材料力學(xué)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

1、材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第1頁(yè) / 共79頁(yè)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論7- -1 概述概述7- -2 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析主應(yīng)力主應(yīng)力7- -3 空間應(yīng)力狀態(tài)的概念空間應(yīng)力狀態(tài)的概念7- -4 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系* *7- -5 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度7- -6 強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力7- -8 各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用* *7- -7 莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第2頁(yè) / 共79頁(yè)7-1 概述概述 在第二章中曾講述過(guò)桿受拉壓時(shí)

2、桿件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位截面上的應(yīng)力，并指出：一點(diǎn)處不同方位截面上應(yīng)力的集合(總體)稱之為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。由于一點(diǎn)處任何方位截面上的應(yīng)力均可根據(jù)從該點(diǎn)處取出的微小正六面體 單元體的三對(duì)相互垂直面上的應(yīng)力來(lái)確定，故受力物體內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可用一個(gè)單元體及其上的應(yīng)力來(lái)表示。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第3頁(yè) / 共79頁(yè)20coscos p2sin2sin0 p單向應(yīng)力狀態(tài)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第4頁(yè) / 共79頁(yè)2sin2cos純剪切應(yīng)力狀態(tài)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料

3、力力 學(xué)學(xué)第5頁(yè) / 共79頁(yè)研究桿件受力后各點(diǎn)處，特別是危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可以： 1. 了解材料發(fā)生破壞的力學(xué)上的原因，例如低碳鋼拉伸時(shí)的屈服現(xiàn)象是由于在切應(yīng)力最大的45 斜截面上材料發(fā)生滑移所致；又如鑄鐵圓截面桿的扭轉(zhuǎn)破壞是由于在45 方向拉應(yīng)力最大從而使材料發(fā)生斷裂(fracture)所致。 2. 在不可能總是通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定材料極限應(yīng)力的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，如圖所示,應(yīng)力狀態(tài)分析是建立關(guān)于材料破壞規(guī)律的假設(shè)(稱為強(qiáng)度理論)的基礎(chǔ)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第6頁(yè) / 共79頁(yè)本章將研究： . 平面應(yīng)力狀態(tài)下不同方位截面上的應(yīng)力和關(guān)于三向應(yīng)力狀態(tài)(空

4、間應(yīng)力狀態(tài)) 的概念；. 平面應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系廣義胡克定律；. 強(qiáng)度理論。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第7頁(yè) / 共79頁(yè)7- -2 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析主應(yīng)力主應(yīng)力 平面應(yīng)力狀態(tài)是指，如果受力物體內(nèi)一點(diǎn)處在眾多不同方位的單元體中存在一個(gè)特定方位的單元體，它的一對(duì)平行平面上沒(méi)有應(yīng)力，而另外兩對(duì)平行平面上都只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力這種應(yīng)力狀態(tài)。等直圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的純剪切應(yīng)力狀態(tài)就屬于平面應(yīng)力狀態(tài)(參見(jiàn)3-4的“.斜截面上的應(yīng)力”)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第8頁(yè)

5、/ 共79頁(yè)2sin2cos純剪切應(yīng)力狀態(tài)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第9頁(yè) / 共79頁(yè) 對(duì)于圖a所示受橫力彎曲的梁，從其中A點(diǎn)處以包含與梁的橫截面重合的面在內(nèi)的三對(duì)相互垂直的面取出的單元體如圖b(立體圖)和圖c(平面圖)，本節(jié)中的分析結(jié)果將表明A點(diǎn)也處于平面應(yīng)力狀態(tài)。(a)(c)(b)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第10頁(yè) / 共79頁(yè) 平面應(yīng)力狀態(tài)最一般的表現(xiàn)形式如圖a所示，現(xiàn)先分析與已知應(yīng)力所在平面xy垂直的任意斜截面(圖b)上的應(yīng)力。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力

6、 學(xué)學(xué)第11頁(yè) / 共79頁(yè). 斜截面上的應(yīng)力第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 圖b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef 以它的外法線n與x軸的夾角 定義，且角以自x 軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)至外法線n為正；斜截面上圖中所示的正應(yīng)力 和切應(yīng)力均為正值，即 以拉應(yīng)力為正，以使其所作用的體元有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)者為正。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第12頁(yè) / 共79頁(yè) 由圖c知，如果斜截面ef的面積為dA，則體元左側(cè)面eb的面積為dAcos，而底面bf 的面積為dAsin。圖d示出了作用于體元ebf 諸面上的力。體元的平衡方程為0sinsindcossind coscosdsincosdd0AAAAAF

