2一、極限思想的思維本質(zhì)21.極限思想揭示了無限與有限之間的相互轉(zhuǎn)化22.極限思想是對近似和精確相互轉(zhuǎn)化的揭示23.極限思想揭示了變量與常量之間的對立統(tǒng)一2二、極限思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用31.在導(dǎo)數(shù)中極限思想的應(yīng)用32.在積分中極限思想的應(yīng)用43.在微分中極限思想的應(yīng)用54.在開方中極限思想的應(yīng)用7結(jié)論9參考文獻(xiàn)10摘要： 在無限的變化中考察變量的變化趨勢，這種思想就是極限思想。由于極限概念就是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，所以極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有著非常重要的地位，對極限理論的熟練掌

2、握，并將這種思想大量應(yīng)用于實(shí)踐中，將會體驗(yàn)到用極限思想解題的簡便性。 筆者在本篇論文中，將從極限思想的形成與發(fā)展來引入極限，并通過分析極限思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用，在倒數(shù)、微分、積分與開方中，極限思想都起著極大的作用，通過對這些作用的描述，來證明我們對極限思想的掌握是很必要的。關(guān)鍵詞：極限思想；微積分；應(yīng)用Abstract：Examine trends in the infinite variables change, this idea is to limit thought. Since the concept of limit is the basis of mathematical an

3、alysis, the ultimate thinking in modern mathematics has a very important position, skilled grasp the ultimate theory, and this idea widely used in practice, will experience an ultimate ideological problem-solving simplicity.     In this paper, the author, will limit the formation

4、 and development of thought to the introduction of the limit, and by analyzing the limits of thought in mathematical analysis, in the countdown, differentiation, integration and evolution, the ultimate thinking plays a great action by the description of these effects, to prove that we grasp the limi

5、ts of thought is necessary.Key words：Limit Thought；calculus；application引言：作為數(shù)學(xué)思想中最重要的一項(xiàng)思想之一，極限思想從萌芽到完善時(shí)期，一直為人類對世界對物質(zhì)的認(rèn)識提供著強(qiáng)有力的工具。1.極限思想的形成及發(fā)展 極限思想在公元前五世紀(jì)開始從哲學(xué)命題中萌芽，芝諾四個(gè)悖論的提出，引發(fā)了人們對數(shù)學(xué)的無窮（即極限）思想的探究，之后柏拉圖及亞里士多德實(shí)無窮與潛無窮理論為極限的發(fā)展起到推動(dòng)作用，繼而微積分的發(fā)展為極限思想的進(jìn)一步完善奠定了基礎(chǔ)，十九世紀(jì)末，維爾斯特拉斯極限的靜態(tài)定義的提出，成為微積分理論的基礎(chǔ)。隨著社會實(shí)踐發(fā)展，極限思

6、想成為了近代數(shù)學(xué)思想的出發(fā)點(diǎn)，使數(shù)學(xué)解決了許多和“無窮”有關(guān)的悖論，極限思想的地位得到進(jìn)一步提升。2.選題的背景及意義 在極限思想越來越重要的現(xiàn)在，對極限思想的研究，可以方便讀者理解數(shù)學(xué)史以及哲學(xué)數(shù)學(xué)史上的一些問題，同時(shí)對于提高讀者的思維品質(zhì)、思維方法以及對問題的解決能力。一、極限思想的思維本質(zhì)極限思想，是用聯(lián)系變動(dòng)的觀點(diǎn)，將所考察的對象看做是某對象在無限變化的過程中變化結(jié)果的思想方法。1.極限思想揭示了無限與有限之間的相互轉(zhuǎn)化 2=6（1+1/4+1/9+1/16+），從這個(gè)式子中，我們可以看出，從左向右是無限向有限的轉(zhuǎn)化，從右向左則是有限中包含無限。2.極限思想是對近似和精確相互轉(zhuǎn)化的揭示

