第6章 機械振動

1、機械振動6.1 簡諧振動6.2 簡諧振動的合成6.3 阻尼振動 受迫振動 共振6.4 非線性振動(不講)作業(yè):174,23,24,29,34,35,36P 一一 掌握掌握描述簡諧運動的各個物理量（特別是描述簡諧運動的各個物理量（特別是相位）的物理意義及各量間的關(guān)系相位）的物理意義及各量間的關(guān)系. . 二二 掌握掌握描述簡諧運動的旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表描述簡諧運動的旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表示法，并會用于簡諧運動規(guī)律的討論和分析示法，并會用于簡諧運動規(guī)律的討論和分析. . 三三 掌握掌握簡諧運動的基本特征，能建立一維簡簡諧運動的基本特征，能建立一維簡諧運動的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫出一諧運動的微分方

2、程，能根據(jù)給定的初始條件寫出一維簡諧運動的運動方程，并理解其物理意義維簡諧運動的運動方程，并理解其物理意義. . 四四 理解理解同方向、同頻率簡諧運動的合成規(guī)律，同方向、同頻率簡諧運動的合成規(guī)律，了解拍和相互垂直簡諧運動合成的特點了解拍和相互垂直簡諧運動合成的特點. . 五五 了解了解阻尼振動、受迫振動和共振的發(fā)生條阻尼振動、受迫振動和共振的發(fā)生條件及規(guī)律件及規(guī)律. .簡諧振動往復(fù)運動。如聲源的振動、鐘擺的擺動等。機械振動 物體在它的平衡位置附近所作的物體發(fā)生機械振動的條件：物體受到始終指向平衡位置的回復(fù)力；物體具有慣性。掌握機械振動的基本規(guī)律是研究其它形式振動的基礎(chǔ)。簡諧振動（simple

3、harmonic vibration) 是最簡單、最基本的振動理想模型。它是研究各種復(fù)雜振動的重要基礎(chǔ)。這里主要討論簡諧振動。動力學(xué)特征6.1.1 簡諧振動表達(dá)式以物體受力為零的平衡位置為坐標(biāo)原點水平光滑面，彈簧勁度 質(zhì)量可忽略，物體質(zhì)量物體在任一位置受的彈性力以鉛垂方向 為擺角參考軸線，單擺在任一角位置 所受的重力矩為則取擺幅很?。ˋ）彈簧振子 （B）單 擺X正X向反X向6.1 簡諧振動簡諧振動的速度A簡諧振動的加速度A應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，同理也可求得單擺的角振動方程X簡諧振動微分方程對于給定的彈簧振子 為常量，其比值亦為常量。令則即得A為微分方程求解時的積分常量，由系統(tǒng)的初始條件決定。簡諧振動方

4、程A該微分方程的解通常表成余弦函數(shù) 從動力學(xué)方面來看，如果物體受到的合力的大小總是與物體相對其平衡位置的位移成正比、方向相反(簡稱為正比反向力)，那么，該物體的運動就是簡諧振動。合力與位移正比反向是物體作簡諧振動的動力學(xué)特征.形如 的力稱為線性回復(fù)力，其中k、b都是常數(shù)，這種力可以通過坐標(biāo)平移變換 簡化為正比反向力 ，所以，在新坐標(biāo)系中，物體的運動就是簡諧振動。因此，合力為線性回復(fù)力時，物體也是在作簡諧振動。 Fkxb xxb k Fkx 續(xù)4簡諧振動的加速度AA簡諧振動的振動方程簡諧振動的速度AAA最大最大最大AAA簡諧振動參量6.1.2 描述簡諧振動的物理量XAA振幅 ： 的最大絕對值A(chǔ)周

5、期：完成一次振動需時頻率：角頻率：彈簧振子單 擺AA相位 ：是界定振子在時刻 的運動狀態(tài)的物理量運動狀態(tài)要由位置 和速度 同時描述，而 和 的正負(fù)取決于 ，不是指開始振動，而是指開始觀測和計時。所謂時質(zhì)點的運動狀態(tài)AA位置速度初始條件即為初相 ：是時，振子的相位。續(xù)6由 和 求給定振子的振幅AAAA消去 得初相 由 和 求給定振子的AAA消去 得 但由于但由于 在在 0 20 2p p 范圍內(nèi)，同一正切值對應(yīng)有兩個范圍內(nèi)，同一正切值對應(yīng)有兩個 值，因值，因此，還必須再根據(jù)此，還必須再根據(jù) 和和 的正負(fù)進(jìn)行判斷。聯(lián)系振子運動狀的正負(fù)進(jìn)行判斷。聯(lián)系振子運動狀態(tài)態(tài)直觀圖不難作出判斷直觀圖不難作出判斷

