結構力學課件CH08

1、v虛功及虛功原理理v結 構 位 移 計 算 的 一 般 公 式v圖乘法及舉例v溫 度 改 變 產 生 的 位 移 計 算v支 座 移 動 產 生 的 位 移 計 算v線彈性體互等定理81 結構位移計算概述 a）驗算結構的剛度；b）為超靜定結構的內力分析 打基礎；c）建筑起拱。M Q N -t+t不產生內力，產生變形產生位移b）溫度改變和材料脹縮；c）支座沉降和制造誤差不產生內力和變形產生剛體移動位移是幾何量，自然可用幾何法來求，如lD=bxdwd=k22但最好的方法不是幾何法，而是虛功法。其理論基礎是虛功原理。a）荷載作用；2、產生位移的原因主要有三種： 計算位移時，常假定：1）=E；2）小變

2、形；3）具有理想約束的體系。即：線彈性體系。荷載與位移成正比，計算位移可用疊加原理。 1、計算位移有三個目的：如屋架在豎向荷載作用下，下弦各結點產生虛線所示位移 將各下弦桿做得比實際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設計的水平位置。返航 82虛功原理 一、實功與虛功 實功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22。實功恒為正。 虛功是力在其它原因產生的位移上作的功。 如T12，如力與位移同向，虛功為正，如 力與位移反向，虛功為負P1P2112212荷載由零增大到P1，其作用點的位移也由零增大到11，對線彈性體系P與成正比。P11P1元功 dT=PdT11=d

3、T=SOAB =1/2P111再加P2，P2在自身引起的位移22上作的功T22=1/2P222在12過程中，P1的值不變，T12=P11212與P1無關dTOABKj位移發(fā)生的位置產生位移的原因 二、廣義力與廣義位移作功的兩方面因素：力、位移。與力有關因素，稱為廣義力S；與位有關的因素，稱為廣義位移。廣義力與廣義位移的關系是：它們的乘積是虛功。即：T=S1）廣義力是單個力P，則廣義位移是該力的作用點的全位移在力的方向上的分量。Pm2）廣義力是一個力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉角。3）若廣義力是等值、反向的一對力PPPttABBAT=PA+PB=P（ A+B） =P這里是與廣義力相應的廣義

4、位移。 表示AB兩點間距的改變，即AB兩 點的相對位移。4）若廣義力是一對等值、反向的力偶mABmmABT=mA+mB=m（ A+ B）=m這里是與廣義力相應的廣義位移。表示AB兩截面的相對轉角。 剛體虛功原理靜力分析的方法基本方法：選分離體，列平衡方程。虛功法：虛擬位移狀態(tài)，建立虛功方程。1、虛功原理 設在具有理想約束的剛體體系上作用任意的平衡力系， 又設體系發(fā)生滿足約束條件的無限小的剛體位移， 則主動力在位移上所作的虛功總和恒為零。是指約束反力在可能位移上所作虛功恒等于零的約束作功的雙方（平衡力系、可能位移）彼此獨立無關虛功原理的應用1）需設位移求未知力（虛位移原理）2）需設力系求位移（虛

5、力原理）abACB 1）需設位移求未知力（虛位移原理）PX求杠桿在圖示位置平衡時X的值。PXXXPP=0（XP）XPDDP 1 X =1，P=b/aPabPXP=dPXP=-d01剛體內力在可能的位移上所作虛功恒為零1 1）由虛位移原理建立的虛功方程，實質上是平衡）由虛位移原理建立的虛功方程，實質上是平衡方程。如（方程。如（c c）式就是力矩平衡方程）式就是力矩平衡方程MCMC0 02 2）虛位移與實際力系是彼此獨立無關的，為了方）虛位移與實際力系是彼此獨立無關的，為了方便，可以隨意虛設，如設便，可以隨意虛設，如設X=1X=1。3 3）虛功法求未知力的特點是采用幾何的方法求解）虛功法求未知力的

