2010中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講座四邊形

1、一輪復(fù)習(xí)專題講座四邊形1 專題概述本期復(fù)習(xí)的四邊形是初中幾何核心內(nèi)容之一四邊形的概念、性質(zhì)和定理較多，特別是特殊四邊形，與同學(xué)們的生活實(shí)際息相關(guān)，又為數(shù)學(xué)上證明線段和角相等提供了依據(jù)，自然成為各地中考必考內(nèi)容在各地中考題中，四邊形的考查題型不定，問題呈現(xiàn)方式多樣難度以中檔題、較難題為主直接考查的題量一般在57個左右，分值占試卷20%30%預(yù)計2010年中考會繼續(xù)將四邊形作為重點(diǎn)考查對象，考查靈活多變，突出推理、綜合與應(yīng)用2 基礎(chǔ)知識回顧1 平行四邊形的的概念：兩組對邊 的四邊形叫做平行四邊形.2 平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的兩組對邊 ；平行四邊形是 圖形， 的交點(diǎn)為平行四邊形的對稱中心；平行

2、四邊形的對邊 ，對角 ，鄰角 ；平行線之間的距離處處 .3 平行四邊形的判定方法： 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義識別）一組對邊 的四邊形是平行四邊形對角線 的四邊形是平行四邊形兩組對邊 的四邊形是平行四邊形 兩組對角 的四邊形是平行四邊形4 矩形概念：有一個角是 的平行四邊形叫做矩形.5 矩形的性質(zhì)：矩形具有 的所有特征；矩形的四個內(nèi)角都是 ；矩形的兩條對角線 ；矩形既是 圖形，又是 圖形。6 矩形的判定方法：矩形定義；有三個角是 的四邊形是矩形；對角線 的平行四邊形是矩形；7 菱形概念：有一組鄰邊 的平行四邊形叫做菱形.8 菱形的性質(zhì)：菱形具有 的所有特征；菱形的四條邊都 ；菱

3、形的對角線 ，每條對角線平分一組 ，9 菱形的判定方法：菱形定義；四條邊 的四邊形是菱形；對角線 的平行四邊形是菱形。10正方形概念：有一組鄰邊 ，并且有一個角是 的平行四邊形叫做正方形.11正方形的性質(zhì)：正方形具有 、 、 的所有特征，正方形的四個角都是 ，四條邊都 ；正方形的兩條對角線 ，并且互相 ，每條對角線平分一組 ；正方形 的交點(diǎn)是它的對稱中心， 是它的對稱軸，共有 條對稱軸。12正方形的判定方法：正方形定義；有 的矩形是正方形；有 的菱形是正方形；對角線 的矩形是正方形；對角線 的菱形是正方形。13梯形定義： 的四邊形叫梯形。14梯形的元素：平行的兩邊叫梯形的 ，不平行的兩邊叫做梯

4、形的 ，兩底之間的距離叫做梯形的 .15其中一腰與底邊垂直的梯形叫 梯形，兩腰相等的梯形叫 梯形。16等腰梯形的性質(zhì)：（1）等腰梯形的兩腰 ，兩底 ；（2）等腰梯形同一底上的 相等；（3）等腰梯形的對角線 ；（4）等腰梯形是 圖形，它的對稱軸是 。17等腰梯形的判定方法：（1） 相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底上的兩個角 的梯形是等腰梯形；（3）對角線 的梯形是等腰梯形。3 考點(diǎn)例析考點(diǎn)一 平行四邊形的性質(zhì)與判定例1 （2009年桂林市）如圖，ABCD中，AC、BD為對角線，BC6，BC邊上的高為4，則陰影部分的面積為（ ） A3 B6 C12 D24講解：觀察平行四邊形中散在的5個陰影部分

