x10_奈氏判據(jù)

1、第第10節(jié)節(jié) 奈奎斯特判據(jù)奈奎斯特判據(jù)前 傳 柯西是法國數(shù)學家柯西是法國數(shù)學家.1789.1789年年 - 1857- 1857年年 一生發(fā)表了一生發(fā)表了789789篇論文，出版專著篇論文，出版專著7 7本，全集本，全集共有十四開本共有十四開本2424卷卷 柯西對數(shù)學的最大貢獻是在微積分中引進了柯西對數(shù)學的最大貢獻是在微積分中引進了清晰和嚴格的表述與證明方法清晰和嚴格的表述與證明方法. .另一個重要另一個重要貢獻，是發(fā)展了復變函數(shù)的理論貢獻，是發(fā)展了復變函數(shù)的理論. . 數(shù)學中以他的姓名命名的有：柯西積分、柯數(shù)學中以他的姓名命名的有：柯西積分、柯西公式、柯西不等式、柯西定理、柯西函數(shù)、西公式、

2、柯西不等式、柯西定理、柯西函數(shù)、柯西矩陣、柯西變換、柯西準則柯西矩陣、柯西變換、柯西準則. . 映射定理映射定理從螞蟻說起愛德華威爾遜螞蟻王國的故事I螞蟻多于糧食螞蟻少于糧食螞蟻和糧食一樣多s planeF(s) plane s 平面的封閉軌跡映射為平面的封閉軌跡映射為F(s) 平平面上的封閉軌跡面上的封閉軌跡Sp保角變換保角變換 s 平面包圍平面包圍1個零點個零點ABDCF(s) 平面映射軌跡平面映射軌跡 S平面順時針包圍零點的軌跡映射為平面順時針包圍零點的軌跡映射為F(s)平面順時針包圍原點的軌跡。平面順時針包圍原點的軌跡。 1( )(2)(3)sF sss123bacps試驗點試驗點1(

3、)(2)(3)ppppsF sss如何求如何求F(sp)的幅值和相角的幅值和相角?1()(2)(3)ppppsF sss幅值幅值cMa b相角相角123ps( )F s()pF s映射映射ABDC s 平面包圍一個極點平面包圍一個極點F(s) 平面映射軌跡平面映射軌跡 S平面順時針包圍極點的軌跡映射為平面順時針包圍極點的軌跡映射為F(s)平面逆時針包圍原點的軌跡。平面逆時針包圍原點的軌跡。 ABDC軌跡不包圍極零點軌跡不包圍極零點F(s) 平面映射軌跡平面映射軌跡Cauchys theorem S平面順時針包圍平面順時針包圍 P 個極點和個極點和 Z個零點的個零點的軌跡映射為軌跡映射為F(s)

4、 平面以順時針包圍原點平面以順時針包圍原點N=Z-P圈的軌跡圈的軌跡幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理Example1( )1sF ss S 包圍極點包圍極點 S 包圍零點包圍零點 S包圍極點包圍極點和零點和零點 S 不包圍奇不包圍奇點點記住記住 s 平面的軌跡不能通過任何極平面的軌跡不能通過任何極點或零點點或零點怎么應用這個怎么應用這個定理進行穩(wěn)定定理進行穩(wěn)定性的判別呢？性的判別呢？螞蟻王國的故事II到底有多少螞蟻在工作？多少螞蟻在工作？糧食的數(shù)量糧食的數(shù)量要知道！要知道！穩(wěn)定性判斷的問題j+-需要解決的問題Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)推導穩(wěn)定判據(jù)推導1212( )( )( )( )( )( )N

5、s NsG s H sD sDsF(s)和系統(tǒng)閉環(huán)極點的關系和系統(tǒng)閉環(huán)極點的關系設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為121212( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )N s D sG ssG s H sD s D sN s Ns121212( )( )( )( )( )1( )( )( )( )D s D sN s NsF sG s H sD s D s 閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為( )1( )( )FsGs Hs令（1）F(s)的零點與閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)的極點相同。（2）F(s)的極點和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的極點相同。結(jié)論結(jié)論:如果知道！如果知道！有多少

6、糧食呢？閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(s)(s)在在ss右半平面沒有極點右半平面沒有極點F(s)F(s)在在ss平面右半平面沒有零點平面右半平面沒有零點 判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以歸結(jié)為判判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以歸結(jié)為判斷斷F(s)的零點是否在右半平面。的零點是否在右半平面。j+- S S右半平面封閉曲線和其映射曲線右半平面封閉曲線和其映射曲線（a）F(s) /G(s)沒有極點在原點上沒有極點在原點上 包圍包圍S右半平面的封閉曲線在右半平面的封閉曲線在F(s)平面映射為平面映射為F(j).ImRe0+-ImRe0+-j+-ReIm+-0+0-(b) F(s)/G(s)有極點在原點有極點在原點 當F(

7、s)含有積分環(huán)節(jié)時，其映射軌跡含有積分環(huán)節(jié)時，其映射軌跡應當用從應當用從0-到到0+順時針的圓弧來補全。順時針的圓弧來補全。結(jié)論結(jié)論1、包圍、包圍s右半平面的封閉軌跡經(jīng)右半平面的封閉軌跡經(jīng)F(s)映射后映射后的軌跡實際上就是的軌跡實際上就是F(j)當當從從-到到+變變化時的化時的頻率特性曲線。頻率特性曲線。2 2、當、當G(s)G(s)含有積分環(huán)節(jié)時，包圍含有積分環(huán)節(jié)時，包圍s s右半平面右半平面的封閉軌跡經(jīng)的封閉軌跡經(jīng)F(s)F(s)映射后的軌跡由映射后的軌跡由F(jF(j) )的頻率特性曲線和補充軌跡組成。的頻率特性曲線和補充軌跡組成。有多少糧食？有三粒糧食有三粒糧食在右平面！在右平面！是

