數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散學習教案

1、會計學1數(shù)項級數(shù)的收斂數(shù)項級數(shù)的收斂(shulin)與發(fā)散與發(fā)散第一頁，共32頁。2基本概念基本概念 第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)constant term infinite series第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項級數(shù)的收斂數(shù)項級數(shù)的收斂(shulin)(shulin)與發(fā)散與發(fā)散收斂收斂(shulin)(shulin)級數(shù)的級數(shù)的基本性質(zhì)基本性質(zhì)小結(jié)小結(jié)(xioji) (xioji) 思考思考題題 作業(yè)作業(yè) 第1頁/共32頁第二頁，共32頁。3為什么要研究為什么要研究(ynji)(ynji)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是進行數(shù)值計算是進行數(shù)值計算(j sun)(j sun)的有效工具的有效工具( (如計算

2、如計算(j sun)(j sun)函數(shù)值、函數(shù)值、出它的威力出它的威力(wil).(wil). 在自然科學和工程技術(shù)中在自然科學和工程技術(shù)中, ,也常用無窮也常用無窮無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式. .因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù)因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù), ,故它在積分運算和微分方程求解時故它在積分運算和微分方程求解時, ,也呈現(xiàn)也呈現(xiàn)如諧波分析等如諧波分析等. .造函數(shù)值表）造函數(shù)值表）. .級數(shù)來分析問題級數(shù)來分析問題, ,數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第2頁/共32頁第三頁，共32頁。41. 級數(shù)級數(shù)(j sh)的定義的定義 nnn

3、uuuuu3211(常數(shù)項常數(shù)項)無窮無窮(wqing)級數(shù)級數(shù)一般一般(ybn)項項如如 ;1031003103 n;1)1(41312111 nn.)1(11111 n以上均為以上均為(常常)數(shù)項數(shù)項級數(shù)級數(shù).(1)一、一、基本基本概念概念 1,nnu給定數(shù)列則表達式數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第3頁/共32頁第四頁，共32頁。5這樣這樣, 級數(shù)級數(shù)(1)對應一個對應一個(y )部分和數(shù)列部分和數(shù)列: nnuuus21稱無窮稱無窮(wqing)級數(shù)級數(shù)(1)的的,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 按通常的加法按通常的加法(jif)運算一項一項的加

4、下去運算一項一項的加下去,為級數(shù)為級數(shù)(1)的的,無窮級數(shù)定義式無窮級數(shù)定義式(1)的含義是什么的含義是什么?也算不完也算不完,永遠永遠那么如何計算那么如何計算?前前n項和項和部分和部分和. niiu12. 部分和數(shù)列部分和數(shù)列數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第4頁/共32頁第五頁，共32頁。6例例1112.1nnn前 項之和111112112212nn ns2認為認為(rnwi)11122nn數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第5頁/共32頁第六頁，共32頁。7例例21nnn前 項之和(1)122n nn ns認為認為(rnwi)1nn沒有和.例例311( 1)nnn前 項之和

5、1,1 1( 1)0,nnn n為奇數(shù)s為偶數(shù)無極限無極限認為認為(rnwi)11( 1)nn沒有沒有(mi yu)和。和。數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第6頁/共32頁第七頁，共32頁。8部分和數(shù)列可能存在極限部分和數(shù)列可能存在極限,也可能不存在極限也可能不存在極限.定義定義(dngy),無無限限增增大大時時當當n, ssn有極限有極限數(shù)列數(shù)列,1收斂收斂 nnu.1的的和和叫叫做做級級數(shù)數(shù)這這時時極極限限 nnus nuuus21,沒有極限沒有極限如果如果ns.1發(fā)發(fā)散散則則稱稱無無窮窮級級數(shù)數(shù) nnu的部分和的部分和如果級數(shù)如果級數(shù) 1nnu.limssnn 即即則稱無窮則稱無

6、窮(wqing)級數(shù)級數(shù)并寫成并寫成3. 級數(shù)收斂與發(fā)散級數(shù)收斂與發(fā)散(fsn)的定義的定義數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第7頁/共32頁第八頁，共32頁。9特別(tbi),若limlimnnnnss 或則稱級數(shù)(j sh)發(fā)散到,或記作11,.nnnnuu 或總之總之(zngzh),常數(shù)項級數(shù)收斂常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散發(fā)散).nns lim(不存在不存在)存在存在數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第8頁/共32頁第九頁，共32頁。10nnssr 21nnuu 1iinu0lim nnr對收斂對收斂(shulin)級數(shù)級數(shù)(1),為級數(shù)為級數(shù)(j sh)(1)的余項或余和的余項或