6、特點是采用幾何的方法求解靜力平衡問題。靜力平衡問題。X=0 =0 （c）PabX = P 1 P 1 P 1 ababababab 例6-3 各段桿長為a，求該機構在圖示位置平衡時，P與X的關系。PxbyPX1、虛設位移，建立位移之間的關系,Pctgq23=PXPX0=D-DqdaPqcos3=Dq,daXqsin2=Ddadyqqcos3=dadbqq,sin2-=ayqsin3=abqcos2=PXXPDD2、建立虛功方程，求未知力虛功法的特點：虛功法的特點： 1 1、將平衡問題歸結為幾何問題求解；、將平衡問題歸結為幾何問題求解； 2 2、直接建立荷載與未知力之間的關系，、直接建立荷載與未

7、知力之間的關系， 而不需求其它未知力。而不需求其它未知力。動畫演示T1 byPXbyP2、應用虛功原理求靜定結構的約束力 作出機構可能發(fā)生的剛體虛位移圖；2、應用虛功原理求靜定結構的某一約束力X的方法：1）撤除與X相應的約束，使靜定結構變成具有一個自由度的機構， 使原來的約束力X變成主動力。2）沿X方向虛設單位虛位移。利用幾何關系求出其它主動力對應的虛位移。3）建立虛功方程，求未知力。a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAX=11.50.75YCqqaqa2虛功方程為: YC10.75/a+qa0.75 qa20.75/a q1.53a/20YC=2.25qa a 2aa 2aaqaqa2

8、qFEDCBAqaqa2QCQC 10.50.25虛功方程為: QC10.25/a+qa0.25 qa20.25/a q(12a/2+0.5 a/2 )0QC=1.25qa a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAqaqa20.5a0.25a虛功方程為: MA10.25MA1a(上拉)+qa0.25a qa20.25 +q(a2a/2 0.5a a/2MA= 0.75qa2)0 3、應用虛功原理求靜定結構的位移 b acP=1baPRA=建立虛功方程：P+Rac=0cbacbaPP-=D=D0（）1 1）由虛力原理建立的虛功方程，實質上是幾何方程。）由虛力原理建立的虛功方程，實質上是幾何方程

9、。2 2）虛荷載與實際位移是彼此獨立無關的，為了方便，）虛荷載與實際位移是彼此獨立無關的，為了方便， 可以隨意虛設，如設可以隨意虛設，如設P=1P=1。3 3）虛功法求位移的特點是采用平衡的方法求解幾何）虛功法求位移的特點是采用平衡的方法求解幾何 問題。問題。 剛體在外力作用下處于平衡的充分必要條件是， 對于任意微小的虛位移，外力所作的虛功之和等于零。T12 0三、剛體虛功原理12四、變形體系的虛功原理:狀態(tài)1是滿足平衡條件的力狀態(tài)，狀態(tài)2是滿足變形連續(xù)條件的位移狀態(tài)，狀態(tài)1的外力在狀態(tài)2的位移上作的外虛功等于狀態(tài)1的各微段的內力在狀態(tài)2各微段的變形上作的內虛功之和變12V即：T12=變12V

10、證明N1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMdsdsds2dsd2=2ds微段的變形可分為2ds，2ds，2ds=dsMdsQdsN1dVV212121212kge變變變12dV=N12ds+Q12ds+M12dsdsMdsQdsN121212kgeT12=dsMdsQdsNT21212112kge2ds 例：圖a所示剛架由于某種原因橫梁和立柱同時發(fā)生圖示常曲率的彎曲變形且B點無線位移。現已知橫梁的曲率為BC=0.001m-1。試應用虛功原理求立柱AB的曲率AB。8m5mABCABBCM=1M=1虛設力系解： 虛功方程為：10016.058-=mBCABkk15180-=ABBCkk11=-

11、 dxMACkqqA=B=C 1內力是成對出線的，等值反向， 變形是連續(xù)，所以左段右截面與右段的左截面的內力等值反向，位移相同， 這樣，相鄰微段間的相互作用力的功相互抵消。 于是，整個梁各微段的內力在位移上的總功等于零：0內12V=12N1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMds1，求dV12之和V12=dV122，求V12的方案一： 微段上受的力梁上的外力外12V內1212VV= 內 外121212dVdVdV=內12dV外12dV外12V=T12（a）3，求V12的方案二：將狀態(tài)2中ab微段的位移過程分為ababababb剛12dV變12dV12dV=隨a截面的剛體位移，移至ab=變12

