分形幾何及其在地球物理中的應(yīng)用初探

1、分形幾何及其在地球物理中的應(yīng)用初探 摘要：本文簡(jiǎn)要介紹分形的基本概念，發(fā)展歷史，簡(jiǎn)述它在地球物理學(xué)中的應(yīng)用，并探討未來(lái)可能它在地球物理中可能的應(yīng)用。 限于篇幅，文中將略去理論的細(xì)節(jié)及數(shù)學(xué)推導(dǎo)，也不涉及分形在其它領(lǐng)域的應(yīng)用。關(guān)鍵字：分形，分形幾何，分維，地球物理，應(yīng)用一、分形幾何發(fā)展的歷史回顧分形的發(fā)展大致可分為三個(gè)階段。 第一階段為1 8 75 年至19 2 5 年。在此階段，人們己認(rèn)識(shí)到幾類(lèi)典型的分形集，并力圖對(duì)這類(lèi)集合與經(jīng)典幾何的差別進(jìn)行描述、分析和刻劃。第二階段大致為19 26 年到1 9 75 年。在這半個(gè)世紀(jì)，人們實(shí)際上對(duì)分形集的性質(zhì)作了深入的研究，特別是維數(shù)理論的研究已獲得了豐富的

2、結(jié)果。第三階段為19 75 年至今，是分形幾何在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用取得全面發(fā)展,并形成獨(dú)立學(xué)科的階段。下面對(duì)這三個(gè)階段作簡(jiǎn)要回顧。19 世紀(jì)，盡管人們已能區(qū)別連續(xù)與可微的差別，但普遍認(rèn)為連續(xù)但不可微的情形是極為例外的，并且在理論與研究中應(yīng)排除這類(lèi)“ 怪物” ，特別認(rèn)為一條連續(xù)曲線(xiàn)上不可微的點(diǎn)應(yīng)是極少的。在1872年,Weierestras證明了連續(xù)函數(shù)： （1）（0<a<1，b為奇整數(shù)，ab>1+）在任一點(diǎn)x均不具有有限或無(wú)限導(dǎo)數(shù)。(Hardy于1916年證明只要ab1，上述結(jié)果仍成立)Weierestras這一結(jié)果在他所處的時(shí)代引起了極大的震動(dòng)；但盡管人們?cè)谟^念上產(chǎn)生了改變，但

3、仍認(rèn)為Weierestras型的函數(shù)是極為“病態(tài)” 的例子。即使如此，人們?nèi)詮牟煌矫嫱茝V了上述函數(shù)，并對(duì)這類(lèi)函數(shù)的奇異性質(zhì)作了深入的研究，獲得了豐富的結(jié)果。Van Koch于1904年通過(guò)初等方法構(gòu)造了現(xiàn)今稱(chēng)為Van Koch曲線(xiàn)的處處不可微的連續(xù)曲線(xiàn)(見(jiàn)圖1)，并討論了該曲線(xiàn)的性質(zhì)。由于該曲線(xiàn)的構(gòu)造極為簡(jiǎn)單，改變了人們認(rèn)為連續(xù)不可微曲線(xiàn)的構(gòu)造一定非常復(fù)雜的看法。特別重要的是，該曲線(xiàn)是第一個(gè)人為構(gòu)造成的具有局部與整體相似的結(jié)構(gòu)的例子，即現(xiàn)在稱(chēng)為自相似的結(jié)構(gòu)。Peano于1890年構(gòu)造出填充平面的曲線(xiàn)(見(jiàn)圖2),這一曲線(xiàn)出現(xiàn)后，人們提出應(yīng)正確考慮以前的長(zhǎng)度與面積的概念。Peano曲線(xiàn)以及其它的

