二項分布及泊松分布教材

1、例例1 設生男孩的概率為設生男孩的概率為p,生女孩的概率為生女孩的概率為q=1-p，令令X表示隨機抽查出生的表示隨機抽查出生的4 4個嬰兒個嬰兒中中“男孩男孩”的個數的個數. .貝努利概型貝努利概型 和和二項分布二項分布一、一、我們來求我們來求X的概率分布的概率分布. .4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1 (44kppCkXPkkkX的概率函數是：的概率函數是：男男 女女X表示隨機抽查的表示隨機抽查的4 4個嬰兒中男孩的個數，個嬰兒中男孩的個數，生男孩的概率為生男孩的概率為 p.X=0X =1X =2X =3X =4X可取值可取值0,1,2,3,4.例例2 將將一枚均勻骰子拋擲一枚均勻骰

2、子拋擲1010次，次，令令X 表示表示3 3次中出現次中出現“4”4”點的次數點的次數3 , 2 , 1 , 0,)65()61(33kCkXPkkkX的概率函數是：的概率函數是：不難求得，不難求得， 擲骰子：擲骰子：“擲出擲出4 4點點”，“未擲出未擲出4 4點點” 一般地，一般地，設在一次試驗中我們只考慮兩個設在一次試驗中我們只考慮兩個互逆的結果：互逆的結果：A或或 ， 或者形象地把兩個互或者形象地把兩個互逆結果叫做逆結果叫做“成功成功”和和“失敗失敗”. .A 新生兒：新生兒：“是男孩是男孩”，“是女孩是女孩” 抽驗產品：抽驗產品：“是正品是正品”，“是次品是次品” 這樣的這樣的n次獨立

3、重復試驗稱作次獨立重復試驗稱作n重貝努利重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗或試驗，簡稱貝努利試驗或貝努利概型貝努利概型. . 再設我們重復地進行再設我們重復地進行n次獨立試驗次獨立試驗 ( “( “重重復復”是指這次試驗中各次試驗條件相同是指這次試驗中各次試驗條件相同 ) )， 每次試驗成功的概率都是每次試驗成功的概率都是p，失敗的概率，失敗的概率都是都是q=1-=1-p. . 用用X表示表示n重貝努利試驗中事件重貝努利試驗中事件A（成功成功）出現的次數，則出現的次數，則nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()(1)(0nkkXP（2）不難驗證：不難驗證：0)( kXP（1）稱稱r.vr

4、.vX服從參數為服從參數為n和和p的二項分布，記作的二項分布，記作 XB(n,p)當當n=1時，時，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1稱稱X服從服從0-1分布分布007125. 0)95. 0()05. 0() 2(223CXP例例3 已知已知100個產品中有個產品中有5個次品，現從中個次品，現從中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1個，求在所取個，求在所取的的3個中恰有個中恰有2個次品的概率個次品的概率.解解: 因為這是有放回地取因為這是有放回地取3次，因此這次，因此這3 次試驗次試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努利試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努利試驗.依題意，每

5、次試驗取到次品的概率為依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設設X為所取的為所取的3個中的次品數，個中的次品數，于是，所求概率為于是，所求概率為：則則 X B (3, 0.05)，注：若注：若將本例中的將本例中的“有放回有放回”改為改為”無放無放回回”，那么各次試驗條件就不同了，不是貝，那么各次試驗條件就不同了，不是貝努里概型，此時，只能用古典概型求解努里概型，此時，只能用古典概型求解.00618. 0) 2(310025195CCCXP二項分布描述的是二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現重貝努里試驗中出現“成功成功”次數次數X的概率分布的概率分布.可以簡單地說，可以簡單地說，例例4 某類

6、燈泡使用時數在某類燈泡使用時數在1000小時以上小時以上的概率是的概率是0.2，求三個燈泡在使用，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率小時以后最多只有一個壞了的概率. .解解: : 設設X為三個燈泡在使用為三個燈泡在使用1000小時已小時已壞壞的燈泡數的燈泡數 . X B (3, 0.8)，把觀察一個燈泡的使用把觀察一個燈泡的使用時數看作一次試驗時數看作一次試驗,“使用到使用到1000小時已壞小時已壞”視為視為“成功成功”.每次試驗每次試驗“成功成功”的概率為的概率為0.8 P(X 1) =P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2

7、. 0()8 . 0()(33kkkCkXP3 , 2 , 1 , 0k 對于固定對于固定n及及p，當，當k增增加時加時 ,概率概率P(X=k) 先是隨先是隨之增加直至之增加直至 達到最大值達到最大值, 隨后單調減少隨后單調減少.二項分布的圖形特點：二項分布的圖形特點： XB(n,p)當當(n+1)p不為整數時，二項概不為整數時，二項概率率P(X=k)在在k=(n+1)p達到最達到最大值；大值；( x 表示不超過表示不超過 x 的最大整數的最大整數). . .n=10,p=0.7nPk0 對于固定對于固定n及及p，當，當k增增加時加時 ,概率概率P(X=k) 先是隨先是隨之增加直至之增加直至

