不定積分的分部積分法學習教案

1、會計學1不定積分不定積分(b dn j fn)的分部積分法的分部積分法第一頁，共33頁。問題問題(wnt) ?dxxex解決解決(jiju)思思路路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.設函數(shù)設函數(shù) u=u(x) 和和 v=v(x)具有連續(xù)導數(shù)具有連續(xù)導數(shù), ,)(vuvuuv ,)(vuuvvu ,ddxvuuvxvu .dduvuvvu 分部積分公式分部積分公式第1頁/共33頁第二頁，共33頁。例例1 1 求不定積分求不定積分(b (b dn j fn)dn j fn).d xxex解解,xu 設設xevxdd xxexd xexexxd.Cexexx )(dxex分部積分

2、法的關鍵是正確分部積分法的關鍵是正確(zhngqu)(zhngqu)選擇選擇 u u 和和 v . v .,dduvuvvu ,dxe 第2頁/共33頁第三頁，共33頁。例例2 2 求不定積分求不定積分(b dn j fn)(b dn j fn).dcos xxx若若 xxxdcos xxxxxdsin2cos222顯然顯然 , u 和和 dv 選擇不當選擇不當(b dn)，積分更難進，積分更難進行行.解解 xxxdcos )(sindxx xxxxdsinsin.cossinCxxx )2(dcos2xx第3頁/共33頁第四頁，共33頁。第4頁/共33頁第五頁，共33頁。例例3 3 求不定積

3、分求不定積分(b dn j fn)(b dn j fn).d)1(2 xexx解解 xexxd)1(2 xxeexxxd2)1(2.)(2)1(2Cexeexxxx .)32(2Cexxx )(d)1(2xex再次使用再次使用(shyng)分部積分法分部積分法 )(d2)1(2xxexex第5頁/共33頁第六頁，共33頁。例例4 4 求不定積分求不定積分(b dn j fn)(b dn j fn)解解 xxxdarctanxxxxxd112arctan2222 xxxxd)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx )2(darctan2xx.darcta

4、n xxx第6頁/共33頁第七頁，共33頁。例例5 5 求不定積求不定積分分(b dn j (b dn j fn)fn)解解 xxdarcsin)(arcsindarcsinxxxx xxxxxd1arcsin2.darcsin xx.1arcsin2Cxxx 第7頁/共33頁第八頁，共33頁。說明：說明：單純單純(dnchn)的反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)積分，的反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)積分，可直接運用分部積分；可直接運用分部積分；第8頁/共33頁第九頁，共33頁。例例6 6 求不定積求不定積分分(b dn j (b dn j fn)fn).dsin xxex解解 xxexdsin )cosd(xex

5、xxexexxdcoscos )d(sincosxexexx xxexxexxdsin)cos(sin xxexdsin)cos(sin2xxex 注意循環(huán)注意循環(huán)(xnhun)形式形式.C 第9頁/共33頁第十頁，共33頁。說明：說明：不定積分可通過不定積分可通過(tnggu)解方程求得，但要注意解方程求得，但要注意結(jié)果結(jié)果+C；可連續(xù)幾次利用多次分部可連續(xù)幾次利用多次分部(fn b)，但每次應，但每次應塞同一類函數(shù)；塞同一類函數(shù)；第10頁/共33頁第十一頁，共33頁。例例 求不定積分求不定積分(b (b dn j fn)dn j fn).dsec3 xx解解 dxx3sec xxxdsec

6、sec2 )(secdtantansecxxxx xxdsec3 )(tandsecxx xxxxxdsectantansec2 xxxxxd)sec(sectansec3 xxxxxxdsectanseclntansec3Cxxxx )tanseclntan(sec21第11頁/共33頁第十二頁，共33頁。例例 求不定積分求不定積分(b dn j fn)(b dn j fn).d)sin(ln xx解解 xx d)sin(ln )sin(lnd)sin(lnxxxx xxxxd)cos(ln)sin(ln )cos(lnd)cos(ln)sin(lnxxxxxx xxxxxd)sin(ln)

7、cos(ln)sin(ln xx d)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 第12頁/共33頁第十三頁，共33頁。例例 求不定積分求不定積分(b dn j fn)(b dn j fn).d)sin(ln xx解解,lnux 令令,uex 則則,dduexu xx d)sin(ln uueudsin第13頁/共33頁第十四頁，共33頁。例例7 7 求不定積分求不定積分(b dn j fn)(b dn j fn) .d12sinxx解解,12ux 令令 xxd12sin uuudsin,212 ux則則,dduux )cos(duu uuuudcoscosCuuu sincos.1

8、2sin12cos12Cxxx 第14頁/共33頁第十五頁，共33頁。說明：說明：有時有時(yush)應結(jié)合換元積分，先換元后再分部；應結(jié)合換元積分，先換元后再分部；第15頁/共33頁第十六頁，共33頁。解解 xxfxd)( )(dxfx,d)()( xxfxxf,d)(2 Cexxfx由已知可得由已知可得兩邊兩邊(lingbin)同時對同時對 x 求導求導, 得得,2)(2xxexf xxfxd)( xxfxxfd)()(.2222Ceexxx 第16頁/共33頁第十七頁，共33頁。說明說明(shumng)：被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導函數(shù)，常被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導函數(shù)，常考慮用分部積分；

