高中物理競賽教程(超詳細(xì)) 第三講 電磁感應(yīng)

1、第三講磁場3.1 基本磁現(xiàn)象由于自然界中有磁石()存在，人類很早以前就開始了對磁現(xiàn)象的研究。 人們把磁石能吸引鐵鈷鎳等物質(zhì)的性質(zhì)稱為磁性。 條形磁鐵或磁針總是兩端吸引鐵屑的能力最強(qiáng)，我們把這吸引鐵屑能力最強(qiáng)的區(qū)域稱之為磁極。 將一條形磁鐵懸掛起來，則兩極總是分別指向南北方向，指北的一端稱北極(N表示)；指南的一端稱南極(S表示)。 磁極之間有相互作用力，同性磁極互相排斥，異性磁極互相吸引。 磁針靜止時沿南北方向取向說明地球是一個大磁體，它的N極位于地理南極附近，S極位于地理北極附近。 1820年，丹麥科學(xué)家奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)。 第一個揭示了磁與電存在著聯(lián)系。 長直通電導(dǎo)線能給磁針作用；通

2、電長直螺線管與條形磁鐵作用時就如同條形磁鐵一般；兩根平行通電直導(dǎo)線之間的相互作用.，所有這些都啟發(fā)我們一個問題:磁鐵和電流是否在本源上一致? 1822年，法國科學(xué)家安培提出了組成磁鐵的最小單元就是環(huán)形電流，這些分子環(huán)流定向排列，在宏觀上就會顯示出N、S極的分子環(huán)流假說。近代物理指出，正是電子的圍繞原子核運(yùn)動以及它本身的自旋運(yùn)動形成了分子電流，這就是物質(zhì)磁性的基本來源。 一切磁現(xiàn)象的根源是電流，以下我們只研究電流的磁現(xiàn)象。3.2 磁感應(yīng)強(qiáng)度321、磁感應(yīng)強(qiáng)度、畢奧薩伐爾定律將一個長L，I的電流元放在磁場中某一點(diǎn)，電流元受到的作用力為F。 當(dāng)電流元在某一方位時，這個力最大，這個最大的力和IL的比值

3、，叫做該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 將一個能自由轉(zhuǎn)動的小磁針放在該點(diǎn)，小磁針靜止時N極所指的方向，被規(guī)定為該點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向。真空中，當(dāng)產(chǎn)生磁場的載流回路確定后，那空間的磁場就確定了，空間各點(diǎn)的也就確定了。 根據(jù)載流回路而求出空間各點(diǎn)的要運(yùn)用一個稱為畢奧-薩伐爾定律的實(shí)驗(yàn)定律。畢-薩定律告訴我們：一個電流元IL(如圖3-2-1)在相對電流元的位置矢量為的P點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場的磁感強(qiáng)度大小為，為順著電流IL的方向與方向的夾角，的方向可用右手螺旋法則確定，即伸出右手，先把四指放在IL的方向上，順著小于的角轉(zhuǎn)向方向時大拇指方向即為的方向。式中K為一常數(shù)，K=韋伯/安培米。載流回路是由許多個IL組成的，求出每個I

4、L在P點(diǎn)的后矢量求和，就得到了整個載流回路在P點(diǎn)的。如果令，特斯拉米安，那么又可寫為稱為真空的磁導(dǎo)率。下面我們運(yùn)用畢-薩定律，來求一個半徑為R，載電流為I的圓電流軸線上，距圓心O為的一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度在圓環(huán)上選一I，它在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，其方向垂直于I和所確定的平面，將分解到沿OP方向和垂直于OP方向，環(huán)上所有電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的的和為零，B=（線性一元疊加）在圓心處，322、 由畢-薩定律可以求出的幾個載流回路產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度(1)無限長載流直導(dǎo)線為了形象直觀地描述磁場，引進(jìn)了與電感線相似的磁感線。長直通電導(dǎo)線周圍的磁感線如圖3-2-3所示。如果導(dǎo)線中通過的電流強(qiáng)度為I，在理論上和實(shí)驗(yàn)

5、中都可證明，在真空中離導(dǎo)線距離為r處的磁感強(qiáng)度 或 式中稱為真空中的磁導(dǎo)率，大小為。(2)無限長圓柱體無限長載流直導(dǎo)線 r為所求點(diǎn)到直導(dǎo)線的垂直距離。半徑為R，均勻載有電流，其電流密度為j的無限長圓柱體當(dāng)rR，即圓柱體內(nèi) 當(dāng)rR，即圓柱體外 (3)長直通電螺線管內(nèi)磁場長直導(dǎo)電螺線管內(nèi)磁場如圖圖3-2-4所示可認(rèn)為是勻強(qiáng)磁場，場強(qiáng)大小可近似用無限長螺線管內(nèi)B的大小表示n為螺線管單位長度的匝數(shù)(4)螺繞環(huán)的磁場與長直通電螺線管內(nèi)磁場的磁場相同。323、磁感應(yīng)線和磁通量為了形象地描繪磁場的分布，在磁場中引入磁感應(yīng)線，亦即磁力線。磁力線應(yīng)滿足以下兩點(diǎn)：第一，磁感應(yīng)線上任一點(diǎn)的切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的

6、方向；第二，通過垂直于的單位面積上的磁感應(yīng)線的條數(shù)應(yīng)等于該處磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。圖3-2-5的(a)和(b)分別給出了無限長載流導(dǎo)線和圓電流的磁場的磁力線。從圖中可看到：磁力線是無頭無尾的閉合線，與閉合電路互相套合。磁感線是一簇閉合曲線，而靜電場的電感線是一簇不閉合的曲線(或者是從正電荷到負(fù)電荷，或者是從正電荷到無窮遠(yuǎn)處，從無窮遠(yuǎn)處到負(fù)電荷)。這是一個十分重要的區(qū)別，凡是感線為閉合曲線的場都不可能是保守場。磁感強(qiáng)度是一個矢量，如果兩個電流都對某處的磁場有貢獻(xiàn)，就要用矢量合成的方法。如果有a、b兩根長直通電導(dǎo)線垂直于紙面相距r放置，電流的大小，(圖3-2-6)那么哪些位置的磁感強(qiáng)度為零呢？在a、b

7、連線以外的位置上，兩根導(dǎo)線上電流所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度和的方向都不在一直線 上，不可能互相抵消；在a、b連線上，a左邊或b右邊的位置上，和的方向是相同的，也不可能互相抵消；因此只有在a、b中間的連線上，和才有可能互相抵消，設(shè)離a距離為的P處合磁感應(yīng)強(qiáng)度為零(圖3-2-6)(矢量式)=，通過一給定曲面的總磁力線數(shù)稱為通過該曲面的磁通量，磁通量的單位是韋伯，1韋伯=1特斯拉1米。圖3-2-7(a)中，通過勻磁場中與磁力線垂直的平面的磁通量為；而通過與磁力線斜交的S面的磁通量為：(角即是兩個平面S和S的夾角，也是S面的法線與的夾角)。而在(b)中，磁場和曲面都是任意的，要求出通過S面的磁通量應(yīng)把通過S面上