12、dV因為微段平衡 所以剛12dV=0變1212VV=（b）由 （a）、（b）得：T12=V12虛功原理的證明返航截面內力變形引起的位移（a截面不動）再移至ab 83 單位荷載法 位移計算的一般公式=dsMdsQdsNT21212112kgeP1P2t1t2222位移狀態(tài) 2c1c2KKKHP=1MQN虛擬力狀態(tài) 12R1R需首先虛擬力狀態(tài) 在欲求位移處沿所求位移方向加上相應的廣義單位力P=1.()=D iiKH dsMQNcR2221kge()-=DiicR dsMQN222kge(810) (810)式是結構位移計算的一般公式,注:1) 適用于靜定結構和超靜定結構; 2) 材料可以是彈性的也

13、可是非彈性的; 3) 產生位移的原因可以是各種因素; 4) 既考慮了彎曲變形也考慮了剪切變 形和軸向變形對位移的影響； 5) (810)右邊四項乘積,當力與變形的 方向一致時,乘積取正。 荷載作用下的位移計算()-=DiicR dsMQN222kge(810)NP QP MPEIMGAkQEANPPP=222kge真實位移狀態(tài)=DdsGAQQkdsdsEIMMPPEANNPkp（815）注：（1）EI、EA、GA是桿件截面度； k是截面形狀系數k矩=1.2， k圓=10/9。（2） NP、QP、MP實際荷載引起的內力， 是產生位移的原因；虛設單位荷載 引起的內力是MQN,dsEIMMP（5）桁

14、架 =EANNPds =lEANNP（6）桁梁混合結構 lEANNdsEIMMPP用于梁式桿用于桁架桿（7）拱 通常只考慮彎曲變形的影響精度就夠了；僅在扁平拱中計算水平位移 時才考慮軸向變形對位移的影響，即dsEIMMPEANNP+=（3） 公式右邊各項分別表示軸向、剪切、彎曲變形對位移的影響。（4）梁和剛架的位移主要是彎矩引起的= （8）該公式既用于靜定結構也用于超靜定結構。但必須是彈性體系 （9）虛擬力狀態(tài)：在擬求位移處沿著擬求位移的方向，虛設相應的廣義單位荷載。P=1m=1m=1m=1P=1P=1l1/l1/lAB求A點的水平位移求A截面的轉角求AB兩截面的相對轉角求AB兩點的相對位移求

15、AB兩點連線的轉角位移方向未知時無法直接虛擬單位荷載！ 例8-4（P148）圖示屋架的壓桿采用鋼筋混凝土桿，拉桿采用鋼桿。求C的豎向位移。柱 q解：1)將q化為結點荷載P=ql/4-4.74P-4.42P4.5P3.0P2)求N3)求NPPPPP/2P/20.287l0.25l0.222l0.25l0.263l0.263lADCEGBFl/12 l/122P2P84 荷載作用下的位移計算舉例ADCEGBF11/21/21.501.50-1.58-1.58002)求N4)求C=DEAlNNPC材料桿件NPAlNEAlNNP鋼筋混凝土鋼筋ADCDDECEAEEG1.581.5001.501.504

16、.74P4.42P4.50P3.00P0.263l0.263l0.088l0.278l0.278l0.222lAbAb0.75AbAg3Ag2Ag1.97Pl/AbEb1.84Pl/AbEb000.63Pl/AgEg0.5Pl/AgEgC=Pl(3.81/AbEb+ 1.13/AgEg)2 3)求NPPP=1例：求圖示曲桿（1/4圓?。╉旤c的豎向位移。解：1）虛擬單位荷載q cos=Qq sin-=Nq sin-=RMqcos=PQPqsin-= PNPqsin-= PRMP虛擬荷載3）位移公式為QNMDDD=PPPGAdsQQEAdsNNEIdsMM=DGAPREAPREIPR=D4443p

17、k ppds=Rddds鋼筋混凝土結構G0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001DDMND4001DMQD2=DMNARI2412=DDMQRhGAREIk可見剪切變形和軸向變 形引起的位移與彎曲變形 引起的位移相比可以忽略 不計。但對于深梁剪切變 形引起的位移不可忽略.2）實際荷載dGAPRdEAPREIPR=cossin20203q qk qqpp22h101R如2121=Rh Pl/2l/2EIABx1x2例：求圖示等截面梁B端轉角。解：1）虛擬單位荷載m=1MP（x1）=Px/2 0 x1l/2MP（x2）=P（lx）/2 l/2 x2llx (x)M=0 xlEIP