4、例子導(dǎo)致了后來(lái)拓?fù)渚S數(shù)的引入。與此同時(shí)，全不連通的集合從各個(gè)方面被提出。為討論三角級(jí)數(shù)的唯一性問(wèn)題,Canter于1 8 72 年引入一類(lèi)現(xiàn)今稱(chēng)為Canter三分集的全不連通的緊集。在當(dāng)時(shí)，人們認(rèn)為這類(lèi)集合在傳統(tǒng)的研究中是可以忽略的。但Canter的研究結(jié)果表明，這類(lèi)集合在像三角級(jí)數(shù)的唯一性這樣重要問(wèn)題的研究中不僅不能忽略，而且起著非常重要的作用。一類(lèi)極為典型的隨機(jī)分形集，即布朗運(yùn)動(dòng)，在那時(shí)已受到物理學(xué)家的重視。Perrin在1913年對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡進(jìn)行了深入的研究，明確指出布朗運(yùn)動(dòng)作為運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)不具有導(dǎo)數(shù)。他的這些論述在1920年左右，使年輕的Wiener受到震動(dòng)，并促使他建立了很多布朗運(yùn)動(dòng)

5、的概率模型。為了表明自然混亂的極端形式，Wiener采用了“混沌”(chaos) 一詞。Perrin曾經(jīng)注意到： 一方面，自然界的幾何是混亂的，不能用通常形式的歐幾里得幾何或微積分中那種完美的序表現(xiàn)出來(lái)；另一方面，它能使人們想到在19 0年左右創(chuàng)立的數(shù)學(xué)的復(fù)雜性。Mandelbrot在回顧Perin及Wiener的工作以及分形幾何的發(fā)展歷史時(shí)指出，分形幾何以下面兩種選擇為其特征：一是在自然界的混沌中選擇問(wèn)題，因?yàn)槊枋稣麄€(gè)混沌是既無(wú)意義又無(wú)可能的主張；另一個(gè)是在數(shù)學(xué)中選擇工具。這兩種選擇逐漸成熟并創(chuàng)造出了新的東西，在無(wú)控混沌與歐幾里得過(guò)分的有序之間,產(chǎn)生了一個(gè)具有分形序的新領(lǐng)域。前面已經(jīng)談到，非

6、?！?復(fù)雜” 的集合已被引入，而且長(zhǎng)度、面積等概念必須重新認(rèn)識(shí)。為了測(cè)量這些集合，同時(shí)為了更一般的理論,Minkowskill于1901年引入了集合的Minkowskill容度。進(jìn),Hansd off 于1919年引入了Hausdoff測(cè)度和Hausdoff維數(shù)。實(shí)際上，這些概念指出，為測(cè)量一個(gè)幾何對(duì)象，必須依賴(lài)于測(cè)量方式以及測(cè)量所采用的尺度。從上面可以看到，在第一階段，人們己提出了典型的分形對(duì)象及其相關(guān)問(wèn)題并為討論這些問(wèn)題提供了最基本的工具。在第二階段，更為系統(tǒng)、深入地發(fā)展，深化了第一階段的思想，并逐漸形成理論，而且將研究范圍擴(kuò)大到數(shù)學(xué)的許多分支中，在此我們僅簡(jiǎn)述幾條重要的線(xiàn)索及有關(guān)的代表人

7、物的工作。首先,Besicovitch及其他學(xué)派的研究工作貫穿了第二階段。他們研究了曲線(xiàn)的維數(shù)，分形集的局部性質(zhì)，分形集的結(jié)構(gòu),Kakeya集,s-集的分析與幾何性質(zhì)，以及在數(shù)論、調(diào)和分析、幾何測(cè)度論中的應(yīng)用。他們的研究結(jié)果極大地豐富了分形幾何理論。在此期間，維數(shù)理論得到了進(jìn)一步發(fā)展并日臻成熟。Bonligand于1928年引入了Bonligand維數(shù)，Poutrjagin與Schnirelman于19 32年引入覆蓋維數(shù),K olmogorov與Tikomirov于1995年引入嫡維數(shù)，另外，刻劃集合“大小” 的容量及容量維數(shù)亦引入了。總之維數(shù)可以從不同的角度來(lái)刻劃集合的復(fù)雜性，起了重要的作