7、定積分的近似計(jì)算也是用有限的和去替代極限值，極限值為精確值。3.極限思想揭示了變量與常量之間的對立統(tǒng)一可以想象，正多邊形隨著邊數(shù)的無限增大而趨于圓形，這便是質(zhì)的飛躍。二、極限思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用1.在導(dǎo)數(shù)中極限思想的應(yīng)用法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬對于極值問題的研究引入了導(dǎo)數(shù)的思想，導(dǎo)數(shù)中利用到的極限思想重點(diǎn)在兩個(gè)概念中體現(xiàn)，分別是瞬時(shí)速度與切線斜率。其中，瞬時(shí)速度為：這個(gè)公式是指質(zhì)點(diǎn)在做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，是其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，那么在確定的某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度可以通過與接近的某一時(shí)刻，來求這個(gè)質(zhì)點(diǎn)在這一時(shí)間段的平均速度，如果質(zhì)點(diǎn)在這一事件段內(nèi)存在極限，那么可以將看做這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度。第二個(gè)是針對切線斜率的極限思想：其中

8、，割線斜率為：在P點(diǎn)，的切線是曲線上割線PQ的Q點(diǎn)無限接近P點(diǎn)時(shí)候PT的值，在以上公式中，假設(shè)無限趨近時(shí)候，如果存在極限的話 M.克萊因:古今數(shù)學(xué)思想第1冊，張理京張錦炎譯，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979年。，那么，k便是切線PT的斜率：針對導(dǎo)數(shù)，由極限思想出發(fā)，我們可以得出導(dǎo)數(shù)的定義如下：對于函來說，在函數(shù)上某一點(diǎn)處有意義，即：存在的話，那么我們就可以說f在處是可導(dǎo)的。假設(shè) ,，那么導(dǎo)數(shù)的另一種表達(dá)方式即為：2.在積分中極限思想的應(yīng)用積分分為定積分及不定積分，在此，筆者將分別從定積分的角度來分析極限思想在積分中的應(yīng)用。、直線以及x軸圍城一個(gè)曲邊梯形，求這個(gè)曲邊梯形的面積就是定積分提出的背景。我

9、們將曲邊梯形分為若干個(gè)曲邊梯形，假設(shè)為n個(gè)。當(dāng)n非常大的時(shí)候，并且又非常小的時(shí)候，可以將這個(gè)曲邊梯形的面積看做是由若干個(gè)第k個(gè)小曲邊梯形的面積之和。其中第k個(gè)小曲邊梯形的面積公式如下：另外，假設(shè)n在無限增大，又無限接近于0的時(shí)候，這個(gè)式子其實(shí)就無限與整個(gè)曲邊梯形的面積接近了，所以曲邊梯形的面積可以這樣表示出來：由以上對曲邊梯形面積的求解過程，可以用極限思想來理解定積分的定義：在一個(gè)閉區(qū)間內(nèi)有若干個(gè)點(diǎn)，假設(shè)為n-1個(gè)，我們用將這個(gè)閉區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間中， 其中，那么i這些分點(diǎn)對區(qū)間a,b進(jìn)行分割，我們可以記為，也可以記做，并且從x軸上能夠得知每個(gè)小區(qū)間的長度是,假設(shè)定義在a，b上的一

10、個(gè)函數(shù)，其中有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)J，且存在某一個(gè)正數(shù)與某個(gè)給定的任意正數(shù)，能夠?qū)^(qū)間a，b進(jìn)行分割，且分割記為T，那么只要可以保證：我們就可以認(rèn)定這個(gè)函數(shù)在區(qū)間a，b上市可積的，那么a，b上的定積分即為數(shù)J，定積分也可以記做： 接下來我們來看一下不定積分，不定積分是以導(dǎo)數(shù)逆出現(xiàn)的，不定積分和求導(dǎo)或者微分互為逆運(yùn)算，從原函數(shù)與不定積分的角度分析，假設(shè)存在函數(shù)F(X)，f(x)。將這個(gè)函數(shù)確定區(qū)間（a，b），如果我們可以證明在這個(gè)區(qū)間之內(nèi)，以下式成立，= 或=則可以說F(X)是f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，從原函數(shù)這里來倒推不定積分。在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在兩個(gè)函數(shù)，且F(X)是f(x)的原函