18、l162=EIdxxlPlxdxEIPxlxlll2)(2220-=EIdsMMlPB0=積分?？捎脠D形相乘來代替2）MP須分段寫 kidsEIMM=kiCEIdxMMEI1=DPEIydxEIMM0w=yEI01w=xtgEI01wa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直線kidxEIMM直桿MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0注注：表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。圖乘法的應用條件：a）EI=常數；b）直桿；c）兩個彎矩圖 至少有一個是直線。豎標y0取在直線圖形中，對應另一圖形的形心處。面積與豎標y0在桿的同側， y0 取正號，否則取負號。y0=x0tg 85

19、圖乘法 位移計算舉例幾種常見圖形的面積和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線=hl/3二次拋物線=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點頂點 當圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a）曲桿或 EI=EI（x）時，只能用積分法求位移；b）當EI 分段為常數或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4EIPllPlEIB162142112-=-=ql2/2MMPMPP=1lMlqABEIqlllqlEIB8

20、43231142=D例:求梁B段轉角。例:求梁B點豎向位移。3l/4M、MP均非直線時，應分段圖乘再疊加。 PPaaa例：求圖示梁中點的撓度。PaPaMPP=13a/4MEIPaPaaaaPaEIaa24232222232213432=Da/2a/2PaaaEI=D343211Pl/2l/2C例：求圖示梁C點的撓度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65llEIyC22210=Dw5Pl/6？ 圖乘法 位移計算舉例=DPEIydxEIMM0w表示對各桿和各桿段分別圖乘而后相加。圖乘法的應用條件：豎標y0面積與豎標y0在桿的同側， y0

21、取正號，否則取負號。幾種常見圖形的面積和形心的位置：h3l/4l/4二次拋物線=hl/3頂點l/2l/2h二次拋物線=2hl/3頂點 a）EI=常數；b）直桿；c）兩個彎矩圖 至少有一個是直線。取在直線圖形中，對應另一圖形的形心處。當圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a）曲桿或 EI=EI（x）時，只能用積分法求位移；b）當EI 分段為常數或 M、MP均非直線時，應分段圖乘再疊加。 非標準圖形乘直線形a）直線形乘直線形abdcl/3l/3l/311y1y2()bcadbdacl=226dc323bl2dc332al=2yydxMMki=2211wwMiMk各種直線形乘直線形，都可以用該公式處

22、理。如豎標在基線同側乘積取正，否則取負。S = 9/6（262 +2 43+6 3+42） =111（1）32649 S = 9/6（262+203+6302） = 9S=9/6（262243+6342） =15S = 9/6（262+2436342） = 332364（3）9（2）32649（4）2369 labdch+bah232dchl()226bcadbdaclS=b)非標準拋物線成直線形例8-8 （P156）預應力鋼筋混凝土墻板起吊過程中的計算簡圖。已知：板寬1m，厚2.5cm,混凝土容重為25000N/m3,求C點的撓度。解：q=2500010.025625N/m I=1/12 1

23、002.53cm4=1.3 10-6m4 E=3.3 1010N/m2 折減抗彎剛度 0.85EI=3.6465 104Nm2舉例 2.2m0.8mABC折減抗彎剛度 0.85EI=3.6465 104Nm2200378P=10.8MPMq=625N/m2.2m0.8mABC1y136.08.0433=y4.08.0212-=y533.08.0321=y()85.01332211=DyyyEIwww3.538.0200313=w5552.2378322=w2202.2200211=w()cmm2 . 01026 . 03 .534 . 0555533. 02206465. 313-=-=-=-

24、y32y2 qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPP=111l1y12y22y3BM23=ly3221=yly12832323=qllqlw42212321=qllqlww8321232432414222=EIqllqllqllqlEI()1332211=DMyyyEIwww1=N0=NNP=ql/2NP=0900193434832101222122423=DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=DPNEAqlEAlqlEAlNN6kN2kN/m2kN/m 6m3m3mAB求AB兩點的相對水平位移。36189MPP=1P=163M)()=EI-756332231

