原子物理——量子力學(xué)3

1、2.5 定態(tài)薛定諤方程解的算例定態(tài)薛定諤方程解的算例 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程問題，就是求解勢能不隨時(shí)間改變條件問題，就是求解勢能不隨時(shí)間改變條件下的薛定諤方程，就是求解哈密頓方程下的薛定諤方程，就是求解哈密頓方程( )( )HExx222d( ) ( )( )2dV xxExm x在一維條件下在一維條件下求解微分方程，需要利用一定的邊界條件求解微分方程，需要利用一定的邊界條件求出本征函數(shù)求出本征函數(shù)的表的表達(dá)式和本征值達(dá)式和本征值E的數(shù)值的數(shù)值目的：目的：通過對解的討論，了解量子力學(xué)體系的特征及其通過對解的討論，了解量子力學(xué)體系的特征及其 物理意義物理意義1、一維簡諧振子勢、一維簡諧振子

2、勢 勢能勢能22211( )22V xkxmx)(xVx2222d( )1( )( )2d2xkxxExmx, x 作變量代換，令待定常數(shù)，方程化為2222224d20dmEmk 222222d2d2kEm 勢能函數(shù)是一條拋物線哈密頓方程為：哈密頓方程為：諧振子勢能為V(x)、質(zhì)量為m的粒子142mk令211mk22222mEEmEkkm222d0d 有解時(shí)當(dāng),12 n212( )( )ennH由于由于待定待定，2222224d20dmEmk變系數(shù)的常微分方程諧振子的角頻率方程化為方程化為212( )( )ennH( ):nH厄米多項(xiàng)式22d( )( 1) eednnnnH , 2 , 1 ,

3、 0n11( )HA00( )HA222( )(1 2)HA333( )(32)HA2444( )(3 124)HA3555( )(15204)HA其通式為：其通式為：前前5 5個(gè)厄米多項(xiàng)式為：個(gè)厄米多項(xiàng)式為：()=A1e-1/22n=1n=3n=0()=A0e-1/22n=2n=5n=4偶函數(shù)奇函數(shù)波函數(shù)的空間波函數(shù)的空間對稱是偶性的對稱是偶性的，就稱宇稱是偶就稱宇稱是偶性的性的偶宇稱偶宇稱奇宇稱奇宇稱波函數(shù)的圖形波函數(shù)的圖形)()(xx12 n1()2nEn)(xVx2 E零點(diǎn)能零點(diǎn)能 所以諧振子的能量本征值為所以諧振子的能量本征值為:0n1n2n3n4n2123252729由由01122

4、Eh諧振子的角頻率諧振子的角頻率km諧振子的能量是等間隔的分立能級，諧振子的能量是等間隔的分立能級，而且量子數(shù)而且量子數(shù)n取最小值取最小值0時(shí)，諧振子的能時(shí)，諧振子的能量并不為并不為0。這也意味著，這也意味著，量子束縛態(tài)的量子束縛態(tài)的動(dòng)能不可能為零動(dòng)能不可能為零，與經(jīng)典的情況不相同！與經(jīng)典的情況不相同！這是波粒二象性的這是波粒二象性的表現(xiàn)，它滿足不確表現(xiàn)，它滿足不確定關(guān)系的要求！定關(guān)系的要求！諧振子的幾率分布諧振子的幾率分布 212Ukx212Ukx20()21() 22() 23() 24()25()212Ukx在任一能級上，勢能曲線以外概率密度并不為零在任一能級上，勢能曲線以外概率密度并不

5、為零微觀粒子運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：微觀粒子運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：它在運(yùn)動(dòng)中有可能進(jìn)入勢能大于其總能量的區(qū)域。它在運(yùn)動(dòng)中有可能進(jìn)入勢能大于其總能量的區(qū)域。這在經(jīng)典理論看來是不可能出現(xiàn)的！這在經(jīng)典理論看來是不可能出現(xiàn)的！ 物理意義：物理意義：1）量子諧振子的能級是量子化的，等間隔均勻分布。能級）量子諧振子的能級是量子化的，等間隔均勻分布。能級的間距為的間距為 。能量本征值只能取一些不連續(xù)的值。能量本征值只能取一些不連續(xù)的值。2）最低能態(tài)的總能量（或稱之為）最低能態(tài)的總能量（或稱之為零點(diǎn)能零點(diǎn)能）為：）為：01122Eh3）位于諧振子勢井中的質(zhì)點(diǎn)，）位于諧振子勢井中的質(zhì)點(diǎn)， 量子力學(xué)量子力學(xué)的結(jié)果：當(dāng)?shù)慕Y(jié)果：當(dāng)n=0時(shí)