8、每一小面元的磁通量求出后求和，即：324、磁場中的高斯定理考慮到磁力線是無頭無尾的封閉曲線，對磁場中任一封閉曲面來說，有多少根磁力線穿入，必有多少根穿出，即通過磁場中任一封閉曲面的磁通量為零。這就是磁場的高斯定理，它表明了磁場一個重要性質(zhì)，即磁場是無源場，自然界中沒有單獨(dú)的N極或S極存在。325、典型例題例1：圖3-2-8所示，兩互相靠近且垂直的長直導(dǎo)線，分別通有電流強(qiáng)度和的電流，試確定磁場為零的區(qū)域。分析：建立圖示直角坐標(biāo)系，用安培定則判斷出兩電流形成的磁場方向后，可以看出在、兩象限內(nèi)，兩磁場方向相反，因此合磁場為零區(qū)域只能出現(xiàn)在這兩個象限內(nèi)。解：設(shè)P(x、y)點(diǎn)合磁感強(qiáng)度為零，即有得 這就

9、是過原點(diǎn)的直線方程，其斜率為I/I。例2：如圖3-2-9所示，將均勻細(xì)導(dǎo)線做成的圓環(huán)上任意兩點(diǎn)A和B與固定電源連接起來，計(jì)算由環(huán)上電流引起的環(huán)中心的磁感強(qiáng)度。分析：磁感強(qiáng)度B可以看成圓環(huán)上各部分(將圓環(huán)視為多個很小長度部分的累加)的貢獻(xiàn)之和，因?yàn)閷ΨQ性，圓環(huán)上各部分電流在圓心處磁場是相同或相反，可簡化為代數(shù)加減。解：設(shè)A、B兩點(diǎn)之間電壓為U，導(dǎo)線單位長度電阻，如圖3-2-10所示，則二段圓環(huán)電流 磁感強(qiáng)度B可以是圓環(huán)每小段部分磁場的疊加，在圓心處，可表達(dá)為，所以：因 故，即兩部分在圓心處產(chǎn)生磁場的磁感強(qiáng)度大小相等，但磁場的方向正好相反，因此環(huán)心處的磁感強(qiáng)度等于零。3.3 磁場對載流導(dǎo)體的作用3

10、31、安培力一段通電直導(dǎo)線置于勻磁場中，通電導(dǎo)線長L，電流強(qiáng)度為I，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電流I和磁感強(qiáng)度B間的夾角為，那么該導(dǎo)線受到的安培力為電流方向與磁場方向平行時，或，F(xiàn)=0，電流方向與磁場方向垂直時，安培力最大，F(xiàn)=BIL。安培力方向由左手定則判斷，它一定垂直于B、L所決定的平面。當(dāng)一段導(dǎo)電導(dǎo)線是任意彎曲的曲線時，如圖3-3-1所示可以用連接導(dǎo)線兩端的直線段的長度作為彎曲導(dǎo)線的等效長度，那么彎曲導(dǎo)線縮手的安培力為332、安培的定義如圖3-3-2所示，兩相距為a的平行長直導(dǎo)線分別載有電流和。載流導(dǎo)線1在導(dǎo)線2處所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 ，方向如圖示。 導(dǎo)線2上長為的線段所受的安培力為：=其方

11、向在導(dǎo)線1、2所決定的平面內(nèi)且垂直指向?qū)Ь€1，導(dǎo)線2單位長度上所受的力同理可證，導(dǎo)線?上單位長度導(dǎo)線所受力也為。方向垂直指向2，兩條導(dǎo)線間是吸引力。也可證明，若兩導(dǎo)線內(nèi)電流方向相反，則為排斥力。國際單位制中，電流強(qiáng)度的單位安培規(guī)定為基本單位。安培的定義規(guī)定為：放在真空中的兩條無限長直平行導(dǎo)線，通有相等的穩(wěn)恒電流，當(dāng)兩導(dǎo)線相距1米，每一導(dǎo)線每米長度上受力為2牛頓時，各導(dǎo)線上的電流的電流強(qiáng)度為1安培。333、安培力矩如圖3-3-3所示，設(shè)在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場中，有一剛性長方形平面載流線圖，邊長分別為L和L，電流強(qiáng)度為I，線框平面的法線與之間的夾角為，則各邊受力情況如下： 方向指向讀者 方向背

12、向讀者 方向向下 方向向上和大小相等，方向相反且在一條直線上，互相抵消。和大小相等，指向相反，但力作用線不在同一直線上，形成一力偶，力臂從圖333中可看出為故作用在線圈上的力矩為： 而為線圈面積S，故 我們稱面積很小的載流線圈為磁偶極子，用磁偶極矩來描繪它。其磁偶極矩的大小為平面線圈的面積與所載電流的電流強(qiáng)度之乘積，即，其方向滿足右手螺旋法則，即伸出右手，四指繞電流流動方向旋轉(zhuǎn)，大拇指所指方向即為磁偶極矩的方向，如圖3-3-4中的方向，則角即為磁偶極矩與磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向的夾角。這樣，線圈所受力矩可表為我們從矩形線圈推出的公式對置于均勻磁場中的任意形狀的平面線圈都適合。典型例題 例1 距地面h

13、高處1水平放置距離為L的兩條光滑金屬導(dǎo)軌，跟導(dǎo)軌正交的水平方向的線路上依次有電動勢為的電池，電容為C的電容器及質(zhì)量為m的金屬桿，如圖3-3-5，單刀雙擲開關(guān)S先接觸頭1，再扳過接觸頭2，由于空間有豎直向下的強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，使得金屬桿水平向右飛出做平拋運(yùn)動。測得其水平射程為s，問電容器最終的帶電量是多少？分析：開關(guān)S接1，電源向電容器充電，電量。S扳向2，電容器通過金屬桿放電，電流通過金屬桿，金屬桿受磁場力向右，金屬桿右邊的導(dǎo)軌極短，通電時間極短，電流并非恒定，力也就不是恒力。因此不可能精確計(jì)算每個時刻力產(chǎn)生的效果，只能關(guān)心和計(jì)算該段短時間變力沖量的效果，令金屬桿離開導(dǎo)軌瞬間具有了水平向右的

