第9章 靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)

1、編輯ppt9-1 在一點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中，一塊電介質(zhì)如圖放置，以點(diǎn)電荷在一點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中，一塊電介質(zhì)如圖放置，以點(diǎn)電荷所在處為球心作一球形閉合面。下列說(shuō)法中正確的是（所在處為球心作一球形閉合面。下列說(shuō)法中正確的是（A ）q電介質(zhì)電介質(zhì)（A）高斯定理成立）高斯定理成立,但不可以用它求出閉合面但不可以用它求出閉合面 上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；（B）高斯定理成立，且可以用它求出閉合面）高斯定理成立，且可以用它求出閉合面 上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；（D）即使電介質(zhì)對(duì)稱(chēng)分布，高斯定理也不成立。）即使電介質(zhì)對(duì)稱(chēng)分布，高斯定理也不成立。（C）由于電介質(zhì)不對(duì)稱(chēng)分布，高斯定理不成立；）由于電介質(zhì)不對(duì)稱(chēng)分

2、布，高斯定理不成立；編輯ppt9-2 相對(duì)介電系數(shù)為相對(duì)介電系數(shù)為 r的無(wú)限大均勻電介質(zhì)中有一球形空穴，的無(wú)限大均勻電介質(zhì)中有一球形空穴，個(gè)點(diǎn)電荷個(gè)點(diǎn)電荷q 放在球心，空穴的放在球心，空穴的半徑為半徑為R，求，求（1）電位移和電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度的分布；（電場(chǎng)強(qiáng)度的分布；（2）介質(zhì)內(nèi)表面上一點(diǎn)極化電荷面密）介質(zhì)內(nèi)表面上一點(diǎn)極化電荷面密度度。rerqD24220004)1 (4) 1() 1(RqeeRqeEePrrnrrrnRrrn解：解：（1）依題設(shè)知，）依題設(shè)知， 具球?qū)ΨQ(chēng)分布具球?qū)ΨQ(chēng)分布D由由 得：得：D以空穴的球心為球心作一半徑以空穴的球心為球心作一半徑為為r的球形高斯面，由的球形高斯面，

3、由 的高斯的高斯定理得定理得 r0EDr0Ererq204Rr 0rrerq204 rR（2）EPr)1(0q rRnerene介質(zhì)表面某處介質(zhì)表面某處的外法線的單的外法線的單位方向矢量位方向矢量編輯pptDl內(nèi)SqSD0SdllrD2rD2rrer029-3 半徑為半徑為R1和和R2的兩個(gè)同軸金屬圓筒，其間充滿著相對(duì)的兩個(gè)同軸金屬圓筒，其間充滿著相對(duì)介電常數(shù)為介電常數(shù)為r的均勻介質(zhì)設(shè)內(nèi)外筒上單位長(zhǎng)度帶電量分別的均勻介質(zhì)設(shè)內(nèi)外筒上單位長(zhǎng)度帶電量分別為為+和和-，求（，求（1）電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度的分布；（電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度的分布；（2）半徑）半徑R2處的極化電荷面密度處的極化電荷面密度解解（1）取半

4、徑為取半徑為r ( R1 r R2 )，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為由高斯定理由高斯定理 則則 ， 的圓柱形高斯面，的圓柱形高斯面，rer2001Rr 21RrR2Rr E001Rr 21RrR2Rr EDr0220002)1 (2) 1() 1(2ReeReEePrrnrrrnRrrn（2）EPr)1(0編輯ppt解：解：(1) (方法一方法一)設(shè)電容器二極板分別帶電設(shè)電容器二極板分別帶電Q、-Q, 忽略邊緣效應(yīng)忽略邊緣效應(yīng), 則系統(tǒng)具無(wú)限大平則系統(tǒng)具無(wú)限大平面對(duì)稱(chēng)性面對(duì)稱(chēng)性abd/3dD00ErrDE0019-4 如圖所示，一面積為如圖所示，一面積為S 、間距為、間距為 d 的平行板電容器。（的平行板電容器

5、。（1）今在板間平行于板平面插入厚度為今在板間平行于板平面插入厚度為d/3, 面積也是面積也是S的相對(duì)介電的相對(duì)介電常數(shù)為常數(shù)為 的均勻電介質(zhì)板的均勻電介質(zhì)板, 計(jì)算其電容。（計(jì)算其電容。（2）上下平移介質(zhì)）上下平移介質(zhì)板對(duì)電容有無(wú)影響？板對(duì)電容有無(wú)影響？ （3）若插入的是同樣尺寸的導(dǎo)體板，）若插入的是同樣尺寸的導(dǎo)體板，其電容又如何？其電容又如何？r 0ED由介質(zhì)中的高斯定理（可取圖示的紅色柱體面為高由介質(zhì)中的高斯定理（可取圖示的紅色柱體面為高斯面）易知，介質(zhì)區(qū)內(nèi)的斯面）易知，介質(zhì)區(qū)內(nèi)的1E0E由高斯定理（可取圖示的藍(lán)色柱由高斯定理（可取圖示的藍(lán)色柱體面為高斯面）易知，無(wú)介質(zhì)區(qū)體面為高斯面）易

