數(shù)學(xué)建模-傳染病模型PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模-傳染病模型傳染病模型模型模型2 記記t時(shí)刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)時(shí)刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)（susceptible）分別為分別為i(t)與與s(t)，初始時(shí)刻的病人數(shù)為，初始時(shí)刻的病人數(shù)為 i。根據(jù)病人不死也不會(huì)康。根據(jù)病人不死也不會(huì)康復(fù)的假設(shè)及（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）統(tǒng)計(jì)籌算律，復(fù)的假設(shè)及（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）統(tǒng)計(jì)籌算律， 1oooicni 其中：其中：(1)(1)(1)( )1k ntok ntoc nei tc e解得：解得：（3.17）( )( )1( )odikisdti ts tni oi可得：可得：（3.16） 統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，(3.17)(3.17)預(yù)報(bào)結(jié)果比預(yù)報(bào)結(jié)果比

2、(3.15)(3.15)更接近實(shí)際情況。醫(yī)學(xué)上稱曲線更接近實(shí)際情況。醫(yī)學(xué)上稱曲線 為傳染病曲線，并稱為傳染病曲線，并稱 最大值時(shí)刻最大值時(shí)刻t1為此傳染為此傳染病的流行高峰。病的流行高峰。ditdtdidt220d idt令：令：1ln(1)octk n 得：得：此值與傳染病的實(shí)際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學(xué)上的預(yù)報(bào)公式。 模型模型2 2仍有不足之處，它仍有不足之處，它無(wú)法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)無(wú)法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當(dāng)時(shí)間趨與無(wú)窮時(shí)象，且當(dāng)時(shí)間趨與無(wú)窮時(shí)，模型預(yù)測(cè)最終所有人都，模型預(yù)測(cè)最終所有人都得病，與實(shí)際情況不符。得病，與實(shí)際情況不符。 為了使模型更精為了使模型更精確，有必要再將確，有必要

3、再將人群細(xì)分，建立人群細(xì)分，建立多房室系統(tǒng)多房室系統(tǒng)第2頁(yè)/共8頁(yè)infectiverecoveredsusceptiblekl (1) (2)( )( )( )1 (3), ( )0odiksilidtdrlidts ti tr tni(o)i r o（3.18） l 稱為傳染病恢復(fù)系數(shù) 求解過(guò)程如下求解過(guò)程如下： 對(duì)（對(duì)（3）式求導(dǎo)，由（）式求導(dǎo)，由（1）、（）、（2）得：）得： dskdrksisdtldt ( )( )kr tlos ts e解得：解得：記記： lk則：則：1( )( )r tos ts e 將人群劃分為三類（見(jiàn)右圖）：易感染者、已感染將人群劃分為三類（見(jiàn)右圖）：易感染

4、者、已感染者和已恢復(fù)者（者和已恢復(fù)者（recovered）。分別記）。分別記t時(shí)刻的三類人數(shù)時(shí)刻的三類人數(shù)為為s(t)、i(t)和和r(t)，則可建立下面的三房室模型：，則可建立下面的三房室模型： 模型模型3第3頁(yè)/共8頁(yè)infectiverecoveredsusceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得： didsdsdslidtdtdts dt 從而解得：從而解得：1( )( )( )( )ln( )( )1( )( )ooor tos ti tiss tss ts er tni ts t 積分得：積分得：( )( )( )lnooos ti tiss ts（3.19） 不難驗(yàn)證

5、，當(dāng)t+時(shí)，r(t)趨向于一個(gè)常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。 為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.183.18）中）中的第（的第（1 1）式改寫成：）式改寫成： ()diki sdt 其中其中 通常是一個(gè)與疾病種類有關(guān)的通常是一個(gè)與疾病種類有關(guān)的較大的常數(shù)。較大的常數(shù)。kl下面對(duì)下面對(duì) 進(jìn)行討論，請(qǐng)參見(jiàn)右圖進(jìn)行討論，請(qǐng)參見(jiàn)右圖0didt如果如果 ，則有則有 ，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來(lái)。，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來(lái)。os如果如果 ，則開(kāi)始時(shí)，則開(kāi)始時(shí) ，i(t)單增。但在單增。但在i(t)增加的同時(shí)增加的同時(shí)，伴隨地有，伴隨地有s(t)單減。當(dāng)單減。當(dāng)s(t)減少

6、到小于等于減少到小于等于 時(shí)，時(shí)， i(t)開(kāi)始開(kāi)始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。os0didt鑒于在本模型中的作用，鑒于在本模型中的作用， 被被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。的閥值。 的引入解釋了為什的引入解釋了為什么此疾病沒(méi)有波及到該地區(qū)么此疾病沒(méi)有波及到該地區(qū)的所有人。的所有人。圖3-14 第4頁(yè)/共8頁(yè)綜上所述，模型綜上所述，模型3 3指出了傳染病的以下特征：指出了傳染病的以下特征： （1 1）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病并不一定）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病并不一定流傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過(guò)閥值時(shí)，疾病才會(huì)流

7、傳起流傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過(guò)閥值時(shí)，疾病才會(huì)流傳起來(lái)。來(lái)。 （2 2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因?yàn)槿鄙賯鞑フ卟磐Ｖ箓鞑サ模駝t將導(dǎo)致所有人得病。為缺少傳播者才停止傳播的，否則將導(dǎo)致所有人得病。 （3 3）種群不可能因?yàn)槟撤N傳染病而絕滅。）種群不可能因?yàn)槟撤N傳染病而絕滅。 模型檢驗(yàn)：模型檢驗(yàn)： 醫(yī)療機(jī)構(gòu)一般依據(jù)醫(yī)療機(jī)構(gòu)一般依據(jù)r(t)來(lái)統(tǒng)計(jì)疾病的波及人數(shù)來(lái)統(tǒng)計(jì)疾病的波及人數(shù) ，從廣義上，從廣義上理解，理解，r(t)為為t時(shí)刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對(duì)時(shí)刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對(duì)模型并無(wú)影響。模型并無(wú)影

8、響。(1)drlinrsdt rloSS e及：及：注意到：注意到：可得可得：(1)rodrl nrs edt （3.20） 第5頁(yè)/共8頁(yè) 通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)太大，故太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展開(kāi)取前三項(xiàng)，有：一般是小量。利用泰勒公式展開(kāi)取前三項(xiàng)，有： r211()2rrre 代入（代入（3.203.20）得近似方程：）得近似方程：2112oooSSdrrl nSrdt 積分得：積分得：21( )1tanh()2ooSr tmmltS 其中：其中：1222(1)1oooSS nSm 11tanh1oSm這里雙曲正切函數(shù)這里雙曲正切函數(shù) ：tanhuuuueeuee2222()()4tanh()()uuuuuuuudeeeeudueeee而：而：對(duì)對(duì)r(t)求導(dǎo)求導(dǎo) ：2221sec22odrlmhmltdtS（3.21）第6頁(yè)/共8頁(yè)曲線曲線 2221sec22odrlmhmltdtS在醫(yī)學(xué)上被稱為疾病傳染曲線在醫(yī)學(xué)上被稱為疾病傳染曲線。圖圖3-14（a）給出了（）給出了（3.21）式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天實(shí)際登錄數(shù)進(jìn)行比較擬合得最優(yōu)曲線。每天實(shí)際登錄數(shù)進(jìn)行比較擬合得最優(yōu)曲線。 圖3-