14、動量。根據(jù)沖量公式，跟安培力的沖量相聯(lián)系的是時間內(nèi)流經(jīng)導(dǎo)體的電量。由平拋的高度與射程可依據(jù)動量定理求出，電容器最終帶電量可求。解：先由電池向電容器充電，充得電量。之后電容器通過金屬桿放電，放電電流是變化電流，安培力也是變力。根據(jù)動量定理：其中 =s/t，h=gt綜合得 電容器最終帶電量 點(diǎn)評：根據(jù)動量定理來研究磁場力沖量產(chǎn)生的效果，實(shí)際上就是電量和導(dǎo)體動量變化的關(guān)系，這是磁場中一種重要的問題類型。例2 圖3-3-6中，無限長豎直向上的導(dǎo)線中通有恒定電流，已知由產(chǎn)生磁場的公式是，k為恒量，r是場點(diǎn)到導(dǎo)線的距離。邊長為2L的正方形線圈軸線與導(dǎo)線平行。某時刻線圈的ab邊與導(dǎo)線相距2L。已知線圈中通有

15、電流。求此時刻線圈所受的磁場力矩。分析：畫俯視圖如圖3-3-7所示，先根據(jù)右手螺旋法則確定和的方向，再根據(jù)左手定則判斷ab邊受力和cd邊受力的方向，然后求力矩。解：根據(jù)右手螺旋法則和左手定則確定和、和的方向，如圖3-3-7所示。 ， 對軸產(chǎn)生的力矩對軸產(chǎn)生的力矩 兩個力矩俯視都是逆時針同方向的，所以磁場對線圈產(chǎn)生的力矩點(diǎn)評：安培力最重要的應(yīng)用就是磁場力矩。這是電動機(jī)的原理，也是磁電式電流表的構(gòu)造原理。一方面要強(qiáng)調(diào)三維模型簡化為二維平面模型，另一方面則要強(qiáng)調(diào)受力邊的受力方向的正確判斷，力臂的確定，力矩的計(jì)算。本題綜合運(yùn)用多個知識點(diǎn)解決問題的能力層次是較高的，我們應(yīng)努力摸索和積累這方面的經(jīng)驗(yàn)。 3

16、。4 磁場對運(yùn)動電荷的作用341、洛倫茲力載流導(dǎo)線所受的安培力，我們可看為是磁場作用給運(yùn)動電荷即自由電子的力，經(jīng)自由電子與導(dǎo)體晶格的碰撞而傳遞給導(dǎo)線的。根據(jù)安培定律，而電流強(qiáng)度與運(yùn)動電荷有關(guān)系，角既是電流元與B的夾角，也可視為帶電粒子的速度與之間的夾角，長導(dǎo)線中有粒子數(shù)，則每個電子受到的力即洛倫茲力為洛倫茲力總是與粒子速度垂直，因此洛倫茲力不作功，不能改變運(yùn)動電荷速度的大小，只能改變速度的方向，使路徑發(fā)生彎曲。洛倫茲力的方向從圖3-4-1可以看出，它一定與磁場(B)的方向垂直，也與粒子運(yùn)動()方向垂直，即與、B所在的平面垂直，具體方向可用左手定則判定。但應(yīng)注意，這里所說的粒子運(yùn)動方向是指正電荷

17、運(yùn)動的方向，它恰與負(fù)電荷沿相反方向運(yùn)動等效。342、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動規(guī)律帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動規(guī)律與粒子的初始狀態(tài)有關(guān)具體如下：如果帶電粒子原來靜止，它即使在磁場中也不會受洛倫磁力的作用，因而保持靜止。如果帶電粒子運(yùn)動的方向恰與磁場方向在一條直線上，該粒子仍不受洛倫磁力的作用，粒子就以這個速度在磁場中做勻速直線運(yùn)動。帶電粒子速度方向與磁場方向垂直，帶電粒子在垂直于磁場方向的平面內(nèi)以入射速度作勻速圓周運(yùn)動。帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中作勻速圓周運(yùn)動的四個基本公式。 (1)向心力公式：(2)軌道半徑公式：(3)周期、頻率和角頻率公式，即：，(4) 動能公式：如圖3-4-2所示，在洛倫茲力作用

18、下，一個作勻速圓周運(yùn)動的粒子，不論沿順時針方向運(yùn)動還是沿逆時針方向運(yùn)動，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，均具有下述特點(diǎn)：(1)軌道圓心(O)總是位于A、B兩點(diǎn)洛倫茲力(f)的交點(diǎn)上或AB弦的中垂線與任一個f的交點(diǎn)上。(2)粒子的速度偏向角等于回旋角，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角)的兩倍，即。磁場中帶電粒子運(yùn)動的方向一般是任意的，但任何一個帶電粒子運(yùn)動的速度()都可以在垂直于磁場方向和平行于磁場方向進(jìn)行分解，得到和兩個分速度。根據(jù)運(yùn)動的獨(dú)立性可知，這樣的帶電粒子一方面以在磁場方向上作勻速運(yùn)動，一方面又在垂直于磁場的方向上作速率為的勻速圓周運(yùn)動。實(shí)際上粒子作螺旋線運(yùn)動(如圖3-4-3)，這種螺旋線運(yùn)動的周期和螺

19、距大小讀者自己分析并不難解決。其螺旋運(yùn)動的周期，其運(yùn)動規(guī)律：螺旋運(yùn)動回旋半徑：螺旋運(yùn)動螺距：343、霍爾效應(yīng)將一載流導(dǎo)體放在磁場中，由于洛倫茲力的作用，會使帶電粒子(或別的載流子)發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)，在磁場和電流二者垂直的方向上出現(xiàn)橫向電勢差，這一現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)。如圖3-4-4所示，電流I在導(dǎo)體中流動，設(shè)導(dǎo)體橫截面高h(yuǎn)、寬為d勻強(qiáng)磁場方向垂直與導(dǎo)線前、后兩表面向外，磁感強(qiáng)度為B，導(dǎo)體內(nèi)自由電子密度為n，定向移動速度由于洛倫茲力作用，自由電子向上表面聚集，下表面留下正離子，結(jié)果上下表面間形成電場，存在電勢差U，這個電場對電子的作用力方向向下，大小為當(dāng)F與洛倫磁力f相平衡時，上、下表面電荷達(dá)到穩(wěn)定，則

20、有如果導(dǎo)電的載流子是正電荷，則上表面聚集正電荷，下表面為負(fù)電勢，電勢差正、負(fù)也正好相反。下面來分析霍爾電勢差，求出霍爾系數(shù)。在圖3-4-5中，設(shè)大塊導(dǎo)體的長和寬分別為L和d，單位體積自由電荷密度為n，電荷定向移動速率為，則電流。假定形成電流的電荷是正電荷，其定向移動方向就是電流方向。根據(jù)左手定則，正電荷向上積聚，下表面附近缺少正電荷則呈現(xiàn)負(fù)電荷積聚，上正下負(fù)電壓為，正電荷受到跟磁場力反向的電場力的作用。電場對正電荷向上的偏移積聚起阻礙作用，當(dāng)最后達(dá)到平衡時，可得。可見，理論推導(dǎo)的結(jié)果跟實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全一致，系數(shù)。既然k跟n有關(guān)，n表征電荷濃度，那么通過實(shí)驗(yàn)測定k值可以確定導(dǎo)體或半導(dǎo)體的電荷濃度n，

