第7章離散控制系統(tǒng)

1、2022-6-261馮大鵬馮大鵬2022-6-262 離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相比，既有本質(zhì)上的不同，又有分析和研究方法的相似性。利用Z變換法研究離散系統(tǒng)，可以將連續(xù)系統(tǒng)中的許多概念和方法，推廣至離散系統(tǒng)中。本章主要討論離散時(shí)間線性系統(tǒng)的分析方法。首先建立信號(hào)采樣和保持的數(shù)學(xué)描述，然后介紹Z變換理論與性質(zhì)，以及系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，最后研究系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。第7章 離散控制系統(tǒng)7.1概述7.2采樣過(guò)程與采樣定理7.3 Z變換理論7.4 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述7.5 離散控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)2022-6-2637.1 概述 如果系統(tǒng)中的變量都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，稱該系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。但在

2、許多實(shí)際系統(tǒng)中，連續(xù)控制是十分困難的，甚至是難以實(shí)現(xiàn)的。 離散控制系統(tǒng)（又稱為采樣控制系統(tǒng)），它與連續(xù)控制系統(tǒng)的根本區(qū)別在于：離散系統(tǒng)有一處或幾處信號(hào)是時(shí)間的離散函數(shù)。 一般情況下，控制信號(hào)是離散型時(shí)間函數(shù)r*(t)，因此取系統(tǒng)輸出端的負(fù)反饋信號(hào)也需要采取離散型時(shí)間函數(shù)b*(t)，于是比較后得到的偏差信號(hào)將是離散型時(shí)間函數(shù)，即 *( )( )( )e tr tb t(7-1)2022-6-264 因此在離散系統(tǒng)中，通過(guò)控制器對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制的偏差信號(hào)e*(t)仍是離散信號(hào)。圖7.1是離散系統(tǒng)的方框圖。圖中兩個(gè)采樣開(kāi)關(guān)的動(dòng)作一般是同步的，因此可等效地簡(jiǎn)化為圖7.2的形式。其中離散反饋信號(hào)b*(

3、t)是由連續(xù)型的時(shí)間函數(shù)b(t)通過(guò)采樣而獲得的。采樣開(kāi)關(guān)經(jīng)一定時(shí)間T后閉合，每次閉合時(shí)間為(T)，如圖7.3所示。 圖7.1 離散系統(tǒng)方框圖圖7.2 離散系統(tǒng)簡(jiǎn)化方框圖2022-6-265圖7.3 離散型時(shí)間函數(shù) 離散控制系統(tǒng)最常見(jiàn)形式是數(shù)字控制系統(tǒng)。圖7.4是數(shù)字控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。圖中用于控制的計(jì)算機(jī)D工作在離散狀態(tài)，被控對(duì)象G(s)工作在模擬狀態(tài)。 2022-6-266圖7.4 數(shù)字控制系統(tǒng) 圖中連續(xù)控制信號(hào)r(t)和反饋信號(hào)b(t)經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換器被轉(zhuǎn)換成離散數(shù)字信號(hào)r*(t)和b*(t)，相比較后得到離散偏差信號(hào)e*(t)=r*(t)b*(t)。通過(guò)計(jì)算機(jī)運(yùn)算，產(chǎn)生離散控制序列u*(t

4、)。u*(t)再經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)u(t)去控制被控對(duì)象，使系統(tǒng)輸出滿足性能指標(biāo)的要求。( )r t*( )e t*( )b t( )c t( )G sA/DD/A*( )r t( )H sA/D數(shù)數(shù)模模計(jì)算機(jī)數(shù)字部分模擬部分D)(tb)(tu)(*tu2022-6-267 由于A/D和D/A轉(zhuǎn)換器的轉(zhuǎn)換精度一般都比較高，轉(zhuǎn)換所造成的誤差通?？珊雎圆挥?jì)，因此A/D和D/A轉(zhuǎn)換器可以用采樣開(kāi)關(guān)來(lái)表示。圖7.5是圖7.4所示的數(shù)字控制系統(tǒng)簡(jiǎn)化后的等效框圖，其中采樣開(kāi)關(guān)的動(dòng)作是同步的。圖7.5 數(shù)字控制系統(tǒng)的簡(jiǎn)化框圖 2022-6-268數(shù)字控制系統(tǒng)較之一般的連續(xù)控制系統(tǒng)具有如下一些優(yōu)點(diǎn)：