5、，其面積怎樣集中起來呢？如果發(fā)現(xiàn)平行四邊形的中心對稱性質(zhì)就可以將它們轉(zhuǎn)化（集中）為一個大的三角形（ADC或ABC）來求了，顯然陰影部分的面積為12，故選CADCB點(diǎn)評：不規(guī)則圖形的面積一般都需要有效轉(zhuǎn)化，像上面這樣充分發(fā)現(xiàn)并利用已知條件的價值，進(jìn)而為問題求解服務(wù)的策略是值得同學(xué)們積累的例2 （2009湖北黃岡）如圖，在ABC中，ACB=90，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE，過點(diǎn)E作EDBC于點(diǎn)D，在DE的延長線上取一點(diǎn)F，使AF=CE求證：四邊形ACEF是平行四邊形BDCAFE分析：要證明ACEF是平行四邊形，已有AF=CE，只要證明AFCE即可，只要證明F=DEC，而由AF=AE，得F=AEF，由

6、BE=CE，得CED=DEB，又BED=AEF，即證.點(diǎn)評：幾何證明主要采用的是分析的方法，尋找現(xiàn)有的條件，挖掘隱藏的條件，從結(jié)論出發(fā)，向已知條件或定理靠攏.考點(diǎn)二 菱形、矩形的性質(zhì)與識別例3 （2009四川內(nèi)江)如圖在矩形ABCD中，若AC=2AB，則AOB的大小是（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D.90分析：在RtABC中，AC=2AB，得ACB=30，又由矩形的性質(zhì)得BO=CO，所以AOB=60，選C.點(diǎn)評：矩形是特殊的平行四邊形，它可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，利用直角三角形的性質(zhì)來解答.例4 （2009福建莆田）如圖，菱形的對角線相交于點(diǎn)請你添加一個條件： ，使得該菱形為正方

7、形ABCDDCBAOO分析：正方形是特殊的菱形，它具有菱形具有的一切性質(zhì)外，還有它的對角線是相等，所以當(dāng)菱形增加一個條件是對角線相等時，該菱形變?yōu)檎叫?點(diǎn)評：特殊平行四邊形之間的關(guān)系是十分重要的，同學(xué)們一定要對它們之間的關(guān)系熟悉.例5 （2009年襄樊市，有改動）如圖所示，在中，將繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)在上，再將沿著所在直線翻轉(zhuǎn)得到連接 （1）試分析四邊形是菱形嗎？說明理由 （2）連接并延長交于連接請問：四邊形是什么特殊平行四邊形？為什么？ADFCEGB講解：（1）四邊形是菱形說明：是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到， 是等邊三角形，又是由沿所在直線翻轉(zhuǎn)得到是平角點(diǎn)F、B、C三點(diǎn)共線是等邊三角形 四邊形是菱

8、形（2）四邊形是矩形說明：由（1）可知：是等邊三角形，于，四邊形是平行四邊形，而四邊形是矩形點(diǎn)評：本題第（1）問中發(fā)現(xiàn)“是等邊三角形”是很重要的，它是后續(xù)很多特殊三角形得到發(fā)現(xiàn)、確認(rèn)的關(guān)鍵第（2）問求解時，如果能發(fā)現(xiàn)特殊RtABC、RtBCG、RtACG（它們都是30度，60度，90度）也是思路得以打開的關(guān)鍵考點(diǎn)5 與正方形相關(guān)的探究問題例6 （2009年莆田市）如圖，菱形的對角線相交于點(diǎn)請你添加一個條件： ，使得該菱形為正方形ABCDDCBAOO講解：或或等點(diǎn)評：正方形的識識別一般可從兩個方面來理解： (1)若是矩形，則需再有一組鄰邊相等；(2)若是菱形，再需要有一個角是直角即在矩形和菱形的

9、基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)，當(dāng)然也可以結(jié)合正方形的定義來發(fā)現(xiàn)例7 （2009山東德州）已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（2）將圖中BEF繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）將圖中BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）FBADCEG圖FBACE圖FBADCEG圖 FBADCEGMNN圖 （一）分析：題中點(diǎn)G是一個特殊點(diǎn)，它