6、知，無(wú)介質(zhì)區(qū)的場(chǎng)強(qiáng)為的場(chǎng)強(qiáng)為各矢量的方向如圖所示各矢量的方向如圖所示SQ其中編輯pptbEdEaEU010333210dEdE) 12(30rrddSUSUQCrr) 12(30 (方法二方法二) 插入介質(zhì)板的情形，等效于三個(gè)平行板電容器插入介質(zhì)板的情形，等效于三個(gè)平行板電容器的串聯(lián)的串聯(lián). 3211111CCCCSbSdSar0003Sdrr03) 12(dSCrr) 12(30abd/3d二極板間的電勢(shì)差為：二極板間的電勢(shì)差為：1C2C3C編輯ppt(3) (方法一方法一)如圖，易知無(wú)導(dǎo)體區(qū)的場(chǎng)強(qiáng)如圖，易知無(wú)導(dǎo)體區(qū)的場(chǎng)強(qiáng)21111CCCSbSa00Sd032dSC230abd/3d0E0E

7、(2) 因?yàn)橐驗(yàn)?1)中中C值與值與a或或b無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), 所以平板水平放置的電容器所以平板水平放置的電容器, 上、下移動(dòng)介質(zhì)板對(duì)電容上、下移動(dòng)介質(zhì)板對(duì)電容無(wú)影響無(wú)影響.同理，因?yàn)橥?，因?yàn)镃值與值與a或或b無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), 所以上、下移動(dòng)導(dǎo)體板對(duì)電容所以上、下移動(dòng)導(dǎo)體板對(duì)電容無(wú)影響無(wú)影響.01E(方法二方法二) 插入導(dǎo)體板的情形插入導(dǎo)體板的情形, 可視為兩個(gè)平行板電容器的串聯(lián)可視為兩個(gè)平行板電容器的串聯(lián). 1C2C00E導(dǎo)體區(qū)的場(chǎng)強(qiáng)導(dǎo)體區(qū)的場(chǎng)強(qiáng) （靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)為零）（靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)為零）01ESdQSbaQbabaEbEdaEbEdEaEUUAB00000001032)()()(

8、303二極板間的電勢(shì)差為：二極板間的電勢(shì)差為：ABdSUQC230編輯ppt解：先求第（解：先求第（2）問(wèn)。設(shè)其中一個(gè)極板的面積為）問(wèn)。設(shè)其中一個(gè)極板的面積為S9-5 一個(gè)大平行板電容器水平放置，兩極板間一半空間充有電介質(zhì)，一個(gè)大平行板電容器水平放置，兩極板間一半空間充有電介質(zhì)，另一半為空氣，當(dāng)兩極板分別帶有總電量為另一半為空氣，當(dāng)兩極板分別帶有總電量為Q和和-Q的電荷時(shí)，求的電荷時(shí)，求（1）兩板間的）兩板間的電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度；（電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度；（2）電容器的電容。）電容器的電容。 圖示的電容器圖示的電容器C可視為一個(gè)介質(zhì)電容器可視為一個(gè)介質(zhì)電容器C1和一和一個(gè)空氣電容器個(gè)空氣電容器C2的并

9、聯(lián)（如下圖），則：的并聯(lián)（如下圖），則：dSdSdSCCCrr2)1 (2200021再求第再求第（1）問(wèn)。（注意：）問(wèn)。（注意： C1和和C2上的電壓相等，且上的電壓相等，且但板上電荷量不等，有但板上電荷量不等，有 ) QQrC1C21Q2Q1Q2QQQQ21CCCUUU21EddSQCQUrC2)1 (0QQrd設(shè)介質(zhì)及空氣中的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為設(shè)介質(zhì)及空氣中的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為 電位移矢量大小分別為電位移矢量大小分別為21,EECCCUUU21dEUC11dEUC22顯然顯然又又EdUCEEE21由由SQEEEr)1 (2021EDr0SQEDrrr)1 (2101SQEDr)1 (22021r

