D87方向?qū)?shù)與梯1學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D87方向方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)與梯導(dǎo)數(shù)與梯1第一頁(yè)，共20頁(yè)。),(zyxPl則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)(do sh)存在 ,證明證明(zhngmng): 由函數(shù)由函數(shù)且有在點(diǎn) P 可微 ,得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P故第1頁(yè)/共20頁(yè)第二頁(yè)，共20頁(yè)。機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)于(duy)二元函數(shù)為, ) 的方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)為Plxyo特別特別: : 當(dāng) l 與 x 軸同向 當(dāng) l 與 x 軸反向向角第2頁(yè)/共20頁(yè)第三頁(yè)，共20頁(yè)。在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量(xingling)3) 的方向(fngxing)導(dǎo)數(shù) .

2、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回(fnhu) 結(jié)束 解解: 向量 l 的方向余弦為第3頁(yè)/共20頁(yè)第四頁(yè)，共20頁(yè)。在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線(qxin)朝 x 增大方向(fngxing)的方向(fngxing)導(dǎo)數(shù).解解:將已知曲線用參數(shù)將已知曲線用參數(shù)(cnsh)方程表方程表示為示為它在點(diǎn) P 的切向量為xoy2P機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)/共20頁(yè)第五頁(yè)，共20頁(yè)。是曲面(qmin)在點(diǎn) P(1, 1, 1 )處指向(zh xin)外側(cè)的法向量,解解: 方向(fngxing)余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P 處沿求函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nn第5頁(yè)/共20頁(yè)

3、第六頁(yè)，共20頁(yè)。方向?qū)?shù)(do sh)公式令向量(xingling)這說(shuō)明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致時(shí)與當(dāng)Gl:GGlfmax第6頁(yè)/共20頁(yè)第七頁(yè)，共20頁(yè)。即同樣(tngyng)可定義二元函數(shù)稱為(chn wi)函數(shù) f (P) 在點(diǎn) P 處的梯度記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 G說(shuō)明說(shuō)明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義第

4、7頁(yè)/共20頁(yè)第八頁(yè)，共20頁(yè)。函數(shù)在一點(diǎn)(y din)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線) ,機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 稱為(chn wi)函數(shù) f 的等值線 . 則L*上點(diǎn)P 處的法向量為 oyxP同樣, 對(duì)應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí), 其上 點(diǎn)P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.第8頁(yè)/共20頁(yè)第九頁(yè)，共20頁(yè)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回(fnhu) 結(jié)束 第9頁(yè)/共20頁(yè)第十頁(yè)，共20頁(yè)。證證:Pxozy試證機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,r第10頁(yè)/共20頁(yè)第十一頁(yè)，共20頁(yè)。函數(shù)(

5、hnsh)(物理量的分布)數(shù)量數(shù)量(shling)場(chǎng)場(chǎng) (數(shù)數(shù)性函數(shù)性函數(shù))場(chǎng)向量場(chǎng)向量場(chǎng)(矢性函數(shù))可微函數(shù)梯度場(chǎng)梯度場(chǎng))(gradPf( 勢(shì) )如: 溫度場(chǎng), 電位場(chǎng)等如: 力場(chǎng),速度場(chǎng)等(向量場(chǎng)) 注意注意: 任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是梯度場(chǎng).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)/共20頁(yè)第十二頁(yè)，共20頁(yè)。已知位于(wiy)坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷 q 在任意點(diǎn)試證證證: 利用利用(lyng)例例4的的結(jié)果結(jié)果 這說(shuō)明(shumng)場(chǎng)強(qiáng):處所產(chǎn)生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Eugrad)4(02rrqE 場(chǎng)強(qiáng)04gradrrqu024r

6、rqE0)()(gradrrfrf第12頁(yè)/共20頁(yè)第十三頁(yè)，共20頁(yè)。1. 方向方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 三元(sn yun)函數(shù) 在點(diǎn)),(zyxP沿方向 l (方向角的方向?qū)?shù)為 二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向 l (方向角為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第13頁(yè)/共20頁(yè)第十四頁(yè)，共20頁(yè)。2. 梯度梯度(t d) 三元(sn yun)函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)),(zyxP處的梯度(t d)為 二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)),(yxP處的梯度為3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影

7、.第14頁(yè)/共20頁(yè)第十五頁(yè)，共20頁(yè)。1. 設(shè)函數(shù)(hnsh)(1) 求函數(shù)在點(diǎn) M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線(qxin)在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度梯度與(1)中切線方向切線方向 的夾角 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第15頁(yè)/共20頁(yè)第十六頁(yè)，共20頁(yè)。曲線(qxin) 12 32tztytx1. (1)在點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函數(shù)沿 l 的方向?qū)?shù)lM (1,1,1) 處切線的方向向量第16頁(yè)/共20頁(yè)第十七頁(yè)，共20頁(yè)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回(fnhu) 結(jié)束 ll第17頁(yè)/共20頁(yè)第十八頁(yè)，共20頁(yè)。函數(shù)(hnsh)在點(diǎn)處的梯度(t d)解解:則注意 x , y , z 具有輪換對(duì)稱性(92考研考研)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)/共20頁(yè)第十九頁(yè)，共20頁(yè)。指向(zh xin) B