21、半導(dǎo)體的n值比金屬導(dǎo)體小得多，所以k值也大得多。此外根據(jù)左手定則還可知，即使電流I就是圖3-4-6中的流向，如果參與流動的是正電荷，那么電壓就是上正下負(fù)；如果參與定向移動的是自由電子，那么電壓就是上負(fù)下正了?；魻栯妱莸母叩透雽?dǎo)體是p型的還是n型的有如此的關(guān)系：上正下負(fù)的是p型半導(dǎo)體，定向載流子是帶正電的空穴：上負(fù)下正的是n型半導(dǎo)體，如果k值小得多就是金屬導(dǎo)體，定向載流子是自由電子。344、磁聚焦運(yùn)動電荷在磁場中的螺旋運(yùn)動被應(yīng)用于磁聚焦技術(shù)。如圖3-4-7，電子束經(jīng)過a、b板上恒定電場加速后，進(jìn)入c、d極板之間電場，c、d板上加交變電壓，所以飛出c、d板后粒子速度方向不同，從A孔穿入螺線管磁場

22、中，由于大小差不多，且與B夾角很小，則由于速度分量不同，在磁場中它們將沿不同半徑的螺旋線運(yùn)動。但由于它們速度分量近似相等，經(jīng)過后又相聚于點(diǎn)，這與光束經(jīng)透鏡后聚焦的現(xiàn)象有些類似，所以叫做磁聚焦現(xiàn)象。磁聚焦原理被廣泛地應(yīng)用于電真空器件如電子顯微鏡。345、復(fù)合場中離子的運(yùn)動1電場和磁場區(qū)域獨(dú)立磁場與電場不同，磁場中，洛倫磁力對運(yùn)動電荷不做功，只改變帶電粒子速度方向，所以在勻強(qiáng)磁場中帶電粒子的運(yùn)動主要表現(xiàn)為：勻速圓周運(yùn)動、螺旋運(yùn)動、勻速直線運(yùn)動。而電場中，電荷受到電場力作用，電場力可能對電荷做功，因而改變速度大小和方向，但電場是保守場，電場力做功與運(yùn)動路徑無關(guān)。處理獨(dú)立的電場和磁場中運(yùn)動電荷問題，是

23、分開獨(dú)立處理。例：如圖3-3-8所示，在平面內(nèi)，yO區(qū)域有勻強(qiáng)電場，方向沿-y方向，大小為E，yO區(qū)域有勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向里，大小為B，一帶電+q、質(zhì)量為m的粒子從y軸上一點(diǎn)P由靜止釋放，要求粒子能經(jīng)過x軸上Q點(diǎn)，Q坐標(biāo)為(L，O)，試求粒子最初釋放點(diǎn)P的坐標(biāo)。分析：解決上述問題關(guān)鍵是明確帶電粒子的受力和運(yùn)動特點(diǎn)。從y軸上釋放后，只受電場力加速做直線運(yùn)動，從O點(diǎn)射入磁場，然后做勻速圓周運(yùn)動，半圈后可能恰好擊中Q點(diǎn)，也可能返回電場中，再減速、加速做直線運(yùn)動，然后又返回磁場中，再經(jīng)半圓有可能擊中Q點(diǎn)，.。那么擊中Q點(diǎn)應(yīng)滿足的條件。2空間區(qū)域同時存在電場和磁場（1） （1） 電場和磁場正交如圖

24、3-4-9所示，空間存在著正交的電場和磁場區(qū)域，電場平行于紙面平面向下，大小為E，磁場垂直于紙面向內(nèi)，磁感強(qiáng)度為B，一帶電粒子以初速進(jìn)入磁場，設(shè)粒子電量+q，則受力：洛=方向向上，F(xiàn)電=qE方向向下。若滿足：=qE=E/B則帶電粒子將受平衡力作用做勻速直線運(yùn)動，這是一個速度選擇器模型。若粒子進(jìn)入正交電磁場速度，則可將分解為，粒子的運(yùn)動可看成是與兩個運(yùn)動的合運(yùn)動，因而粒子受到的洛倫茲力可看成是與的合力，而與電場力qE平衡，粒子在電場中所受合力為，結(jié)果粒子的運(yùn)動是以的勻速直線運(yùn)動和以速度所做勻速圓周運(yùn)動的合運(yùn)動。例：如圖3-4-10正交電磁場中，質(zhì)量m、帶電量+q粒子由一點(diǎn)P靜止釋放，分析它的運(yùn)動

25、。分析：粒子初速為零釋放，它的運(yùn)動軌跡是如圖3-4-10所示的周期性的曲線。初速為零，亦可看成是向右的與向左-兩個運(yùn)動的合運(yùn)動，其中大小為：=E/B所以+q粒子可看成是向右勻速直線運(yùn)動和逆時針的勻速圓周運(yùn)動的合運(yùn)動。電場方向上向下最大位移一個周期向右移動距離L即PP之距為代入，得： 最低點(diǎn)Q點(diǎn)速度 （2） （2） 電場和磁場平行如圖3-4-11所示的空間區(qū)域有相互平行的電場和磁場E、B一帶電+q粒子以初速射入場區(qū)(或B)。則帶電粒子在磁場力作用下將做圓周運(yùn)動，電場力作用下向上做加速運(yùn)動，由于向上運(yùn)動速度分量始終與B平行，故粒子受洛倫磁力大小恒為，結(jié)果粒子運(yùn)動是垂直于E(或B)平面的半徑R=m/

26、qB的勻速圓周運(yùn)動和沿E方向勻加速直線運(yùn)動的合運(yùn)動，即一個螺距逐漸增大的螺旋運(yùn)動。（3） （3） 電場力、洛倫磁力都與方向垂直，粒子做勻速圓周運(yùn)動。例如電子繞原子核做勻速圓周運(yùn)動，電子質(zhì)量m，電量為e，現(xiàn)在垂直軌道平面方向加一勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度大小為B，而電子軌道半徑不變，已知電場力3倍與洛倫磁力，試確定電子的角速度。在這里電子繞核旋轉(zhuǎn)，電場力、洛倫磁力提供運(yùn)動所需向心力，即電+洛=而f洛可能指向圓心，也可能沿半徑向外的，因而可能是或典型例題例1在如圖3-4-12所示的直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)O固定電量為Q的正點(diǎn)電荷，另有指向y軸正方向(豎直向上方向)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，因而另一個質(zhì)

