數(shù)字信號處理第六章 IIR數(shù)字濾波器設計

1、第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器設計數(shù)字濾波器設計學習目標： 掌握模擬濾波器設計的指標，模擬濾波器設計的一般過程。 掌握巴特沃思 (Butterworth)模擬低通濾波器的設計。 掌握切比雪夫 (Chebyshev)模擬低通濾波器的設計。 掌握利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器的設計過程。 掌握脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字濾波器。 掌握雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波數(shù)字濾波： 對輸入信號進行數(shù)值運算，讓輸入信號中的有用頻率成分以較高的保真度通過，濾除（阻止）某些無用的頻率成分，實現(xiàn)對輸入信號的選頻處理。優(yōu)點優(yōu)點： 處理精度高，穩(wěn)定性好，體積小，實現(xiàn)方法靈活，不存在阻抗匹配問題，

2、可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。 濾波器分類濾波器分類 經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器（一般濾波器）（一般濾波器）（本書介紹）（本書介紹） 線性系統(tǒng)構(gòu)成的濾波器，信號和干擾的頻帶互不重疊時采用。 分類（功能）：高通、低通、帶通、帶阻； 分類（結(jié)構(gòu)）：遞歸系統(tǒng)、非遞歸系統(tǒng)； 分類（實現(xiàn)方法）：無限長單位脈沖響應數(shù)字濾波器IIR（本章介紹（本章介紹） 有限長單位脈沖響應數(shù)字濾波器FIR 現(xiàn)代濾波器現(xiàn)代濾波器 隨機信號統(tǒng)計理論為基礎構(gòu)成的濾波器，信號和干擾的頻帶相互重疊時采用（例如：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等）IIR數(shù)字濾波器的設計方法數(shù)字濾波器的設計方法 間接設計法間接設計法p 根據(jù)

3、設計指標設計相應的過渡模擬濾波器p 將過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。 直接設計法直接設計法 在時域或頻域直接設計數(shù)字濾波器。本章主要講述：（本章主要講述：（間接法間接法） 6.1 模擬濾波器設計 6.2 IIR數(shù)字濾波器設計6.1 6.1 模擬濾波器設計模擬濾波器設計模擬濾波器（AF）的一般設計過程：（1） 根據(jù)信號處理要求確定設計指標（選頻）（2） 選擇濾波器類型（3） 計算濾波器階數(shù)（4） 通過查表或計算確定濾波器系統(tǒng)函數(shù)（5） 綜合實現(xiàn)并調(diào)試幅頻特性體現(xiàn)了各頻率成分幅度的衰減,而相頻特性體現(xiàn)的是不同成分在時間的的延時。選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對相頻特性不作要求。對輸出波形有要求時

4、，則需考慮線性相位問題。()()|() |jHjHje( )aHs返回本節(jié)主要講述：本節(jié)主要講述： 6.1.1 模擬濾波器設計指標 6.1.2 巴特沃思模擬低通濾波器設計 6.1.3 切比雪夫（Chebyshev）濾波器設計返回6.1.1 6.1.1 模擬濾波器設計指標模擬濾波器設計指標 圖6.1.1 典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標描述返回回到本節(jié) 通帶邊界頻率， 阻帶邊界頻率， 3db截止頻率 系統(tǒng)通帶的誤差要求 阻帶s, 幅度以最大誤差1/A逼近于零，即要求 ：通帶波紋幅度參數(shù) A： 阻帶波紋幅度參數(shù) 2a11(j)1Hp a( j)1/HAs psc設計指標設計指標返回回到本節(jié)用 表

5、示通帶最大衰減通帶最大衰減（或稱為通帶峰值波紋）用 表示阻帶最小衰減阻帶最小衰減（以分貝(dB)表示波紋）p2p2120 lg 10 lg(1) dB1 s12 0 lg2 0 lg d BAA p/ 1 01 01s/ 2 01 0A求解s返回回到本節(jié) 損耗函數(shù)損耗函數(shù)（或稱為衰減函數(shù)）()來描述濾波器的幅頻響應特性。即 當 時的邊界頻率稱為3dB3dB截止頻截止頻率率，通常用 c表示，2aa()20lg(j)10lg(j)HH ( )3 dB 返回回到本節(jié)兩個附加參數(shù)：兩個附加參數(shù)： a.過渡比過渡比或選擇性參數(shù),通常用k表示 n 反應過渡帶的性能，過渡帶越窄，k值趨近于1n 低通濾波器