10、是RtDEF和RtDCF斜邊上的中點(diǎn)，要證EG=CG可利用直角三角形的性質(zhì)加以證明.隨著圖形的變換，要證明結(jié)論的不變性，可充分挖掘正方形的一些特性，所隱藏的一些條件，構(gòu)造出全等三角形加以證明.解：（1）證明：在RtFCD中， G為DF的中點(diǎn)， CG=FD同理，在RtDEF中， EG=FD； CG=EG（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG；連接AG，過G點(diǎn)作MNAD于M，與EF的延長線交于N點(diǎn)在DAG與DCG中，； AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG； AG=CG；在DMG與FNG中， DGM=FGN，F(xiàn)G=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形AENM

11、中，AM=EN，在RtAMG 與RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG其他的結(jié)論還有：EGCG點(diǎn)評：當(dāng)幾何圖形和已知條件發(fā)生變化時，它的結(jié)論有可能隨之發(fā)生變化，也有可能原來結(jié)論保持不變的.這類探索型試題在中考試卷中屬熱點(diǎn)問題，要求同學(xué)們能在“變”中求“變”或“不變”.考點(diǎn)四 梯形為載體的問題例8 (2009山東淄博)如圖，梯形ABCD中，ABC和DCB的平分線相交于梯形中位線EF上的一點(diǎn)P，若EF=3，則梯形ABCD的周長為（ ）ABCDEFPA9B10.5 C12D15講解：梯形ABCD的周長=AB+BC+C

12、D+DA，由梯形中位線性質(zhì)可求出AD+BC=6.由平行線與角平分線的性質(zhì)，可得BE=EP=AE；CF=PF=DF,所以AB+CD=6，所以ABCD的周長為12.點(diǎn)評：梯形的中位線定理在梯形面積周長的計算中時常用到，它將上下底的和的大小位置轉(zhuǎn)換到中位線的大小位置關(guān)系.例9 （2009湖南邵陽）如圖在梯形中，將延長至點(diǎn)，使DAFBC（1）求的度數(shù)；（2）求證：為等腰三角形講解：要求的度數(shù)的大小，但題中已知條件沒有告之角度的大小，所以可以考慮用方程來解決，因?yàn)镈AC=DCA=BAF=AFB=x；則x=,則=.點(diǎn)評：本題是利用梯形等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行角度的計算，是通過角度之間的轉(zhuǎn)換來4 新題解讀題型一

13、 矩形紙條的操作探究問題例1 （2009年煙臺市）如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是 例1-1 例1-2講解：兩張等寬紙條交叉放置，重疊部分是一個菱形，同學(xué)們一定能說明它的正確性，這里不去驗(yàn)證了怎樣才能獲得最大周長呢？關(guān)鍵是什么時候的邊長最大！當(dāng)兩張紙條放置成如圖（例4-2）所示的情況時，可獲得最大邊長，此時思考RtABC由勾股定理可求出菱形的邊長為，即此時菱形周長為17點(diǎn)評：順利求解這道題有兩個關(guān)鍵：一是想象出如圖例4-2的最大菱形；二是在該圖形怎樣求出菱形的邊長，能不能想到用方程思想解RtA

14、BC題型二 小組合作學(xué)習(xí)的情境問題例2 （2009年孝感市）如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN、EF，M、N、E、F分別在邊AB、CD、AD、BC上小明認(rèn)為：若MN = EF，則MNEF；小亮認(rèn)為: 若MNEF，則MN = EF你認(rèn)為（ ）A僅小明對B僅小亮對C兩人都對D兩人都不對 講解：關(guān)鍵是過E、M引對邊的垂線段，進(jìn)而構(gòu)造直角三角形全等，可以發(fā)現(xiàn)兩個同學(xué)的發(fā)現(xiàn)都是正確的點(diǎn)評：這是正方形中一個重要的性質(zhì)了，同學(xué)們在課本上或習(xí)題一定都會碰到此類題的求解，這里的兩個性質(zhì)是需要同學(xué)們積累的，多進(jìn)行這樣的歸納有利解題思路的獲取、解題速度的提升題型三 菱形的生活情境應(yīng)用例3 （2009年安徽）學(xué)