11、數(shù)，那么f(x)的全體原函數(shù)F(X)+C（C為任意常數(shù)），都是f(x)的不定積分，可以記做：通常情況下不定積分與定積分是在具體的計(jì)算公式上聯(lián)系的，不定積分與與定積分的求積分法則與公式，再用牛頓-萊布尼茨公式得出：3.在微分中極限思想的應(yīng)用可微與可導(dǎo)是相對應(yīng)的，如果在0處，是可微的，那么我們可以用以下式子表示： 極限的思想對微分的發(fā)展具有很大的促進(jìn)作用，并且微分與極限是相輔相成的，微分反過來對很多不定式的的極限的求解也有很大的作用。有其是在以下四類問題中： 第一種應(yīng)用：假設(shè)存在一個(gè)邊長為x的正方形，且這個(gè)正方形的面積s為這個(gè)正方形如果邊長增加一定數(shù)值，那么相應(yīng)的正方形的面積的增量為：也可以記做：

12、A=第二種應(yīng)用是針對三角函數(shù)的應(yīng)用：第三種應(yīng)用是針對泰勒公式的應(yīng)用：第四種應(yīng)用是針對某個(gè)不定式的極限應(yīng)用： 極限理論奠定了微積分的邏輯基礎(chǔ)，例如柯西、波爾查諾、柯西威爾斯托拉斯等運(yùn)用極限思想來為微積分提供嚴(yán)密性，可以說，微積分學(xué)的定理幾乎都是用極限思想來得到的。 筆者具體從柯西中值定理中來分析極限思想對微積分學(xué)的作用。 從積分型角度來看，設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，且恒大于0或恒小于0，則在上至少存在一點(diǎn)，使得= 假設(shè)存在函數(shù)h(x)，且h(x)在閉區(qū)間上也連續(xù)，那么對任意,有且則若，則有；若，則有. 以上兩個(gè)結(jié)論必然成立。 接下來我們構(gòu)造一個(gè)函數(shù)：. 通過以上條件可以得知在上連續(xù)，且，那么必然存在某

13、個(gè)在區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)令. 又因?yàn)楹瘮?shù)具有保號性，所以存在某正數(shù)及點(diǎn)的鄰域這個(gè)鄰域內(nèi)，其中，使得對任意的，有.因?yàn)椋兴?+= ，即，之后可以得出 .同理，當(dāng)時(shí). 從而可以得出，在閉區(qū)間連續(xù)，且恒大于0或恒小于0，則在上至少存在一點(diǎn)，使得=4.在開方中極限思想的應(yīng)用在以下式子中，為被開方數(shù)，平方根的近似值為A，開方開不盡的余數(shù)為r。一般情況下，開方開不盡的數(shù)值，常用加借算命分和不加借算命分兩種方法來表達(dá)，不過這種方法并不具體，我們套入極限思想：設(shè)A為整數(shù)，且， 為平方根的十進(jìn)分?jǐn)?shù)的分子，也是整數(shù)，將其中 取一個(gè)近似值的話，可以得出：或 也就是指：或 又因?yàn)?，這便是極限思想在開方中的應(yīng)用。結(jié)論極限思想一直人類對世界對物質(zhì)的認(rèn)識提供著強(qiáng)有力的工具，通過對極限思想的學(xué)習(xí)和掌握，可以幫助我們更好的認(rèn)識和處理問題，同時(shí)極限思想中也有著豐富辯證思想的存在，我們需要對極限有深入的理解才能使其更好的為科學(xué)及社會服務(wù)。參考文獻(xiàn)1(美)M.克萊因:古今數(shù)學(xué)思想第1冊，張理京張錦炎譯，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979年。2(美)M.克萊因:古今數(shù)學(xué)思想，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，第2冊、197