6、b.偏離參數(shù)偏離參數(shù)，用k1表示 n 越小，通帶、阻帶的紋波越小psk121kA1k 1k返回回到本節(jié)p 模擬濾波器的設計 模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器供選擇。 這些濾波器都有嚴格的設計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用。 p 典型濾波器 巴特沃斯（Butterworth）濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性； 切比雪夫（Chebyshev）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶有波動，可提高選擇性；返回回到本節(jié)6.1.2 6.1.2 巴特沃思模擬低通濾波器設計巴特沃思模擬低通濾波器設計N 階巴特沃思模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)為N為濾波器的階數(shù)， 為3dB截止頻率。2

7、a2c1(j)1(/)NH c返回回到本節(jié)特點：特點： 在 點， 的n(n2N)階導數(shù)等于零，因此濾波器在 點具有最大平坦幅度 濾波器幅頻響應隨 的增大而單調(diào)下降，因為幅度平方函數(shù)的導數(shù)小于零 損耗函數(shù)0 0 2()aHj21| )(|jHacN=8N=80 0N=4N=4N=2N=21 122( )20lg()110lg()10lg 1aaNcHjHj 返回回到本節(jié) 濾波器的特性由3dB截止頻率和階數(shù)N確定 濾波器的給定指標為通帶邊界頻率阻帶邊界頻率通帶最小幅度阻帶最大波紋2( )10lg 1 ()Nc 2()10lg 1()10lg23cccNdB21| )(|jHacN=8N=80 0N

8、=4N=4N=2N=21 1ps2111/ A返回回到本節(jié)截止頻率與階數(shù)如何確定？截止頻率與階數(shù)如何確定？濾波器幅頻響應隨頻率的增大而單調(diào)下降 于是22211()1(/)1ppaNcHj22211()1 (/)aNcssHjA2()1NspA21lg1lglglg()psAkNk1lglgkNk1pcN 滿足通帶指標，阻帶指標有富裕 滿足阻帶指標，通帶指標有富裕122(1)scNA 階數(shù)截止頻率返回回到本節(jié)濾波器的給定指標為通帶最大衰減阻帶最小衰減先求確定截止頻率與階數(shù)21lg1lglglg()psAkNk2120lg1p/2010sA120lg()20lgsAdBA /10101p1pcN

9、122(1)scNA 返回回到本節(jié)巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： （由 3dB 截止頻率 和階數(shù)N 確定） 式中，分母 稱為N 階巴特沃思多項式。cca( )( )NNHsDsND (s)返回回到本節(jié)三種形式:10( )( )NNkNNkkDsBssb s211221()0( )(),kNNjNckkkDssppe/22101( )( ),( )NNkkkkkDsB sB ssb sb( )NDs因式分解共軛對相乘返回回到本節(jié)歸一化討論：對于得：由于N較大時，計算量太大，為了方便， 歸一化的N階巴特沃思多項式系數(shù) 已制成表格供查閱：10)()(NkkcNp

10、ssD1)(1)()(NokkcNNcapssDsH)(1)(1)()(10pDpppHpGNNkkcac( )NDp返回回到本節(jié) 極點位置階數(shù)N 1-1.0000 2-0.7071j0.7071 3-0.5000j0.8660-1.00004-0.3827j0.9239 -0.9239j0.38275-0.3090j0.9511 -0.8090j0.5878-1.0000 60.2588j0.9659 -0.7071j0.7071-0.9659j0.25887-0.2225j0.9749 -0.6235j0.7818 -0.9010j0.4339-1.0000 80.1951j0.9808

11、0.5556j0.8315-0.9010j0.4339-0.9808j0.19519-0.1736j0.9848 -0.5000j0.8660 -0.8315j0.5556-0.9397j0.3420 -1.00000,1NP1,2NP2,3NP3,4NP4PN：濾波器階數(shù)：濾波器階數(shù)- ：極點位置表示：極點位置表示( )NDp返回回到本節(jié) 分母多 項式階數(shù)N b0 b1 b2b3b4b5b6b7b8 1-1.0000 2-1.00001.4142 3-1.00002.0000 2.0000 4-1.00002.6131 3.4142 5-1.00003.23615.2361 5.2361 3