6、，在時(shí)，在x=o處粒子處粒子出現(xiàn)的幾率最大出現(xiàn)的幾率最大。 經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué)則認(rèn)為：當(dāng)則認(rèn)為：當(dāng)n=0時(shí)，在時(shí)，在x=o處粒子處粒子出現(xiàn)的幾率最小出現(xiàn)的幾率最小。 當(dāng)量子數(shù)當(dāng)量子數(shù)n很大時(shí)與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果趨于一致！很大時(shí)與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果趨于一致！當(dāng)溫度趨于絕對零度時(shí)，電磁場的簡諧振動(dòng)或晶體點(diǎn)陣上的原子振動(dòng)處于基態(tài)對量子諧振子它們?nèi)栽谡駝?dòng)，且平均動(dòng)能大于零，意味著對量子諧振子它們?nèi)栽谡駝?dòng)，且平均動(dòng)能大于零，意味著量子的束縛態(tài)是不可能為零的。量子的束縛態(tài)是不可能為零的。例題例題1： 設(shè)想一個(gè)質(zhì)量為設(shè)想一個(gè)質(zhì)量為m=1g的小球，懸掛在一個(gè)小輕的小球，懸掛在一個(gè)小輕彈簧下做振幅為彈簧下做振幅為 A=1

7、mm的簡諧振動(dòng)。彈簧系數(shù)的簡諧振動(dòng)。彈簧系數(shù)為為k=0.1N/m。按量子理論計(jì)算：。按量子理論計(jì)算： 1）此彈簧諧振子的能級間隔有多大？）此彈簧諧振子的能級間隔有多大？ 2）與它現(xiàn)有的振動(dòng)能量對應(yīng)的量子數(shù)是多少？）與它現(xiàn)有的振動(dòng)能量對應(yīng)的量子數(shù)是多少？ 例題例題2 2： HCL氣體能強(qiáng)烈吸收波長為氣體能強(qiáng)烈吸收波長為3.465um的紅外輻射。的紅外輻射。這是這是HCL分子振子吸收入射光子能量的結(jié)果。分子振子吸收入射光子能量的結(jié)果。 求：求： 1）振子的振動(dòng)頻率；）振子的振動(dòng)頻率； 2）絕對零度時(shí)一摩爾）絕對零度時(shí)一摩爾HCL氣體的總振動(dòng)能量。氣體的總振動(dòng)能量。2、一維無限深勢阱、一維無限深勢阱

8、 如圖，如圖，中，勢能為中，勢能為0 0； 、中，勢能為中，勢能為0VVV2a2ax)(xV不分區(qū)的哈密頓方程不分區(qū)的哈密頓方程222d( )( )( )2dxVxExmx222d( )2 ()( )0dxm VExx222mEk 222d( )( )0dxkxx( )cossinxAkxBkx0V222d20dmExI I區(qū)中區(qū)中IIIIIIE:動(dòng)能0通解為通解為目的：目的：了解勢井中量子狀態(tài)的特點(diǎn)，了解勢井中量子狀態(tài)的特點(diǎn)，分立能級、零度能等分立能級、零度能等。為無限深勢阱中勢能是常量，粒子不受力做自由運(yùn)動(dòng)令令V222222d( )2 ()d( )( )( )0ddxm VExxxxx 0

9、 e0( )ee000 exxxxDxCDC II、III區(qū)中區(qū)中哈密頓方程為哈密頓方程為：其形式上的通解其形式上的通解：依據(jù)波函數(shù)的邊界條件依據(jù)波函數(shù)的邊界條件()0 表明：勢阱外的波函數(shù)為表明：勢阱外的波函數(shù)為0 0由于由于 就有上式就有上式x x0)2()2(aakxBkxAxsincos)(02sin2cos02sin2cosakBakAakBakA該齊次方程非該齊次方程非零解的條件為：零解的條件為：02sin2cos2sin2cosakakakak勢井中波函數(shù)勢井中波函數(shù) ，在井壁上必定為，在井壁上必定為0，所以邊界條件為：所以邊界條件為：即有即有0sin2cos2sin2kaaka

10、kank22222222manmkE因而有因而有222mEk 即即而而勢井中粒子的勢井中粒子的能量本征值能量本征值1 1）勢阱內(nèi)粒子能量是量子化的，是勢阱中波函數(shù)的共同點(diǎn)勢阱內(nèi)粒子能量是量子化的，是勢阱中波函數(shù)的共同點(diǎn) 22,0nnnEEnEnnEn 結(jié)論：結(jié)論：axnBaxnAxsincos)(進(jìn)一步確定進(jìn)一步確定本征函數(shù)本征函數(shù)2 2）不存在不存在n=0n=0的波函數(shù)，零點(diǎn)能不為零的波函數(shù)，零點(diǎn)能不為零: :22122Ema為什么？為什么？這是由粒子的波動(dòng)性所決定的，由不確定原理：這是由粒子的波動(dòng)性所決定的，由不確定原理：2x p 勢阱中的位置不確定量為勢阱中的位置不確定量為x xa a2

