工程力學(經典)第十二章 彎曲應力

1、12- -1 梁彎曲時的正應力梁彎曲時的正應力12- -2 慣性矩的計算慣性矩的計算12- -3 梁彎曲時的強度計算梁彎曲時的強度計算12- -4 梁彎曲時的切應力梁彎曲時的切應力12- -5 提高彎曲強度的措施提高彎曲強度的措施第十二章第十二章 彎曲應力彎曲應力QFM 梁橫截面上 與彎矩M對應， 與剪力F對應。 純彎曲純彎曲 (pure bending) 梁或梁上的某段內各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對應的正應力。12-1 12-1 梁彎曲時的正應力梁彎曲時的正應力MeMe一、彎曲分類一、彎曲分類 橫力彎曲橫力彎曲 (bending by transverse force)

2、梁橫截面上既有彎矩又有剪力；相應的，橫截面既有正應力又有切應力。FCQFMFMFAC二、二、 純彎曲時的正應力純彎曲時的正應力u計算公式的推導計算公式的推導 (1) 幾何關系幾何關系變形與應變觀察在豎直平面內發(fā)生純彎曲的梁，研究其表面變形情況 . 彎曲前畫在梁的側面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb，在梁彎曲后成為弧線，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長； . 相鄰橫向線mm和nn，在梁彎曲后仍為直線，只是相對旋轉了一個角度，且與弧線aa和bb保持正交。 根據表面變形情況，并設想梁的側面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側表面的交線，可作出如下推論(假設)：

3、平面假設平面假設 梁在純彎曲時，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉動，轉動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設已為彈性力學的理論分析結果所證實。 橫截面的轉動使梁凹入一側的縱向線縮短，凸出一側的縱向線伸長，從而根據變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層 (圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時橫截面繞著它轉動的軸 中中性軸性軸 (neutral axis)。（f)令中性層的半徑為r(如圖c)，則有rddxryxyOOBBABBBdd211113縱向線應變在橫截面范圍內的變化規(guī)律縱向線應變在橫截面范圍內的變化規(guī)律 圖c為由相距

4、d x的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個原來平行的橫截面繞中性軸相對轉動了角d。梁的橫截面上距中性軸 z為任意距離 y 處的縱向線應變由圖c可知為(c)(2)(2)物理關系物理關系力與變形（應力、應變） 梁的材料在線彈性范圍內工作（胡克定律），且拉、壓彈性模量相同時，有ryEE 這表明，直梁的橫截面上的正應力沿垂直于中性軸的方向按線性規(guī)律變化M 即梁在純彎曲時，其橫截面上任一點處的縱向線應變與該點至中性軸的距離 y 成正比。 (3)靜力學關系靜力學關系 應力與內力。MAyMAzd 梁的橫截面上與正應力相應的法向內力元素dA(圖d )不可能組成軸力( )，也不可能組成對于與中性軸垂直的y

5、 軸(彎曲平面內的軸)的內力偶矩( )，只能組成對于中性軸 z 的內力偶矩，即0dNAAF0dAyAzM(d)將 代入上述三個靜力學條件，有ryE0ddNrrzAAESAyEAF(a)0ddrryzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzrrdd2(c) 以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關的幾何量，屬于截面的幾何性質，而 其中 為截面對于z軸的靜矩(static moment of an area)或一次矩（形心計算公式），其單位為m3。AzAySd 為截面對于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。AyzAyzId 為截面對于z軸的慣性矩(moment of

6、 inerita of an area)或二次軸矩，其單位為m4。AzAyId2 由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而該兩式要求：rE 1. 橫截面對于中性軸 z 的靜矩等于零， ；顯然這是要求中性軸 z 通過橫截面的形心；0dAAy 2. 橫截面對于 y 軸和 z 軸的慣性積等于零， ；在對稱彎曲情況下，y 軸為橫截面的對稱軸，因而這一條件自動滿足。0dAAyz0ddNrrzAAESAyEAF(a)0ddrryzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzrrdd2(c)由式(c)可知，直梁純彎曲時中性層的曲率為 上式中的EIz稱為梁的抗彎剛度（對Z軸）。顯然，由于純彎曲