5、 n能夠保證足夠的計(jì)算精度；n在數(shù)字控制系統(tǒng)中可以采用高精度檢測(cè)元件和執(zhí)行元件，從而提高整個(gè)系統(tǒng)的精度；n數(shù)字信號(hào)或脈沖信號(hào)的抗干擾性能好，可以提高系統(tǒng)的抗干擾能力；n可以采用分時(shí)控制方式，提高設(shè)備的利用率，并且可以采用不同的控制規(guī)律進(jìn)行控制；n可以實(shí)現(xiàn)一些模擬控制器難以實(shí)現(xiàn)的控制律，特別對(duì)復(fù)雜的控制過(guò)程，如自適應(yīng)控制、最優(yōu)控制、智能控制等，只有數(shù)字計(jì)算機(jī)才能完成。2022-6-2697.2 采樣過(guò)程與采樣定理 離散系統(tǒng)的特點(diǎn)是：系統(tǒng)中一處或數(shù)處的信號(hào)是脈沖序列或數(shù)字序列。為了將連續(xù)信號(hào)變換為離散信號(hào)，需要使用A/D轉(zhuǎn)換器(采樣器)；另一方面，為了控制連續(xù)的被控對(duì)象，又需使用D/A轉(zhuǎn)換器(保持

6、器)將離散信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)。因此，為了定量地研究離散系統(tǒng)，有必要對(duì)信號(hào)的采樣和恢復(fù)過(guò)程進(jìn)行描述。2022-6-26107.2.1 采樣過(guò)程及其數(shù)學(xué)描述 將連續(xù)信號(hào)通過(guò)采樣開(kāi)關(guān)(或采樣器)變換成離散信號(hào)的過(guò)程稱為采樣過(guò)程。相鄰兩次采樣的時(shí)間間隔稱為采樣周期T。本章僅限于討論等速同步采樣過(guò)程。 n等速采樣:采樣開(kāi)關(guān)以相同的采樣周期T動(dòng)作，又稱為周期采樣n多速采樣:系統(tǒng)中有n個(gè)采樣開(kāi)關(guān)分別按不同周期動(dòng)作n隨機(jī)采樣:采樣開(kāi)關(guān)動(dòng)作是隨機(jī)的1/sfT2 /sT采樣頻率：采樣角頻率：采樣可分為：2022-6-2611 采樣過(guò)程如圖7.6所示。連續(xù)信號(hào)x(t)經(jīng)過(guò)采樣開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換成離散信號(hào)x*(t)。如果x*(

7、t)的幅值經(jīng)整量化用數(shù)字(或數(shù)碼)來(lái)表示，則x*(t)在幅值上也是離散的。考慮到采樣開(kāi)關(guān)的閉合時(shí)間遠(yuǎn)小于采樣周期T和系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時(shí)間常數(shù)，可認(rèn)為采樣時(shí)間=0，x(t)在內(nèi)變化很小，因此x*(t)可用幅值為x(kT)，寬度為的脈沖序列近似表示。(a) (b) (c) 圖7.6 采樣過(guò)程2022-6-2612由圖7.6(c)，可寫出脈沖序列x*(t)表達(dá)式為*0( )( 1( ) 1()( )1() 1()()1() 1()()1() 1()kx txttx TtTtTx kTtkTtkTx kTtkTtkT0)式中1(tkT)1(tkT)表示一個(gè)發(fā)生在kT時(shí)刻，高度為1，寬度為，即面積為的

