數(shù)學(xué)物理方法第一章

1、數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 課程的內(nèi)容課程的內(nèi)容三種方程、 四種求解方法、 二個特殊函數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波動方程、熱傳導(dǎo)、拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù) 數(shù)學(xué)物理方程定義數(shù)學(xué)物理方程定義描述某種物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)微分方程。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)一、一、 基本方程的建立基本方程的建立第一章第一章 一些典型方程和一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)定解條件的推導(dǎo)二、二、

2、定解條件的推導(dǎo)定解條件的推導(dǎo)三、三、 定解問題的概念定解問題的概念零、偏微分方程相關(guān)概念零、偏微分方程相關(guān)概念數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)偏微分方程(PDE)是指含有自變量、未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的等式，其一般形式為1212( ,; ,;)0nuuunxxxF x xx u12( ,).其中nuu x xx零、偏微分方程相關(guān)概念零、偏微分方程相關(guān)概念PDE的階：F中u的最高階偏導(dǎo)項的階數(shù)；PDE通解：階數(shù)為m的PDE，其解含有m個任意函數(shù)。1 1、偏微分方程及其解、偏微分方程及其解 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方

3、程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)特解： 通過定解條件確定解中的任意常數(shù)后得到的解。 形式解：未經(jīng)過驗證的解為形式解。 21 例 ： 求方程的通解。uxyx y212+ ( )( ( )解：將原方程關(guān)于 積分一次，得可微xux yyyy2214( , )+ ( )+ ( )( ( )( )( )( )再關(guān)于 積分一次，得其中和均二階可微。yu x yx yf xg yg yy dyf xg y數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)2 2、偏微分方程的分類、偏微分方程的分類 (1) 按

4、自變量的個數(shù)，分為二元和多元方程；(2) 按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階 和高階微分方程；(3) 按F是否關(guān)于u及其導(dǎo)數(shù)的線性關(guān)系，分為線性偏微分方程和非線性偏微分方程；(4) 按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化，分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程；(5) 按方程中是否含有自由項（只與自變量相關(guān)的函數(shù)），分為非齊次和齊次偏微分方程。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)222222exp()例 ：uuattx22+60uuuutxx2222sin()uuxyxy2222sin( )uuuxy非齊次線性22222uuua

5、bcutxx齊次線性齊次非線性非齊次線性齊次非線性222110uu變系數(shù)線性222uuaxuxt變系數(shù)線性數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)線性方程的解具有疊加特性 iifLu ffiuuifLu 0iLuuui0Lu3 3、線性疊加原理、線性疊加原理 幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)一、一、 基本方程的建立基本方程的建立微元法：分析系統(tǒng)中任一微小部分與其臨近部分 的關(guān)

6、系，通過物理原理建立方程規(guī)律法：對描述基本物理規(guī)律的方程（如 Maxwell方程組等）進(jìn)行簡化統(tǒng)計法：通過統(tǒng)計或?qū)嶒炓?guī)律建立方程數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的 橫振動。不受外力影響。例例1、弦的振動（微元法）、弦的振動（微元法）研究對象：線上某點在 t 時刻沿縱向的位移。( , )u x t數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)簡化假設(shè)：(3)振幅極小， 張力與水平方向的夾角很??；(1)弦是均勻柔軟

7、的，平衡時拉緊；（2）橫向運動cos1cos1 dg s M M ds x T y dxx x T 牛頓運動定律：sinsindTTg sma橫向：coscosTT縱向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：(4)弦上一點僅受張力（沿弦的切線方向）和重力。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)TT(d , )( , )du xx tu x tTg smaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：2d1+() duxsx22( ,

8、)mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx一維波動方程2Ta 令：22222uuatx忽略重力加速度：-齊次方程齊次方程數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的

9、推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo) 如果振動過程中，還受一個與弦振動方向平行的外力，且在時刻t弦上x點處的外力密度為F(x,t)，則對應(yīng)方程為:22dsinsindduF sTTg sst橫向：coscosTT縱向：利用上面推導(dǎo)方法并略去弦本身質(zhì)量，可以得到弦的強(qiáng)迫振動方程為222221( , ),( , )( , )uuaf x tf x tF x ttx自由項-非齊次方程非齊次方程數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)注1：類似的可導(dǎo)出二維波動方程（例如薄膜振動）和三維波動方程（例如電磁波和聲波的傳播）,它們的形式分別為2,

10、,ttxxyyuauuf x y t2, , ,ttxxyyzzua uuuf x y z t注2: 均勻桿的縱向振動問題。有一均勻桿，只要桿中任一小段有縱向位移或者速度，必定導(dǎo)致鄰段的壓縮或者拉長，這種伸縮傳開去，就有縱波沿著桿傳播。以 u(x,t) 表示桿上各點的縱向位移，則桿的縱振動方程和弦的橫振動方程相同，即完全不同的物理過程,可以用相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式描述。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)從麥克斯韋方程出發(fā)：cv0 DHJtBEtDB在自由空間：00HEtHEtEHcv0,0J例例2、時變電磁場（由基本方程推導(dǎo)）