8、達到最大值達到最大值, 隨后單調減少隨后單調減少.二項分布的圖形特點：二項分布的圖形特點： XB(n,p)當當(n+1)p為整數時，二項概率為整數時，二項概率P(X=k)在在k=(n +1)p和和k =(n+1)p-1處處達到最大達到最大值值.n=13,p=0.5Pkn.0111)1()( knkknknkknqpCqpCkXPkXPkqpkn)1( ),2 , 1()1(1nkkqkpn kqqkpn)1 () 1( kqkqkpn )1(的的增增加加而而上上升升；隨隨著著此此時時，時時，當當kkXPkXPkXPpnk)()1()()1( ;),1()()1(的的增增加加而而下下降降此此時時

9、隨隨著著時時，當當kKXPKXPpnk 達達到到最最大大值值。時時不不是是整整數數，則則若若都都達達到到最最大大值值及及在在此此時時為為正正整整數數時時當當)1()1(;1)1()1()(),1()(,)1(pnkpnpnpnkkXPkXPkXPpnk 想觀看二項分布的圖形隨參數想觀看二項分布的圖形隨參數n,p的的具體變化，請看演示具體變化，請看演示二項分布二項分布例例5 為保證設備正常工作，需要配備適量為保證設備正常工作，需要配備適量的維修工人的維修工人 . 設共有設共有300臺設備，每臺的工臺設備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若若在通常的情

10、況下，一臺設備的故障可由一在通常的情況下，一臺設備的故障可由一人來處理人來處理 . 問問: (1)若只配備一名工人，則設備發(fā)生故若只配備一名工人，則設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？障而不能及時維修的概率是多少？ (2)若配備兩名工人，則設備發(fā)生故障若配備兩名工人，則設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？而不能及時維修的概率是多少？ (3) 若使設備發(fā)生故障時不能及時維修的概若使設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于率小于0.01，至少應配備多少工人，至少應配備多少工人?我們先對題目進行分析：我們先對題目進行分析： 300臺設備，獨立工作，出故障概率都是臺設備，獨立工作，出故障概率都是0

11、.01 . 一臺設備故障一人來處理一臺設備故障一人來處理. 設設X為為300臺設備同時發(fā)生故障的臺數，臺設備同時發(fā)生故障的臺數，300臺設備，獨立工作，每臺出故障概率臺設備，獨立工作，每臺出故障概率p=0.01 . 可看作可看作n=300的貝努利概型的貝努利概型.XB(n,p)，n=300, p=0.01可見，可見， “若只配備一名工人若只配備一名工人”那么只要同時發(fā)生故那么只要同時發(fā)生故障的設備的臺數障的設備的臺數X大于大于1，其中的，其中的X-1 臺設備就臺設備就會得不到及時維修。即所求為會得不到及時維修。即所求為 問問(1)若只配備一名工人，則設備發(fā)生故障若只配備一名工人，則設備發(fā)生故障

12、而不能及時維修的概率是多少？而不能及時維修的概率是多少？ 同理，同理，“若只配備兩名工人若只配備兩名工人”那么只要同時那么只要同時發(fā)生故障的設備的臺數發(fā)生故障的設備的臺數X大于大于2即可。所求為即可。所求為)1(XP)2(XP 300臺設備，獨立工作，出故障概率都是臺設備，獨立工作，出故障概率都是0.01 . 一臺設備故障一人來處理一臺設備故障一人來處理. 問問(3) 需配備多少工人，若使設備發(fā)生故需配備多少工人，若使設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于障時不能及時維修的概率小于0.01?設設X為為300臺設備同時發(fā)生故障的臺數，臺設備同時發(fā)生故障的臺數，XB(n,p)，n=300, p=0.