6、且若則若且則且若則且若則（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）旋轉(zhuǎn)矢量法AAXXOjM ( 0 )Aj初相M ( t )twtwM ( t )twM ( t )twM ( t )M ( t )twM ( t )twM (T )Tw周期 T6.1.3 簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法M ( t )twM ( t )twXOjM ( 0 )j初相M ( t )twA矢量端點在X 軸上的投影對應(yīng)振子的位置坐標(biāo)t 時刻的振動相位(wwtjj) )旋轉(zhuǎn)矢量A以勻角速逆時針轉(zhuǎn)動循環(huán)往復(fù)x = A cos (wwtjj) )簡諧振動方程例一0.040.0412簡諧振動的曲線完成下述簡諧振動方程A = 0.

7、04 (m)T = 2 (s)w w = 2 p/p/T T =pp(rad /s )0.04p pp p2Aw w= pp/ 2 t = 0v0 從 t = 0 作反時針旋轉(zhuǎn)時，A矢端的投影從x=0向X軸的負(fù)方運動，即 ，與 已知 X t 曲線一致。v0SI 試證明，若選取受力平衡點作為位置坐標(biāo)原點，垂直彈簧振子與水平彈簧振子的動力學(xué)方程和振動方程相同。平衡點在受力平衡點小球受彈性力大小選取受力平衡點作為位置坐標(biāo)原點小球在位置坐標(biāo) 處所受彈性力合外力振動方程A動力學(xué)方程微分方程的解：均與水平彈簧振子結(jié)果相同例二例三彈簧振子x0 = 0t = 0 時v0 = 0.4 ms -1m = 510

8、- -3 kgk = 210 - -4 Nm -1 完成下述簡諧振動方程v0mk0.2 (rad s 1)x0v02 (m)x0 = 0已知w w相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為20.2(SI)v0例四某物體沿 X 軸作簡諧運動， 振幅 A = 0.12 m，周期周期 T = 2 s，t = 0 時x0 = 0.06 m處初相 j j t = 0 .5 s 時的位置 x, 速度 v, 加速度 a物體背離原點移動到位置A = 0.12 m，T = 2 s , w w = 2p/p/T = pprad s - -1 , 將jj= p/3p/3rad 及 t = 0 .5 s 代入諧振動的 x, v, a 定義式

9、得x A cos (wwtj j ) )0.104 (m)A0.19 ( m s - -1 )A1.03 ( m s - -2 )x = A cos (wwtj j ) )由簡諧振動方程t = 0 時0.06 = 0.12 cos j j得jj=p/3p/3再由題意知 t = 0 時物體正向運動，即A0且jj= p/3p/3，則jj在第四象限，故取例五周期均為 T = 8.5s 用旋轉(zhuǎn)矢量法兩質(zhì)點振動相位差兩質(zhì)點第一次通過平衡點的時刻兩質(zhì)點 1、2同在 X 軸上作簡諧振動t = 0 時 在 處 質(zhì)點2 AA向平衡點運動質(zhì)點1在 處向平衡點運動振幅 A 相同Acos Acos 或因且在第一象限應(yīng)

10、取Acos Acos 兩質(zhì)點振動相位差A(yù)A從旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出：時，質(zhì)點1第一次通過平衡點A轉(zhuǎn)過1.06 (s)A轉(zhuǎn)過時，質(zhì)點2第一次通過平衡點2.13(s)1 1 單擺單擺lmoAmglmglMsin22ddmglIt2Imllgt22ddw222ddt)cos(mjwtlg2w令令TFPglT2轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動正向正向sin,5時時6.1.4 單擺和復(fù)擺oC*2 2 復(fù)擺復(fù)擺lmglM22ddmglItw222ddt2mglIw令令)cos(mjwt)5(P（ 點為質(zhì)心）點為質(zhì)心）C2ITmgl轉(zhuǎn)動正向轉(zhuǎn)動正向 簡諧運動的描述和特征簡諧運動的描述和特征xa2w4 4）加速度與位移成正比而方向相反加

