第九講(1)機器人動力學拉格朗日方程

1、21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例 例2：如圖所示為兩桿平面機器人，為了簡單起見，我們假設(shè)每個桿件的質(zhì)量集中于桿件的前尾部，其大小為m1和m2。222111,XlPXlPcc解：每個桿件的質(zhì)量中心矢量為： 由于點質(zhì)量假設(shè)，每個桿件相對質(zhì)心的慣性張量為零，即：0, 021ccII21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r

2、 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例末端執(zhí)行器上無作用力，所以：0, 000基座靜止，因此：考慮到引力，我們使用：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例應用遞推公式有：向前：1桿件：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉

3、方程實例2桿件：慣性力慣性力矩21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例向后遞推：2桿件：1桿件：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv

4、vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例取力矩的Z分量，得到關(guān)節(jié)力矩：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例11212122222212212212222122221221222221211cos)cos(sinsin2coscos2)(glmmglml lml lml lmlml lmlmlmm）（ )cos(sincos21222122122222122121

5、2222glmllmlmllmlm ）（整理得：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例 通常，機器人的動力學方程常寫為抽象的形式，令：離心力科氏力2121111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02稱 為慣量陣， 是離心力、科氏力等相關(guān)部分， 為重力部分。 因為 中僅有速度

6、和位形，上述方程也稱狀態(tài)空間方程。特點： 多變量、時變、非線性、強耦合。機器人機構(gòu)動力學方程有：QGVM)(),()( 其中： 為廣義坐標向量， 為廣義力向量。 )(M)(G),(VQ),(V21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學方程簡介機器人拉格朗日動力學方程簡介 拉格朗日方程是基于能量項（動能T、勢能V）對系統(tǒng)變量及時間的微分而建立的。 對于簡單系統(tǒng)拉格朗日方程法相較于牛頓歐拉方程法更顯復雜，然而隨著系統(tǒng)

7、復雜程度的增加，拉格朗日方程法建立系統(tǒng)運動微分方程變得相對簡單。 21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/02系統(tǒng)的動能 和位能 之差，稱為拉格朗日函數(shù)，即：4.3 機器人拉格朗日動力學方程簡介系統(tǒng)拉格朗日方程為： iiidLLQdtqq1, 2,.in式中： niQLkEpEkpLEE 系統(tǒng)的廣義坐標數(shù)作用在第i個廣義坐標上的廣義 力或廣義力矩第i個廣義坐標第i個廣義速度iq iq21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkj

8、kTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學方程簡介 例3：對例2所示兩桿平面機器人用拉格朗日方法建立動力學方程。解：1、動能和勢能 連桿1的動能為： 設(shè)Y0=0為零勢面，則連桿1的勢能為：21111)(21lmT1111singlmV 21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學方程簡介 質(zhì)量

9、m2的位置表示為：)sin(sin)cos(cos212112212112llyllx)(coscos)(insin212121112212121112llysllx則質(zhì)量M2的速度平方為：)cos(2)2()(coscos)(insin2121212221212221212212121112212121112222llllllsllyx）（）（)(cos2)2(21212122122212122212122l lllmT所以，M2動能為：速度分量為：勢能為：)sin(sin21221122glmglmV21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqq

10、Traceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學方程簡介2、拉格朗日函數(shù))sin(sin)()(cos)(21)(2121221121212122122212222121212211glmglmml lmlmlmmVTVTL3、動力學方程)2(cos)()(21221221222121211l lmlmlmmL)cos(cos)(212211211glmglmmL222212212212222122221221222221211sinsin2coscos2)( l lml lml lmlml lmlmlmm

11、Ldtd21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學方程簡介12212212222cos)(l lmlmL21和21和 廣義坐標為 對應的廣義外力為作用于的關(guān)節(jié)上的驅(qū)動力距 。)cos()(in212221122122glmslglmL21221212212222212222sincos l lml lmlmlmLdtd222111-LLdtdLLdtd21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjk

12、TraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學方程簡介代入： 比較例2與例3可知，用牛頓-歐拉法與拉格朗日法得到的結(jié)果是相同的。)cos(cossinsin2coscos2)(21221121222212212212222122221221222221211glmglmml lml lml lmlml lmlmlmm）（ )cos(sincos212221221222221221212222glml lmlml lmlm ）（21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij

13、kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學方程簡介步驟總結(jié)： 1、機械臂上一點速度 設(shè)桿件i上一點ri，它在基坐標系中的位置為：iirTr其中，Ti是i坐標系相對基礎(chǔ)坐標系的齊次變換矩陣。 那么，該點的速度為：iijjjiirqqTdtdrv121111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力

14、學方程簡介求出速度的平方：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學方程簡介 2、求系統(tǒng)動能3、求系統(tǒng)位能1112111212k tpTniiiiijkijkjknnTaiiiiiiiLEET r a c eqqqqqmTTHIgTr21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學方程簡介4、計算拉格朗日函數(shù)21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學方程簡介5、代入拉格朗日方程21111TTiiTiijkjkjkTiiTiij kjkjkTraceTraceqqqqTraceqqqq vv vv vTTrrTTr r 山東大學機械工程學院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學方程簡介,m a x (,