7、yyxxn，0cossindsinsind sincosdsincosdd0AAAAAFyyxxt，第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第13頁(yè) / 共79頁(yè) 由以上兩個(gè)平衡方程并利用切應(yīng)力互等定理可得到以2為參變量的求 斜截面上應(yīng)力，的公式：2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第14頁(yè) / 共79頁(yè). 應(yīng)力圓 為便于求得， ，也為了便于直觀地了解平面應(yīng)力狀態(tài)的一些特征，可使上述計(jì)算公式以圖形即所稱的應(yīng)力圓(莫爾圓)(Mohrs circle for stresses)

8、來(lái)表示。 先將上述兩個(gè)計(jì)算公式中的第一式內(nèi)等號(hào)右邊第一項(xiàng)移至等號(hào)左邊，再將兩式各自平方然后相加即得：222222xyxyx第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第15頁(yè) / 共79頁(yè) 而這就是如圖a所示的一個(gè)圓應(yīng)力圓，它表明代表 斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)必落在應(yīng)力圓的圓周上。OC2yx222xyx(a)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第16頁(yè) / 共79頁(yè)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論OC(b)xxD,1yyD,2 圖a中所示的應(yīng)力圓實(shí)際上可如圖b所示作出，亦即使單元體x截面上的應(yīng)力x,x按某一比例尺定出點(diǎn)D

9、1，依單元體y截面上的應(yīng)力y,y(取y = -x)定出點(diǎn)D2，然后連以直線，以它與 軸的交點(diǎn)C為圓心，并且以 或 為半徑作圓得出。1CD2CD材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第17頁(yè) / 共79頁(yè)值得注意的是，在應(yīng)力圓圓周上代表單元體兩個(gè)相互垂直的x截面和y截面上應(yīng)力的點(diǎn)D1和D2所夾圓心角為180，它是單元體上相應(yīng)兩個(gè)面之間夾角的兩倍，這反映了前述，計(jì)算公式中以2 為參變量這個(gè)前提。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論OC(b)xxD,1yyD,2材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第18頁(yè) / 共79頁(yè) 利用應(yīng)力圓求 斜截面(圖a)上的應(yīng)力，時(shí)，只需將應(yīng)力圓圓周上表示x截面上的應(yīng)力的點(diǎn)D1所對(duì)應(yīng)的半

10、徑 按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2角，得到半徑 ，那么圓周上E點(diǎn)的坐標(biāo)便代表了單元體斜截面上的應(yīng)力?，F(xiàn)證明如下(參照?qǐng)Db)：1DCEC第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第19頁(yè) / 共79頁(yè)E點(diǎn)橫坐標(biāo)2sin2cos22 2sin2sin2cos2cos 2sin2sin2cos2cos 22cos0101000 xyxyxCDCDOCCECEOCCEOCCFOCOF第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第20頁(yè) / 共79頁(yè)E點(diǎn)縱坐標(biāo)2sin22cos 2sin2cos2cos2sin 22sin01010yxxCDCDCEEF第

11、七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第21頁(yè) / 共79頁(yè). 主應(yīng)力與主平面第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 由根據(jù)圖a所示單元體上的應(yīng)力所作應(yīng)力圓(圖b)可見(jiàn)，圓周上A1和A2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表該單元體的垂直于xy平面的那組截面上正應(yīng)力中的最大值和最小值，它們的作用面相互垂直(由A1和A2兩點(diǎn)所夾圓心角為180可知)，且這兩個(gè)截面上均無(wú)切應(yīng)力。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第22頁(yè) / 共79頁(yè)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論一點(diǎn)處切應(yīng)力等于零的截面稱為主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。據(jù)此可知，應(yīng)力圓圓周上點(diǎn)A1和A2所代表