7、時，梁的橫截面上的彎矩M 不隨截面位置變化。zEIMr1 將上式代入得出的式子 即得彎曲正應力計算公式：ryEzIMy(c)MEIAyEAyMzAAzrrdd2 應用此式時，如果如圖中那樣取 y軸向下為正的坐標系來定義式中 y 的正負，則在彎矩 M 按以前的規(guī)定確定其正負的情況下，所得正應力的正負自動表示拉應力或壓應力。但實際應用中往往直接根據橫截面上彎矩的轉向及求正應力之點在中性軸的哪一側來判別彎曲正應力為拉應力還是壓應力；在此情況下可以把式中的 y 看作求應力的點離中性軸 z 的距離。 中性軸 z 為橫截面對稱軸的梁 (圖a，b) 其橫截面上最大拉應力和最大壓應力的值相等；中性軸 z 不是

8、橫截面對稱軸的梁 (圖c) ，其橫截面上的最大拉應力和最大壓應力的值不相等。dzyo(b) yc,max yt,maxyz bd1 hOd2(c) hbzyo(a)zzzWMyIMIMymaxmaxmax 中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應力的值max為式中，Wz為截面的幾何性質，稱為彎曲截面系數（對Z軸）(section modulus in bending)，其單位為m3。hbzyodzyo 中性軸 z 不是橫截面的對稱軸時(參見圖c)，其橫截面上最大拉應力值和最大壓應力值為zIMymax, tmaxt,zIMymaxc,maxc,(1) 矩形截面矩形截面12dd32222b

9、hybyAyIhhAz622bhhIWzz12dd32222hbzhzAzIbbAy622hbbIWyyu簡單截面對于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數簡單截面對于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數思考思考: : 一長邊寬度為 b，高為 h 的平行四邊形，它對于形心軸 z 的慣性矩是否也是 ？123bhIz(2) 圓截面圓截面在等直圓桿扭轉問題中已求得：32d42pdAIAr32ddd4222pdIIAzAyAIyzAAArzoyyzdAdr而由圖可見，2=y2+z2 , 從而知而彎曲截面系數為6424pdIIIyz 32223ddIdIWWyzyz 根據對稱性可知，原截面對于形心軸z和y的慣性矩Iz和I

10、y是相等的，Iz= Iy，于是得zoyyzdAdr(3) 空心圓截面空心圓截面 由于空心圓截面的面積等于大圓的面積AD減去小圓(即空心部分)的面積Ad故有4444442222164646464ddddDdDdDAyAyAyAyIdDdDAAAAAz式中， 。DddOyzD根據對稱性可知：思考思考： 空心圓截面對于形心軸的慣性矩就等于大圓對形心軸的慣性矩減去小圓對于形心軸的慣性矩；但空心圓截面的彎曲截面系數并不等于大圓和小圓的彎曲截面系數之差，為什么？zyzyWWII ,431322DDIWzz而空心圓截面的彎曲截面系數為dOyzDu純彎曲理論的推廣純彎曲理論的推廣 工程中實際的梁大多發(fā)生橫力彎

11、曲，此時梁的橫截面由于切應力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓(bearing)。因此，對于梁在純彎曲時所作的平面假設和縱向線之間無擠壓的假設實際上都不再成立。但彈性力學的分析結果表明，受滿布荷載的矩形截面簡支梁，當其跨長與截面高度之比 大于5時，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應力其誤差不超過1%，故在工程應用中就將純彎曲時的正應力計算公式用于橫力彎曲情況，即hlzzWxMIyxM)( ,)(max 例題例題12-1 圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150 kN。試求危險截面上的最大正應力max。 解：解：在