11、、時變電磁場（由基本方程推導(dǎo)）ccv=:，：電場強(qiáng)度； ：磁場強(qiáng)度；：電感應(yīng)強(qiáng)度；磁感應(yīng)強(qiáng)度；：傳導(dǎo)電流面密度； ：電荷體密度；：介電常數(shù)； ：磁導(dǎo)率； ：導(dǎo)電率DE BHJEEHDBJ數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)00HEtHEtEH對第一方程兩邊取旋度，)(EtH根據(jù)矢量運算：2()HHH 2()HHtt222tHH由此得：得 ：2222222xyz 拉普拉斯算子： 同理可得：2221EEt 電場的三維波動方程222222221()HHHHtxyz 磁場的三維波動方程數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第

12、第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)例例3 3、靜電場、靜電場電勢u 確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：Eu/ E)(uE/2 u02 u對方程進(jìn)行化簡：uu2/拉普拉斯方程 泊松方程 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)例例4 4、熱傳導(dǎo)、熱傳導(dǎo)推導(dǎo)過程：a) 傳熱學(xué)中的傅立葉試驗定律：在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為：分析：熱量總是由溫度高的地方向溫度低的地方傳導(dǎo)，故熱傳導(dǎo)問題即為物體內(nèi)溫度分布問題。采用微元法的思想，先考慮一個小區(qū)域（如右圖）的溫度。設(shè)點M(x,y,z)在時刻t

13、的溫度為u(x,y,z,t)。熱場MSSVn假設(shè)：導(dǎo)體均勻且各向同性dd dd dd d uQkS tku nS tk uS tn其中k為熱傳導(dǎo)系數(shù)（導(dǎo)體均勻且各向同性），負(fù)號表示熱量的流向與溫度梯度的正向方向相反。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為 211dd ttSQk uSt由高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分），有 tVukQttVdd2121 熱場MSSVn),(1tzyxu),(2tzyxuVtzyxutzyxucQVd),(),(122b) 流入的熱

14、量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化 根據(jù)比熱容公式，溫度發(fā)生變化需要的熱量為：VttucVttdd21 21ddttVtVtucC為比熱容，為物體的密度 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)21QQ 2121dddd2ttVttVtVtuctVuktucuk22ukutc22/ () uauffFct22au熱傳導(dǎo)方程熱場MSSVnc) 根據(jù)熱量守恒，流入的熱量應(yīng)等于物體溫度升高所需吸收的熱量，即若傳熱體內(nèi)部有熱源，其強(qiáng)度(單位時間、單位體積所產(chǎn)生的熱量)為F(x,y,z,t)，則相應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程為由于區(qū)域V及時間間隔t1, t2是

15、任意的，且被積函數(shù)是連續(xù)的，則有數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)有界桿上的熱傳導(dǎo)（桿的兩端溫度恒為零且絕熱）初始溫度分布(t=0)溫度變化過程(0t100)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。二、定解條件的推導(dǎo)二、定解條件的推導(dǎo)其他

16、條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)初始時刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件0(, )|()tu M tM說明：初始條件的數(shù)量與方程所含關(guān)于時間偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)相關(guān)。A、 波動方程的初始條件00|( )( )ttuxuxt1、初始條件、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點的初位移系統(tǒng)各點的初速度數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)C、無初始條件的問題i)周期性外源（外力）引起的傳導(dǎo)或振動問題

17、經(jīng)歷多次周期后，初始條件的影響已可忽略不計;ii)與時間無關(guān)的穩(wěn)定場問題，如泊松方程和拉普拉斯方程。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況描述系統(tǒng)在邊界上的狀況A、 波動方程的邊界條件(1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為：0|0,xu( , )0u a t 或：0 x auTx0 x aux( , )0 xu a t (3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧的支承。x ax auTkux 或0 x au

18、ux數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo).0),(|),(|, 0, 0|, 0|, 0,0,00022222lxxxutuutlxattutlxxxutu10),1()(, 1,1,0,)(2121xxxxxxxxx初始位移分布(t=0)弦振動過程(0t100)固定端的弦振動示意圖數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)22222000,0,0,|0,|0,0,|( ),|( ), 0.uutxxxx lutttaxl tuutuxxxl 10),1()(, 1,1,0,)(2121xxxxxxxxx初始位移分布(t=0)弦振動過程(0t100)自由端的弦振動示意圖數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)典型方程和定解條件的推導(dǎo)初始位移分布(t=0)弦振動過程(0t100)2222220000002000 04,( , )( , ),( , )( , )( , ),uuaxl ttxu l tu