15、校植物園沿路護(hù)欄紋飾部分設(shè)計成若干個全等菱形圖案，每增加一個菱形圖案，紋飾長度就增加dcm，如圖所示已知每個菱形圖案的邊長cm，其一個內(nèi)角為6060dL（1）若d26，則該紋飾要231個菱形圖案，求紋飾的長度L；（2）當(dāng)d20時，若保持（1）中紋飾長度不變，則需要多少個這樣的菱形圖案？講解：這是一道特殊平行四邊形的實(shí)際應(yīng)用題，已知菱形的邊長和一個內(nèi)角求較長的水平方向?qū)蔷€的長，當(dāng)然它不是簡單地將菱形對角線的長度相加.（1）菱形圖案水平方向?qū)蔷€長為30cm.按題意，cm.（2）當(dāng)20cm時，設(shè)需x個菱形圖案，則有：；解得；即需300個這樣的菱形圖案.點(diǎn)評：本題在菱形圖案長度這樣一個實(shí)際背景下，

16、綜合了解直角三角形和方程的知識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解決生活中實(shí)際問題的無窮魅力.題型四 特殊四邊形的動態(tài)探究例4 (2009年河南)如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線從與重合的位置開始，繞點(diǎn)作逆時針旋轉(zhuǎn)，交邊于點(diǎn)過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，設(shè)直線的旋轉(zhuǎn)角為 （1）當(dāng) 度時，四邊形是等腰梯形，此時的長為 ；當(dāng) 度時，四邊形是直角梯形，此時的長為 ；（2）當(dāng)時，判斷四邊形是否為菱形，并說明理由講解：反過來考慮，當(dāng)是等腰梯形時，B=EDB=，ECO=CAB=，所以，而AD=DO=.同樣地，是直角梯形時，同樣可以求出的大小.（1）30，1；60，1.5； （2）當(dāng)=900時，四邊形EDBC是菱形. =ACB=900，B

17、C/ED.CE/AB, 四邊形EDBC是平行四邊形，在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=2.AO=，在RtAOD中，A=300，AD=2.BD=2.BD=BC.又四邊形EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC是菱形 點(diǎn)評：將梯形與旋轉(zhuǎn)等變換結(jié)合起來，在運(yùn)動和變化的過程中需要同學(xué)們對特殊四邊形性質(zhì)活學(xué)活用.5 跟蹤訓(xùn)練1 以三角形的三個頂點(diǎn)及三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（ ）A1個 B.2個 C.3個 D.4個2 如圖，在四邊形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DE并延長，交AB的延長線于F點(diǎn)，添加一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形你認(rèn)為下面四個條

18、件中可選擇的是（）EBAFCDA BC D3 能夠判斷一個四邊形是菱形，則下列答案正確的是（ ）A一組對角相等且一條對角線平分這組對角 B對角線相等 C對角線互相垂直 D一組鄰邊相等4 已知一矩形的周長是24cm，相鄰兩邊之比是12，那么這個矩形的面積是（ ）A24cm2 B32cm2 C48cm2 D128cm25 已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，分別添加下列條件：（1）ABC=90；（2）ACBD；（3）AB=BC；（4）AC平分BAD；（5）AO=DO使得四邊形ABCD是矩形的條件的序號有 6 梯形中， ，則的長為 7 如圖，已知P是正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，且BP = BC，則ACP度數(shù)是 BCDAP8 如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BDAD，BC=CD，A=60，CD=2cm.(1)求CBD的度數(shù)；(2)求下底AB的長.9 如圖，在平行四邊形ABCD中,ABC的平分線交CD于點(diǎn)E,ADC的平分線交AB于點(diǎn)F.試判斷AF與CE是否相等，并說明理由. FEDCBA10如圖1，在正方形中，分別為邊上的點(diǎn)，連接交點(diǎn)為如圖2，連接，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論