27、量為m、電量力為q的正點(diǎn)電荷微粒恰好能以y軸上的點(diǎn)為圓心作勻速圓周運(yùn)動，其軌道平面(水平面)與平面平行，角速度為，試求圓心的坐標(biāo)值。分析：帶電微粒作勻速圓周運(yùn)動，可以確定在只有洛倫磁力和庫侖力的情況下除非與O不重合，必須要考慮第三個力即重力。只有這樣，才能使三者的合力保證它繞在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動。解：設(shè)帶電微粒作勻速圓周運(yùn)動半徑為R，圓心的縱坐標(biāo)為y，圓周上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線和y軸夾角為，那么有 帶電粒子受力如圖3-4-13所示，列出動力學(xué)方程為mg=F電cos (1)f洛-F電 (2)f洛= (3)將(2)式變換得f洛-F電 (4)將(3)代入(4)，且(1)(4)得消去R得 例2如圖

28、3-4-14所示，被1000V的電勢差加速的電子從電子槍發(fā)射出來，沿直線方向運(yùn)動，要求電子擊中在方向、距離槍口5cm的靶M，對以下兩種情形求出所用的均勻磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B（1）磁場垂直于由直線與點(diǎn)M所確定的平面。（2）磁場平行于TM。解： （1）從幾何考慮得出電子的圓軌道的半徑為(如圖3-4-15) 按能量守恒定律，電荷Q通過電勢差U后的速度v為 即 作用在電荷Q上的洛倫磁力為 這個力等于向心力 故所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 用上面的半徑和速度值，得到 由于，所以 B=0.0037T（2）在磁場施加的力與速度垂直，所以均勻恒定磁場只改變電子速度的方向，不改變速度的大小。我們把電子槍發(fā)射的電子速度分解成

29、兩個直線分量：沿磁場B方向的和垂直磁場的，因?yàn)樵诖艌龅姆较蛏?，磁場對它沒有作用力(圖3-4-16)。電子經(jīng)過d/時間后到達(dá)目標(biāo)M。由于磁場B和垂直的速度分量，電子在圓軌道上運(yùn)動，由得到圓半徑為電子在目標(biāo)M的方向上也具有速度，結(jié)果是電子繞B方向作螺旋線運(yùn)動。電在在d/時間內(nèi)，在繞了k圈后擊中目標(biāo)。K是一個整數(shù)。圓的周長為 由于繞圓周運(yùn)動的速度是，故繞一周的時間是 這個值乘上整數(shù)k，應(yīng)等于 d/因此，所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 k=1時，電子轉(zhuǎn)一圈后擊中目標(biāo)：k=2時，電子轉(zhuǎn)兩圈后擊中目標(biāo)，等等。只要角度相同，磁場方向相反與否，無關(guān)緊要。用給出的數(shù)據(jù)代入，得 B=k0.0067T例3一根邊長為a、b、c(

30、abc)的矩形截面長棒，如圖3-4-17所示，由半導(dǎo)體銻化銦制成，棒中有平行于a邊的電流I通過，該棒放在垂直于c邊向外的磁場B中，電流I所產(chǎn)生的磁場忽略不計(jì)。該電流的載流子為電子，在只有電場存在時，電子在半導(dǎo)體中的平均速度，其中為遷移率。（1） （1） 確定棒中所產(chǎn)生上述電流的總電場的大小和方向。（2） （2） 計(jì)算夾c邊的兩表面上相對兩點(diǎn)之間的電勢差。（3） （3） 如果電流和磁場都是交變的，且分別為，)，求(2)中電勢差的直流分量的表達(dá)式。已知數(shù)據(jù)：電子遷移率，電子密度，I=1. 0A，B=0.1T，b=1.0cm，c=1.0mm，e=1.610-19C分析： 這是一個有關(guān)霍爾效應(yīng)的問題，

31、沿電流方向，導(dǎo)體內(nèi)存在電場，又因?yàn)榛魻栃?yīng)，使得電子偏轉(zhuǎn)，在垂直電流方向產(chǎn)生電場，兩側(cè)面間有電勢差的存在解： (1)因?yàn)?所以電場沿方向分量沿c方向的分量 總電場大?。弘妶龇较蚺c邊夾角，=(2) 上、下兩表面電勢差(3)加上交變電流和交變磁場后，有前面討論的上、下表面電勢差表達(dá)式，可得：=因此的直流分量為 直=例4如圖3-4-18所示，空間有互相正交的勻強(qiáng)電場E和勻強(qiáng)磁場B，E沿+y方向，B沿+z方向，一個帶正電+q、質(zhì)量為m的粒子(設(shè)重力可以忽略)，從坐標(biāo)圓點(diǎn)O開始無初速出發(fā)，求粒子坐標(biāo)和時間的函數(shù)關(guān)系，以及粒子的運(yùn)動軌跡。分析：正離子以O(shè)點(diǎn)起無初速出發(fā)，受恒定電場力作用沿+y方向運(yùn)動，因?yàn)?/p>

32、速度v的大小、方向都改變，洛倫茲力僅在xOy平面上起作用，粒子軌跡一定不會離開xOy平面且一定以O(shè)為起點(diǎn)。既然粒子僅受的兩個力中一個是恒力一個是變力，作為解題思路，利用獨(dú)立性與疊加原理，我們設(shè)想把洛倫茲力分解為兩個分力，使一個分力跟恒電場力抵消，就把這個實(shí)際受力簡化為只受一個洛倫茲力分力的問題。注意此處不是場的分解和抵消，而是通過先分解速度達(dá)到對力進(jìn)行分解和疊加。我們都知道，符合一定大小要求的彼此正交的勻強(qiáng)復(fù)合電磁場能起速度選擇器作用。受其原理啟發(fā)，設(shè)想正離子從O點(diǎn)起(此處)就有一個沿x軸正方向、大小為的始終不變的速度，當(dāng)然在O點(diǎn)同時應(yīng)有一個沿-x方向的大小也是的速度，保證在O點(diǎn)，則，沿-y方

33、向，qE沿+y方向，彼此抵消，可寫成。因任一時刻，所以，或改寫成：。始終的三個速度和都在xOy平面上，其物理意義是：正離子在復(fù)合場中受的兩個真實(shí)的力()和F(E)的矢量和，可以用一個洛倫磁力分力來代替，這樣做的一個先決條件是把正離子運(yùn)動看成以下兩個分運(yùn)動的合成：沿+x方向的=E/B的勻速直線運(yùn)動；在xOy平面上的一個勻速圓周運(yùn)動，其理由是：是平面力，軌跡又是平面的不是三維空間的，所以必與垂直，在O點(diǎn)就是-，之后不對離子作功，大小不變，充當(dāng)向心力。這個圓周運(yùn)動特征量是：，。解：t=0時刻，正離子位于O點(diǎn)，此時起離子具有兩個速度：一是速度方向始終不變、大小為=E/B的速度。由這個速度引起的洛倫磁力