12、不考慮梁的自重( )的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險截面，相應的最大彎矩值為mkN041. 1 mkN3754m10kN1504maxFlM由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面3cm2342zW4cm65586zIMPa160m102342mN10375363maxmaxzWM于是有顯然，梁的自重引起的最大正應力僅為而危險截面上的最大正應力變?yōu)镸Pa7 .165Pa107 .165m102342mN103886363maxMPa7 . 5MPa1607 .165遠小于外加荷載F 所引起的最大正應力。mkN388mkN13mkN375842maxqlFlM 如果考慮梁的自重(q=1.0

13、41 kN/m)則危險截面未變，但相應的最大彎矩值變?yōu)?工程中常遇到由基本圖形構成的組合截面，例如下面例題中所示的兩種橫截面。當對組合截面桿件計算在外力作用下的應力和變形時需要求出它們對于形心軸x，y (本節(jié)中的x軸就是以前我們所用的z軸) 的一些幾何性質，例如：慣性矩 (moment of inertia)AyAxAxIAyIdd22，慣性積 (product of inertia)AxyAxyId12-2 12-2 慣性矩的計算慣性矩的計算 在已知構成組合截面的每一圖形對于通過其自身形心且平行于組合截面某個軸(例如x軸)的慣性矩時，組合截面的慣性矩可利用平行移軸公式求得。組合截面對于某對相

14、互垂直的軸(例如x，y軸)的慣性積也可類似地求得。 y2 y1yx bd1 hOd2x 已知任意形狀的截面(如圖)的面積A以及對于形心軸xC和yC的慣性矩 及慣性積 ，現需導出該截面對于與形心軸xC ， yC平行的x軸和y軸的慣性矩Ix，Iy和慣性積Ixy。截面的形心C在x，y坐標系內的坐標為CCyxII ，CCyxI。和aybx1. 1. 慣性矩和慣性積的慣性矩和慣性積的平行移軸公式平行移軸公式因截面上的任一元素dA在x，y坐標系內的坐標為ayybxxCC ，于是有AaSaIAaAyaAyAayAyICCxxAACACACAx222222 dd2dddAaIICxx2注意到xC軸為形心軸，故

15、上式中的靜矩 等于零，從而有CxS同理可得 以上三式就是慣性矩和慣性積的平行移軸公式。需要注意的是式中的a，b為坐標，有正負，應用慣性積平行移軸公式時要特別注意。AbIICyy2abAIICCyxxyAaIICxx22. 2. 組合截面的慣性矩及慣性積組合截面的慣性矩及慣性積 若組合截面由幾個部分組成，則組合截面對于x，y兩軸的慣性矩和慣性積分別為nixyixyniyiynixixIIIIII111 ， y2 y1yx bd1 hOd2x 例題例題12-212-2 試求圖a所示截面對于x軸的慣性矩Ix ，對于y軸的慣性矩Iy ，以及對于x，y軸的慣性積Ixy 。(a) 解：解：將截面看作由一個

16、矩形和兩個半圓形組成，半圓形的形心位置如圖b所示。212xxxIII(1)求Ix 設矩形對x軸的慣性矩為 ，每個半圓形對x軸的慣性矩為 ，則有1xI2xI其中：4433mm10333512mm200mm801221adIx83212883222422dddddIIxxC 至于 則需先求出半圓形對其自身形心軸的慣性矩。根據平行移軸公式可得 ，而半圓形對于直徑軸x(圖b)的慣性矩等于圓形對x軸的慣性矩 的一半，于是得83222ddIICxx644d2xI然后再利用平行移軸公式求半圓形對x軸的慣性矩：將 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得從而得圖a所示截面對x軸的慣性矩：832832

17、128 83222224222ddadddddaIICxx44mm1046732xI44mm1027012221xxxIII（2） 求Iy 此組合截面的y軸就是矩形和半圓形的形心軸，故不必應用平行軸公式而有將 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得128212224321ddaIIIyyy44mm100541yI（3） 求 Ixy 由 可知，只要x 軸或y 軸為截面的對稱軸，則由于與該軸對稱的任何兩個面積元素dA的慣性積xydA數值相等而正負號相反，致使整個截面的慣性積必定等于零。圖a所示截面的x 軸和y 軸都是對稱軸，當然Ixy=0。AxyAxyId12-312-3 梁彎曲時的強