11、pa 不可能有不可能有0p 2ax0( 1)0()cossin222( 1)00nnABBannABABA 奇偶0( 1)0( )cossin222( 1)00nnABBannABABA 奇偶偶數(shù)奇數(shù)，naxnBnaxnAx,sincos)(aA2aB22/2/2222/2/2cosdcosd12aaaan xn xaAxAxAaa若對波函若對波函數(shù)歸一化數(shù)歸一化當(dāng)當(dāng) 時(shí)，依據(jù)邊界條件，有時(shí)，依據(jù)邊界條件，有歸一化條件就是粒子在整個(gè)空間內(nèi)出現(xiàn)的總概率為12sin,n xnaa偶數(shù)2cosn xnaa， 奇數(shù)xxx( )x( )x2a2a2a2a2n 4n 6n 1n 3n 5n 偶宇稱偶宇稱奇

12、宇稱00粒子的能量本征粒子的能量本征函數(shù)與坐標(biāo)關(guān)系函數(shù)與坐標(biāo)關(guān)系0EE04EE 09EE 025EE036EE 016EE()=A1e-1/22n=1n=3n=0()=A0e-1/22n=2n=5n=4偶函數(shù)奇函數(shù)偶宇稱奇宇稱概率密度圖形概率密度圖形)()(xx 由上述概率密度與坐標(biāo)的關(guān)系我們可以看到：由上述概率密度與坐標(biāo)的關(guān)系我們可以看到：1）這里由粒子的波動(dòng)性給出的這里由粒子的波動(dòng)性給出的概率密度的周期性分布概率密度的周期性分布與與經(jīng)經(jīng)典粒子分布典粒子分布完全不同，按經(jīng)典理論，粒子在阱內(nèi)來來回回完全不同，按經(jīng)典理論，粒子在阱內(nèi)來來回回自由運(yùn)動(dòng)，在各處的概率密度應(yīng)該是相等的，而且與粒子自由運(yùn)

13、動(dòng)，在各處的概率密度應(yīng)該是相等的，而且與粒子的能量無關(guān)。的能量無關(guān)。2）與經(jīng)典粒子不同的第二點(diǎn)。由與經(jīng)典粒子不同的第二點(diǎn)。由22222nmaE022221maE量子粒子的量子粒子的最小能量為最小能量為：這這符合符合不確定關(guān)系，因?yàn)榱孔恿Ｗ釉谟邢蘅臻g內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其速度不確定關(guān)系，因?yàn)榱孔恿Ｗ釉谟邢蘅臻g內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其速度不可能為零，而經(jīng)典粒子可能處于靜止的能量為零的最低能態(tài)不可能為零，而經(jīng)典粒子可能處于靜止的能量為零的最低能態(tài)3）由粒子的能量公式，可得到勢阱中粒子的動(dòng)量由粒子的能量公式，可得到勢阱中粒子的動(dòng)量:kanmEpnn2相應(yīng)地，粒子的德布羅意波長為：相應(yīng)地，粒子的德布羅意波長為：knaphnn22

14、該波長也量子化了，它只能是勢阱長度兩倍的整數(shù)分之一。該波長也量子化了，它只能是勢阱長度兩倍的整數(shù)分之一。這就類似于兩端固定的弦中產(chǎn)生的駐波的情況。這就類似于兩端固定的弦中產(chǎn)生的駐波的情況。無限深勢阱中粒子的每一個(gè)能量本征態(tài)對應(yīng)于德布羅意波的無限深勢阱中粒子的每一個(gè)能量本征態(tài)對應(yīng)于德布羅意波的一個(gè)特定波長的駐波一個(gè)特定波長的駐波!例題例題 在原子核在原子核 內(nèi)的內(nèi)的質(zhì)子質(zhì)子和和中子中子可粗略的看可粗略的看成是處于無限深勢阱中而不能逸出，它們在核中成是處于無限深勢阱中而不能逸出，它們在核中的運(yùn)動(dòng)也可以認(rèn)為是自由的。按一維無限深勢阱的運(yùn)動(dòng)也可以認(rèn)為是自由的。按一維無限深勢阱估算，質(zhì)子從第一激發(fā)態(tài)（估

15、算，質(zhì)子從第一激發(fā)態(tài)（n=2n=2）到第二激發(fā)態(tài)）到第二激發(fā)態(tài)（n=1n=1）轉(zhuǎn)變時(shí)，放出的能量是多少）轉(zhuǎn)變時(shí)，放出的能量是多少M(fèi)eV?MeV?14(1 10)m例題例題 根據(jù)疊加原理，幾個(gè)波函數(shù)的疊加仍是一個(gè)波函數(shù)。根據(jù)疊加原理，幾個(gè)波函數(shù)的疊加仍是一個(gè)波函數(shù)。假設(shè)在無限深勢阱中粒子的一個(gè)疊加態(tài)是有基態(tài)和假設(shè)在無限深勢阱中粒子的一個(gè)疊加態(tài)是有基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)疊加而成，前者的幅是第一激發(fā)態(tài)疊加而成，前者的幅是1/2 1/2 ，后者的幅，后者的幅是是 （這就意味著基態(tài)的基本概率是這就意味著基態(tài)的基本概率是1/41/4，第一，第一激發(fā)態(tài)的基本概率是激發(fā)態(tài)的基本概率是3/43/4）。）。 試求這一疊