12、的就是主應(yīng)力；但除此之外，圖a所示單元體上平行于xy平面的面上也是沒(méi)有切應(yīng)力的，所以該截面也是主平面，只是其上的主應(yīng)力為零。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第23頁(yè) / 共79頁(yè) 在彈性力學(xué)中可以證明，受力物體內(nèi)一點(diǎn)處無(wú)論是什么應(yīng)力狀態(tài)必定存在三個(gè)相互垂直的主平面和相應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力。對(duì)于一點(diǎn)處三個(gè)相互垂直的主應(yīng)力，根據(jù)慣例按它們的代數(shù)值由大到小的次序記作1，2，3。圖b所示應(yīng)力圓中標(biāo)出了1和2，而3=0。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第24頁(yè) / 共79頁(yè)當(dāng)三個(gè)主應(yīng)力中有二個(gè)主應(yīng)力不等于零時(shí)為平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)；平面應(yīng)力狀態(tài)下等于零的那個(gè)主應(yīng)力如下圖所示，

13、可能是1，也可能是2或3，這需要確定不等于零的兩個(gè)主應(yīng)力的代數(shù)值后才能明確。12)0(331)0(22)0(13第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第25頁(yè) / 共79頁(yè) 現(xiàn)利用前面的圖b所示應(yīng)力圓導(dǎo)出求不等于零的主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置方位角0的解析式，由于12111ACCOACCOAO22222142124212xyxyxxyxyx 其中， 為應(yīng)力圓圓心的橫坐標(biāo)， 為應(yīng)力圓的半徑。故得OC11CDCA 第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第26頁(yè) / 共79頁(yè)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論yxxBCD

14、B212tan1110yxx2arctan2 0或即圖c示出了主應(yīng)力和主平面的方位。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第27頁(yè) / 共79頁(yè)討論討論: 1. 表達(dá)圖示各單元體 斜截面上應(yīng)力隨角變化的應(yīng)力圓是怎樣的？這三個(gè)單元體所表示的都是平面應(yīng)力狀態(tài)嗎？第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第28頁(yè) / 共79頁(yè) 例題例題7- -2 簡(jiǎn)支的焊接鋼板梁及其上的荷載如圖a所示，梁的橫截面如圖b和c。試?yán)脩?yīng)力圓求集中荷載位置C的左側(cè)橫截面上a，b兩點(diǎn)(圖c)處的主應(yīng)力。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第29頁(yè) / 共79頁(yè) 解：解：1.

15、 此梁的剪力圖和彎矩圖如圖d和e。危險(xiǎn)截面為荷載作用位置C的左側(cè)橫截面。mkN80kN200SCCMF第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第30頁(yè) / 共79頁(yè)2. 相關(guān)的截面幾何性質(zhì)為46333333m108812m10270m1011112m10300m10120zI363333*m10256m105 . 7m10135m1015m10120zaS第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第31頁(yè) / 共79頁(yè)3. 危險(xiǎn)截面上a點(diǎn)和b點(diǎn)處的應(yīng)力：MPa7 .122Pa107 .122m135. 0m1088mN1080646

16、3azCayIMMPa6 .64Pa106 .64m109m1088m10256N102006346363*SdISFzzaCaMPa4 .136Pa104 .136m15. 0m1088mN10806463bzCbyIM0b第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第32頁(yè) / 共79頁(yè)4. 從危險(xiǎn)截面上a點(diǎn)和b點(diǎn)處以包含與梁的橫截面在內(nèi)的三對(duì)相互垂直的截面取出單元體，其x和y面上的應(yīng)力如圖f和h中所示。據(jù)此繪出的應(yīng)力圓如圖g和i。yxxxxxyy(f)(h)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第33頁(yè) / 共79頁(yè)對(duì)于點(diǎn)aM

17、Pa270MPa1503211和3的方向如圖f中所示。130yxxxxxyy(f)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(g)1注意到圖f和h所示單元體，其平行于xy平面的面為主平面（其上無(wú)切應(yīng)力，相應(yīng)的主應(yīng)力為零，故圖g所示應(yīng)力圓上點(diǎn)A1所表示的是1。按作應(yīng)力圓時(shí)的同一比例尺可量得：材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第34頁(yè) / 共79頁(yè)(i)(h)對(duì)于點(diǎn)b00MPa4 .1363211沿x方向(圖h)。實(shí)際為單軸應(yīng)力狀態(tài)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第35頁(yè) / 共79頁(yè) 當(dāng)然，點(diǎn)a 處主應(yīng)力1和3的值及其方向也可按應(yīng)力圓上的幾何關(guān)系來(lái)計(jì)算：MPa