8、用。在這階段，Lovy在下面兩個(gè)方面的工作極為重要二其一，他第一個(gè)系統(tǒng)地研究了自相似集，我們現(xiàn)今研究的許多自相似集的性質(zhì)可追溯到他的工作。 其二，他建立了分式布朗運(yùn)動(dòng)的理論，實(shí)際上，他是隨機(jī)分形理論系統(tǒng)研究的最重要的先驅(qū)者之一。此時(shí)，以Salem與Kahane為代表的法國(guó)學(xué)派從稀薄集的研究出發(fā)，對(duì)各種類(lèi)型的Cantor集及稀薄集作了系統(tǒng)的研究，建立了相應(yīng)的理論方法與技巧，并在調(diào)和分析理論中得到了重要的應(yīng)用。同時(shí)，維數(shù)的乘積理論，投影理論，勢(shì)論方法，網(wǎng)測(cè)度技巧，隨機(jī)技巧均先后建立并成熟，己使分形幾何的研究具有自身的特色與方法。盡管在此階段分形的研究取得了許多重要的結(jié)果，并使這一學(xué)科在理論上初見(jiàn)雛

9、形，但絕大部分從事這一領(lǐng)域工作的人主要局限于純數(shù)學(xué)理論的研究，而未與其它學(xué)科發(fā)展聯(lián)系。 但另一方面，物理、地學(xué)、宇宙學(xué)和工程學(xué)等學(xué)科已產(chǎn)生了大量與分形幾何有關(guān)的問(wèn)題，并迫切需要新的思想與有力的工具來(lái)處理它們二正是在這種形勢(shì)下,Mandelbrot B. B. 以他獨(dú)特的思想與超人的毅力，自60 年代以來(lái)，系統(tǒng)、深入、創(chuàng)造性地研究了海岸線(xiàn)的結(jié)構(gòu)，1967 年，Mandelbrot在科學(xué)雜志發(fā)表“英國(guó)的海岸線(xiàn)有多長(zhǎng)?”的論文，標(biāo)志著分形概念的產(chǎn)生。1977 年Mandelbrot 發(fā)表“分形： 形式、機(jī)遇與分維”，1982 年又發(fā)表“自然界的分形幾何”，分形理論的思想進(jìn)一步成熟起來(lái)。下面簡(jiǎn)要介紹分

10、形幾何的特征、分維數(shù)等基本概念。二、分形簡(jiǎn)述1.分形的概念及特征許多自然現(xiàn)象無(wú)法用傳統(tǒng)的歐幾里德幾何來(lái)描述，如曲折的海岸線(xiàn)、千姿百態(tài)的地貌、河流中的湍流等。雖然這些現(xiàn)象變幻無(wú)常且缺乏規(guī)則，但卻具有自我相似性。分形幾何以這些復(fù)雜性問(wèn)題為對(duì)象，發(fā)展了一類(lèi)專(zhuān)門(mén)的理論與方法。 所謂分形( Fractal) 原指“不規(guī)則的、分?jǐn)?shù)的、支離破碎的”,其核心是自我相似性。描述分形的特征量是分形維數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)分維。按照分形理論，分形體內(nèi)任何一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的部分( 分形元或生成元) ，在一定程度上都是整體的再現(xiàn)和縮影。這種現(xiàn)象，無(wú)論在客觀的自然界和社會(huì)領(lǐng)域，還是在主觀的思維領(lǐng)域，都是普遍存在的。一個(gè)分形集應(yīng)具備以下幾個(gè)

11、典型性質(zhì)：( l) 通常它本身的結(jié)構(gòu)在大小尺度上有著某種“ 自相似” 形式(有的嚴(yán)格地相似，也有的只是近似的、或者統(tǒng)計(jì)的相似性) ；(2 )當(dāng)圖形比例不斷縮小時(shí)，它可以有任意小的細(xì)節(jié)；(3)它的“分形維數(shù)”大于它的“拓?fù)渚S數(shù)”；(4)在大多數(shù)令人感興趣的情形下，它可以用非常簡(jiǎn)單的方法定義，并可以用迭代計(jì)算產(chǎn)生其圖形；(5)分形的結(jié)果是傾向于“解釋性”的，而非“預(yù)言性”的。2.分形維及其計(jì)算為了研究分形集的幾何性質(zhì)，傳統(tǒng)的“長(zhǎng)度”、“面積”和“體積”的概念已經(jīng)不夠用了。在分形幾何學(xué)中主要采用了“分維數(shù)”的計(jì)算方法。所謂“分維數(shù)”是指在更深、更廣泛的意義上定義n 維空間中超越“長(zhǎng)度、面積、體積”舊