12、.2361 6-1.00003.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 7-1.00004.4940 10.0978 14.5918 14.5918 10.0978 4.49408-1.0000-5.1258 13.1371 21.8462 25.6884 21.8642 13.1371 5.1258 9-1.00005.7588 16.5817 31.1634 41.986441.986431.1634 16.5817 5.7588 N：濾波器階數(shù)：濾波器階數(shù)- ：多項式表示：多項式表示( )NDp121210( )NNNNND ppbpbpb pb返回回到本節(jié) 分

13、母因式階數(shù)N 1(p+1) 2(p2+1.4142p+1) 3(p2+p+1)(p+1) 4(p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1) 5(p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1) 6(p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1) 7(p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1) 8(p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9616p+1)9(p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2

14、+1.8794p+1)(p+1) 12345( )( )( )( )( )( )D pB p Bp Bp Bp BpN：濾波器階數(shù)：濾波器階數(shù)- ：共軛極點：共軛極點因式因式( )NDp返回回到本節(jié)去歸一化歸一化( )1/( )NG pDp/( )( )cap sHsG pcc( )NDp查表得得到返回回到本節(jié) 低通巴特沃斯濾波器設計步驟：低通巴特沃斯濾波器設計步驟： 由 ，求濾波器階次N 由N查表，求出歸一化極點 和歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p) 令 代入G(p) ，得實際濾波器傳輸函數(shù)Ha(s) 。（去歸一）ppss、csp/kp返回回到本節(jié) 例：例： 設計模擬低通濾波器。要求幅頻特性單調(diào)下降，通

15、帶邊界頻率fp=1 kHz，通帶最大衰減p=1 dB，阻帶邊界頻率fs=5 kHz，阻帶最小衰減s=40 dB。 解: :（1）根據(jù)幅頻特性單調(diào)下降要求，應選擇巴特沃思濾波器。 （2）計算階數(shù)N和3 dB截止頻率c。首先用求出波紋幅度參數(shù)為 再求出過渡比和偏離參數(shù) 從而得到 取整數(shù)N=4 p/101/101011010.508847s/2010100Ap12s0.508850.2, 0.0050887599991kkA1lg3.2811lgkNkssc21 21 82 9934.7125/(1)9999Nfrad sA返回回到本節(jié)（3）求系統(tǒng)函數(shù)。查表6.1.1得到歸一化4階巴特沃思多項式為

16、將 和c代入，得到系統(tǒng)函數(shù)224( )(0.76541)(1.84781)Dppppp4( )Dp4ca2222ccccc152372471( )/(0.7654)(1.8478)9.7414 10 (7.6040 109.8699 10 )(1.8357 109.8699 10 )NHsDsssssssss返回回到本節(jié)6.1.3 6.1.3 切比雪夫濾波器設計切比雪夫濾波器設計兩種類型：兩種類型： 切比雪夫型濾波器的幅頻特性在通帶為等波紋，在阻帶為單調(diào)下降。 切比雪夫型的幅頻特性在阻帶為等波紋，在通帶為單調(diào)下降。 返回回到本節(jié)1.1.切比雪夫切比雪夫型濾波器型濾波器 N 階切比雪夫型模擬低通

17、濾波器Ha(s)的幅度平方函數(shù)為 為小于1的正數(shù)，表示通帶波紋幅度參數(shù)。 CN()是N階切比雪夫多項式 2a22p1(j)1(/)NHC 返回回到本節(jié) 圖6.1.4 典型切比雪夫型低通濾波器的幅頻響應特性曲線 返回回到本節(jié)2 2切比雪夫切比雪夫型逼近型逼近 切比雪夫型模擬低通濾波器的幅頻響應在通帶呈現(xiàn)單調(diào)下降特性，而且在 =0點具有最大平坦響應，在阻帶呈現(xiàn)等波紋特性。其幅度平方函數(shù)為2a2sp2s1(j)()1()NNHCC 返回回到本節(jié)圖6.1.5 典型切比雪夫型低通濾波器的幅頻響應特性曲線返回回到本節(jié) 巴特沃思濾波器與切比雪夫濾波器特點比較：n 巴特沃思濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，

18、在靠近截止頻率處，幅度下降很多。所以為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（N）很高。n切比雪夫型濾波器的紋波在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，在靠近截止頻率處，幅度下降很少。同樣的通帶衰減，其所需階數(shù)N N較巴特沃思濾波器要小。特點比較回到本節(jié)返回6.2 IIR6.2 IIR數(shù)字濾波器設計數(shù)字濾波器設計 目標：滿足給定頻率響應指標、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù) 間接法設計過程確定數(shù)字濾波器的指標轉(zhuǎn)換成過渡模擬濾波器的指標設計過渡模擬濾波器將過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器 指標轉(zhuǎn)換( )H z( )aHs( )H z22pppsssssssfFFfFF0,0, 2 sF返回過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的要求過渡