18、4 .150 22221111xxxDCCOACCOAOMPa7 .27 22221223xxxDCCOACCOAO4 .462/MPa7 .122MPa4 .64arctan2arctan20 xx亦即 0-23.2。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(g)1材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第36頁(yè) / 共79頁(yè)7- -3 空間應(yīng)力狀態(tài)的概念空間應(yīng)力狀態(tài)的概念 當(dāng)一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力都不等于零時(shí)，稱該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)為空間應(yīng)力狀態(tài)(三向應(yīng)力狀態(tài))；鋼軌在輪軌觸點(diǎn)處就處于空間應(yīng)力狀態(tài)(圖a)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第37頁(yè) / 共79頁(yè) 空間

19、應(yīng)力狀態(tài)最一般的表現(xiàn)形式如圖b所示；正應(yīng)力x，y，z的下角標(biāo)表示其作用面，切應(yīng)力xy，xz，yx，yz，zx，zy的第一個(gè)下角標(biāo)表示其作用面，第二個(gè)下角標(biāo)表示切應(yīng)力的方向。(b)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 圖中所示的正應(yīng)力和切應(yīng)力均為正的，即正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，切應(yīng)力則如果其作用面的外法線指向某一坐標(biāo)軸的正向而該面上的切應(yīng)力指向另一坐標(biāo)軸的正向時(shí)為正。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第38頁(yè) / 共79頁(yè) 最一般表現(xiàn)形式的空間應(yīng)力狀態(tài)中有9個(gè)應(yīng)力分量，但根據(jù)切應(yīng)力互等定理有xyyx，yzzy ，xzzx，因而獨(dú)立的應(yīng)力分量為6個(gè)，即x，y，z，xy，yz ，zx。 當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)

20、的三個(gè)主應(yīng)力1，2，3已知時(shí)(圖a)，與任何一個(gè)主平面垂直的那些斜截面(即平行于該主平面上主應(yīng)力的斜截面)上的應(yīng)力均可用應(yīng)力圓顯示。(a)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第39頁(yè) / 共79頁(yè)(b)(c)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 例如圖a中所示垂直于主應(yīng)力3所在平面的斜截面，其上的應(yīng)力由圖b所示分離體可知，它們與3無(wú)關(guān)，因而顯示這類斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)必落在以1和2作出的應(yīng)力圓上(參見(jiàn)圖c)。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第40頁(yè) / 共79頁(yè) 進(jìn)一步的研究證明，表示與三個(gè)主平面均斜交的任意斜截面(圖a中的abc截面)上應(yīng)力的點(diǎn)D必位于如圖

21、c所示以主應(yīng)力作出的三個(gè)應(yīng)力圓所圍成的陰影范圍內(nèi)。(a)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 同理，顯示與2(或1)所在主平面垂直的那類斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)必落在以1和3(或2和3)作出的應(yīng)力圓上。(c)材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第41頁(yè) / 共79頁(yè) 據(jù)此可知，受力物體內(nèi)一點(diǎn)處代數(shù)值最大的正應(yīng)力max就是主應(yīng)力1，而最大切應(yīng)力為31max21(c)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第42頁(yè) / 共79頁(yè)7-4 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系 前已講到，最一般表現(xiàn)形式的空間應(yīng)力狀態(tài)有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量： x , y , z , xy , yz

22、, zx；與之相應(yīng)的有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量：ex , ey , ez , gxy , gyz , gzx。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第43頁(yè) / 共79頁(yè)關(guān)于應(yīng)力分量的正負(fù)已于7-3中講述；至于應(yīng)變分量的正負(fù)為了與應(yīng)力分量的正負(fù)相一致，規(guī)定：線應(yīng)變ex , ey , ez以伸長(zhǎng)變形為正，切應(yīng)變gxy , gyz , gzx 以使單元體的直角xoy , yoz , zox減小為正。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第44頁(yè) / 共79頁(yè) 本節(jié)討論在線彈性范圍內(nèi)，且為小變形的條件下，空間應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之