10、空氣的空氣的21,DD編輯pptE9-6 長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓柱形電容器截面如圖所示，兩共軸的導(dǎo)體圓筒的圓柱形電容器截面如圖所示，兩共軸的導(dǎo)體圓筒的內(nèi)、外半徑分別為的內(nèi)、外半徑分別為R、3R，其間有兩層均勻電介質(zhì)，分界面，其間有兩層均勻電介質(zhì)，分界面半徑為半徑為2R，內(nèi)層介質(zhì)的介電常數(shù)為，內(nèi)層介質(zhì)的介電常數(shù)為 ，外層介質(zhì)的介電常數(shù)，外層介質(zhì)的介電常數(shù)為為 ，求電容器的電容。，求電容器的電容。（忽略邊緣效應(yīng)）（忽略邊緣效應(yīng)）解：設(shè)內(nèi)外圓筒的電荷分別為解：設(shè)內(nèi)外圓筒的電荷分別為由由 高斯定理及高斯定理及 易知：易知：1212R3R2RQQ ,DEDrer12RrR2rer22RrR32)2ln23ln(

11、22222212132221322213LQdrrdrrrderrderrdEURRRRRRrRRrRR則電荷線密度分別為則電荷線密度分別為 ,LQ且r02ln23ln22121LUQC則內(nèi)外圓筒間的電勢(shì)差則內(nèi)外圓筒間的電勢(shì)差編輯ppt9-7 兩只電容器，兩只電容器，C1 = 10 F， C2 = 2 F，分別把它們充電，分別把它們充電到到1200V，然后將它們反接，如圖所示，此時(shí)兩極板間的電，然后將它們反接，如圖所示，此時(shí)兩極板間的電勢(shì)差為勢(shì)差為 800 V.+-+-C1C2解：解：C1 ， C2 充電后，帶電量分別為：充電后，帶電量分別為：VFUCq12001011VFUCq1200222

12、如圖反接，為兩電容器的并聯(lián)，其等效電容器一個(gè)極如圖反接，為兩電容器的并聯(lián)，其等效電容器一個(gè)極板上的電荷量為：板上的電荷量為：等效電容器的電容為等效電容器的電容為FCCC1221則兩極板間的電勢(shì)差為則兩極板間的電勢(shì)差為VFVFCqUUU800121200821VFqqq1200821編輯ppt9-8 如圖所示的為液位計(jì)簡(jiǎn)圖，內(nèi)部導(dǎo)體圓柱的半徑為如圖所示的為液位計(jì)簡(jiǎn)圖，內(nèi)部導(dǎo)體圓柱的半徑為r，外，外面導(dǎo)體圓筒的半徑為面導(dǎo)體圓筒的半徑為R，圓柱、圓筒的高度為，圓柱、圓筒的高度為H，液體的相對(duì)，液體的相對(duì)介電常數(shù)為介電常數(shù)為r ，求電容與液位高度，求電容與液位高度x的關(guān)系。的關(guān)系。RrHx解：解：本題

13、中的液位計(jì)（電容器本題中的液位計(jì)（電容器C）可視為一個(gè)）可視為一個(gè)高度為高度為x的圓柱介質(zhì)（為液體）電容器的圓柱介質(zhì)（為液體）電容器C1和一個(gè)高度為和一個(gè)高度為H-x的圓柱空氣電容器的圓柱空氣電容器C2的的并聯(lián)（空氣的并聯(lián)（空氣的r = 1）。）。一個(gè)高度（或長(zhǎng)度）為一個(gè)高度（或長(zhǎng)度）為L(zhǎng)，內(nèi)外筒半徑分別為，內(nèi)外筒半徑分別為R、r，內(nèi)外筒，內(nèi)外筒間充滿相對(duì)介電常數(shù)為間充滿相對(duì)介電常數(shù)為r 的介質(zhì)（空氣可視為一種特殊的介的介質(zhì)（空氣可視為一種特殊的介質(zhì)，質(zhì)，r = 1）的圓柱電容器的電容為（參見(jiàn)張三慧編）的圓柱電容器的電容為（參見(jiàn)張三慧編大學(xué)物大學(xué)物理學(xué)理學(xué)第三版上冊(cè)，第三版上冊(cè)，P240，式（

14、，式（9.19）)/ln(20rRLCr)/ln(201rRxCr)/ln()(202rRxHCxHrRCCCr)1()/ln(2021編輯ppt9-9 兩個(gè)電容器的電容之比兩個(gè)電容器的電容之比C1:C2 = 1 : 3。把它們串聯(lián)起來(lái)。把它們串聯(lián)起來(lái)接電源充電，它們的電場(chǎng)能量之比接電源充電，它們的電場(chǎng)能量之比W1:W2 = 3:1 ；如果將它們并聯(lián)起來(lái)接電源充電，則它們的電場(chǎng)能量之比如果將它們并聯(lián)起來(lái)接電源充電，則它們的電場(chǎng)能量之比W1:W2 = 1:3 。解：略解：略編輯ppt9-10 今有兩個(gè)電容器，其帶電量分別為今有兩個(gè)電容器，其帶電量分別為Q和和2Q，其電容，其電容值均為值均為C，求