34、跟電場力抵消。另一個速度是在O點(diǎn)時沿-x方向的大小為E/B的速度，該速度引起的洛倫磁力指向(0，+)點(diǎn)，這點(diǎn)就是t=0時的圓心。之后該圓心以速率沿平行于x軸正向的方向無滑動開始平動，正離子是該圓周上的一個點(diǎn)，且t=0是恰好就是該圓與x軸的切點(diǎn)即坐標(biāo)原點(diǎn)，此后，正離子相對圓心以角速度順時針繞行。在xOy平面上，粒子的軌跡被稱為旋輪線，其坐標(biāo)值隨時間的變化為參數(shù)方程：z=0 (1) (2) (3)有一定數(shù)學(xué)能力的人不妨嘗試把參數(shù)t消去得出y與x的關(guān)系式，用來表示其軌跡的方法。點(diǎn)評：設(shè)想一個輪子沿地面做無滑動的滾動，輪子邊緣用紅顏料涂上色，觀察這個邊緣所得的運(yùn)動軌跡就是旋輪線。3.5 應(yīng)用351、質(zhì)

35、譜儀密粒根油滴實(shí)驗(yàn)可測定帶電粒子的電量，而質(zhì)譜儀能測定帶電粒子荷質(zhì)比q/m，兩者結(jié)合可測定帶電粒子質(zhì)量。如圖3-5-1為質(zhì)譜儀的原理圖。圖中粒子源產(chǎn)生質(zhì)量m、電量q的粒子，由于初始速度很小，可以看做是靜止的。粒子經(jīng)加速電壓U后，速度為，由動能定理：帶電粒子進(jìn)入磁感強(qiáng)度為B勻強(qiáng)磁場中，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，粒子運(yùn)動半圈后打在P點(diǎn)的照相底片上，測得，則半徑，根據(jù)向心力公式得 352、磁流體發(fā)電機(jī)磁流體發(fā)電機(jī)是一種不依靠機(jī)械傳動，而直接把熱能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿难b置。如圖3-5-2所示為磁流體發(fā)電機(jī)原理圖。在距離為d的兩平行金屬板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度為B。從左側(cè)有高速運(yùn)動的等離子體

36、(含有相等數(shù)量正、負(fù)離子)射入其間，離子在洛倫磁力作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，正離子向上偏、負(fù)離子向下偏，結(jié)果M板帶正電，N板帶負(fù)電，使M、N板成為能提供正、負(fù)電荷的電源兩極，隨著電荷的聚集，兩板間產(chǎn)生電場阻礙電荷偏轉(zhuǎn)，最終穩(wěn)定時，射入兩板間離子所受洛倫磁力與電場力平衡兩板間場強(qiáng)，兩板間電勢差為電鍵K斷開時，此電勢差即為磁流體發(fā)電機(jī)電動勢，即：當(dāng)電鍵K閉合時，M、N板放電，對外做功，此時兩板間電勢差小于電動勢。353、回旋加速器回旋加速器是利用帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動周期與速度無關(guān)的原理，實(shí)現(xiàn)對粒子反復(fù)加速的裝置。如圖3-5-3所示，回旋加速器核心部分是兩個D型金屬扁盒，兩D型盒之間留有狹縫，在

37、兩D型盒之間加高頻交變電壓，于是狹縫間形成交變電場，由于電屏蔽，D型金屬盒內(nèi)電場幾乎為零。D型盒置于真空容器中，整個裝置又放在巨大電磁鐵兩極之間。磁場垂直于D型盒。狹縫中心處有粒子源，當(dāng)發(fā)出帶電粒子首先通過狹縫被加速，調(diào)節(jié)高頻交變電壓變化周期與粒子在D型盒中運(yùn)動周期相等，使粒子每次通過狹縫時都被電場加速，經(jīng)過反復(fù)加速，粒子速度越來越大，回旋半徑也越來越大，趨近盒邊緣時粒子加速達(dá)到最大速度引出，如圖3-5-4粒子在磁場中回旋時有：粒子速度最大時r=R，R為D型盒半徑，所以粒子達(dá)最大速度為最大動能關(guān)于回旋加速器：回旋加速器的任務(wù)，是使某些微觀帶電粒子的速率被增加到很大，因而具有足夠動能，成為可用于

38、轟擊各種靶元素的原子核甚至核內(nèi)基本粒子的高能炮彈。早期歐洲核子研究中心的質(zhì)子同步加速器，造價2800萬美元，軌道半徑560英尺(1英尺=0.305m)=170.8m，最大磁場為1.4T，質(zhì)子在其中繞行總路程為5104英里(1英里=1.6093km)=80465km=2倍赤道周長后引出，最大能量達(dá)到2.81010eV，每次放出質(zhì)子1011個。20世紀(jì)80年代末該加速器的效果已達(dá)到41011eV。世界上最大的加速器在美國加利福尼亞，直徑幾乎達(dá)3km，20世紀(jì)80年代末，其加速效果達(dá)到了1012eV。我國80年代后半期最大的加速器為51010eV，在四川省。課本上說影響回旋加速器的加速能力的主要因素

39、是相對論效應(yīng)。其涵義是：在極高速運(yùn)動中，微粒質(zhì)量隨速度增加而顯著變大。相對論質(zhì)量公式是：是微粒靜止質(zhì)量，是運(yùn)動質(zhì)量，c是光速。當(dāng)時，但是當(dāng)速度接近光速時，就變得非常大。事實(shí)上，在湯姆遜發(fā)現(xiàn)電子后不久，科學(xué)家就發(fā)現(xiàn)了許多種元素都能自發(fā)地放出射線(高速電子流)，但不同元素發(fā)射的粒子速率不一樣，導(dǎo)致同是電子流，荷質(zhì)比有差異，速率越大其荷質(zhì)比越小。用實(shí)驗(yàn)測定的荷質(zhì)比其實(shí)不是。而是。其中的一個實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表3-1，再把實(shí)驗(yàn)測出的值由換算，所得的的數(shù)值確實(shí)很接近一個恒量。恰恰是回旋加速器的這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果，最早證實(shí)了愛因斯坦相對論的正確。實(shí)驗(yàn)測量的換算后所得的0.31731.6611.7520.37871.63