8、矩形脈沖。由于T，故該矩形脈沖可近似用理想單位脈沖來(lái)描述，即 tkTtkTtkT 1() 1()()式中(tkT)為t=kT(k=0,1,2,)時(shí)刻具有單位強(qiáng)度的理想脈沖。(7-2)(7-3)2022-6-2613 需要指出，具有無(wú)窮大幅值和持續(xù)時(shí)間無(wú)窮小的理想單位脈沖只是數(shù)學(xué)上的假設(shè)，在實(shí)際物理系統(tǒng)中是不存在的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)理想單位脈沖(面積為1)來(lái)說(shuō)，只有討論其面積，或強(qiáng)度才有意義。式(7-3)就是基于這種觀點(diǎn)，從矩形脈沖及理想脈沖的面積來(lái)考慮的。 采樣開(kāi)關(guān)對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)進(jìn)行采樣后，其輸出的離散時(shí)間信號(hào)x*(t)可表示為0*( )() ()kxtx kTtkT(7-4) 式中

9、(kT)表示發(fā)生在kT時(shí)刻脈沖的強(qiáng)度，其值與被采樣的連續(xù)信號(hào)x(t)在采樣時(shí)刻kT時(shí)的值相等。 2022-6-2614 式(7-4)表明，離散信號(hào)是由一系列脈沖組成，在采樣時(shí)刻t=kT，脈沖的面積就等于該時(shí)刻連續(xù)信號(hào)x(t)的值x(kT)。式(7-4)也可寫作 *0( )( )()kxtx ttkT(7-5) 因此，采樣過(guò)程從物理意義上可以理解為脈沖調(diào)制過(guò)程。在這里，采樣開(kāi)關(guān)起著理想單位脈沖發(fā)生器的作用，通過(guò)它將連續(xù)信號(hào)x(t)調(diào)制成脈沖序列x*(t)。 2022-6-26157.2.2 采樣定理 在設(shè)計(jì)離散控制系統(tǒng)中，采樣周期的選擇是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。如果采樣周期T越短，即采樣角頻率越高，則x*

10、(t)中包含的x(t)信息越多。但采樣周期不可能無(wú)限短。假設(shè)連續(xù)信號(hào)x(t)的頻率特性為 ()( )edj tx jx tt(7-6)該信號(hào)的頻譜|X(j)|是一個(gè)單一的連續(xù)頻譜，其最高頻率為max，如圖7.7(a)所示。從圖中可見(jiàn)，x(t)不包含任何大于max的頻率分量。 根據(jù)式(7-5)，離散信號(hào)x*(t)的拉普拉斯變換為*1( )()skXsX sjkT(7-7)2022-6-2616(a)圖7.7 連續(xù)信號(hào)及離散信號(hào)的頻譜式中s=2/T為采樣頻率，X(s)為x(t)的拉氏變換。若X*(s)的極點(diǎn)全都位于s左平面，可令s=j，求得x*(t)的傅氏變換為1() ()*skXjXj kT(7

11、-8)2022-6-2617式中X(j)為連續(xù)信號(hào)x(t)的傅氏變換，|X(j)|即為x(t)的頻譜，即1*() ()skXjXjkT(7-9) 式(7-9)中離散信號(hào)x*(t)的頻譜|X*(j)|是以采樣頻率s為周期，由無(wú)限多x(t)的頻譜|X(j)|疊加而成。當(dāng)s2max時(shí)，離散信號(hào)的頻譜為無(wú)限多個(gè)孤立頻譜組成的離散頻譜，其中與k=0對(duì)應(yīng)的是采樣前原連續(xù)信號(hào)的頻譜，幅值為原來(lái)的1/T，如圖7.7(b)所示。 若s2max，離散信號(hào)x*(t)的頻譜不再由孤立頻譜構(gòu)成，而是一種與原來(lái)連續(xù)信號(hào)x(t)的頻譜毫不相似的連續(xù)頻譜，如圖7.7(c)所示。2022-6-2618(b)圖7.7 連續(xù)信號(hào)及