7、余和.顯然顯然(xinrn)有有當當n充分大時充分大時,級數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有級數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有極限是等價的極限是等價的. nnnuuuuu3211(1)稱差稱差ssn 誤差誤差為為|nr數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第9頁/共32頁第十頁，共32頁。11注意注意(zh y)：（1）任何）任何(rnh)一個級數(shù)都可以確定一個部分和數(shù)列一個級數(shù)都可以確定一個部分和數(shù)列 .ns（2）對任意）對任意(rny)數(shù)列數(shù)列 ,ns都可作出一個級數(shù)都可作出一個級數(shù)1,nnu 1.nnnus使的部分和數(shù)列恰好是1nnnuss令因此研究級數(shù)的斂散性問題即為研究因此研究級數(shù)的斂散

8、性問題即為研究其部分和數(shù)列是否有極限的問題其部分和數(shù)列是否有極限的問題數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第10頁/共32頁第十一頁，共32頁。12例例1 討論討論(toln)級數(shù)級數(shù)11(1)nn n的斂散性。的斂散性。解：解：前前n項之和項之和1111 22 3(1)n nns1111112231111nnn 因為因為(yn wi)1limlim 111nnnsn所以所以(suy)級數(shù)級數(shù)11(1)nn n收斂，和為收斂，和為1111(1)nn n即數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第11頁/共32頁第十二頁，共32頁。13例例22)1(321 nnnsn而而 nnslim所以所

9、以(suy), n321的部分的部分(b fen)和和 級數(shù)級數(shù)(j sh) 2)1(limnnn 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散.數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第12頁/共32頁第十三頁，共32頁。14解解時時如果如果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1qaqqan 11(重要重要(zhngyo)例例3討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)(dn b j sh)(幾何級數(shù)幾何級數(shù))的收斂性的收斂性.)0(20 aaqaqaqaaqnnn數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第13頁/共32頁第十四頁，共32頁。15,1 時時當當 q0lim nnqqasnn 1lim,1 時時當當 q nnqli

10、m nnslim 收斂(shulin) 發(fā)散(fsn)時時如果如果1 q,1 時時當當 q,1 時時當當 q nasn 發(fā)散(fsn) aaaa不不存存在在nns lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當,1,10qqaqnn級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)閝aqqasnn 11數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第14頁/共32頁第十五頁，共32頁。16討論討論(toln)級數(shù)級數(shù)的斂散性的斂散性.)0(ln31 aann解解例例4因為因為(yn wi) 1ln3nna為公比為公比(n b)的等比級數(shù)的等比級數(shù),是以是以aln故故,1時時當當eae , 1|ln| a級數(shù)級數(shù)收斂收斂

11、.發(fā)散發(fā)散.ea10 當當, 1|ln| a 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當,1,10qqaqnn,時時或或ea 數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第15頁/共32頁第十六頁，共32頁。17例5 判定(pndng)級數(shù)11ln 1nn的斂散性.例6求級數(shù)(j sh)211arctan2nn的和.提示(tsh):利用211arctanarctanarctan21nnnnn數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第16頁/共32頁第十七頁，共32頁。18定理(dngl)1 (柯西準則)級數(shù)(j sh) 收斂1nnu0,0,Nm nN mn 有12.nnmuuu0,0,NnNpN 有12.n

12、nn puuu數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第17頁/共32頁第十八頁，共32頁。19例7 證明(zhngmng): (1)級數(shù) 211nn收斂(shulin).(2)級數(shù)(j sh)發(fā)散11nn(3)級數(shù)11111123456發(fā)散(3) 提示:33311111131323362616nnnSSnnnnnn1113162626nnnn數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第18頁/共32頁第十九頁，共32頁。20二、收斂二、收斂(shulin)級數(shù)的基級數(shù)的基本性質(zhì)本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)1(xngzh)1若級數(shù)(j sh)11nnnnab與都收斂,且其和分別為,s和則對任意的

13、常數(shù)12,kk和級數(shù)121nnnk ak b也收斂,且和為12.k s k+數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第19頁/共32頁第二十頁，共32頁。21,)1()1()1( 都發(fā)散都發(fā)散(fsn).但但,111 )1(1收斂收斂(shulin).例例 000 )1(10 數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第20頁/共32頁第二十一頁，共32頁。22收斂收斂(shulin)級數(shù)的必要條件級數(shù)的必要條件1,nna若級數(shù)收斂 則反之反之(fnzh)不然！不然！性質(zhì)(xngzh)2lim0nna證證因為因為1nnsa則則na 1 nnss所以所以limnna1limlim nnnnssss