12、概念的新度量。它度量的是一個(gè)分形集“充滿(mǎn)空間的程度”。例如，一個(gè)分形集圖案的分維數(shù)為1.6 ，是指它在空間的分布比一維空間復(fù)雜一些，而比二維空間簡(jiǎn)單一些。傳統(tǒng)幾何學(xué)(歐幾里得空間) 中的維數(shù)只能是整數(shù)，而在分形幾何中可以是任意正實(shí)數(shù)。計(jì)算“分維數(shù)”的方法有很多，因此，不同人采用不同計(jì)算方法所得的計(jì)算結(jié)果可能是不同的。但總的要求是： 分維數(shù)必須能反映“在不斷縮小直徑的很小的比例下，去觀測(cè)一個(gè)分形集,找出這個(gè)集的一個(gè)代表“維數(shù)”，使它能夠反映出該圖形的復(fù)雜程度，或“不規(guī)則程度的量度”，或“充滿(mǎn)空間的程度”。這里列出一些常用的分維的計(jì)算方法：(1)改變粗視化程度的計(jì)算法這種方法比較適合復(fù)雜曲線(xiàn)的分維

13、Do的計(jì)算。對(duì)曲線(xiàn)用不同的尺度公測(cè)量其長(zhǎng)度,忽略比e 小的細(xì)節(jié)，得到長(zhǎng)度N ()。顯然N ()隨著的減小而增大，若兩者之間符合下列冪函數(shù)關(guān)系N ()-D則該曲線(xiàn)的分維為Do=D。例如Koch曲線(xiàn)可用這種方法計(jì)算其分維。這種方法還適用于點(diǎn)分布、河流分布等情形的分維計(jì)算，而且可以推廣到信息維D l 的計(jì)算。(2)根據(jù)測(cè)度關(guān)系的計(jì)茸法其基本原理是: 改變觀測(cè)的范圍( 一維尺度r ) ,測(cè)得某個(gè)量(如M) 隨r變化的關(guān)系M (r )，若能滿(mǎn)足下式：M ( r ) r D則認(rèn)為M 分布的維數(shù)是Do=D。如圖3中圓內(nèi)點(diǎn)數(shù)隨圓半徑的分布可用該法計(jì)算維數(shù)。圖3.平面中點(diǎn)的分布(3)計(jì)盒維數(shù)法最典型而容易理解的

14、求分維數(shù)的方法是“計(jì)盒維數(shù)法”(Box Counting)。對(duì)一個(gè)平面中的分形集圖形F 來(lái)說(shuō)，可以用寬度為占的正方形盒子打成方格網(wǎng)來(lái)覆蓋這個(gè)圖形。數(shù)一數(shù)共有多少個(gè)方格套上這個(gè)圖形。然后，逐步縮小方格的寬度占，每次都來(lái)數(shù)一數(shù)覆蓋這個(gè)圖形的方格數(shù)目N。于是可以用下式： （2）估計(jì)出其盒分維數(shù)。幾乎所有的分維數(shù)的定義都可以采取類(lèi)似的形式。即式(2) 的右邊是一個(gè)0的極限值。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，當(dāng)然不能取無(wú)限小，因?yàn)?時(shí)，我們將無(wú)法數(shù)它的方格數(shù)目了。圖4.用記盒數(shù)方法計(jì)算分維數(shù)3. 分形幾何的分類(lèi)下圖給出了分形幾何的整體框架。嚴(yán)格線(xiàn)性分形指分形是嚴(yán)格自相似的，存在數(shù)學(xué)上的無(wú)限嵌套，如Cantor集、Koch

