2.1-多元函數(shù)ppt課件

1、 第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用引引 言言 上冊(cè)中討論的函數(shù)是一元函數(shù)問(wèn)題上冊(cè)中討論的函數(shù)是一元函數(shù)問(wèn)題.但在許多但在許多實(shí)際問(wèn)題中往往涉及到多方面的因素，反應(yīng)在實(shí)際問(wèn)題中往往涉及到多方面的因素，反應(yīng)在數(shù)學(xué)上就是多元函數(shù)以及多元函數(shù)的微分和積數(shù)學(xué)上就是多元函數(shù)以及多元函數(shù)的微分和積分問(wèn)題分問(wèn)題. 多元函數(shù)微積分的基本概念、理論和多元函數(shù)微積分的基本概念、理論和方法是一元函數(shù)微積分中相應(yīng)概念、理論和方方法是一元函數(shù)微積分中相應(yīng)概念、理論和方法的推廣與發(fā)展，它們既有許多相似之處，又法的推廣與發(fā)展，它們既有許多相似之處，又有很多本質(zhì)上的不同有很多本質(zhì)上的不同. 學(xué)習(xí)時(shí)注意

2、比較和區(qū)分學(xué)習(xí)時(shí)注意比較和區(qū)分.為主，討論多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用為主，討論多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用.本章將在一元微分學(xué)的基礎(chǔ)上，以二元函數(shù)本章將在一元微分學(xué)的基礎(chǔ)上，以二元函數(shù)一、準(zhǔn)備知識(shí)一、準(zhǔn)備知識(shí)二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念1. 1. 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 n n 維空間維空間二元有序數(shù)組二元有序數(shù)組x,y或點(diǎn)的全體，即或點(diǎn)的全體，即 2RR R( , ),x y x yR表示坐標(biāo)平面表示坐標(biāo)平面.坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合，稱為

3、的點(diǎn)的集合，稱為平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集,記作記作 ( , ) ( , )Ex yx yP 具具有有的的性性質(zhì)質(zhì) 222),(ryxyxC 例例 圓圓 內(nèi)所有點(diǎn)的集合：內(nèi)所有點(diǎn)的集合：222xyr rOPPC 或或一、準(zhǔn)備知識(shí)一、準(zhǔn)備知識(shí)定義了線性運(yùn)算和距離的集合定義了線性運(yùn)算和距離的集合 稱為二維空間稱為二維空間.2Rn 元有序數(shù)組元有序數(shù)組12(,)nx xx12(,)nx xxn 維空間中的每一個(gè)元素維空間中的每一個(gè)元素kx數(shù)數(shù)稱為該點(diǎn)的第稱為該點(diǎn)的第k k個(gè)個(gè)的全體稱為的全體稱為n n維空間維空間, ,記作記作R ,n即即RR RRn 12(,)R,1,2,nkxxxxkn 稱為空間中的一個(gè)點(diǎn)

4、稱為空間中的一個(gè)點(diǎn), 坐標(biāo)坐標(biāo) .(0,0,0)0.成成為為零零元元，記記為為定義了線性運(yùn)算和距離的集合定義了線性運(yùn)算和距離的集合 稱為二維空間稱為二維空間.2R推廣：推廣：2. 2. 鄰域鄰域 0(,) ,U PP 在平面上在平面上, , 22000(, )( , )()()U Px yxxyy ( (圓鄰域圓鄰域) )在空間中在空間中, , ,2220000()( , , )()()()U Px y zxxyyzz ( (球鄰域球鄰域) )0PP 000(,)P xy 中點(diǎn)中點(diǎn) 的的 鄰域?yàn)猷徲驗(yàn)镽n 00(, )U xx xx 0 x x0P o0() U PP 00PP1.1.若不需要

5、強(qiáng)調(diào)鄰域半徑若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成0().U P2.2.點(diǎn)點(diǎn)P0 P0 的去心鄰域記為的去心鄰域記為說(shuō)明：說(shuō)明：0P 在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域, ,因?yàn)榉洁徱驗(yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含域與圓鄰域可以互相包含.平面上的方鄰域?yàn)槠矫嫔系姆洁徲驗(yàn)?0U(,)( , ) Px y 0,xx 0yy。0P3. 3. 區(qū)域區(qū)域(1) (1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集設(shè)有點(diǎn)集 E E 及一點(diǎn)及一點(diǎn) P :P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = ,E則稱則稱 P P 為為 E E