9、考慮用分部積分；第17頁/共33頁第十八頁，共33頁。說明說明(shumng)(shumng)：利用分部積分法可得求不：利用分部積分法可得求不定積分的遞推公式定積分的遞推公式解解.d)(ln xxxn例例9 9 求積分求積分 xxxInnd)(ln )2d()(ln2xxn )(lnd21)(ln2122nnxxxx xxxnxxnnd)(ln2)(ln2112122)(ln21 nnInxx)1,(* nNn)(*Nn 遞推公式為遞推公式為),1,( ,2)(ln21*12 nNnInxxInnn第18頁/共33頁第十九頁，共33頁。 xxxIdln1而而 )2(dln2xx )(lnd2l

10、n222xxxx xxxxd2ln22Cxxx 2ln222.,1nIn由遞推公式都可求得由遞推公式都可求得所以對任意確定的所以對任意確定的 第19頁/共33頁第二十頁，共33頁。例例10 10 求不定積求不定積分分(b dn j (b dn j fn)fn) .d)ln1(xxxex解解 xxxexd)ln1( xxexxexxdlnd )(dlndxxexxxe xxexexxexxxdlnd.lnCxex 第20頁/共33頁第二十一頁，共33頁。練習練習(linx)(linx)： 求下列不定積分求下列不定積分 .d1arctan)1(2xxxx .d)1()2(2xxxex .d1)1(

11、)3(1xexxxx第21頁/共33頁第二十二頁，共33頁。.單純單純(dnchn)的反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)積分，的反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)積分，可直接運用分部積分；可直接運用分部積分；.口訣口訣(kuju)（反、對、冪、三、指）（反、對、冪、三、指）;.不定積分可通過解方程求得，但要注意不定積分可通過解方程求得，但要注意結(jié)果結(jié)果+C；.有時應結(jié)合換元積分，先換元后再分部；有時應結(jié)合換元積分，先換元后再分部；.被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導函數(shù)，常被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導函數(shù)，常考慮用分部積分；考慮用分部積分；. .利用分部積分法可得求不定積分的遞利用分部積分法可得求不定積分的遞推公式。推公式。第22

12、頁/共33頁第二十三頁，共33頁。 .d1arctan)1(2xxxx解解 xxxxd1arctan2 )1d(arctan2xx)(arctand1arctan122xxxx xxxxxd111arctan1222 .)1ln(arctan122Cxxxx xxxxd11arctan122 第23頁/共33頁第二十四頁，共33頁。 .d)1()2(2xxxex解解 dxxxex2)1( )11(dxxex )d(111xxxexxxe xexxexxd1Cexxexx 1Cxex 1第24頁/共33頁第二十五頁，共33頁。解解 .d1)1()3(1xexxxx xexexxxxxxdd)1(

13、11原式原式 xexexxxxxxdd)11(112 xeexxxxxd)(d11 xexexexxxxxxdd111.1Cxexx 第25頁/共33頁第二十六頁，共33頁。一、填空題：一、填空題：1 1、 xdxxsin_；2 2、 xdxarcsin_；3 3、計算、計算 xdxx ln2， u可設可設_ _ , , dv_；4 4、計算、計算 xdxexcos， u可設可設_ _ _ , , dv_；5 5、計算、計算 xdxx arctan2， u可設可設_ _ , , dv_； 6 6、 計計算算 dxxex， u可可設設_ _ _ _ _ _ _, , dv_ _ _ _ _ _

14、_ _ _ _ _ . .二、二、 求下列不定積分：求下列不定積分：1 1、 dxxx2cos22； 2 2、 dxxx23)(ln；練練 習習 題題第26頁/共33頁第二十七頁，共33頁。3、 nxdxeaxcos； 4、 dxex3；5、 dxx)cos(ln； 6、 dxxxex232arctan)1( .三三、 已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù)，求求 dxxxf)(. .四四、 設設 CxFdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函數(shù)數(shù))(1xf 存存在在，則則 CxfFxxfdxxf )()()(111. .第27頁/共33頁第二十八頁，共33頁。一、

15、一、1 1、Cxxx sincos； 2 2、Cxxx 21arcsin； 3 3、dxxx2,ln； 4 4、,xe xdxcos； 5 5、dxxx2,arctan； 6 6、dxexx ,. .二、二、1、Cxxxxxx sincossin21623； 2、Cxxxx 6ln6)(ln3)(ln123； 3、Cnxnnxanaeax )sincos(22 4、Cxxex )22(33323；練習題答案練習題答案第28頁/共33頁第二十九頁，共33頁。 5 5、Cxxx )sin(ln)cos(ln2； 6 6、Cexxx arctan2121； 7 7、Cexexexxxx 22. .三

16、、三、Cxxx sin2cos. .第29頁/共33頁第三十頁，共33頁。例例4 4 求不定積求不定積分分(b dn j (b dn j fn)fn).dcos)2(2 xxxx解解 xxxxdcos)2(2 xxxxxxdsin)1(2sin)2(2 )(sind)2(2xxx )cos(d)1(2sin)2(2xxxxxdcos)cos)(1(2sin)2(2 xxxxxxxCxxxxxx sin2)1(cos2sin)2(2.)1(cos2sin)22(2Cxxxxx 第30頁/共33頁第三十一頁，共33頁。例例9 9 求不定積分求不定積分(b dn j fn)(b dn j fn).d2cos xxex解解 xxexd2cos )d(2cosxex