16、加態(tài)的概率分布。試求這一疊加態(tài)的概率分布。3/23、階躍勢階躍勢定義：勢能在空間某一位置由一個(gè)值突然變定義：勢能在空間某一位置由一個(gè)值突然變 為另一個(gè)值的勢場。為另一個(gè)值的勢場。( )0V x 0( )V xV0 x)(xV2122mEk 221112d( )( )0dxkxx11( )eeik xik xIxAB粒子在階躍勢場中的運(yùn)動(dòng)粒子在階躍勢場中的運(yùn)動(dòng)00,( )V xV00 xx在量子力學(xué)中，只需要求解薛定諤方程：在量子力學(xué)中，只需要求解薛定諤方程：22( )( )( )2V xxExma)對x0區(qū)域，V(x)=0X0 x0區(qū)域要使區(qū)域要使 滿足滿足“有限有限”的要求，的要求，必須要求

17、必須要求C=0C=0。要使波函數(shù)連續(xù)，在要使波函數(shù)連續(xù)，在x=0 x=0的位置應(yīng)該有：的位置應(yīng)該有：b) x0 區(qū)域區(qū)域 V(x)=V0 薛定諤可以寫為薛定諤可以寫為：其通解為：其通解為：如果這兩個(gè)區(qū)域波函數(shù)滿足物理?xiàng)l件，那么這四個(gè)解它一定如果這兩個(gè)區(qū)域波函數(shù)滿足物理?xiàng)l件，那么這四個(gè)解它一定是是單值單值、有限有限和和連續(xù)連續(xù)，否則就不滿足波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。，否則就不滿足波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。2( ) x12(0)(0)首先它們滿足首先它們滿足單值單值性的要求性的要求1200( )( )xxdxdxdxdx把兩個(gè)區(qū)域中的通解代入上兩式，可以得到：把兩個(gè)區(qū)域中的通解代入上兩式，可以得到：21ABDkA

18、BiDk21211212kDAikkDBik11222111122( )k xk xk xkkDDieiekkxDe0 x0 x于是于是另外，勢能在全區(qū)域有限，且波函數(shù)和能量另外，勢能在全區(qū)域有限，且波函數(shù)和能量E 也有限，從而波也有限，從而波函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)也將有限。因此，要求其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，有：函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)也將有限。因此，要求其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，有：D為任意常數(shù)，它取決于波函數(shù)振幅的大小，可由歸一化條件確定 物理意義：物理意義： X0，它們的概率密度為：它們的概率密度為：22(, )(, )k xx tx tD D e在此區(qū)域隨在此區(qū)域隨x x的增大而隨指數(shù)快速衰減，但在的增大而隨指數(shù)快速衰減

19、，但在x=0 x=0的附近不為零的附近不為零。表明，在表明，在X0的區(qū)域有一定的幾率能夠發(fā)現(xiàn)或找到粒子的可能！的區(qū)域有一定的幾率能夠發(fā)現(xiàn)或找到粒子的可能！由上式可知，出現(xiàn)這種幾率只在由上式可知，出現(xiàn)這種幾率只在x=0 x=0的很小的區(qū)域內(nèi)，即的很小的區(qū)域內(nèi)，即21xk)(2102EVmk它常稱為：透入距離范圍內(nèi)才有顯著的值，超過此范圍將快速趨于零范圍內(nèi)才有顯著的值，超過此范圍將快速趨于零 在經(jīng)典物理中，如果粒子的總能量小于勢阱的高度，在經(jīng)典物理中，如果粒子的總能量小于勢阱的高度，粒子由于無法越過這一能量差而只能在勢阱之內(nèi)運(yùn)動(dòng)，粒子由于無法越過這一能量差而只能在勢阱之內(nèi)運(yùn)動(dòng)，要想越過這個(gè)勢能區(qū)是

20、完全不可能的！要想越過這個(gè)勢能區(qū)是完全不可能的！ 但按照量子力學(xué)理論給出，其勢能大于總能量的區(qū)域但按照量子力學(xué)理論給出，其勢能大于總能量的區(qū)域內(nèi)，即勢阱之外，波函數(shù)并不等于零。內(nèi)，即勢阱之外，波函數(shù)并不等于零。 說明粒子仍有一定的概率密度，雖然這個(gè)概率密度是說明粒子仍有一定的概率密度，雖然這個(gè)概率密度是以指數(shù)規(guī)律隨進(jìn)入該區(qū)域的深度而快速減小的，但它以指數(shù)規(guī)律隨進(jìn)入該區(qū)域的深度而快速減小的，但它可以穿透勢阱壁進(jìn)入勢阱之外的區(qū)域?？梢源┩竸葳灞谶M(jìn)入勢阱之外的區(qū)域。如何理解量子力學(xué)給出的這一結(jié)果？為什么粒子的動(dòng)如何理解量子力學(xué)給出的這一結(jié)果？為什么粒子的動(dòng)能可能有負(fù)值？能可能有負(fù)值？ 在在區(qū)（區(qū)（E