15、，求（1）兩個(gè)電容在并聯(lián)后極板的電量；（）兩個(gè)電容在并聯(lián)后極板的電量；（2）并聯(lián)后能量的增量并聯(lián)后能量的增量。 解：解：（1）并聯(lián)后，等效電容器的電容為并聯(lián)后，等效電容器的電容為2C；帶電量為；帶電量為3Q（等效電容器的電量（等效電容器的電量為參與并聯(lián)的兩個(gè)電容器的為參與并聯(lián)的兩個(gè)電容器的帶電量之和）；電壓為帶電量之和）；電壓為3Q/2C注意注意：所謂電容器的帶電量，指的是其一個(gè)極板上的電荷的量值：所謂電容器的帶電量，指的是其一個(gè)極板上的電荷的量值則對(duì)于題設(shè)的兩個(gè)電容器，并聯(lián)前，總的靜電能量為則對(duì)于題設(shè)的兩個(gè)電容器，并聯(lián)前，總的靜電能量為CQW221(2) 一個(gè)電容為一個(gè)電容為C的電容器，當(dāng)它

16、的帶電量為的電容器，當(dāng)它的帶電量為Q時(shí)，其能量為時(shí)，其能量為CQCQCQW25)2(21212220并聯(lián)后，總的靜電能量可按等效電容器計(jì)算，也可分別計(jì)算二并聯(lián)后，總的靜電能量可按等效電容器計(jì)算，也可分別計(jì)算二個(gè)參與并聯(lián)的電容器的能量再求和）個(gè)參與并聯(lián)的電容器的能量再求和）CQCQCQWt492)3(2121222CQWWWt420(b)分別計(jì)算二個(gè)參與并聯(lián)的電容器的能量再求和分別計(jì)算二個(gè)參與并聯(lián)的電容器的能量再求和（a）按等效電容器計(jì)算）按等效電容器計(jì)算二個(gè)電容器并聯(lián)后，電壓相等，且等于等效電容器的電壓二個(gè)電容器并聯(lián)后，電壓相等，且等于等效電容器的電壓CQCQCUCUCWt49)23(2212

17、121222221CQU23編輯ppt9-11如圖所示，平行板電容器面積為如圖所示，平行板電容器面積為S，間距為，間距為d，放在方，放在方形金屬盒內(nèi)，兩板距盒壁距離為形金屬盒內(nèi)，兩板距盒壁距離為a，從兩板接出的兩極之，從兩板接出的兩極之間的電容是多少？間的電容是多少？ aad解：畫(huà)電路等效圖。依據(jù)：不同的導(dǎo)體用導(dǎo)線相連后為同一導(dǎo)體，解：畫(huà)電路等效圖。依據(jù)：不同的導(dǎo)體用導(dǎo)線相連后為同一導(dǎo)體，可根據(jù)需要，改可根據(jù)需要，改畫(huà)畫(huà)其幾何結(jié)構(gòu)（改變的只是其幾何結(jié)構(gòu)（改變的只是視結(jié)構(gòu)視結(jié)構(gòu)），但不能改變），但不能改變其電結(jié)構(gòu)。連接線可畫(huà)成任意長(zhǎng)度、任意形狀，可平移、可跳連。其電結(jié)構(gòu)。連接線可畫(huà)成任意長(zhǎng)度、任

18、意形狀，可平移、可跳連。方法：追蹤法。方法：追蹤法。本題中，可從本題中，可從1開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行追蹤追蹤（如下（如下圖）具體為：圖）具體為： 13 4 3 2 2 1 1aad13342211122334AAAAC1C2C31334221AAC1C2C3注意：本題中，注意：本題中， “4” 這一段這一段（如圖（如圖（2）的幾何尺寸、形）的幾何尺寸、形狀等對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)的電容無(wú)影響，狀等對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)的電容無(wú)影響，故，其作用僅僅是故，其作用僅僅是“3”和和“3 ”的連線，原因如的連線，原因如圖（圖（6）（1）（2）（5）（3）（4）aSCC021dSC03)211(021213adSCCCCCC圖（圖（6）所示的兩塊不所示的兩塊不計(jì)厚度的導(dǎo)體板的有效計(jì)厚度的導(dǎo)體板的有效重疊面積為零，故電容重疊面積為零，故電容為零。為零。（6）4編輯ppt9-12 半徑為半徑為R的金屬球，帶電量為的金屬球，帶電量為Q，放在相對(duì)介電常數(shù)，放在相對(duì)介電常數(shù)為為 r的電介質(zhì)中，求電場(chǎng)能量。的電介質(zhì)中，求電場(chǎng)能量。又由又由 的高斯定理及的高斯定理及 DEDr0解：解： 電介質(zhì)在空間無(wú)限廣延。靜電平衡時(shí)，金屬球內(nèi)電介質(zhì)在空間無(wú)限廣延。靜電平衡時(shí)，金屬球內(nèi)E=0，電荷只能分布在其表面電荷只能分布在其表面E01ER