2.1二重積分的概念及性質(zhì)ppt課件

1、6.16.1二重積分的概念、二重積分的概念、幾何意義和性質(zhì)幾何意義和性質(zhì) 第第6 6章章 數(shù)量函數(shù)的積分及其應(yīng)用數(shù)量函數(shù)的積分及其應(yīng)用 一、問題的提出一、問題的提出二、二重積分的定義二、二重積分的定義三、二重積分的幾何意義三、二重積分的幾何意義四、二重積分的性質(zhì)四、二重積分的性質(zhì) 一、問題的提出曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積頂頂柱柱體體做做曲曲上上連連續(xù)續(xù)這這樣樣的的立立體體叫叫在在且且，這這里里面面軸軸的的柱柱面面，它它的的頂頂是是曲曲平平行行于于線線的的邊邊界界曲曲線線為為準(zhǔn)準(zhǔn)線線而而母母是是以以，它它的的側(cè)側(cè)面面面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)有有一一立立體體，它它的的底底是是Dyxfyxfz

2、zDDxoy0),(),(xzo),(yxfz yD定義定義體積體積= =曲邊梯形面積的求法曲邊梯形面積的求法“分割、近似、求和、取極限的思想方法分割、近似、求和、取極限的思想方法平頂柱體的體積計算平頂柱體的體積計算底面積底面積高高曲頂柱體的體積計算曲頂柱體的體積計算步驟如下：步驟如下：個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域分成分成先用曲線網(wǎng)把先用曲線網(wǎng)把nD.D,D,Dn21xzyoxyzo),(yxfz 并取典型小區(qū)域并取典型小區(qū)域, ,DiD ),(ii 用若干個小平用若干個小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積頂柱體的體積, ,.),(lim10iiniidfV曲頂柱體的體積曲

3、頂柱體的體積. .求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量.),(lim10iiniidM.0),(),(),(,計計算算該該薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量續(xù)續(xù)上上連連且且在在處處的的面面密密度度為為點點它它在在面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域有有設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片占占DyxyxyxDxOy ),(ii iD xyO二、二重積分的定義,),(),(.,.),(21iiiiiiiinfDDiDDDnDDyxf 作作乘乘積積任任取取一

4、一點點上上在在每每個個的的面面積積個個小小閉閉區(qū)區(qū)域域表表示示第第用用并并個個小小閉閉區(qū)區(qū)域域任任意意劃劃分分成成區(qū)區(qū)域域?qū)㈤]閉上上的的有有界界函函數(shù)數(shù)是是有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè) niiiif1.),( 并并作作和和定義定義即即記記作作的的二二重重積積分分上上在在閉閉區(qū)區(qū)域域則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)的的極極限限存存在在這這和和時時徑徑中中的的最最大大值值如如果果當(dāng)當(dāng)各各小小閉閉區(qū)區(qū)域域的的直直,d),(,),(,0 DyxfDyxf .),(limd ),(10iniiidDfyxf對二重積分對二重積分(double integral)定義的說明定義的說明,ddd,)1(yxdDi

5、 積元素積元素在直角坐標(biāo)系中面在直角坐標(biāo)系中面和中的和中的表示積分表示積分面積元素面積元素是任意的是任意的的劃分的劃分對閉區(qū)域?qū)﹂]區(qū)域在定義中在定義中xyo此此時時二二重重積積分分為為 DDyxyxfyxfdd),(d),( .,),()2(上的二重積分必定存在上的二重積分必定存在那么它在那么它在上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)域在閉區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)DDyxf三、二重積分的幾何意義三、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值負值 二重積分的幾何意義二重積分的幾

6、何意義 二重積分是各部分區(qū)域二重積分是各部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和，在上柱體體積的代數(shù)和，在xoy上方的取正，在上方的取正，在xoy下方取下方取負負xyz 0例例根據(jù)二重積分的幾何意義判斷積分的值根據(jù)二重積分的幾何意義判斷積分的值. .:,d222222ayxDyxaD 3421d 3222ayxaD 解解投影區(qū)域為圓域投影區(qū)域為圓域.:222ayxD 被積函數(shù)半球面為被積函數(shù)半球面為,222yxaz 由二重積分得幾何意義由二重積分得幾何意義xyzO.323a 四、二重積分的性質(zhì)四、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時，為常數(shù)時，k.d),(d),( DDyxfkyxkf 性質(zhì)性質(zhì) Dyxgy

7、xf d),(),(.d),(d),( DDyxgyxf 性質(zhì)性質(zhì)對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性.d),(d),(d),(21 DDDyxfyxfyxf )(21DDD 性質(zhì)性質(zhì) 假設(shè)假設(shè) 為為D D的面積，的面積，.dd1 DD 性質(zhì)性質(zhì) 若在若在D D上上),(),(yxgyxf .d),(d),( DDyxgyxf 特殊地特殊地.d),(d),( DDyxfyxf 則有則有性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） DMyxfm d),( ),(d),(fyxfD（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）使使得得上上至至少少存存在在一一點點則則在在的的面面積積為為上上連連續(xù)續(xù)在在如如果果函函數(shù)數(shù)),( ,),( DDDyxf上上則在則在的面積的面積為為最小值最小值上的最大值和上的最大值和在在是函數(shù)是函數(shù)、設(shè)設(shè)DDDyxfMm ,),( 解解2 yxoxy121D (2,0). (1,1), (1,0), , ,d)ln( d)ln( 2三個頂點各為三個頂點各為是三角形閉區(qū)域是三角形閉區(qū)域其中