6、 的內(nèi)點(diǎn)；的內(nèi)點(diǎn)；則稱則稱 P P 為為 E E 的外點(diǎn)；的外點(diǎn)； 若對(duì)點(diǎn)P 的任一鄰域 U(P) 既含E中的內(nèi)點(diǎn)顯然顯然, E, E的內(nèi)點(diǎn)必屬于的內(nèi)點(diǎn)必屬于E , E E , E 的外點(diǎn)必不屬于的外點(diǎn)必不屬于E , E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于的邊界點(diǎn)可能屬于E, 也可能不屬于也可能不屬于E . E也含也含 E 的外點(diǎn)的外點(diǎn) , 則稱則稱 P 為為 E 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn) .(2) (2) 聚點(diǎn)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的若對(duì)任意給定的 , , 點(diǎn)點(diǎn)P P 的去心鄰域的去心鄰域( ,)U P E內(nèi)總有內(nèi)總有E E 中的點(diǎn)中的點(diǎn) , , 則稱則稱 P 是是 E 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于聚點(diǎn)可以屬于E ,

7、 E , 也可以不屬于也可以不屬于E E ( (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為E E 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn) ) ) 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E E 的導(dǎo)集的導(dǎo)集 . . 若集D中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線D(3) (3) 開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開(kāi)集； 若點(diǎn)集E E, 則稱E為閉集； 開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域, ,簡(jiǎn)稱區(qū)域簡(jiǎn)稱區(qū)域; ; E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界, 記作E ;相連相連 ,則稱則稱D是連通的是連通的 ;例如，在平面上例如，在平面上開(kāi)區(qū)域開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域閉區(qū)域xyo21xyox

8、yoxyo21 ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy 整個(gè)平面是最大的開(kāi)域 , 點(diǎn)集點(diǎn)集 ( , )1x yx 也是最大的閉域；也是最大的閉域；是開(kāi)集，但非區(qū)域是開(kāi)集，但非區(qū)域 . .11oxy 對(duì)區(qū)域D , 若存在正數(shù)K , 使一切點(diǎn)PD則稱則稱D D為有界域?yàn)橛薪缬?, ,否則稱為無(wú)界域否則稱為無(wú)界域 . .與某定點(diǎn)與某定點(diǎn)A A 的距離的距離 APAP K , K ,二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng)2,Vr h (,RTpRV 為為常常數(shù)數(shù)） ( ,)0,0

9、r hrh 0(,)0,V TVTT hr設(shè)非空點(diǎn)集設(shè)非空點(diǎn)集R ,nD ( ),uf P PD 或或點(diǎn)集點(diǎn)集D D 稱為函數(shù)的定義域；稱為函數(shù)的定義域； 數(shù)集數(shù)集 (),u uf PPD 稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域 . .特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)n = 2n = 2時(shí)時(shí), , 有二元函數(shù)有二元函數(shù)2( , ),( , )Rzf x yx yD 當(dāng)當(dāng)n = 3n = 3時(shí)時(shí), ,有三元函數(shù)有三元函數(shù)3( , , ), ( , , )Ruf x y zx y zD映射映射:RfD 稱為定義在稱為定義在D D上的上的n n元函數(shù)，記作元函數(shù)，記作12(,)nuf xxx 定義定義點(diǎn)函數(shù)點(diǎn)函數(shù)xzy例

10、如例如, , 二元函數(shù)二元函數(shù)221zxy 定義域?yàn)閳A域定義域?yàn)閳A域 22( , )1Dx yxy圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面. .1xyzo,sin(),zxy 又又如如2( , )Rx y xyOD說(shuō)明說(shuō)明: : 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) z = f (x, y), (x, y) D D的圖形一般為空間曲面的圖形一般為空間曲面 . .三元函數(shù)三元函數(shù) 222arcsin()uxyz 定義域?yàn)閱挝婚]球定義域?yàn)閱挝婚]球 222( , , )1x y zxyz圖形為圖形為4R空間中的超曲面空間中的超曲面. .D三、多元函數(shù)的極限三、多元函

11、數(shù)的極限設(shè)設(shè)n n元函數(shù)元函數(shù)( ),R ,nf PPD 0(,),PDU P ( )-,f P A 則稱則稱A A為函數(shù)為函數(shù)P0 是是D的聚點(diǎn)，的聚點(diǎn)，若存在常數(shù)若存在常數(shù)A ,A ,對(duì)一切對(duì)一切記作記作0(),f PPP當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限都有都有對(duì)任意正數(shù)對(duì)任意正數(shù)，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) , ,定義定義(也稱為也稱為 n 重極限重極限)0lim( )=PPf PAP0lim( )=xxf xA0P00( , )(,)lim( , )=x yxyf x yA),(),(000yxPyxP其中其中當(dāng)當(dāng)n =2n =2時(shí)時(shí), , 記記22000()()PPxxyy 二元函數(shù)的極限可寫(xiě)作：二