14、 0 推論1lim0,nnnnaa若則發(fā)散11sinnnn如發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第21頁/共32頁第二十二頁，共32頁。23注注 級數(shù)收斂級數(shù)收斂(shulin)(shulin)的必要條件的必要條件, , 必要條件必要條件(b yo tio jin)(b yo tio jin)不充分不充分. .lim0nna有 n131211常用常用(chn yn)(chn yn)判別級數(shù)發(fā)散判別級數(shù)發(fā)散; ;如如調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 也可用它求或驗證極限為也可用它求或驗證極限為“0”0”的極限的極限;lim0nna級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:但級數(shù)是否收斂但級數(shù)是否收斂數(shù)項級數(shù)

15、的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第22頁/共32頁第二十三頁，共32頁。24例例判別下列判別下列(xili)級數(shù)的斂散性級數(shù)的斂散性(1) 1)1(3nnnnn 133ln31nnnn(2)級數(shù)級數(shù)(j sh)(j sh)收斂的必要條件收斂的必要條件常用判別常用判別(pnbi)(pnbi)級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散. ., 0lim nnu解題思路解題思路數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第23頁/共32頁第二十四頁，共32頁。25(1) 1)1(3nnnnn解解由于由于(yuy) nnulim nnn111lim30 發(fā)散發(fā)散(fsn)e3數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第24頁/共32

16、頁第二十五頁，共32頁。26 133ln31nnnn(2) 解解 11nn 131nn而級數(shù)而級數(shù)(j sh)33ln r33ln| r所以這個所以這個(zh ge)等比級數(shù)等比級數(shù) 133ln31nnnn發(fā)散發(fā)散(fsn).由由性質(zhì)性質(zhì)2知知,由由性質(zhì)性質(zhì)1知知,發(fā)散發(fā)散.因調(diào)和級數(shù)因調(diào)和級數(shù)發(fā)散發(fā)散,為公比的等比級數(shù)為公比的等比級數(shù), 133lnnnn是以是以1 收斂收斂.數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第25頁/共32頁第二十六頁，共32頁。27 1nnu設(shè)設(shè)為收斂為收斂(shulin)級數(shù)級數(shù),a為非零常數(shù)為非零常數(shù)(chngsh),試判別級數(shù)試判別級數(shù) 1)(nnau的斂散性

17、的斂散性.解解因為因為 1nnu收斂收斂,故故. 0lim nnu從而從而)(limaunn 0 故故級數(shù)級數(shù) 1)(nnau發(fā)散發(fā)散.a 0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第26頁/共32頁第二十七頁，共32頁。28問問11,?nnnnauau(1)設(shè)收斂是任意常數(shù) 問是否收斂11?nnnnauu(2)設(shè)a=0,問與a是否相等110,;0,.nnnnauau時收斂時未必收斂否！否！數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第27頁/共32頁第二十八頁，共32頁。29性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)3(xngzh)3 添加或去掉有限項不影響一個添

18、加或去掉有限項不影響一個(y )級數(shù)的斂散性級數(shù)的斂散性.性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4(xngzh)4 1nnu設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)收斂收斂,則對其各項任意加括號所得則對其各項任意加括號所得新級數(shù)新級數(shù)仍收斂仍收斂于原級數(shù)的和于原級數(shù)的和.一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散,則則注注原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.事實上事實上,加括后的級數(shù)就應該收斂了加括后的級數(shù)就應該收斂了.設(shè)原來的級數(shù)收斂設(shè)原來的級數(shù)收斂,則根據(jù)則根據(jù)性性質(zhì)質(zhì)4, )11()11(例例如如 1111 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散一個級數(shù)加括號后收斂一個級數(shù)加括號后收斂,原級數(shù)斂散性不確定原級數(shù)斂散性不確定.數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散第28頁/共32頁第二十九頁，共32頁。30常數(shù)常數(shù)(chngsh)項級數(shù)的基本概念項級數(shù)的基本概念基本基本(jbn)審斂法審斂法3. 按基本按基本(jbn)性質(zhì)性質(zhì)則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂由定義由定義, ssn若若2., 0lim nnu當當則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散一般項、部分和、收斂、發(fā)散及級數(shù)的性質(zhì)一般項、部分和、收斂、發(fā)散及級數(shù)的性質(zhì)三、小結(jié)三、小結(jié)級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件記住記住等比級數(shù)等比級數(shù)(幾何級數(shù)幾何級數(shù))的收斂性的收斂性 0