11、速度與位移成正比而方向相反xtx222ddw2 2）簡諧運動的動力學(xué)描述簡諧運動的動力學(xué)描述)sin(jwwtAv)cos(jwtAx3 3）簡諧運動的運動學(xué)描述簡諧運動的運動學(xué)描述mglIw復(fù)擺復(fù)擺wmk彈簧振子彈簧振子lgw單擺單擺kxF1 1）物體受線性回復(fù)力作用物體受線性回復(fù)力作用 平衡位置平衡位置0 x振動能量6.1.5 簡諧振動的能量 （以x x= =0 0處為零勢點）系統(tǒng)的 動能A系統(tǒng)的 勢能A系統(tǒng)的 機械能AA振子運動速度AA簡諧振動方程振動系統(tǒng)： 彈簧勁度振子質(zhì)量振動角頻率如 水平彈簧振子均隨時間而變且能量相互轉(zhuǎn)換變到最大時變?yōu)榱阆到y(tǒng)的機械能守恒。及A變?yōu)榱阕兊阶畲髸r時 間能

12、 量例六動能A 勢能A當(dāng)時則其中得振動相位或一水平彈簧振子彈簧勁度振子質(zhì)量振幅 A沿 X X 軸振動 當(dāng)振動系統(tǒng)的以平衡點為原點位置坐標(biāo) x 相等時 動能值與勢能值 振子的A代入中，解得能量位置例七該擺動系統(tǒng)的機械能守恒數(shù)學(xué)表達(dá)式該擺的運動學(xué)微分方程及擺動周期動能 剛體（直棒）轉(zhuǎn)動動能 勢能 系統(tǒng)的重力勢能以垂態(tài)直棒中心點 C 為重力零勢點令機械能機械能守恒，即 為恒量，即得 簡諧角振動微分方程該擺的振動周期勻質(zhì)細(xì)直懸棒質(zhì)量 m、長 L在鉛直面內(nèi)擺動擺幅很小轉(zhuǎn)動慣量振動合成一6.2.1 兩個且 相同同在 X X 軸合成振動用旋轉(zhuǎn)矢量法可求得合成振動方程與計時起始時刻有關(guān)合成初相分振動初相差與計

13、時起始時刻無關(guān)，但它對合成振幅屬相長還是相消合成起決定作用6.2 簡諧振動的合成續(xù)18合振動分振動；其中，合振幅若則為合振幅可能達(dá)到的最大值若則若為其它值，則 處于與之間若則為合振幅可能達(dá)到的最小值若則例八0.050.060.07簡諧振動(SI)(SI)(SI)合成的和合成的 最大時合成的 最小時8.9210 2 (m)0.92868 12248 12(舍去）時當(dāng)?shù)煤铣傻?達(dá)到最小當(dāng)時合成的 達(dá)到最大得振動合成二6.2.2 兩個為了突出重點，設(shè)兩分振動的振幅相等且初相均為零。合振動此合振動不是簡諧振動，一般比較復(fù)雜，只介紹一種常見現(xiàn)象：頻率為 的簡諧振動頻率為 的簡諧振動續(xù)21385 Hz38

14、3 Hz聽到的音頻384 Hz強度節(jié)拍性變化2 Hz若與相差不大，可看作呈周期性慢變的振幅合振動頻率相對較高的簡諧振動1 秒秒9 Hz8 Hz合振動振幅 （包絡(luò)線） 變化的頻率稱為兩分振動的頻率1 Hz“ 拍頻 ”合振動頻率8.5 Hz例如：6.2.3 諧振分析和頻譜諧振分析和頻譜一一. 一個周期性振動可分解為一系列一個周期性振動可分解為一系列 頻率分立的簡諧振動頻率分立的簡諧振動若周期振動的頻率為若周期振動的頻率為 : 0則各分振動的頻率為則各分振動的頻率為: 0, 2 0, 3 0, (基頻基頻 , 二次諧頻二次諧頻 , 三次諧頻三次諧頻 , ) xot鋸齒波鋸齒波Aw ww w03w w