23、間的關(guān)系，即廣義胡克定律。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第45頁(yè) / 共79頁(yè) 各向同性材料的廣義胡克定律 對(duì)于各向同性材料，它在任何方向上的彈性性質(zhì)相同，也就是它在各個(gè)方向上應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系相同。因此，對(duì)于各向同性材料： (1) 在正應(yīng)力作用下，沿正應(yīng)力方向及與之垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變，而在包含正應(yīng)力作用面在內(nèi)的三個(gè)相互垂直的平面內(nèi)不會(huì)發(fā)生切應(yīng)變； (2) 在切應(yīng)力作用下只會(huì)在切應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變，而在與之垂直的平面內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)變；也不會(huì)在切應(yīng)力方向和與它們垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料

24、 力力 學(xué)學(xué)第46頁(yè) / 共79頁(yè) 現(xiàn)在來(lái)導(dǎo)出一般空間應(yīng)力狀態(tài)(圖a)下的廣義胡克定律。因?yàn)樵诰€彈性,小變形條件下可以應(yīng)用疊加原理，故知x方向的線應(yīng)變與正應(yīng)力之間的關(guān)系為zyxzyxxEEEEe1第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論同理有yxzzzxyyEEee11，材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第47頁(yè) / 共79頁(yè)至于切應(yīng)變與切應(yīng)力的關(guān)系，則根據(jù)前面所述可知，切應(yīng)變只與切應(yīng)變平面內(nèi)切應(yīng)變只與切應(yīng)變平面內(nèi)的切應(yīng)力相關(guān)，的切應(yīng)力相關(guān)，因而有GGGzxzxyzyzxyxyggg，第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第48頁(yè) / 共79頁(yè)對(duì)于圖b所示的那種

25、平面應(yīng)力狀態(tài)(z0，xz=zx=0，yz=zy=0)，則胡克定律為GEEExyxyyxzxyyyxxgeee11yxxyyx(b)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 各向同性材料的三個(gè)彈性常數(shù)E，G， 之間存在如下關(guān)系：12EG材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第49頁(yè) / 共79頁(yè) 當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)如下圖所示以主應(yīng)力表示時(shí)，廣義胡克定律為213331223211111eeeEEE第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論式中，e1，e2，e3分別為沿主應(yīng)力1，2，3方向的線應(yīng)變。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第50頁(yè) / 共79頁(yè)21312221111eeeEEE第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)

26、度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 在平面應(yīng)力狀態(tài)下，若30，則以主應(yīng)力表示的胡克定律為材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第51頁(yè) / 共79頁(yè) 例題例題 已知構(gòu)件受力后其自由表面上一點(diǎn)處x方向的線應(yīng)變ex240 10-6，y 方向的線應(yīng)變ey=-160 10-6，試求該點(diǎn)處x和y截面上的正應(yīng)力x和y，并求自由表面法線的線應(yīng)變ez。已知材料的彈性模量E=210 GPa，泊松比0.3。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第52頁(yè) / 共79頁(yè) 解解：1. 構(gòu)件的自由表面上無(wú)任何應(yīng)力，故知該點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)。2. 根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律有xyyyxxEEee11，聯(lián)立求解此二式

27、得MPa33.44Pa1033.44 101603 . 0102403 . 01Pa102101666292yxxEee第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論MPa3 .20Pa103 .20 102403 . 0101603 . 01Pa10210166692xyyEee材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第53頁(yè) / 共79頁(yè)再根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律求得6669103 .34 Pa103 .20Pa103 .44Pa102103 . 0yxzEe 需要注意的是，題文中給出了x和y方向的線應(yīng)變，并未說(shuō)明在xy平面內(nèi)無(wú)切應(yīng)變，故不能把求得的x和y認(rèn)為是主應(yīng)力。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

28、應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第54頁(yè) / 共79頁(yè)7- -6 強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力 材料在單向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度(塑性材料的屈服極限，脆性材料的強(qiáng)度極限)總可通過(guò)拉伸試驗(yàn)和壓縮試驗(yàn)加以測(cè)定；材料在純剪切這種特定平面應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度(剪切強(qiáng)度)可以通過(guò)例如圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)來(lái)測(cè)定。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 但是對(duì)于材料在一般平面應(yīng)力狀態(tài)下以及三向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度，則由于不等于零的主應(yīng)力可以有多種多樣的組合，所以不可能總是由試驗(yàn)加以測(cè)定。因而需要通過(guò)對(duì)材料破壞現(xiàn)象的觀察和分析尋求材料強(qiáng)度破壞的規(guī)律，提出關(guān)于材料發(fā)生強(qiáng)度破壞的力學(xué)因素的假設(shè)強(qiáng)度理論