12、離散信號(hào)的頻譜(c)2022-6-2619 要從離散信號(hào)x*(t)中完全復(fù)現(xiàn)出采樣前的連續(xù)信號(hào)x(t)，必須使采樣頻率s足夠高，以使相鄰兩頻譜不相互重疊。定理定理7.17.1(Shannon定理)：如果對(duì)一個(gè)具有有限頻譜(-max2max。2022-6-2620 (2) 若式(7-10)成立，將離散信號(hào)x*(t)通過(guò)一個(gè)理想低通濾波器，就可以把smax的高頻分量全部濾除掉，使X*(j)中僅留下X(j)/T部分，再經(jīng)過(guò)放大器對(duì)1/T進(jìn)行補(bǔ)償，便可無(wú)失真地將原連續(xù)信號(hào)x(t)完整地提取出來(lái)。理想低通濾波器特性如圖7.7(b)中虛線所示。 (3) 采樣周期T是離散控制系統(tǒng)中的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)。如果采樣周

13、期選得越小，即采樣頻率越高，對(duì)被控系統(tǒng)的信息了解得也就越多，控制效果也就越好。但同時(shí)會(huì)增加計(jì)算機(jī)的運(yùn)算量。反之，如果采樣周期選擇越大，由于不能全面掌握被控系統(tǒng)的信息，會(huì)給控制過(guò)程帶來(lái)較大的誤差，降低系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，甚至有可能使整個(gè)控制系統(tǒng)變得很不穩(wěn)定。2022-6-26217.2.3 信號(hào)的恢復(fù) 離散信號(hào)還原成連續(xù)信號(hào)時(shí)需使用的理想濾波器在物理上是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。實(shí)際中廣泛應(yīng)用的濾波器是保持器(或保持電路)。 信號(hào)恢復(fù)/保持就是將離散時(shí)間信號(hào)變成連續(xù)時(shí)間信號(hào)。實(shí)現(xiàn)保持功能的器件稱為保持器。保持器是具有外推功能的元件，其外推作用表現(xiàn)為當(dāng)前時(shí)刻的輸出信號(hào)是過(guò)去時(shí)刻離散信號(hào)的外推。保持器在離散系統(tǒng)中的位

14、置應(yīng)處在采樣開(kāi)關(guān)之后(圖7.8)。圖7.8 保持器方塊圖2022-6-2622 能夠物理實(shí)現(xiàn)的保持器都必須按現(xiàn)在時(shí)刻或過(guò)去時(shí)刻的采樣值實(shí)行外推，而不能按將來(lái)時(shí)刻的采樣值外推。具有常值、線性、二次函數(shù)(如拋物線)型外推規(guī)律的保持器，分別稱為零階、一階、二階保持器。 工程實(shí)踐中普遍采用零階保持器。零階保持器是一種按常值規(guī)律外推的保持器。它把前一個(gè)采樣時(shí)刻kT的采樣值x(kT)不增不減地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(k+1)T。當(dāng)下一個(gè)采樣時(shí)刻(k+1)T到來(lái)時(shí)應(yīng)換成新的采樣值x(k+1)T繼續(xù)外推。也就是說(shuō)，kT時(shí)刻的采樣值只能保存一個(gè)采樣周期T，到下一個(gè)采樣時(shí)刻到來(lái)時(shí)應(yīng)立即停止作用，下降為零。 2022

15、-6-2623 零階保持器的時(shí)域特性gh(t)如圖7.9(a)所示。它是高度為1寬度為T的方波。高度等于1，說(shuō)明采樣值經(jīng)過(guò)保持器既不放大、也不衰減；寬度等于T，說(shuō)明零階保持器對(duì)采樣值保存一個(gè)采樣周期。圖7.9(a)所示的gh(t)可以分解為兩個(gè)階躍函數(shù)之和，如圖7.9(b)所示。 圖7.9 零階保持器的時(shí)域特性(b)(a)2022-6-2624)( 1)( 1)(Ttttgh(7-11) 則零階保持器的傳遞函數(shù)為1 e( )sThG ss(7-12) 令s=j，帶入式(7-12)中得零階保持器頻率特性為 1 e()j ThGjj(7-13) 或?qū)懗?)()()(jGjGjGhhh(7-14)