19、模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的要求 保證因果穩(wěn)定性， Ha(s) 的因果穩(wěn)定性映射成 H（z）后保持不變，即S平面的左半平面 ReS0 應映射到Z平面的單位圓以內(nèi)|Z|1。 H（z）的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應映射到Z平面的單位圓 上。je設計模擬設計模擬Ha(s) 轉(zhuǎn)換成數(shù)字轉(zhuǎn)換成數(shù)字H(z)返回本節(jié)主要講述：本節(jié)主要講述：6.2.1 用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字濾波器6.2.2 用雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器返回6.2.16.2.1脈沖響應不變法設計脈沖響應不變法設計IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 n 基本思想 使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波的特性； 從濾波器的脈沖響

20、應出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)正好等于模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)的采樣值，即 n 方法)()()()(zHznThthsHaaa函數(shù)變換得數(shù)字濾波器傳遞取進行采樣得：取拉氏逆變換得：得：由模擬濾波器設計理論( )(),( ) ( )ah nhnTH zZT h n回到本節(jié)返回（1 1） 濾波器系統(tǒng)函數(shù)濾波器系統(tǒng)函數(shù) （ 單極點、分母階次高于分子階次單極點、分母階次高于分子階次 部分分式）部分分式）（2 2）模擬濾波器的單位沖激響應模擬濾波器的單位沖激響應（3 3）采樣采樣（4 4）Z Z變換變換( )( )aHsHz1()NkakkAHsss1( )( )kNstakk

21、htA eut11( )()( )()( )kkNNs nTs Tnakkkkh nhnTA eu nAeu n11()1kNks TkAHzez( )aH s( )Hz( )aH s回到本節(jié)返回下面分析脈沖響應不變法的轉(zhuǎn)換性能： s平面到z平面的極點映射關(guān)系: ，用脈沖響應不變法將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)時，整個s平面到z平面的映射關(guān)系為 設 則 所以 = = T T eks Tkz es Tz jj, eszr j(j)je eeeTTTreTr回到本節(jié)返回 其中，式 = = T T 表明： 數(shù)字頻率與模擬頻率之間是線性關(guān)系，這是脈沖響應不變法的優(yōu)點之一。 由式 可知：

22、 =0時，r =1，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓； 0時，r0時，r1，s平面的右半平面映射為z平面的單位圓外。eTr優(yōu)點返回回到本節(jié) 模擬系統(tǒng)因果穩(wěn)定，其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的所有極點位于s平面的左半平面，按照上述結(jié)論，這些極點全部映射到z平面單位圓內(nèi)，因此，數(shù)字濾波器H(z)也因果穩(wěn)定。 因為h(n)=ha(nT)，根據(jù)時域采樣理論得到 代入=T 得到 上面兩式說明，數(shù)字濾波器頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓函數(shù)。 ja12(e)jTkkHHTT ja12(e)jkkHHTT 返回回到本節(jié) 所以，如果模擬濾波器具有帶限特性，而且T 滿足采樣定理，則數(shù)字濾波器頻率響應完全模仿了模擬濾

23、波器頻率響應。這是脈沖響應不變法的最大優(yōu)點。但是，一般模擬濾波器不是帶限的，所以實際上總是存在頻譜混疊失真 返回回到本節(jié) 由上圖可見，頻譜混疊失真會使數(shù)字濾波器在=附近的頻率響應偏離模擬濾波器頻響特性曲線，混疊嚴重時可使數(shù)字濾波器不滿足阻帶衰減指標。所以，脈沖響應不變法不適合設計高通和帶阻濾波器，這是脈沖響應不變法的最大缺點。 為了減小頻譜混疊失真，通常采取以下措施: 選用具有銳截止特性的模擬濾波器； 提高采樣頻率Fs（Fs=1/T）。 缺點返回回到本節(jié) 與模擬濾波器頻率響應增益相比，數(shù)字濾波器的頻率響應增益增加了常數(shù)因子1/T。所以，數(shù)字濾波器的頻率響應增益會隨采樣周期T 變化，特別是T 很