21、V0）xkeDx2222)(kx21可以看做粒子進(jìn)入該區(qū)域的典型深度，在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率可以看做粒子進(jìn)入該區(qū)域的典型深度，在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率已降為已降為1/e1/e。該距離我們可以認(rèn)為是在此區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的位置。該距離我們可以認(rèn)為是在此區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的位置不確定度。即不確定度。即)(22210EVmkx這要?dú)w之于這要?dú)w之于不確定關(guān)系不確定關(guān)系！根據(jù)不確定關(guān)系，粒子在這段距離內(nèi)的動(dòng)量不確定度為：根據(jù)不確定關(guān)系，粒子在這段距離內(nèi)的動(dòng)量不確定度為：粒子進(jìn)入的速度可以認(rèn)為是粒子進(jìn)入的速度可以認(rèn)為是)(20EVmxpmEVmpvv)(20于是粒子進(jìn)入的時(shí)間不確定度為：于是粒子進(jìn)入的時(shí)間不確定度為：)

22、(40EVvxt由此，按由此，按能量時(shí)間能量時(shí)間不確定關(guān)系式，粒子能量的不確定度為不確定關(guān)系式，粒子能量的不確定度為此時(shí)，粒子的總能量將是此時(shí)，粒子的總能量將是)(220EVtEEVVEEEk00粒子在到達(dá)區(qū)域內(nèi)，其動(dòng)能的不確定度大于其名義上的粒子在到達(dá)區(qū)域內(nèi)，其動(dòng)能的不確定度大于其名義上的負(fù)動(dòng)能負(fù)動(dòng)能值。值。因此，該因此，該負(fù)動(dòng)能負(fù)動(dòng)能只不過是被不確定關(guān)系只不過是被不確定關(guān)系“掩蓋掩蓋”了，它只是一了，它只是一種觀察不到的種觀察不到的“虛虛”動(dòng)能。這和實(shí)驗(yàn)上能觀察到的能量守恒并動(dòng)能。這和實(shí)驗(yàn)上能觀察到的能量守恒并不矛盾。不矛盾。4、方勢壘、方勢壘 方勢壘如圖所示，哈密頓方程為方勢壘如圖所示，

23、哈密頓方程為0V0VV 1xx)(xV0V2x222d( )2 ()( )0dxm VExx0V2212d0dkx1111( )eeik xik xIxAB2212mEk EVV02222d( )( )0dxkxx2022)(2EVmk2222( )eek xk xIIxAB13( )ik xIIIxAeIIIIIIIII區(qū)II區(qū)0VI區(qū)通解通解通解通解22120dkdx方程同區(qū)，但這里無反射波，故 11111( )eeik xik xxAB22222( )eek xk xxAB33333( )eik xik xxAB e1xx( )x2xIIIIII如果粒子是從勢壘的左邊入射，如果粒子是從勢

24、壘的左邊入射，通解通解 中中111ik xAe表示從左側(cè)入射的波表示從左側(cè)入射的波( (粒子粒子) )表示碰撞器壁后被反射回去的波表示碰撞器壁后被反射回去的波( (粒子粒子) )11ik xBe由于在勢壘右側(cè)原來沒有粒子，所以由于在勢壘右側(cè)原來沒有粒子，所以 B B3 3 =0=0于是于是333ik xA e表示表示貫穿勢壘后貫穿勢壘后而透射過來的波而透射過來的波( (粒子粒子) )dd()()22ddiiJmmxx22()()IIIIIxx可以計(jì)算出粒子流量，用可以計(jì)算出粒子流量，用幾率流密度幾率流密度表示表示粒子從粒子從I I區(qū)經(jīng)過區(qū)經(jīng)過勢壘勢壘進(jìn)入進(jìn)入IIIIII區(qū)，稱作區(qū)，稱作勢壘貫穿

25、勢壘貫穿或或隧道效應(yīng)。隧道效應(yīng)。11()()IIIxx(0)0I22()()IIIIIxx11( )( )IIIxx可以利用下述邊界條件和波函數(shù)的條件確定：可以利用下述邊界條件和波函數(shù)的條件確定：一階微商連續(xù)一階微商連續(xù) 粒子從粒子從I區(qū)經(jīng)過區(qū)經(jīng)過勢壘勢壘進(jìn)入進(jìn)入III區(qū)的穿透率區(qū)的穿透率還還可用如下方法計(jì)算可用如下方法計(jì)算入射粒子的概率入射粒子的概率(幾率幾率)幅幅反射粒子的概率幅反射粒子的概率幅貫穿勢壘的粒子的幾率幅貫穿勢壘的粒子的幾率幅11ik xAe11ik xBe33ik xAe所以透射率和反射率可按下面的方法求出：所以透射率和反射率可按下面的方法求出：3122332211ik xi