16、因此零階保持器的單位脈沖響應(yīng)gh(t)是一個(gè)幅值為1、持續(xù)時(shí)間為T的矩形脈沖，可表示為兩個(gè)階躍函數(shù)之和，即2022-6-2625式(7-14)中，|Gh(j)|為零階保持器的幅頻特性或頻譜；Gh(j)為零階保持器的相頻特性。它們與頻率的關(guān)系分別為 1 esin1 cos()sin1222cos2j ThTTGjjjTTTT1 cos)arctansin2hTTG (jT (7-15) (7-16)2022-6-2626 從幅頻特性來(lái)看，零階保持器是具有高頻衰減特性的低通濾波器，且頻率越高衰減越劇烈，0時(shí)的幅值為T；從相頻特性來(lái)看，零階保持器具有負(fù)的相角，會(huì)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生不利的影響。圖7

17、.10 零階保持器的幅頻與相頻特性2022-6-2627 零階保持器有無(wú)窮多個(gè)截止頻率，除允許主頻譜分量通過(guò)外，還允許部分高頻分量通過(guò)。所以零階保持器并不是只有一個(gè)截止頻率的理想低通濾波器，因此由零階保持器恢復(fù)的連續(xù)信號(hào)xh(t)與原連續(xù)信號(hào)x(t)是有差異的，主要表現(xiàn)在xh(t)具有階梯形狀，采樣周期取得越小，上述差別也就越小。圖7.11 零階保持器的輸出信號(hào)2022-6-2628 需要指出，在相位上存在滯后現(xiàn)象，是各階保持器具有的共性。零階保持器相對(duì)于其他類型的保持器具有最小的相位滯后，且容易實(shí)現(xiàn)，因此在離散控制系統(tǒng)中應(yīng)用最為廣泛。對(duì)于通過(guò)零階保持器的高頻分量，它對(duì)系統(tǒng)的被控制信號(hào)的影響不

18、大，這是由于一般系統(tǒng)中的連續(xù)部分均具有較好的低通濾波特性，可以使絕大部分的高頻分量被抑制掉。因此，在離散控制系統(tǒng)中采用零階保持器來(lái)恢復(fù)離散信號(hào)已足夠，沒(méi)有必要采用更復(fù)雜的高階保持器。 此外零階保持器引入了附加的滯后相移，xh(t) 比x(t)在時(shí)間上平均滯后半個(gè)采樣周期（如圖7.11中虛線所示），這使系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性有所降低。2022-6-26297.3 Z變換理論 Z變換的思想來(lái)源于連續(xù)系統(tǒng)。在分析連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性時(shí)，采用拉普拉斯變換，將系統(tǒng)時(shí)域的微分方程轉(zhuǎn)換成s域的代數(shù)方程，并得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從而便于分析系統(tǒng)的性能。與此相似，在分析離散時(shí)間系統(tǒng)的性能時(shí)，可使用Z變換建立

19、離散時(shí)間線性系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，進(jìn)而分析系統(tǒng)的性能。Z變換又稱為離散拉普拉斯變換，是分析離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。2022-6-26307.3.1 Z變換定義 設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)可進(jìn)行拉普拉斯變換，其拉氏變換為X(s)。連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)經(jīng)采樣周期為T的采樣開(kāi)關(guān)后，得到離散信號(hào)x*(t)(式7-4)，即 *0( )() ()kxtx kTtkT對(duì)上式表示的離散信號(hào)進(jìn)行拉氏變換，可得 ()kTsLtkTe0( )( )()e*kTskL x tXsx kT(7-17) 式中X*(s)是離散時(shí)間函數(shù)x*(t)的拉氏變換。2022-6-2631因復(fù)變量s包含在指數(shù)函數(shù)e-kTs中不便計(jì)算，故引進(jìn)