8、否有糧食？右半平面右半平面沒有糧食！沒有糧食！是否有糧食？右半平右半平面沒有面沒有糧食！糧食！ 若若F(s)F(s)在在ss右半平面有右半平面有P P個極個極點點, ,則當則當由由-變到變到+,+,若若F(jF(j) )的軌跡逆時針包圍原點的軌跡逆時針包圍原點P P圈圈, ,則閉環(huán)則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定. .F(j)和和G(j)H(j)軌跡的關系軌跡的關系G(j)H(j)ImRe(-1,j0)ImReF(j)=1+G(j)H(j) 若若F(s)F(s)在在ss右半平面有右半平面有P P個極點個極點, ,則當則當由由-變到變到+,+,若若 F(jF(j) ) 的軌跡逆時針包圍的軌跡逆時針包圍 原

9、點原點 P P圈圈, ,則閉則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定. . F(j F(j) )包圍原點的情況等效于包圍原點的情況等效于G(jG(j)H(j)H(j) )包圍包圍(-1,j0)(-1,j0)點的情況點的情況若若G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss右半平面有右半平面有P P個極點個極點G(jG(j)H(j)H(j) )(-1,j0)(-1,j0) 乃氏判據(jù) 若若G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss右半平面有右半平面有P P個極個極點點, ,當當由由-變到變到+,+,若若G(jG(j)H(j)H(j) )逆時針包圍逆時針包圍(-1,j0)(-1,j0)點點P P圈圈, ,則閉環(huán)系統(tǒng)則閉環(huán)系

10、統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定. . 若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定, ,則當開環(huán)頻率特則當開環(huán)頻率特性性G(j)H(j)G(j)H(j)不包圍不包圍(-1, j0)(-1, j0)點點, ,閉閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定. .閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)極點不在閉環(huán)極點不在s右右半平面半平面1+G(s)H(s)的零的零點不在點不在s右半平面右半平面1+G(j)H(j)的的軌跡逆時針包圍軌跡逆時針包圍原點圈數(shù)為原點圈數(shù)為PG(j)H(j)的軌的軌跡逆時針包圍跡逆時針包圍（-1，j0)圈數(shù)為圈數(shù)為P奈氏判據(jù)的其他表述奈氏判據(jù)的其他表述 若若G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss右半平右半平面有面有P P個極點個極點, ,

11、當當由由0 0變到變到+,+,若若G(jG(j)H(j)H(j) )逆時針逆時針包圍包圍(-1,j0)(-1,j0)點點P/2P/2圈圈, ,則閉環(huán)則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定. . ( I )( I )根據(jù)根據(jù)由由 0到+的開環(huán)頻率特性進的開環(huán)頻率特性進行判斷行判斷（II) 根據(jù)正負穿越進行判斷根據(jù)正負穿越進行判斷穿越：開環(huán)軌跡穿越：開環(huán)軌跡G(jG(j)H(j)H(j) )穿過穿過（-1-1，j0)j0)點以左的負實軸。點以左的負實軸。正穿越：開環(huán)軌跡自上而下穿過。正穿越：開環(huán)軌跡自上而下穿過。負穿越：開環(huán)軌跡自下而上穿過。負穿越：開環(huán)軌跡自下而上穿過。正穿越一次記為正穿越一次記為+1，負穿越一

12、次記為，負穿越一次記為-1。若開環(huán)軌跡終止于負實軸上，記為若開環(huán)軌跡終止于負實軸上，記為1/2穿越。穿越。（-1，j0)（-1，j0)正穿越正穿越負穿越負穿越（-1，j0)半次正穿越半次正穿越（-1，j0)半次負穿越半次負穿越 若若G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss右半平右半平面有面有P P個極點個極點, ,當當由由0 0變到變到+,+,若若G(jG(j)H(j)H(j) )軌跡在軌跡在(-1,j0)(-1,j0)點以左的負實軸上的點以左的負實軸上的正負穿越次數(shù)代數(shù)和為正負穿越次數(shù)代數(shù)和為P/2,P/2,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定. . 乃氏判據(jù)：乃氏判據(jù)：（III)含積分環(huán)節(jié)時半閉合曲線的繪制含積分環(huán)節(jié)時半閉合曲線的繪制若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為11( )( )vG sG ss 對于- 到到+ + 的開環(huán)軌跡，其補充的開環(huán)軌跡，其補充圓弧為從圓弧為從G(0G(0- -) )點順時針轉(zhuǎn)點順時針轉(zhuǎn)v v 到到G(0G(0+ +) )點點 對于從從0 0到到+ + 的開環(huán)軌跡，其補充軌跡的開環(huán)軌跡，其補充軌跡為從為從G(0G(0+ +) )開始逆開始逆時針做的時針做的v v /2/2的圓弧。的圓弧。V=1V=2(四）四） 例題例題123( )(1)(1)(1)KG sTsT sT