40、01.7610.42811.5901.7600.51541.5111.7630.68701.2831.767加速器令粒子質(zhì)量變大，根據(jù)，粒子回旋軌道半徑會變大，同時因?yàn)橹芷?，或者頻率，使周期變大或頻率變小，粒子在兩個切開的半D形盒內(nèi)的回旋運(yùn)動就變的跟加速電壓的震蕩不同步，不合拍，不再保證粒子每經(jīng)過一次狹縫就被加速一次。其次，質(zhì)量越輕的粒子在能量未太高時速度就明顯大，質(zhì)量變大尤其顯著，相對論效應(yīng)對其繼續(xù)加速的限制就越厲害。還有一個限制就是，根據(jù)粒子末能量表達(dá)式，為D形盒的尺寸。比如要在1. 5T的磁場中令質(zhì)子獲得300eV能量(對應(yīng)速度0.99998c)，需磁場的直徑為130m。上述兩個原理上的

41、限制，正在技術(shù)上得到逐步克服。措施也大致上有兩方面：第一，因?yàn)?，所以是一個恒量。采用適當(dāng)?shù)募夹g(shù)能控制加速電壓振蕩頻率隨粒子質(zhì)量變大而成反比地減少，就能做到粒子回旋運(yùn)動和加速電場同步合拍，這種加速器通常被稱為同步加速器。第二，由于，當(dāng)變大時適當(dāng)加大磁場B值，可致半徑的增大減慢，現(xiàn)代加速器的磁場磁極一般做成環(huán)形，就是為了達(dá)到這個目的。典型例題 磁流體發(fā)電機(jī)的示意圖如圖3-5-5所示，橫截面為矩形的管道長為，寬為，高為b，上、下兩個側(cè)面是絕緣體，相距為的前后兩個側(cè)面是電阻可以忽略不計(jì)的導(dǎo)體，此兩導(dǎo)體側(cè)面與一負(fù)載電阻R相連。整個管道放在一個勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于上、下側(cè)面向上?，F(xiàn)有

42、電離氣體(正、負(fù)帶電粒子)持續(xù)穩(wěn)定地流經(jīng)管道，為了使問題簡化，設(shè)橫截面上各點(diǎn)流速相同。已知流速與電離氣體所受摩擦阻力呈正比；且無論有無磁場時都維持管兩端電離氣體的壓強(qiáng)差為。設(shè)無磁場存在時電離氣體的流速為，求有磁場存在時此磁流體發(fā)電機(jī)的電動勢大小。已知電離氣體的平均電阻率為。分析：由于氣體流經(jīng)管道過程中受摩擦和安培力作用，維持氣體勻速運(yùn)動，故必須使管兩端存在壓力差，以克服上述的阻力，因而本題即可以從力的平衡角度解決問題，也可以從能量守恒的角度來考慮。解法一：從力平衡角度看，設(shè)有磁場存在時，電離氣體的流速為。其產(chǎn)生的電動勢為 閉合電路中電流 ，為電源內(nèi)阻，大小為代入得 管內(nèi)氣體所受安培力摩擦阻力

43、穩(wěn)定平衡時 無磁場時，摩擦阻力， 穩(wěn)定平衡時 所以有： 兩式比： 解得，綜合以上各式得解法二：從能量觀點(diǎn)看，無磁場時，外界壓力的功率等于克服摩擦力的功率，即 有磁場時，外界壓力的功率等于克服摩擦力的功率加上回路電功率當(dāng)氣體穩(wěn)定時，又有，代入上式得 同樣可求得 第四講 電磁感應(yīng)41 電磁感應(yīng)現(xiàn)象411、電磁感應(yīng)現(xiàn)象1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流產(chǎn)生磁場后，那磁場是否會產(chǎn)生電流這個逆問題引起人們極大的興趣，人們做了許多實(shí)驗(yàn)，但直到1831年，英國物理學(xué)家法拉第才第一次發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，并總結(jié)出電磁感應(yīng)定律。當(dāng)穿過閉合線圈的磁通量改變時，線圈中出現(xiàn)電流，這個現(xiàn)象稱做電磁感應(yīng)，電磁感應(yīng)中出現(xiàn)的電流稱之感應(yīng)

44、電流。線圈中磁通的變化，從激發(fā)磁場的來源來看，可以是由永磁體引起的，也可是由電流激發(fā)的磁場引起。從磁通量變化的原因來看，可以是磁場不變，閉合線圈改變形狀或在磁場中運(yùn)動引起的，也可以是線圈不動，而磁場變化引起的?？傊罅繉?shí)驗(yàn)證明：當(dāng)一個閉合電路的磁通(不論由什么原因)發(fā)生變化時，都會出現(xiàn)感應(yīng)電流。42 法拉第電磁感應(yīng)定律 楞次定律421、法拉第電磁感應(yīng)定律當(dāng)通過閉合線圈的磁通量變化時，線圈中有感應(yīng)電流產(chǎn)生，而電流的產(chǎn)生必與某種電動勢的存在相聯(lián)系，這種由于磁通量變化而引起的電動勢，稱做感應(yīng)電動勢。感應(yīng)電動勢比感應(yīng)電流更能反映電磁感應(yīng)現(xiàn)象的本質(zhì)。因?yàn)楦袘?yīng)電流的大小隨線圈的電阻而變，而感應(yīng)電動勢僅與

45、磁通量的變化有關(guān)，與線圈電阻無關(guān)，特別是當(dāng)線圈不閉合時，只要有磁通變化，線圈內(nèi)就有感應(yīng)電動勢而此時線圈內(nèi)卻沒有感應(yīng)電流，這時我們還是認(rèn)為發(fā)生了電磁感應(yīng)現(xiàn)象。精確的實(shí)驗(yàn)表明：閉合回路中的感應(yīng)電動勢與穿過回路的磁通量的變化率/t成正比。這個結(jié)論叫做法拉第電磁感應(yīng)定律。即：式中K是比例常數(shù)，取決于、t的單位。在國際單位制中，的單位為韋伯，t的單位為秒，的單位是伏特，則K=1。這個定律告訴我們，決定感應(yīng)電動勢大小的不是磁通量本身，而是隨時間的變化率。在磁鐵插在線圈內(nèi)部不動時，通過線圈的磁通雖然很大，但并不隨時間而變化，那仍然沒有感應(yīng)電動勢。這個定律是實(shí)驗(yàn)定律，它與庫侖定律，畢奧-薩伐爾定律這兩個實(shí)驗(yàn)定

