原子物理學(xué)第3章習(xí)題

1、34102416.636.63 101010hp千克 米 秒解：解：根據(jù)德布羅意關(guān)系式，得根據(jù)德布羅意關(guān)系式，得 4153810/6.63 103 11.9086 110/ 0Ehvhc 焦耳動(dòng)量為動(dòng)量為 1. 1. 波長波長 為的為的X X光光子的動(dòng)量和能量各為多少？光光子的動(dòng)量和能量各為多少？1A能量為能量為 2.2.經(jīng)過經(jīng)過1000010000伏特電勢(shì)差加速的電子束的德布羅意波長是多少伏特電勢(shì)差加速的電子束的德布羅意波長是多少？用上述電壓加速的質(zhì)子束的德布羅意波長是多少？用上述電壓加速的質(zhì)子束的德布羅意波長是多少？ 12.2512.2510.12250000AAAV解：解：由德布羅意波長

2、與加速電壓之間的關(guān)系由德布羅意波長與加速電壓之間的關(guān)系 /2hmeV對(duì)于電子對(duì)于電子 對(duì)于質(zhì)子對(duì)于質(zhì)子 34279316.626 102 1.67 101.60 10100002.862 10A慮相對(duì)論效應(yīng)時(shí)，其動(dòng)能與其動(dòng)量之間有如下關(guān)系慮相對(duì)論效應(yīng)時(shí)，其動(dòng)能與其動(dòng)量之間有如下關(guān)系 證明：證明：德布羅意波長德布羅意波長 3.3.電子被加速后的速度很大，必須考慮相對(duì)論修正。因而原電子被加速后的速度很大，必須考慮相對(duì)論修正。因而原來來 的電子德布羅意波長與加速電壓的關(guān)系的電子德布羅意波長與加速電壓的關(guān)系式應(yīng)改為：式應(yīng)改為：其中其中V V是以伏特為單位的電子加速電壓。試證明之。是以伏特為單位的電子加

3、速電壓。試證明之。12.25AV612.25(1 0.489 10)V AV/hp222202KKEE m cp c而被電壓而被電壓V V加速的電子的動(dòng)能為加速的電子的動(dòng)能為 KEeV2202220()22() /eVpm eVcpm eVeVc20060(1)42(10.489 10)2heVm cm eVhVm eV612.25(1 0.489 10)V AV0201/212hhpm eVeVm c4.4.試證明氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個(gè)電子的德布試證明氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個(gè)電子的德布羅意波波長。上述結(jié)果不但適用于圓軌道，同樣適用于橢圓羅意波波長。上述結(jié)果不但適用于圓軌

4、道，同樣適用于橢圓軌道，試證明之軌道，試證明之 證明證明 對(duì)氫原子圓軌道來對(duì)氫原子圓軌道來 20,rppmrmvr所以所以, ,氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個(gè)電子的德布羅意波氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個(gè)電子的德布羅意波長。橢圓軌道的量子化條件是：長。橢圓軌道的量子化條件是：其中其中2,(),rrrpmr pmrp drp dnh nnn而而 2()()rp drp dmrdrmrd 22()drdmrdtmrdtdtdtmv dtmvdshdsdshdsrn5.5.帶電粒子在威耳孫云室（一種徑跡探測器）中的軌跡是一帶電粒子在威耳孫云室（一種徑跡探測器）中的軌跡是一串小霧滴，霧滴德線度

5、約為串小霧滴，霧滴德線度約為1 1微米。當(dāng)觀察能量為微米。當(dāng)觀察能量為10001000電電子伏特的電子徑跡時(shí)其動(dòng)量與精典力學(xué)動(dòng)量的相對(duì)偏差不子伏特的電子徑跡時(shí)其動(dòng)量與精典力學(xué)動(dòng)量的相對(duì)偏差不小于多少？小于多少？ 解：解：根據(jù)測不準(zhǔn)原理根據(jù)測不準(zhǔn)原理 2hp x 經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)量為經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)量為 53.09 12202KKpmEphpxmE6.6.證明自由運(yùn)動(dòng)的粒子的能量可以有連續(xù)的值證明自由運(yùn)動(dòng)的粒子的能量可以有連續(xù)的值 證明：證明：自由粒子的波函數(shù)為自由粒子的波函數(shù)為 ()ip rEthAe 代入薛定諤方程，得代入薛定諤方程，得 2()22ip rEthhAeEm 2222()222222(