29、，以便利用單向拉伸、壓縮以及圓筒扭轉(zhuǎn)等試驗(yàn)測(cè)得的強(qiáng)度來(lái)推斷復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的強(qiáng)度。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第55頁(yè) / 共79頁(yè)材料的強(qiáng)度破壞有兩種類型； . 在沒(méi)有明顯塑性變形情況下的脆性斷裂； . 產(chǎn)生顯著塑性變形而喪失工作能力的塑性屈服。工程中常用的強(qiáng)度理論按上述兩種破壞類型分為 . 研究脆性斷裂力學(xué)因素的第一類強(qiáng)度理論，其中包括最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論； . 研究塑性屈服力學(xué)因素的第二類強(qiáng)度理論，其中包括最大切應(yīng)力理論和形狀改變能密度理論。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第56頁(yè) / 共79頁(yè) (1) 最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論) 受

30、鑄鐵等材料單向拉伸時(shí)斷口為最大拉應(yīng)力作用面等現(xiàn)象的啟迪，第一強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力中的拉伸主應(yīng)力1達(dá)到該材料在單軸拉伸試驗(yàn)或其它使材料發(fā)生脆性斷裂的試驗(yàn)中測(cè)定的極限應(yīng)力u時(shí)就發(fā)生斷裂。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論由于橫截面上的最大正應(yīng)力 ，bu1max可見(jiàn)，所有應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生脆性斷裂的失效判據(jù)為b1而所有應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生脆性斷裂的極限值其中，b為材料的強(qiáng)度極限。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第57頁(yè) / 共79頁(yè)相應(yīng)的強(qiáng)度條件則是第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 1其中，為對(duì)應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力，b/n，而n為安全因數(shù)。材材 料料 力力

31、 學(xué)學(xué)第58頁(yè) / 共79頁(yè) (2)最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論) 從大理石等材料單軸壓縮時(shí)在伸長(zhǎng)線應(yīng)變最大的橫向發(fā)生斷裂(斷裂面沿施加壓應(yīng)力的方向，即所謂縱向)來(lái)判斷，第二強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變e1達(dá)到該材料在單軸拉伸試驗(yàn)、單軸壓縮試驗(yàn)或其它試驗(yàn)中發(fā)生脆性斷裂時(shí)與斷裂面垂直的極限伸長(zhǎng)應(yīng)變eu時(shí)就會(huì)發(fā)生斷裂?？梢?jiàn)，第二強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為u1ee第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第59頁(yè) / 共79頁(yè)對(duì)應(yīng)于式中材料脆性斷裂的極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變eu， 如果是由單軸拉伸試驗(yàn)測(cè)定的(例如對(duì)鑄鐵等脆性金屬材料)，那么eu

32、u/E； 如果eu是由單軸壓縮試驗(yàn)測(cè)定的(例如對(duì)石料和混凝土等非金屬材料)，那么eu u/E； 如果eu是在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)中測(cè)定的(低碳鋼在三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下才會(huì)未經(jīng)屈服而發(fā)生脆性斷裂)，則eu與試驗(yàn)中發(fā)生脆性斷裂時(shí)的三個(gè)主應(yīng)力均有聯(lián)系。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第60頁(yè) / 共79頁(yè)EEu3211亦即u321而相應(yīng)的強(qiáng)度條件為 321 按照這一理論，似乎材料在二軸拉伸或三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下反而比單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下不易斷裂，而這與實(shí)際情況往往不符，故工程上應(yīng)用較少。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 如果eu是在單軸拉伸而發(fā)生脆性

33、斷裂情況下測(cè)定的，則第二強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)也可以便于運(yùn)用的如下應(yīng)力形式表達(dá)：材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第61頁(yè) / 共79頁(yè) (3) 最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論) 低碳鋼在單軸拉伸而屈服時(shí)出現(xiàn)滑移等現(xiàn)象，而滑移面又基本上是最大切應(yīng)力的作用面(45 斜截面)。據(jù)此，第三強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下當(dāng)一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力max達(dá)到該材料在試驗(yàn)中屈服時(shí)最大切應(yīng)力的極限值u時(shí)就發(fā)生屈服。第三強(qiáng)度理論的屈服判據(jù)為umax對(duì)于由單軸拉伸試驗(yàn)可測(cè)定屈服極限s，從而有us/2，那么上列屈服判據(jù)可寫為22s31s31即第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第62頁(yè) / 共