20、一個(gè)新變量z，即eTsz (7-18) 式中，T為采樣周期。將式(7-18)代入式(7-17)，便得到以z為變量的函數(shù)X(z)，即 0( )()kkX zx kT z(7-19)式中X(z)稱為離散時(shí)間函數(shù)X*(s)的Z變換，記為)()(*txZzX 在Z變換中，考慮的是連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)采樣后的離散時(shí)間信號(hào)，或者說(shuō)考慮的是連續(xù)時(shí)間函數(shù)在采樣時(shí)刻的采樣值，而不考慮采樣時(shí)刻之間的值。 2022-6-2632 式(7-19)只適用于離散時(shí)間函數(shù)，只能表征連續(xù)時(shí)間信號(hào)在采樣時(shí)刻的信息，不能給出采樣時(shí)刻之間的信息。從這個(gè)意義上說(shuō)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)與相應(yīng)的離散時(shí)間函數(shù)x*(t)具有相同的Z變換，即)()

21、()(*txZtxZzX(7-20) Z變換中一般項(xiàng)x(kT)z-k與離散函數(shù)的拉氏變換中一般項(xiàng)x(kT)e-kTs物理意義相同。z-k表征采樣脈沖出現(xiàn)時(shí)刻，x(kT)表征該時(shí)刻采樣脈沖幅值。Z變換實(shí)際上是拉氏變換的一種演化，目的是把原來(lái)是s的超越函數(shù)X*(s)則變?yōu)閦的有理函數(shù)X(z)，以便于對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。從離散拉氏變換到離散z變換，就是由復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射變換，這個(gè)映射關(guān)系就是式(7-18)。 2022-6-26337.3.2 Z變換方法(1)級(jí)數(shù)求和法 式(7-19)是離散函數(shù)x*(t)的Z變換的級(jí)數(shù)展開(kāi)形式，將其改寫成kzkTxzTxzTxxzX)()2()(

22、)0()(21(7-21) 該式是Z變換的一種級(jí)數(shù)表達(dá)式。顯然，只要知道連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)在各采樣時(shí)刻kT (k=0,1,2,)上的采樣值x(kT)，便可求出Z變換的級(jí)數(shù)展開(kāi)式。這種級(jí)數(shù)展開(kāi)式具有無(wú)窮多項(xiàng)，是開(kāi)放的，如果不能寫成閉式，是很難應(yīng)用的。一些常用函數(shù)的Z變換的技術(shù)展開(kāi)式可以寫成閉式的形式。2022-6-2634例例7-1 試求單位階躍函數(shù)1(t)的Z變換。 解解 單位階躍函數(shù)1(t)在所有采樣時(shí)刻上的采樣值均為1，即 2, 1, 0, 1)( 1kkT將上式代入式(7-21)，得kzzzz1111)( 121或kzzzzz1111)( 1210(7-22)上式中，若|z|1，可寫成

23、如下的封閉形式，即 111)( 1)( 1 1zzzztZ(7-23)2022-6-2635例例7-2 試求衰減的指數(shù)函數(shù)e-at(a0)的Z變換。解解 將e-at在各采樣時(shí)刻的采樣值代入式(7-21)中，得 122e1 eeeataTaTkaTkZzzz (7-24)若|eatz|1,則上式可寫成閉式的形式，即eeeataTaTzZzz111(7-25)例例7-3 試求理想脈沖序列 的Z變換。 0)()(kTkTtt解解 因?yàn)門為采樣周期，所以0*)()()(kTkTtttx*0( )( )ekTskXtL x t2022-6-2636因此，理想脈沖的級(jí)數(shù)展開(kāi)式為211)(zztZT(7-2