26、k xA eATAAe1122112211ik xik xB eBRAAe2321|ikxikxA eTAe22001sh (2)4()VaE VE 通常只需計(jì)算向右運(yùn)動(dòng)的粒子。如果勢壘的高度通常只需計(jì)算向右運(yùn)動(dòng)的粒子。如果勢壘的高度V0比入射粒比入射粒子能量子能量E大得多，或勢壘較寬時(shí)，即大得多，或勢壘較寬時(shí)，即042()02016 ()eam VEE VEV1xx( ) x2xIIIIIIIVa21k a 物理意義：物理意義：1）能量能量E小于勢壘高度的粒小于勢壘高度的粒子確實(shí)有一定的幾率穿越勢子確實(shí)有一定的幾率穿越勢壘。透射系數(shù)壘。透射系數(shù)T與勢壘寬度與勢壘寬度a、(V0 E)和粒子質(zhì)量

27、有關(guān)和粒子質(zhì)量有關(guān)2）隨著勢壘寬度隨著勢壘寬度a的增加，的增加，透射率透射率T按指數(shù)衰減。按指數(shù)衰減。若把上式簡單看做主要是由指數(shù)部分若把上式簡單看做主要是由指數(shù)部分決定的，于是決定的，于是042()02016 ()eam VEE VETV042()eam VET如果在勢壘內(nèi)部距表面距離為如果在勢壘內(nèi)部距表面距離為d處，幾率衰減為表面的處，幾率衰減為表面的1/e，則則d被定義為粒子在勢壘中的穿透深度：被定義為粒子在勢壘中的穿透深度：02 2 ()dm VE1xx( )x2xIIIIIIIV透射透射系數(shù)系數(shù)例：試求入射電子能量為例：試求入射電子能量為1ev，勢壘高度為，勢壘高度為2ev，寬度為，

28、寬度為 的的 幾率。如果粒子是質(zhì)子，求透射系數(shù)。幾率。如果粒子是質(zhì)子，求透射系數(shù)。82 10acm 解：由勢壘寬度解：由勢壘寬度202 ()ak am VE電子：電子：86282 1020.511 1011197010cmk aeVeVeVcm2202016()40.51k aE VETeV質(zhì)子：質(zhì)子：其質(zhì)量是電子的其質(zhì)量是電子的1840倍，質(zhì)子的質(zhì)量約為倍，質(zhì)子的質(zhì)量約為940MeV244k a 382.5 10T220.511emm cMeV c 例，一粒子質(zhì)量為例，一粒子質(zhì)量為1kg1kg，勢壘的厚度，勢壘的厚度a=10cma=10cm，V V0 0-E=1eV-E=1eV，穿透幾率約為

29、：穿透幾率約為： 幾乎不能穿透！幾乎不能穿透！ 這說明對宏觀物體來說，即便是總能量比勢壘僅少這說明對宏觀物體來說，即便是總能量比勢壘僅少1eV1eV，其量子效應(yīng)也是極其不明顯的。其量子效應(yīng)也是極其不明顯的。 而對質(zhì)量輕的電子而言，隧道效應(yīng)就變得十分明顯了！而對質(zhì)量輕的電子而言，隧道效應(yīng)就變得十分明顯了！2 41 0T聊齋志異聊齋志異中，蒲松齡講述的故事，說一個(gè)嶗山道士能夠穿墻中，蒲松齡講述的故事，說一個(gè)嶗山道士能夠穿墻而過。雖是虛妄之談，但從量子力學(xué)的觀點(diǎn)來看，它還是有一定而過。雖是虛妄之談，但從量子力學(xué)的觀點(diǎn)來看，它還是有一定道理的，只不過是概率道理的，只不過是概率“小小”了些而已。了些而已

30、。 利用量子隧道效應(yīng)，可解釋放射性原子核的利用量子隧道效應(yīng)，可解釋放射性原子核的粒子衰變粒子衰變現(xiàn)象現(xiàn)象 如果一核半徑為如果一核半徑為R，粒子在核內(nèi)由于核力的作用，其勢能粒子在核內(nèi)由于核力的作用，其勢能很低。在核邊界有一個(gè)因庫侖力而產(chǎn)生的勢壘。例如：很低。在核邊界有一個(gè)因庫侖力而產(chǎn)生的勢壘。例如： 核，其庫侖勢壘可達(dá)核，其庫侖勢壘可達(dá)3535Mev，而這種核在，而這種核在粒子衰變過粒子衰變過程中放出的程中放出的粒子的能量粒子的能量 不過不過4.24.2Mev。理論計(jì)算表明這。理論計(jì)算表明這些些粒子就是通過隧道效應(yīng)穿透庫侖勢壘而跑出來的。粒子就是通過隧道效應(yīng)穿透庫侖勢壘而跑出來的。238UE粒子