24、小時增益很大，容易造成數(shù)字濾波器溢出。 所以，工程實際中采用以下實用公式 這時 使數(shù)字濾波器的頻率響應增益與模擬濾波器頻響增益相同，符合實際應用要求。a( )()h nTh nT11 ( )1ekNks TkT AH zz ja2(e)jkkHHT 返回回到本節(jié)增益補償例：例： 二階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 試用脈沖響應不變法將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)，并對不同的采樣周期T，觀察頻譜混疊失真現(xiàn)象。解: : 采用待定系數(shù)法將Ha(s)部分分式展開。Ha(s)的極點為 因此 解得 a21( )21Hsss12122 (1j), (1j) 22sss 12a2121( )21AAHsss

25、ssss1222j, j22AA 返回回到本節(jié) 按實用公式，即式（6.2.12）得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 式中12112121112( )11e1es Ts TTATAbzH za za zzz2 /222esin2TbTT2 /221222ecos, e2TTaTa 返回回到本節(jié) 當T分別取0.2 s, 0.1 s和0.05 s時，模擬濾波器和數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線如下圖所示 模擬頻率（Hz） 數(shù)字頻率（rad） (a) 模擬濾波器頻響曲線 (b) 數(shù)字濾波器頻響曲線 顯然，采樣周期T越大，頻譜混疊失真越嚴重， 與 差別越大。所以，脈沖響應不變法不能用于將模擬高通和帶阻濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高

26、通和帶阻濾波器。j(e)Ha(j)H返回回到本節(jié)例例 用脈沖響應不變法設計數(shù)字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調(diào)下降特性，指標參數(shù)如下:解: : 根據(jù)間接設計法的基本步驟求解。 （1）將數(shù)字濾波器設計指標轉(zhuǎn)換為相應模擬濾波器指標。設采樣周期為T，得到 （2）設計相應的模擬濾波器，得到模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。根據(jù)單調(diào)下降要求，選擇巴特沃思濾波器。求出波紋幅度參數(shù)為pp0.2 rad,1 dBss0.35 rad,10 dBppp0.2rad /s,1 dBTTsss0.35rad/s,40 dBTTp/101/101011010.508847s/20103.1623A返回回到本節(jié)從而得到再將k和

27、k1代入，計算得到 取整數(shù)N=4取T=1 s時 查表6.1.1得到歸一化4階巴特沃思多項式為得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)為2ps14/7, 10.1696kkA1lg/lg3.1704Nkksc21 221 80.350.2659 rad/s(1)(3.16251)NA41234( )()()()()Dppppppppp4123411( )()()()()kkkAG ppppppppppp返回回到本節(jié) 將c帶入去歸一化，得到希望設計的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 其中 （3）將T=1 s代入，將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)，即 c44ca/c11( )( )kkp skkkkA

28、BH sG pspsscc, kkkkspBA441111( )1e1ekkkks TskkBBH zzz12312340.04560.10270.01541 1.91841.65460.68530.1127zzzzzzz返回回到本節(jié) 如果取T=0.1 s，可得到近似相同的H(z)。這說明當給定數(shù)字濾波器指標時，采樣周期的取值對頻譜混疊程度影響很小。所以，一般取T=1 s使設計運算最簡單。T=1 s時，T=0.1 s時，如下圖6.2.3 圖中數(shù)字濾波器滿足指標要求，但是，由于頻譜混疊失真，使數(shù)字濾波器在=（對應模擬頻率Fs/2 Hz）附近的衰減明顯小于模擬濾波器在f = Fs/2附近的衰減。返

29、回回到本節(jié)例6.2.2 設計的模擬和數(shù)字濾波器的損耗函數(shù) 返回回到本節(jié)小結(jié)小結(jié): : 1)脈沖響應不變法的一個重要特點是頻率坐標的變換是線性的，與是線性關(guān)系。 因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過變換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應與頻率的關(guān)系。 例如線性相位的低通濾波器，通過脈沖響應不變法得到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。 2)在某些場合，要求數(shù)字濾波器在時域上能模仿模擬濾波器的功能時，如要實現(xiàn)時域沖激響應的模仿，一般使用脈沖響應不變法。TjHeHaj/)()(返回回到本節(jié) 3)如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是穩(wěn)定的。 4)脈沖響