12、元函數(shù)的極限可寫(xiě)作：0lim( , )f x yA 0lim( )=PPf PA00lim( , )xxyyf x yA(二重極限二重極限)例例1 1 設(shè)設(shè)2222221( , )()sin(0)f x yxyxyxy 求證：求證：00lim( , )0.xyf x y 證證:22221()sin0 xyxy 故故00lim( , )0 xyf x y 0, ( , )0f x y 220 xy 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,22xy2 22xy , 總有總有 要證要證 若當(dāng)點(diǎn)( ,P x y）以不同方式趨于以不同方式趨于000(,)P xy時(shí)時(shí)，函數(shù)趨于不同值或有的極限不存在，則可以斷函數(shù)趨于不同值或有的極

13、限不存在，則可以斷一元函數(shù)：一元函數(shù)：AxfxfAxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim0001.多元函數(shù)極限多元函數(shù)極限0lim()=PPf PA是是指指.)(APf無(wú)無(wú)限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)因而，有判定多元函數(shù)極限不存在的方法：因而，有判定多元函數(shù)極限不存在的方法：定函數(shù)極限不存在定函數(shù)極限不存在 .注：注：0PP以以任任何何方方式式趨趨近近于于 ，解解 設(shè)設(shè)P(x , y)沿直線沿直線 y = k x 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) (0, 0) ,22( , )xyf x yxy 222200lim( , )limxxy kxkxf x yxk x 在點(diǎn)在點(diǎn) (0, 0) (0, 0) 的極

14、限的極限. .( , )f x y故故21kk k 值不同極限不同值不同極限不同 !在在 (0,0) (0,0) 點(diǎn)極限不存在點(diǎn)極限不存在 . .討論函數(shù)討論函數(shù)例例2則有則有2. 2. 二重極限二重極限00lim( , )xxyyf x y00lim lim( , )yy xxf x y及及不同不同. . 例如例如,22( , ),xyf x yxy 顯然顯然00lim lim( , )xxyyf x y與累次極限：與累次極限：00limlim( , )0,xyf x y 00limlim( , )0yxf x y 但由例但由例2 2 知它在知它在(0,0)(0,0)點(diǎn)二重極限不存在點(diǎn)二重極

15、限不存在 . .四、四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義 設(shè)n元函數(shù)( )f P定義在定義在D D上上, ,00lim( )()PPf Pf P 0( )f PP在在點(diǎn)點(diǎn)如果函數(shù)在如果函數(shù)在D D上各點(diǎn)處都連續(xù)上各點(diǎn)處都連續(xù), , 則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)0,PD 聚聚點(diǎn)點(diǎn)如果存在如果存在否則稱為不連續(xù)否則稱為不連續(xù), ,此時(shí)此時(shí)0P稱為間斷點(diǎn)稱為間斷點(diǎn) . .則稱則稱n n元函數(shù)元函數(shù)在在D上連續(xù)上連續(xù).連續(xù)連續(xù), , 例如例如, , 函數(shù)函數(shù)222222,0( , )0,0 x yxyxyf x yxy 在點(diǎn)在點(diǎn)(0 , 0) (0 , 0) 極限不存在極限不存在, , 又如又如, ,

16、 函數(shù)函數(shù)221( , )1f x yxy 上間斷上間斷. .221xy 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周在圓周結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).222arcsin(3)( , )xyf x yxy 2231xy 2224xy例例3 3 求函數(shù)求函數(shù)的連續(xù)域的連續(xù)域. .20 xy2xy 2oyx2解解只須求出該初等函數(shù)的定義區(qū)域只須求出該初等函數(shù)的定義區(qū)域.定理：假設(shè)定理：假設(shè) f (P) 在有界閉域在有界閉域 D上連續(xù)上連續(xù), 那么那么0,K ,m M ( ),;f PK PD使使()f P在在D D上可取得最大值上可取得最大值M M及最小值及最小值m ;m ;對(duì)任意對(duì)任意,Q

17、D ( ).f Q 使使 有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì)的如下性質(zhì): :2.最值定理最值定理1.有界性定理有界性定理3.介值定理介值定理二、多元函數(shù)極限的概念二、多元函數(shù)極限的概念三、多元函數(shù)連續(xù)的概念三、多元函數(shù)連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三個(gè)）有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三個(gè)）（注意趨近方式的任意性）（注意趨近方式的任意性）一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念小結(jié)小結(jié)0lim( )=PPf PA( ),uf P PD00lim( )()PPf Pf P Rn 二元函數(shù)圖形一般為空間曲面二元函數(shù)圖形一般為空間曲面.一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù). 若若點(diǎn)點(diǎn)),(yx沿沿著著無(wú)無(wú)數(shù)數(shù)多多條條平平面面曲曲線線趨趨向向于于點(diǎn)點(diǎn)),(0