31、衰變解釋粒子衰變解釋 熱核反應(yīng)熱核反應(yīng)所釋放的核能是兩個(gè)帶正電的核，如所釋放的核能是兩個(gè)帶正電的核，如 和和 ，聚合時(shí)產(chǎn)生的。這兩個(gè)帶正電的核靠近時(shí)，聚合時(shí)產(chǎn)生的。這兩個(gè)帶正電的核靠近時(shí)受到庫侖斥力作用很難結(jié)合在一起。這個(gè)斥力作用受到庫侖斥力作用很難結(jié)合在一起。這個(gè)斥力作用就相當(dāng)于一個(gè)高勢壘，它們就是通過隧道效應(yīng)而聚就相當(dāng)于一個(gè)高勢壘，它們就是通過隧道效應(yīng)而聚會(huì)到一起的。會(huì)到一起的。 這些核的能量越大，它們要穿過的勢壘厚度就越小，這些核的能量越大，它們要穿過的勢壘厚度就越小，聚合的概率就越大。這就是為什么聚合的概率就越大。這就是為什么熱核聚變反應(yīng)熱核聚變反應(yīng)需需要高達(dá)要高達(dá) 的高溫的原因。的高

32、溫的原因。2H3H810 K熱核聚變解釋熱核聚變解釋 黑洞黑洞的邊界是一種物質(zhì)（包括光），只能進(jìn)不能出的的邊界是一種物質(zhì)（包括光），只能進(jìn)不能出的“單向單向壁壁”。該單向壁對黑洞內(nèi)的物質(zhì)來說就是一個(gè)絕高的勢壘。該單向壁對黑洞內(nèi)的物質(zhì)來說就是一個(gè)絕高的勢壘。 理論物理學(xué)家霍金理論物理學(xué)家霍金( (S.W.Hawking) )認(rèn)為認(rèn)為黑洞并不是絕對黑的。黑洞并不是絕對黑的。黑洞內(nèi)部的物質(zhì)黑洞內(nèi)部的物質(zhì)能能通過量子力學(xué)隧道效應(yīng)而逸出。通過量子力學(xué)隧道效應(yīng)而逸出。 但他估計(jì)這種過程很慢。一個(gè)質(zhì)量等于太陽質(zhì)量的黑洞溫度但他估計(jì)這種過程很慢。一個(gè)質(zhì)量等于太陽質(zhì)量的黑洞溫度約為約為 ，約需要，約需要 年才能

33、完全年才能完全“蒸發(fā)蒸發(fā)”消失。消失。 不過據(jù)信產(chǎn)生于宇宙大爆炸初期有些微型黑洞不過據(jù)信產(chǎn)生于宇宙大爆炸初期有些微型黑洞( (質(zhì)量大約是質(zhì)量大約是太陽的太陽的 倍倍) ) ，經(jīng)過，經(jīng)過 年到現(xiàn)在已經(jīng)蒸發(fā)完了。年到現(xiàn)在已經(jīng)蒸發(fā)完了。610 K67102010102 10黑洞的解釋黑洞的解釋掃描隧穿顯微鏡工作原理掃描隧穿顯微鏡工作原理 1981年瑞士蘇黎世年瑞士蘇黎世IBM公司的兩位科學(xué)家賓寧公司的兩位科學(xué)家賓寧(G.Bonning)和羅赫爾和羅赫爾(H.Rohrer),研制成了一種掃描隧穿顯微鏡研制成了一種掃描隧穿顯微鏡(STM)可以精確觀察材料表面結(jié)構(gòu)，因而成了研究物理表面和其可以精確觀察材料

34、表面結(jié)構(gòu)，因而成了研究物理表面和其它實(shí)驗(yàn)的重要顯微工具。由于這一卓越貢獻(xiàn)，他們二人和它實(shí)驗(yàn)的重要顯微工具。由于這一卓越貢獻(xiàn)，他們二人和電子顯微鏡的發(fā)明者魯斯卡電子顯微鏡的發(fā)明者魯斯卡(E.Ruska)分享了分享了1986年度的年度的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。 19881988年我國科學(xué)家設(shè)計(jì)成了新型的年我國科學(xué)家設(shè)計(jì)成了新型的STMSTM，分辨率可達(dá)原子量，分辨率可達(dá)原子量級，圖像質(zhì)量到達(dá)當(dāng)時(shí)國際水平。為進(jìn)一步探索微觀世界級，圖像質(zhì)量到達(dá)當(dāng)時(shí)國際水平。為進(jìn)一步探索微觀世界的奧秘提供了必要的物質(zhì)基礎(chǔ)。的奧秘提供了必要的物質(zhì)基礎(chǔ)。 通常，金屬或介質(zhì)中的電子，不能自由逸出表面，因?yàn)樗ǔ?，金?/p>

35、或介質(zhì)中的電子，不能自由逸出表面，因?yàn)樗哪芰康陀诒砻嫱獾目臻g的勢能的能量低于表面外的空間的勢能( (零零) )。如果針尖與待測物之間。如果針尖與待測物之間距離極近，這空隙相當(dāng)于一個(gè)高度有限而寬度很小的勢壘。距離極近，這空隙相當(dāng)于一個(gè)高度有限而寬度很小的勢壘。 在針尖與平面間加一個(gè)小于幾伏的電壓，在這電壓下，針在針尖與平面間加一個(gè)小于幾伏的電壓，在這電壓下，針尖中的電子還不能越過尖中的電子還不能越過“空隙空隙”這一勢壘進(jìn)入平面，這一勢壘進(jìn)入平面，但有一定但有一定的概率穿越勢壘的概率穿越勢壘，形成，形成“隧道電流隧道電流”。 隧道電流的大小對勢壘寬度隧道電流的大小對勢壘寬度( (針尖到平面的距離