25、8-EI643636311-2639632(-=DEI61833631826362661EI=常數9 9 9 999()2718318185 . 4463666-=-Sinpson法 ()( )有關誤差與4210024620yyyyxxydxSxx-=9 P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2M求B點的豎向位移。EIql256174=lllqlEI25 .023232212-lqllqllqllqllEI8222822265 .0212222lqlEIlB432831122=DEIqlllqlEIB843231142=DylqlEIB283312102=Dq？ql2/8l/2？q

26、l2/32y0 dxMMEIlP021dxMMEIEIlP-=021111dxEIMMdxEIMMlPlP020211dxEIMMdxEIMMllPlPVB=D20111上式中的兩項積分都是標準圖形相乘。如l1=l/2，EI2=2EI1，則1325617EIql=214323121llqlEI2112432831211llqlEIEIVB-=DMPMP=1xl1lqA BEI2EI1ql2/2 lql2/8l/2 aEI2aEI1allEI2aEI2+allEI2aEI1=aEI1 2-1、圖示虛擬的廣義單位力狀態(tài)，可求什么位移。ABP=1/lP=1/lP=1/lP=1/lllC ABP=1/

27、 lP=1/llABP=1/ lP=1/ ll（ ）AB桿的轉角AB連線的轉角AB桿和AC桿的相對轉角 3-14 判斷下列圖乘結果正確與否。 S=y0（ ）y0 S=y0 （ ）y0 S=y0 （ ）y0 S=1y1+2y2 （ ）1y12y2y0 S=y0 （ ）y0 S=y0 （ ） -llPllPdxEIMMdxEIMM1111=llPlPdxEIMMdxEIMM11201=DllPlPdxEIMMdxEIMM11201()-llPdxMMMEI1211=lPdxMMEI011MPMPxqll1M1M1M2 例：試求等截面簡支梁C截面的轉角。ql/5 4l/52ql2/25ql2/8MP

28、11/54/51=qllqll125853225252122-lqlEIC2183212=qEIql100333=M 1）溫度改變對靜定結構不產生內力，材料的自由脹、縮。2）假設：溫度沿截面高度為線性分布。t1t2t0hh1h2t0=（h1t2+h2t1）/ht=t2-t13）微段的變形 dsdat0dsk=d/ds =a（t2-t1）ds/hds = at/h=0 () -=DiicR dsMQN222kge(810)Dit=MNhttwawa0D=dsMhtdsNtaa0D=DitdshtMdstNaa0該公式僅適用于靜定結構e=at0at1dsat2ds 86 溫度改變而產生的位移計算例

29、8-11求圖示剛架C點的豎向位移。各桿截面為矩形。aa01010CP=1P=11aMN 10010520100=-=D=tt）（ aahthtNMc-=D=Daawawa523102-=haa315a靜定結構由于支座移動不會產生內力和變形，所以e=0，k=0g=0。代入()-=DiicR dsMQN222kge(810)得到：-=DKKiccR僅用于靜定結構abl/2l/2h1 10=AY1=BhX0=BY=1AhX()弧度hacR-=-=D0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1

30、=BhX0=BY=1AhX 87 支座移動而產生的位移計算應用條件:1)應力與應變成正比; 2)變形是微小的。 即:線性變形體系。P1P2F1F2N1 M1 Q1GAkQEIMEAN2022222=gkeGAkQEIMEAN1011111=gkeN2 M2 Q21、功的互等定理dsGAQkQEIMMEANN121212=D=FW1221 =dsGAQkQEIMMEANN212121D=PW2112功的互等定理：在任一線性變形體系中，狀態(tài)的外力在狀態(tài)的位移上作的功W12等于狀態(tài)的外力在狀態(tài)的位移上作的功W21。即： W12= W21 88互等定理2、位移互等定理P1P2 （8-30） 位移互等定理：（P166） 在任一線性變形體系中，由荷載P1所引起的與荷載P2相應的位移影響系數21 等于由荷載P2所引起的與荷載P1相應的位移影響系數12 ?；蛘哒f,由單位荷載P1=1所引起的與荷載P2相應的位移21等于由單位荷載P2=1所引起的與荷載P1相應的位移12 。21122112dd=jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121稱為位移影響系數，等于Pj=1所引起的與Pi相應的位移。注意:1）這里荷載可以是廣義荷