34、79頁(yè)而相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為 31 從上列屈服判據(jù)和強(qiáng)度條件可見(jiàn)，這一強(qiáng)度理論沒(méi)有考慮復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的中間主應(yīng)力2對(duì)材料發(fā)生屈服的影響；因此它與試驗(yàn)結(jié)果會(huì)有一定誤差(但偏于安全)。 (4) 形狀改變能密度理論(第四強(qiáng)度理論) 注意到三向等值壓縮時(shí)材料不發(fā)生或很難發(fā)生屈服，第四強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下材料發(fā)生屈服是由于一點(diǎn)處的形狀改變能密度vd達(dá)到極限值vdu所致。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第63頁(yè) / 共79頁(yè)于是，第四強(qiáng)度理論的屈服判據(jù)為dudvv 對(duì)于由單軸拉伸試驗(yàn)可測(cè)定屈服極限s的材料，注意到試驗(yàn)中1 s， 230，而相應(yīng)的形狀改變能密度

35、的極限值為2sdu261Ev故屈服判據(jù)可寫為2s21323222126161EE第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第64頁(yè) / 共79頁(yè)此式中，1，2，3是構(gòu)成危險(xiǎn)點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力，相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為 21323222121 這個(gè)理論比第三強(qiáng)度理論更符合已有的一些平面應(yīng)力狀態(tài)下的試驗(yàn)結(jié)果，但在工程實(shí)踐中多半采用計(jì)算較為簡(jiǎn)便的第三強(qiáng)度理論。亦即s21323222121第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第65頁(yè) / 共79頁(yè)(5) 強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力 上述四個(gè)強(qiáng)度理論所建立的強(qiáng)度條件可統(tǒng)一寫作如下形式： r式中，r是根據(jù)不

36、同強(qiáng)度理論以危險(xiǎn)點(diǎn)處主應(yīng)力表達(dá)的一個(gè)值，它相當(dāng)于單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度條件中的拉應(yīng)力，通常稱r為相當(dāng)應(yīng)力。表7-1示出了前述四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第66頁(yè) / 共79頁(yè)相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式強(qiáng)度理論名稱及類型 第一類強(qiáng)度理論(脆性斷裂的理論) 第二類強(qiáng)度理論(塑性屈服的理論) 第一強(qiáng)度理論 最大拉應(yīng)力理論 第二強(qiáng)度理論 最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論 第三強(qiáng)度理論 最大切應(yīng)力理論 第四強(qiáng)度理論 形狀改變能密度理論1r1321r2313r表7-1 四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論2/1213

37、232221r4 21材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第67頁(yè) / 共79頁(yè)7- -8 各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用 前述各種強(qiáng)度理論是根據(jù)下列條件下材料強(qiáng)度破壞的情況作出的假設(shè)，它們也是應(yīng)用這些強(qiáng)度理論的條件：常溫(室溫)，靜荷載(徐加荷載)，材料接近于均勻,連續(xù)和各向同性。 需要注意同一種材料其強(qiáng)度破壞的類型與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第68頁(yè) / 共79頁(yè)第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 帶尖銳環(huán)形深切槽的低碳鋼試樣，由于切槽根部附近材料處于接近三向等值拉伸的應(yīng)力狀態(tài)而發(fā)生脆性斷裂。對(duì)于像低碳鋼一類的塑性材料，除

38、了處于三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)外，不會(huì)發(fā)生脆性斷裂。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第69頁(yè) / 共79頁(yè) 圓柱形大理石試樣，在軸向壓縮并利用液體徑向施壓時(shí)會(huì)產(chǎn)生顯著的塑性變形而失效。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第70頁(yè) / 共79頁(yè) 例題例題 試全面校核圖a,b,c所示焊接工字梁的強(qiáng)度，梁的自重不計(jì)。已知：梁的橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩為 Iz = 88106 mm4；半個(gè)橫截面對(duì)于中性軸的靜矩為S*z,max = 338103 mm3；梁的材料Q235鋼的許用應(yīng)力為 170 MPa， 100 MPa。第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第71頁(yè) / 共79頁(yè)解解: 1. 按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核此梁的彎矩圖如圖d，最大彎矩為Mmax80 kNm。梁的所有橫截面上正應(yīng)力的最大值在C