6、)222xyzip xp yp z EthhdddAeEmdxdypEdmzpEm自由粒子的動(dòng)量自由粒子的動(dòng)量p p可以取任意連續(xù)值，所以它的能量可以取任意連續(xù)值，所以它的能量E E也可以有也可以有任意的連續(xù)值任意的連續(xù)值 7.7.粒子在一維對(duì)稱勢(shì)場中，勢(shì)場形式如下圖。粒子在一維對(duì)稱勢(shì)場中，勢(shì)場形式如下圖。即：即：0 x L 0 x L 時(shí)時(shí) V = 0V = 0；x 0 x L x L 時(shí)時(shí) V = VV = V0 0。（1 1） 試推導(dǎo)粒子在試推導(dǎo)粒子在 E VE V0 0 情況下情況下 總能量總能量 E E 滿足的關(guān)系式。滿足的關(guān)系式。（2 2）利用上述關(guān)系式，以圖解法證明，粒子的能量）

7、利用上述關(guān)系式，以圖解法證明，粒子的能量 E E 只能取只能取 一一些不連續(xù)的值些不連續(xù)的值 解：解：以下將在兩種不同坐標(biāo)系下解答本問題。其中第一種維以下將在兩種不同坐標(biāo)系下解答本問題。其中第一種維持原坐標(biāo)不變；另一種為將橫坐標(biāo)向右平移持原坐標(biāo)不變；另一種為將橫坐標(biāo)向右平移L/2L/2，即取，即取 x = x x = x L/2 L/2，在這個(gè)坐標(biāo)系中，在這個(gè)坐標(biāo)系中，L/2 x L/2 L/2 x L/2 時(shí)時(shí) V=0V=0、在其它、在其它區(qū)間區(qū)間 V =VV =V0 0 （1 1）E E 滿足關(guān)系的推導(dǎo)：本題中的勢(shì)場與時(shí)間無關(guān)，所以是滿足關(guān)系的推導(dǎo)：本題中的勢(shì)場與時(shí)間無關(guān)，所以是定態(tài)問題，

8、而且是一維的。先寫出定態(tài)薛定諤方程的一般形定態(tài)問題，而且是一維的。先寫出定態(tài)薛定諤方程的一般形式式 02468100246810V0Y Axis TitleX Axis TitleV(X)0LxEV02222d uVuEum dx20222 ()m VEd uudx2022 ()m VEkkxkxuAeBe設(shè)設(shè) 2222d umEudx 利用波函數(shù)的有界性知道：利用波函數(shù)的有界性知道：x 0 x 0 時(shí)，如果時(shí)，如果 B 0B 0，那么，那么 x x 時(shí)時(shí) 波函數(shù)波函數(shù) 趨于趨于 無窮。所以在無窮。所以在x 0 x L x L 時(shí)，時(shí)，A = 0 A = 0 。因此因此 x 0 x L x L

9、 時(shí)，時(shí)，u = B eu = B ekxkx在在 0 x L 0 x L 區(qū)域，區(qū)域，V = 0V = 0。代入。代入 薛定諤方程中薛定諤方程中 222mEsin()uCx設(shè)設(shè) 2222d umEudx 在在 0 x L 0 x L 區(qū)域，區(qū)域，V = 0V = 0。代入。代入 薛定諤方程中薛定諤方程中 由定態(tài)薛定諤方程解得的波函數(shù)為：由定態(tài)薛定諤方程解得的波函數(shù)為：x 0 x 0， u u1 1 = Ae = Aekxkx A A 待定待定0 x L0 x Lx L， u u3 3 = Be = Bekxkx B B 待定待定 波函數(shù)的連續(xù)性波函數(shù)的連續(xù)性 要求：要求：x = 0 x =

10、0 處，處，u u1 1 = u = u2 2 ； d du u1 1/ /d dx = x = d du u2 2/ /d dx xx = L x = L 處，處，u u2 2 = u = u3 3 ； d du u2 2/ /d dx = x = d du u3 3/ /d dx x將上述連續(xù)性條件應(yīng)用于波函數(shù)將上述連續(xù)性條件應(yīng)用于波函數(shù) 得得A = C A = C sinsin A Ak k = C = C coscos B B e ekLkL = C = C sinsin( ( L+L+ ) )B B k k e ek kL L = C = C coscos( ( L+L+ ) )進(jìn)一