30、應不變法的最大缺點：有頻譜周期延拓效應，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應越小，至于高通和帶阻濾波器,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中，此時可增加一保護濾波器，濾掉高于 的頻帶，再用脈沖響應不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會增加設計的復雜性和濾波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡瞬態(tài)響應時才采用。 / 2s返回回到本節(jié)6.2.2 6.2.2 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 上節(jié)介紹的脈沖響應不變法的最大缺點是存在頻譜混疊失真。如果 時， ，則數(shù)字濾波器產(chǎn)生頻譜混疊失真。 雙線性變

31、換法從原理上徹底消除了頻譜混疊，所以雙線性變換法在IIR數(shù)字濾波器的設計中得到更廣泛的應用。 /Ta(j)0H返回回到本節(jié)1. 1. 雙線性變換法的設計思想與雙線性變換公式雙線性變換法的設計思想與雙線性變換公式 p 克服脈沖響應不變法的頻譜混疊現(xiàn)象，采用非線性頻率壓縮方法。p 雙線性變換法的基本設計思想 脈沖響應不變法：波形逼近 雙線性變換法：算法逼近。用線性常系數(shù)差分方程逼近線性常系數(shù)微分方程返回回到本節(jié) 設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點sk（k=1, 2, , N），且分母多項式階次高于分子多項式階次。則Ha(s)可以用如下部分分式表示 式中 只要推導出將Hak(s)轉(zhuǎn)換成一階數(shù)字濾波器

32、Hk(z)的變換公式，則該變換公式就是將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)的變換公式。 aa11( )( )NNkkkkkAHsHsssa( ), 1,2,kkkAHskNss返回回到本節(jié)Hak(s)所對應的微分方程為對微分方程中各項做如下近似: 則微分方程可用下面的差分方程近似aaad( )( )( )dkky ts y tA x ttaaaaad( ) ( )(1)/ , ( )()d( ) ( )(1)/2( ) ( )(1)/2, ( )()y ty ny nT y ny nTty ty ny nx tx nx nx nx nT ( )(1)/ ( )(1)/2 ( )(1)

33、/2kkynynT s ynynA xnxn返回回到本節(jié) 兩邊取Z變換得到逼近微分方程的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 所以 上式就是用雙線性變換法直接將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的變換公式。 11a211( )( )zsTzH zHs11a21111( )( ) 2 11kkkzsTzkAHzHszsTz變換公式返回回到本節(jié) 從s域到z域的映射變換為雙線性變換: 上式是s域到z域的單值可逆映射變換，所以不會產(chǎn)生頻譜混疊失真。 112 11zsTz返回回到本節(jié)2 2雙線性變換法轉(zhuǎn)換性能分析雙線性變換法轉(zhuǎn)換性能分析 先求出式（6.2.19）相應的逆變換如下 將s=+j，

34、代入上式可得112 11zsTz1122TTzss1j1j22TTz22222(1/2)(/2)(1/2)(/2)TTzTT返回回到本節(jié)由上式容易看出，從s平面到z平面的映射關(guān)系: |z|1， 1， 0（右半s平面映射成z平面單位圓外） 所以，雙線性變換法將因果穩(wěn)定的模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)仍因果穩(wěn)定。雙線性變換法的映射關(guān)系返回回到本節(jié) 下面推導數(shù)字頻率與模擬頻率之間的映射關(guān)系 由 即 下圖即是數(shù)字頻率與模擬頻率之間的映射關(guān)系 112 11zsTzjj2 1e2jjtan21eTT2tan2T映射關(guān)系式返回回到本節(jié)由圖看出，s平面的正（負）虛軸映射成z平面單位圓的上（下）半圓。由于s平面的整個正虛軸（ =0）映射成有限寬的數(shù)字頻段（=0），所以雙線性變換引起數(shù)字頻率與模擬頻率之間的嚴重非線性畸變。正是這種頻率非線性畸變，使整個模擬頻率軸映射成數(shù)字頻率的主值區(qū)-，從而消除了頻譜混疊失真。這種頻率非線性畸變使數(shù)字濾波器頻率響應曲線不能模仿相應的過渡模擬濾波器頻率響應曲線的波形。 頻率非線性畸變影響舉例 返回回到本節(jié)頻率響應的畸變頻率響應的畸變 幅頻特性 相頻特性0 0)(jeH)( jHa0 00 0回到本節(jié)返回 由圖中可明顯看出，由于數(shù)字頻率與模擬頻率之間的非線性映射關(guān)系，典型模擬濾波器幅頻響應曲線經(jīng)過雙線性變換后，所得數(shù)字濾波器幅頻響應曲線