36、針尖到平面的距離) )的變化非的變化非常敏感。當(dāng)針尖沿平面掃描時(shí)，通過隧道電流的變化，便能描常敏感。當(dāng)針尖沿平面掃描時(shí)，通過隧道電流的變化，便能描繪出平面高低變化的輪廓。掃描隧道顯微鏡繪出平面高低變化的輪廓。掃描隧道顯微鏡(STM)(STM)分辨率極高，分辨率極高，其橫向分辨率達(dá)其橫向分辨率達(dá)0.1nm,0.1nm,縱向?yàn)榭v向?yàn)?.01nm0.01nm，可，可分辨出單個(gè)原子分辨出單個(gè)原子。 STMSTM技術(shù)不僅可用來進(jìn)行材料的表面分析，直接觀察表面缺技術(shù)不僅可用來進(jìn)行材料的表面分析，直接觀察表面缺陷，還可利用陷，還可利用STMSTM針尖對原子和分子進(jìn)行操縱和移動(dòng)，重新排布針尖對原子和分子進(jìn)行操

37、縱和移動(dòng)，重新排布原子和分子。應(yīng)用到生命科學(xué)中，可研究原子和分子。應(yīng)用到生命科學(xué)中，可研究DNADNA分子的構(gòu)形等。分子的構(gòu)形等。 ABdEU0U0U0電子云重疊電子云重疊ABU隧道電流隧道電流id探針探針樣品樣品用隧道效應(yīng)觀察樣品表面的微結(jié)構(gòu)用隧道效應(yīng)觀察樣品表面的微結(jié)構(gòu)圖象處理系統(tǒng)圖象處理系統(tǒng)掃描探針掃描探針樣品表面電子云樣品表面電子云dAUei d變變 i變變反映表面情況反映表面情況A-常數(shù)常數(shù)樣品表面平均樣品表面平均勢壘高度勢壘高度(eV)d10隧道隧道電流電流反饋傳感器反饋傳感器參考信號參考信號顯示器顯示器壓電壓電控制控制加電壓加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖掃描隧道顯微鏡示意圖1991年

38、年 恩恩格格勒勒等等用用STM在在鎳鎳單單晶晶表表面面遂遂個(gè)個(gè)移移動(dòng)動(dòng)氙氙原原子子拚拚成成了了字字母母IBM，每每個(gè)個(gè)字字母母長長5納納米米，操縱原子不是夢 “原子書法” 1994年中國科學(xué)院科學(xué)家年中國科學(xué)院科學(xué)家“寫寫”出的出的 平均每個(gè)字的面積僅百萬分之一平方厘米平均每個(gè)字的面積僅百萬分之一平方厘米“原子和分子的觀察與操縱原子和分子的觀察與操縱” - 白春禮白春禮 插頁彩圖插頁彩圖13硅單晶硅單晶表面直表面直接提走接提走硅原子硅原子形成形成 2 2納米的納米的線條線條 一、幾個(gè)重要的物理實(shí)驗(yàn)一、幾個(gè)重要的物理實(shí)驗(yàn)1、盧瑟福的盧瑟福的粒子散射實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了原子的核式結(jié)構(gòu)粒子散射實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了原

39、子的核式結(jié)構(gòu)2、弗蘭克弗蘭克赫茲實(shí)驗(yàn)，證實(shí)原子內(nèi)部分立能級的存在赫茲實(shí)驗(yàn)，證實(shí)原子內(nèi)部分立能級的存在3、黑體輻射，光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了光具有粒子性、黑體輻射，光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了光具有粒子性4、Compton散射實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了光的粒子性散射實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了光的粒子性5、戴維孫、戴維孫革末實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了電子的波動(dòng)性革末實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了電子的波動(dòng)性本本 章章 小小 結(jié)結(jié) 盧瑟福的核式模型盧瑟福的核式模型 BohrBohr氫原子模型氫原子模型 氫原子的光譜線系，類氫離子的光譜線系氫原子的光譜線系，類氫離子的光譜線系 里德伯方程，光譜項(xiàng)及其組合法則里德伯方程，光譜項(xiàng)及其組合法則 BohrBohr模型的三個(gè)基本假設(shè)模型的三個(gè)基本假設(shè) 由由BohrBohr模型獲得里德伯常數(shù)模型獲得里德伯常數(shù)二、模型、假設(shè)與驗(yàn)證二、模型、假設(shè)與驗(yàn)證三、量子力學(xué)初步三、量子力學(xué)初步 波粒二象性：波粒二象性： de Broglie的物質(zhì)波的物