15、05w w0鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x00tx0二二. .一個非周期性振動可分解為無限一個非周期性振動可分解為無限xot阻尼振動曲線阻尼振動曲線阻尼振動頻譜圖阻尼振動頻譜圖ow wA多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動振動合成三6.2.4 兩個消去 得軌跡方程：該方程為橢圓的普遍方程，若或得直線或得直線若若介紹幾種特殊情況：得正橢圓續(xù)23或用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量描描繪繪振振動動合合成成圖圖振動合成四6.2.5 兩個其合運動一般較復(fù)雜，且軌跡不穩(wěn)定。但當(dāng) 為兩個簡單的整數(shù)之比時可以得到穩(wěn)定軌跡圖形，稱為李

16、薩如圖形例如阻尼振動稱為阻尼振動或衰減振動振幅逐漸衰減的振動形成阻尼振動的原因：振動系統(tǒng)受摩擦、粘滯等阻力作用，造成熱損耗；振動能量轉(zhuǎn)變?yōu)椴ǖ哪芰肯蛑車鷤鞑セ蜉椛洹Ｒ缘谝环N原因為例，建立阻尼振動的力學(xué)模型。6.3 阻尼振動 受迫振動 共振6.3.1 阻尼振動 續(xù)26以液體中的水平彈簧振子為例：摩擦阻力彈性力振動速度不太大時受：阻力系數(shù)摩擦阻力與 反向負(fù)號：彈性力振子 受合外力即令稱為振動系統(tǒng)的固有角頻率得稱為阻尼系數(shù)若阻尼較弱，且時，上述微分方程的解為續(xù)27和取決于初始狀態(tài)。為振動角頻率，為阻尼振動的振幅，隨時間的增大而指數(shù)衰減。本圖設(shè)越大，振幅衰減越快，且振動周期 越長。周期續(xù)28 相對較大

17、的阻尼振動，其振幅衰減較快，但只要滿足，振子仍可出現(xiàn)往復(fù)運動的特征，仍屬阻尼振動。若阻尼過大，以致，用此條件求解微分方程，其結(jié)果表明（數(shù)學(xué)表達(dá)從略）振子不能作往復(fù)運動，而是從開始的最大位置緩慢地回到平衡位置。此情況稱為過阻尼。若，振子從開始的最大位置較快地回到平衡位置，并處于往復(fù)運動的臨界狀態(tài)。此情況稱為臨界阻尼。臨界阻尼過阻尼阻尼振動受迫振動 6.3.2 受迫振動 系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下所作的等幅振動稱為受迫振動。幅 值角頻率周期性外力（強迫力）彈性力示意建立動力學(xué)方程即表成此微分方程的解為續(xù)30受迫振動進(jìn)入穩(wěn)定振動狀態(tài)后，其振動角頻率為強迫力的角頻率 ，其振幅為 受迫振動與強迫力有一

18、定的相位差 ，用初相 表示 和都與 阻尼系數(shù)固有角頻率 的大小有關(guān)。強迫力角頻率 相對于系統(tǒng)的開始振動比較復(fù)雜經(jīng)過一段時間后，受迫振動進(jìn)入穩(wěn)定振動狀態(tài)。續(xù)31討論受迫振動穩(wěn)定狀態(tài)時的振幅討論受迫振動穩(wěn)定狀態(tài)時的振幅若強迫力的角頻率若強迫力的角頻率 已定，已定， 大則大則 小。小。 系統(tǒng)的固有角頻率時，系統(tǒng)的固有角頻率時， 獲得極大值。獲得極大值。若阻尼系數(shù)若阻尼系數(shù) 已定，當(dāng)已定，當(dāng) 等于或接近等于或接近 6.3.3 共振 令求得 極大時的 為受迫振動的振幅出現(xiàn)極大值的受迫振動的振幅出現(xiàn)極大值的現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為 共振共振。共振時的振幅值為共振時的強迫力頻率稱為共振頻率較小較大如圖，一倔強系數(shù)為k的輕彈簧，一端固定在墻上，相連,求此系統(tǒng)的振動圓頻率。一質(zhì)量為m2的物體跨過一質(zhì)量為M,半徑為R的定滑輪與m1另一端連接一質(zhì)量為m1的物體,放在光滑的水平面上,將例2m1mMkR解法一：smamTgm 2222軸正向, m1 、m2、M受力如圖所示，顯然有：