11、步推導(dǎo)進(jìn)一步推導(dǎo)tantan = = / / k ktantan( ( L+L+ ）= = / / k k由由 tantan = = / / k k 0 0，得，得 0 0 /2/2、和、和 3 3 /2 /2 2 2 由由 tantan ( ( L+L+ ) = ) = tan tan ( ( ) ) 得得 L+L+ = n = n 即即 = n= n /2 /2 L/2 =L/2 =n = 1, 2, 3, n = 1, 2, 3, 222nLmE又由又由tantan = = / / k k 得得 因此能量因此能量 E E 滿足的關(guān)系式為滿足的關(guān)系式為 000arctanarcsin(0)

12、23arcsin()()2EEVEVEV或020arcsin222EnLmEVn=1,2,3,N1 n=1,2,3,N1 或或 023arcsin()222EnLmEVn= 3,4,5,.N2 n= 3,4,5,.N2 其中其中 122int(1)LmENh222int(3)LmENh(2) (2) 圖解法說明圖解法說明 能量取值的不連續(xù)性能量取值的不連續(xù)性設(shè)設(shè) 10( )arcsin/ 2f xx022( )22LmVnfxx3( )arcsin()3/ 2fxx其中其中001ExV則能量則能量E E 的解可通過的解可通過 f f2 2 與與f f1 1 的交點(diǎn)、與的交點(diǎn)、與f f3 3 的

13、交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出 0.000.250.500.751.00012345n=10n=3n=2 f(x)xn=1f1f3f2做各函數(shù)曲線如上圖所示。從做各函數(shù)曲線如上圖所示。從f f2 2 函數(shù)函數(shù) 與與 f f1 1 及及f f3 3 函數(shù)的交點(diǎn)的函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可求出能量橫坐標(biāo)可求出能量E E的解。解的個(gè)數(shù)與的解。解的個(gè)數(shù)與0 x 10 x 1區(qū)間內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)區(qū)間內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等，而交點(diǎn)的個(gè)數(shù)決定于數(shù)相等，而交點(diǎn)的個(gè)數(shù)決定于f f2 2 函數(shù)的斜率。斜率越大，交點(diǎn)個(gè)函數(shù)的斜率。斜率越大，交點(diǎn)個(gè)數(shù)越多。當(dāng)數(shù)越多。當(dāng)L L 和和 m m 很大時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)數(shù)值趨于連續(xù)，對(duì)應(yīng)很大

14、時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)數(shù)值趨于連續(xù)，對(duì)應(yīng)宏觀現(xiàn)象。當(dāng)二者不是很大時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)數(shù)值是不連續(xù)的，也宏觀現(xiàn)象。當(dāng)二者不是很大時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)數(shù)值是不連續(xù)的，也就是說能量就是說能量E E的取值是不連續(xù)的。的取值是不連續(xù)的。解：解：由題意知由題意知 0,0;0,0;0,0;,0,0,0 xyzxyzVxaVybVzcVxxaVyybVzzc 和和和8.8.有一粒子，其質(zhì)量為有一粒子，其質(zhì)量為m m, ,在一個(gè)三維勢(shì)箱中運(yùn)動(dòng)。勢(shì)箱的長、寬、在一個(gè)三維勢(shì)箱中運(yùn)動(dòng)。勢(shì)箱的長、寬、高分別為高分別為a,b,c,a,b,c,在勢(shì)箱外，勢(shì)能在勢(shì)箱外，勢(shì)能 ；在勢(shì)箱內(nèi)，；在勢(shì)箱內(nèi)， 。試。試計(jì)算出粒子可能具有的能量計(jì)算出

15、粒子可能具有的能量 V 0V 勢(shì)箱內(nèi)波函數(shù)滿足方程勢(shì)箱內(nèi)波函數(shù)滿足方程 22222222()0222xyzmEVVVxyzh分離變量法將偏微分方程分成三個(gè)常微分方程分離變量法將偏微分方程分成三個(gè)常微分方程 ( , , )( ) ( ) ( )x y zX x Y y Z z并將兩邊同除以并將兩邊同除以 ，得，得 ( ) ( ) ( )X x Y y Z z22222222221212122()()()xyzd Xmd Ymd ZmmVVVEX dxhY dyhZ dzhh 222222222222122122122,xxyyzzxyzxyzd XmmVEX dxhhd YmmVEY dyhhd ZmmVEZ dzhhEEEE EEE 其中皆為常數(shù)。2222()0 xxd XmEVXdxh連續(xù)條件連續(xù)條件 (0)( )0XX l22222sin,1,2,32xnxxxnXxaa