D高階偏導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1D高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)(do sh)第一頁，共27頁。在點(diǎn)存在(cnzi),的偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意注意:第1頁/共27頁第二頁，共27頁。若函數(shù)(hnsh) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對 x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為(chn wi)偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,記為或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,第2頁/共27頁第三頁，共27頁。例如例如(lr), 三元函數(shù)三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x , y , z) 處對處對 x 的的x偏導(dǎo)數(shù)(do sh)定義為(請自己寫出)第3頁/共27頁

2、第四頁，共27頁。是曲線(qxin)在點(diǎn) M0 處的切線(qixin)對 x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線斜率.是曲線yTyxzOxT對 y 軸的第4頁/共27頁第五頁，共27頁。函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)(do sh)都存在,顯然(xinrn)例如例如(lr),(lr),0但在該點(diǎn)不一定連續(xù)不一定連續(xù).上節(jié)例 在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0)并不連續(xù)!第5頁/共27頁第六頁，共27頁。解法解法(ji f)1(ji f)1解法解法(ji f)2(ji f)2在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù)(do sh).先求后代先代后求第6頁/共27頁第七頁，共27頁。證證:例例3. 求的偏導(dǎo)數(shù)(do

3、 sh) . 解解:求證(qizhng)第7頁/共27頁第八頁，共27頁。偏導(dǎo)數(shù)(do sh)記號是一個求證(qizhng):證證:說明說明:(R 為常數(shù)) , 不能看作分子與分母的商 !此例表明,整體記號,第8頁/共27頁第九頁，共27頁。設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)(linx)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(lin )偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) .按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù):第9頁/共27頁第十頁，共27頁。例如例如(lr)，z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為的三階偏導(dǎo)數(shù)為z = f (x , y)

4、關(guān)于(guny) x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于(guny) y 的一階偏導(dǎo)數(shù)為第10頁/共27頁第十一頁，共27頁。解解 :xzyz注意注意(zh y):(zh y):此處此處但這一結(jié)論(jiln)并不總成立.2exy22exy22exy的二階偏導(dǎo)數(shù)(do sh)及 第11頁/共27頁第十二頁，共27頁。二者不等第12頁/共27頁第十三頁，共27頁。問題問題(wnt)：具備怎樣的條件才能具備怎樣的條件才能(cinng)使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？第13頁/共27頁第十四頁，共27頁。例如例如(lr), 對三元函數(shù)對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,說明說明(shu

5、mng):函數(shù)在其定義區(qū)域(qy)內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時, 有而初等證明 第14頁/共27頁第十五頁，共27頁。證證: :令則則又令第15頁/共27頁第十六頁，共27頁。),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf),(),(0000yxfyxfxyyx在點(diǎn)連續(xù)(linx),得第16頁/共27頁第十七頁，共27頁。證畢證畢解解第17頁/共27頁第十八頁，共27頁。滿足(mnz)拉普拉斯證：證：利用(lyng)對稱性 , 有方

6、程0第18頁/共27頁第十九頁，共27頁。例如例如, 對三元對三元(sn yun)函數(shù)函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明(shumng):函數(shù)在其定義(dngy)區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時, 有而初等證明 第19頁/共27頁第二十頁，共27頁。證證: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yx

7、fyyxfx則),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則)()(00 xxx又令第20頁/共27頁第二十一頁，共27頁。),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfx

8、yyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在點(diǎn))(00yx ，連續(xù)(linx),得0y第21頁/共27頁第二十二頁，共27頁。1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)(yugun)結(jié)論 定義(dngy); 記號; 幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2. 偏導(dǎo)數(shù)的計算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時, 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)第22頁/共27頁第二十三頁，共27頁。解答(jid)提示:P129 題 50P129 題 5 , 6即 xy0 時,第23頁/共27頁第二十四頁，共27頁。(1)(2)第24頁/共27