46、律一起，撐起了電磁理論的整座大廈。422、楞次定律1834年楞次提出了判斷感應(yīng)電流方向的方法，而根據(jù)感應(yīng)電流的方向可以說明感應(yīng)電動勢的方向。具體分析電磁感應(yīng)實(shí)驗(yàn)，可看到：閉合回路中感應(yīng)電流的方向，總是使得它所激發(fā)的磁場阻止引起感應(yīng)電流的磁通量的變化。這個結(jié)論就是楞次定律。用楞次定律來判斷感應(yīng)電流的方向，首先判斷穿過閉合回路的磁力線沿什么方向，它的磁通量發(fā)生什么變化(增加還是減少)，然后根據(jù)楞次定律來確定感應(yīng)電流所激發(fā)的磁場沿何方向(與原磁場反向還是同向)；最后根據(jù)右手定則從感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場方向來確定感應(yīng)電流的方向。法拉第定律確定了感應(yīng)電動勢的大小，而楞次定律確定了感應(yīng)電動勢的方向，若要把二者

47、統(tǒng)一于一個數(shù)學(xué)表達(dá)式中，必須把磁通和感應(yīng)電動勢看成代數(shù)量，并對它的正負(fù)賦予確切的含義。電動勢和磁通量都是標(biāo)量，它們的正負(fù)都是相對于某一標(biāo)定方向而言的。動于電動勢的正負(fù)，先標(biāo)定回路的繞行方向，與此繞行方向相同的電動勢為正，否則為負(fù)。磁通量是通過以回路為邊界的面的磁力線的根數(shù)，其正負(fù)有賴于這個面的法線矢量方向的選取，若與的夾角為銳角，則為正：夾角為鈍角，為負(fù)。但需要注意，回路繞行方向與方向的選定，并不是各自獨(dú)立的任意確定，二者必須滿足右手螺旋法則。如圖4-2-1，伸出右手，大姆指與四指垂直，讓四指彎曲代表選定的回路的繞行方向，則伸直的姆指就指向法線的方向。對電動勢和磁通量的方向做以上規(guī)定后，法拉第

48、定律和楞次定律就統(tǒng)一于下式：若在時間間隔t內(nèi)的增量為，那么當(dāng)正隨時間增大，或負(fù)的的絕對值隨時間減小時，則為負(fù)，的方向與標(biāo)定的回路方向相反；反之，當(dāng)正的隨時間減小，或負(fù)的的絕對值隨時間增加。423、典型例題例1.如圖4-2-2所示，在水平桌面放著長方形線圈abcd，已知ab邊長為，bc邊長為，線圈總電阻為R，ab邊正好指向正北方?，F(xiàn)將線圈以南北連線為軸翻轉(zhuǎn)180。，使ab邊與cd邊互換位置，在翻轉(zhuǎn)的全過程中，測得通過導(dǎo)線的總電量為。然后維持ad邊(東西方向)不動，將該線圈繞ad邊轉(zhuǎn)90。，使之豎直，測得正豎直過程中流過導(dǎo)線的總電量為。試求該處地磁場磁感強(qiáng)度B。分析:由于地磁場存在，無論翻轉(zhuǎn)或豎直

49、，都會使通過回路的磁通量發(fā)生變化，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，引起感應(yīng)電流，導(dǎo)致電量傳輸。值得注意的是，地磁場既有豎直分量，又有南北方向的分量，而且在南半球和北半球又有所不同，題目中未指明是在南半球或北班球，所以解題過程中應(yīng)分別討論。解:(1)設(shè)在北半球，地磁場B可分解為豎見向下的和沿水平面由南指北的，如圖4-2-3所示，其中B與水平方向夾角為。當(dāng)線圈翻轉(zhuǎn)180o時，初末磁通分別為由 可知：時間通過導(dǎo)體截面電量。所以在這一過程中有 豎直時，均有影響，即 于是解得： 當(dāng)時，或。時，取+號。當(dāng)時，或。時，取-號。(2)設(shè)在南半球，B同樣可分解為豎直向上分量和水平面上由南指北分量，如圖4-2-4所示。同上，豎直

50、立起時 則有： 解得： 所以B大小 方向： 。例2.如圖4-2-5所示，AB是一根裸導(dǎo)線，單位長度的電阻為，一部分彎曲成半徑為的圓圈，圓圈導(dǎo)線相交處導(dǎo)電接觸良好。圓圈所在區(qū)域有與圓圈平面垂直的均勻磁場，磁感強(qiáng)度為B。導(dǎo)線一端B點(diǎn)固定，A端在沿BA方向的恒力F作用下向右緩慢移動，從而使圓圈緩慢縮小。設(shè)在圓圈縮小過程中始終保持圓的形狀，設(shè)導(dǎo)體回路是柔軟的，試求此圓圈從初始的半徑到完全消失所需時間T。分析:在恒力F拉動下，圓圈不斷縮小，使其磁通量發(fā)生變化，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，由于交叉點(diǎn)處導(dǎo)線導(dǎo)電良好，所以圓圈形成閉合電路，產(chǎn)生感應(yīng)電流。因圓圈縮小是緩慢的，F(xiàn)所作功全部變?yōu)楦袘?yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱，由此可尋找

51、半徑r隨時間的變化規(guī)律。解:設(shè)在恒力F作用下，A端t時間內(nèi)向右移動微小量x，則相應(yīng)圓半徑減小r，則有：在這瞬息t時間內(nèi)F的功等于回路電功可認(rèn)為是由于半徑減小微小量而引起面積變化，有：而回路電阻R為：代入得： 顯然與圓面積的變化成正比，所以當(dāng)面積由變化至零時，經(jīng)歷時間T為 例3、如圖4-2-6所示，在邊長為a的等邊三角形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場B，其方向垂直紙面向外。一個邊長也為a的第邊三角形導(dǎo)體框架ABC，在t=0時恰好與上述磁場區(qū)域的邊界重合，爾后以周期T繞其中心組面內(nèi)沿順時針方向勻速運(yùn)動，于是在框架ABC中產(chǎn)生感應(yīng)電流。規(guī)定電流按A-B-C-A方向流動時電流強(qiáng)度取正值，反向流動時的取負(fù)值。設(shè)框架ABC的電阻為R，試求從t=0到時間內(nèi)的平均電源強(qiáng)度和從t=0到時間內(nèi)的平均電流強(qiáng)度。分析:根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電動勢與磁通量變化率成正比，即。由此，在一段時間內(nèi)感應(yīng)電動勢的平均值為，其中是在時間內(nèi)磁通量的變化。由，根據(jù)歐姆定律可確定回路中的平均電流強(qiáng)度，電流的方向由楞次定律確定。解: 從t=0到的時間內(nèi)，導(dǎo)體框架從圖2-2-7中的虛線位置轉(zhuǎn)到實(shí)線位置，所經(jīng)時間為，磁通量減小了 。故感應(yīng)電動勢的平均值為 。由楞次定律，感應(yīng)電流方向?yàn)锳-B-C-A，故平均電流強(qiáng)度為正值，即，。感應(yīng)電動勢的平均值為。細(xì)致分析可知，從t=0