15、曲線(xiàn)等。統(tǒng)計(jì)線(xiàn)性分形的自相似性?xún)H在統(tǒng)計(jì)意義下成立，如布朗運(yùn)動(dòng)軌跡。在自然界，存在著許多具有自相似性的對(duì)象，但更廣泛存在的是廣義自相似、或稱(chēng)自仿射的對(duì)象。相似是在所有方向上以同一比率收縮或擴(kuò)展一個(gè)幾何體的均勻的線(xiàn)性變換，而仿射是在不同方向上按不同比率進(jìn)行收縮或擴(kuò)展的非均勻線(xiàn)性變換，自仿射分形是自相似分形的一種推廣。因此，自仿射分形將會(huì)展現(xiàn)出比自相似分形更為廣闊的應(yīng)用范圍。圖5 分形幾何的整體框架3、 分形幾何學(xué)在地球物理中的應(yīng)用1.現(xiàn)有應(yīng)用在地震( 這里指天然地震) 研究中，近年來(lái)應(yīng)用分形幾何取得了一些成果。研究表明，地震活動(dòng)在時(shí)間、空間及能量上都表現(xiàn)出分維特征。我們知道: 地震越大，發(fā)生的次數(shù)

16、越少，Gutenberg-Riehter關(guān)系(1941年)InN = a-bM (3)給出了地震發(fā)生頻率與地震震級(jí)(M )之間的關(guān)系，其中N 為震級(jí)在M 以上的地震總次數(shù)，a 為常數(shù)，b( > 0) 為系數(shù)。震級(jí)( M ) 與地震能量( E ) 之間存在關(guān)系InE = A + 1.5M (4)其中A 為常數(shù)，當(dāng)E以焦耳為單位時(shí)，A = 4 . 8。因此，由(3) 式和(4)式得到：NE-2/3b (5)這表明地震次數(shù)隨能量的變化呈冪次關(guān)系。如用能量工作標(biāo)度，則其分形維數(shù)為：DF=2b/3 (6)一般情況下，b1，b值反映的地震大小(能量)分布的自相似性跨越了能量的15 個(gè)數(shù)量級(jí)，這是十分

17、驚人的自然線(xiàn)性分形的現(xiàn)象。Kazt (1986年)關(guān)于不均勻性質(zhì)脆性破裂傳播的模擬表明，破裂的尺度分布遵守冪次關(guān)系，這也說(shuō)明了天然地震能量分布自相似的原因。Kagan和Knopoff(1980年)的研究表明了地震之間距離的分布具有分形特征。余震分布的大森冪指數(shù)法則( 1 9 0 0 年) 顯示了地震在時(shí)間上存在的分形結(jié)構(gòu)。值得強(qiáng)調(diào)的是，臨震降維現(xiàn)象已成為地震預(yù)報(bào)中受到關(guān)注的一種前兆。由于地震孕育區(qū)地下介質(zhì)中能量的聚集，使地震序列逐步從隨機(jī)態(tài)向混沌態(tài)發(fā)展，從而使大震前地震分布的分維下降。很多實(shí)際資料分析表明，臨震( 大震) 前地震序列表現(xiàn)出時(shí)間和空間上的降維現(xiàn)象，即大震前的地震序列分維數(shù)低于震后

18、的地震序列分維數(shù)。2. 可能的應(yīng)用在地球物理中，分形幾何的應(yīng)用目前僅限于地震研究中，在應(yīng)用地球物理中的應(yīng)用研究才剛剛開(kāi)始，還未取得明顯的結(jié)果。但是，從應(yīng)用地球物理和分形幾何兩方面的特點(diǎn)來(lái)看，分形幾何在應(yīng)用地球物理中的應(yīng)用至少包括幾個(gè)方面 : (1 ) 裂隙或巖溶間題的研究。由于裂隙和巖溶分布的復(fù)雜性和非均勻性，常規(guī)的歐幾里得幾何不能充分描述它們的分布，而分形幾何學(xué)可能在這里起到一定的作用。(2 ) 孔隙巖石中滲透、擴(kuò)散和滲流研究。由于分形幾何可以較好地描述非均勻介質(zhì)，輔以隨機(jī)模擬將有助于描述孔隙巖石中流體的滲透、擴(kuò)散和滲流特性，這將在開(kāi)發(fā)地球物理研究中發(fā)揮一定的作用。(3 ) 礦床儲(chǔ)量和等級(jí)估計(jì)。地下礦藏或油氣分布的非均勻性和不連續(xù)