13、01設需配備設需配備N個工人，個工人，所求的是滿足所求的是滿足的最小的的最小的N.P(XN) N) )(1NXP 01. 0)01. 01(01. 013000300kkNkkC 通過計算可知，通過計算可知，01. 0039. 0)8( XP 則要使設備發(fā)生故障而不能及時維修的概則要使設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率小于率小于0.01，只需配備，只需配備8名工人，平均每人負責名工人，平均每人負責38臺。臺。若將該例改為：若將該例改為： (1)若由一人負責若由一人負責20臺設備，求這臺設備，求這20臺設備臺設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率；發(fā)生故障而不能及時維修的概率； 解：解：(1)設隨機變量

14、設隨機變量X表示表示20臺設備在同一臺設備在同一時刻發(fā)生故障的臺數，則時刻發(fā)生故障的臺數，則)01. 0 ,20( BX)1(1 XP)1(XP)1()0(1 XPXP1912020002099. 001. 099. 001. 01 CC0176. 0 (2)若由若由3人共同負責維修人共同負責維修80臺設備，求這臺設備，求這80臺設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率。臺設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率。 解：設隨機變量解：設隨機變量X表示表示80臺設備在同一時刻臺設備在同一時刻發(fā)生故障的臺數，則發(fā)生故障的臺數，則)01. 0 ,80( BX)4(1XP )4( XP)3()2()1()0(1 XP

15、XPXPXP0.0091由由(1)(2)結果，可看出后者的管理經濟效益要結果，可看出后者的管理經濟效益要好得多。好得多。例例6 某人去一服務單位辦事，排隊等候的時某人去一服務單位辦事，排隊等候的時間間(分鐘分鐘)為一隨機變量，設其概率密度為：為一隨機變量，設其概率密度為： 000101)(10 xxexx 若此人等候時間超過若此人等候時間超過15分鐘則憤然離去。假分鐘則憤然離去。假設此人一個月要到該服務單位辦事設此人一個月要到該服務單位辦事10次，則次，則 (1)此人恰好此人恰好 有有2 次憤然離去的概率；次憤然離去的概率； (2)此人至少有此人至少有2次憤然離去的概率；次憤然離去的概率； (

16、3)此人多數會憤然離去的概率。此人多數會憤然離去的概率。解：解：”表表示示，則則“機機變變量量“此此人人憤憤然然離離去去”由由隨隨15Xdxex1015101 )15(XP223. 023 e 1510 xe 設隨機變量設隨機變量Y表示表示“此人來服務單位辦事此人來服務單位辦事10次中憤然離去的次數次中憤然離去的次數”，則，則)223. 0 ,10( BY(1)此人恰好此人恰好 有有2 次憤然離去的概率；次憤然離去的概率；82210)223. 01(223. 0 C)2( YP即即)1()0(1 YPYP)1(YP(2)此人至少有此人至少有2次憤然離去的概率；次憤然離去的概率；91101000

17、10)223. 01(223. 0)223. 01(223. 01 CC(3)此人多數會憤然離去的概率。此人多數會憤然離去的概率。)5(1 YP)5(YPkkkkC 105010)223. 01(223. 01二、二項分布的泊松近似二、二項分布的泊松近似 我們先來介紹我們先來介紹二項分布的泊松近似，二項分布的泊松近似，下一講中，我們將介紹二項分布的正態(tài)近下一講中，我們將介紹二項分布的正態(tài)近似似.kkkkkCkXPXP 30030023003002)99. 0()01. 0()() 1(或諸如此類的計算問題，必須尋求近似方法或諸如此類的計算問題，必須尋求近似方法. 當試驗次數當試驗次數n很大時，

18、計算二項概率變很大時，計算二項概率變得很麻煩，若得很麻煩，若 要計算要計算)01. 0 ,300( BX 定理的條件意味著當定理的條件意味著當 n很大時，很大時，p 必定必定很小很小. 因此，泊松定理表明，當因此，泊松定理表明，當 n 很大，很大，p 很小時有以下近似式：很小時有以下近似式：!)1 (keppCkknkkn泊松定理泊松定理設設 是一個正整數，是一個正整數， ，則有，則有, 2 , 1 , 0,!)1 (lim kkeppCkknkknn 其中其中 np (證明見下一頁證明見下一頁).np 證明：證明：np knkknknppCP )1(knknnkknnn )1()(!)1()

19、1( knknnkknnn )1()(!)1()1( knkknnnknnnk )1()1()1()1(! knknnnknnk )1()1)(11()21)(11(1 ! 時時，有有當當對對固固定定的的 nk,1)11()21)(11(1 nknn)()1()1( nnnn e1)1( kn knkknnnknnnk )1()1()1()1(! n 100, np 10 時近似效果就很好時近似效果就很好 請看演示請看演示二項分布的泊松近似二項分布的泊松近似實際計算中，實際計算中，!)1 (keppCkknkkn其中其中 np 例例5 為保證設備正常工作，需要配備適量為保證設備正常工作，需要配備適量的維修工人的維修工人 . 設共有設共有300臺設備，每臺的工臺設備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若若在通常的情況下，一臺設備的故障可由一在通常的情況下，一臺設備的故障可由一人來處理人來處理 . 問問: (1)若只配備一名工人，則設備發(fā)生故若只配備一名工人，則設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是