18、度計算梁彎曲時的強度計算 等直梁橫截面上的最大正應力發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠的邊緣處，而且在這些邊緣處，即使是橫力彎曲情況，由剪力引起的切應力也等于零或其值很小(詳見下節(jié))，至于由橫向力引起的擠壓應力可以忽略不計。因此可以認為梁的危險截面上最大正應力所在各點系處于單軸應力狀態(tài)。于是可按單向應力狀態(tài)下的強度條件形式來建立梁的正應力強度條件： max式中，為材料的許用彎曲正應力。對于中性軸為橫截面對稱軸的梁，上述強度條件可寫作 zWMmax 由拉、壓許用應力t和c不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分發(fā)揮材料的強度，其橫截面上的中性軸往往不是對稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應力t,ma

19、x和最大工作壓應力c,max分別達到(或接近)材料的許用拉應力t和許用壓應力c 。(a)(b) 例題例題12-3 圖a所示工字鋼制成的梁，其計算簡圖可取為如圖b所示的簡支梁。鋼的許用彎曲正應力=152 MPa 。試選擇工字鋼的號碼。解：在不計梁的自重的情況下，彎矩圖如圖所示mkN375maxM強度條件 要求： zWMmax 366maxm102460Pa10152mkN375MWz363m102447cm2447zW 此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工字鋼。由型鋼規(guī)格表查得56b號工字鋼的Wz為此時危險截面上的最大工作應力為 其值超過許用彎曲應力約4.6%。工程實踐中，如

20、果最大工作應力超過許用應力不到5%，則通常還是允許的。MPa159m102447mN101 .389363maxmaxzWMmkN1 .389mkN1 .14mkN3758mkN3752maxqlM 如果計入梁的自重 ，危險截面仍在跨中，相應的最大彎矩則為mkN1.127mkg115q 0)(FMA05 . 2162132BFkN36BF 0yF01632BAFFkN12AFmm2 .531601402001601201601401002001601y2323)2 .53120()160140(12160140)2 .53100()200160(12200160zI47mm109 . 2mm8

21、 .1462 .532002yzCCIyM176109 . 22 .531012MPa22zCCIyM276109 . 28 .1461012MPa74.60zBBIyM276109 . 28 .146108MPa50.40zBBIyM176109 . 22 .53108MPa67.14zBBIyM2MPa50.40zBBIyM1MPa67.14zCCIyM1MPa22zCCIyM2MPa74.6012-4 12-4 梁彎曲時的切應力梁彎曲時的切應力1dN2AAFAIyMMAzd)d(11AyIMMAzd)d(11AySAzd11*N2)d(zzSIMMF*N1zzSIMF*N2)d(zzSI

22、MMF*N1zzSIMFxbxbFddd 0 xF0dN1N2FFFxbSIMSIMMzzzzd)d(*xbIMSzzdd*xMFddQbISFzzQ*bISFzzQ*QFzI*zSbbISFzzQ*ddbA 11)4(2dd22*zAAyhbbAS)4(2)(22QyhIFyz0bhFbhhFhIFQz231284232Q2Qmax)4(2)(8)(2222QyhbhHBbIFyzAFQmax34AFQmax2bISFzz*maxQmax*maxzSbmm240mm400m3kN85bhlFmm240mm400m3kN85bhlFkN85 mkN5 .127maxQmaxFM4933mm1028. 11240024012bhIzzaBaIyM92MPa.191028. 1200105 .1279649mm1028. 1zIMPa96. 9zcBcIyMMPa0dMPa96. 9e92MPa.19ffa49mm1028. 1zIbISFzzec*Q2401028. 1150)240100(1085930996MPa. 0maxdAF23Q33MPa. 14002402108533一一 合理配置梁的荷載和支座合理配