24、6)將上式寫成閉合形式111)(1zzztZT(7-27)例例7-4 試求函數(shù)ak的Z變換。 解解 將ak在各采樣時(shí)刻的采樣值代入式(7-21)中得kkkzazaazaZ2211(7-28)將該級(jí)數(shù)寫成閉合形式，得ak的Z變換，即azzazaZk111(7-29)2022-6-2637例例7-5 試求函數(shù)x(t)=sint的Z變換。 解解 因?yàn)閑esin2j tj ttj所以22ee1sinee22(ee) 2ee2(ee)sin2 cosj tj tj tj tj Tj Tj Tj Tj Tj TZtZZZjjzzzjzzj zzTzzT1111(7-30)通過(guò)級(jí)數(shù)求和法求取已知函數(shù)Z變換的

25、缺點(diǎn)在于：需要將無(wú)窮級(jí)數(shù)寫成閉合形式。在某些情況下需要很高的技巧。Z變換的無(wú)窮級(jí)數(shù)形式(7-21)的優(yōu)點(diǎn)在于具有鮮明的物理含義。 2022-6-2638(2) 部分分式法設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉普拉斯變換X(s)為有理函數(shù)，并具有如下形式00( )( )( )mmmnnnb sb sbM sX sN sa sa sa1111將X(s)展開(kāi)成部分分式和的形式，即1( )niiiAX ssseiistAeis TiAzz由拉氏變換知，與 項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為 ，根據(jù)式(7-25)便可求得其Z變換為 ，因此，函數(shù)x(t)的Z變換可由X(s)求得 (7-31)iiAss( )einiTisAzX z

26、z12022-6-2639例例7-6 利用部分分式法求取正弦函數(shù)sint的Z變換。 22s解解 已知 ，將 分解成部分分式和的形式，即 jsjjsjtL121121sinjs1由于 拉氏變換的原函數(shù)為 ；再根據(jù)式(7-25)可求得上式的Z變換211sinsin2e2e(2cos)j tj tzzzTZtj zj zzT z 1(7-32) 22sinLts()jte 2022-6-2640例例7-7 已知連續(xù)函數(shù)x(t)的拉氏為 ，求連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的Z變換。 解解 將X(s)展成如下部分分式 對(duì)上式逐項(xiàng)取拉氏反變換，得據(jù)求得的時(shí)間函數(shù)，逐項(xiàng)寫出相應(yīng)的Z變換，得( )()aX ss sas

27、sa11( )1 eatx t 2(e)( )e(e)eaTaTaTaTzzzX zzzzz111(7-33)( )()aX ss sa2022-6-2641(3) 留數(shù)計(jì)算法 假如已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)及全部極點(diǎn)si(i=1,2,3,n)，則x(t)的Z變換X(z)可通過(guò)留數(shù)計(jì)算求得。先分析X(z)和X(s)的關(guān)系。由拉氏反變換式有1( )( )e d2cjstcjx tX ssj當(dāng)對(duì)x(t)以采樣周期T進(jìn)行采樣后，其采樣值為1()( )e0 1 22cjkTscjx kTX ssk, ,j d(7-34)而x(kT)的Z變換為 0( )()kkX zx kT z(7-3

28、5)2022-6-2642將式(7-34)代入式(7-35)得0( )( )(e)2cjTskkcjX zX szsj 11d符合收斂條件|z|eTs|時(shí)，0kkTsze)(1可寫成閉式0(e)eTskTskzzz1將此其代入式(7-35)，得1( )( )2ecjTscjX s zX zsjz d(7-36)這就是由拉普拉斯變換函數(shù)直接求相應(yīng)的Z變換函數(shù)的關(guān)系式。這個(gè)積分可以應(yīng)用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算。 2022-6-2643即1( )( )reseinTsisszX sX zz(7-37)式中，si為X(s)的極點(diǎn)；n為X(s)的極點(diǎn)個(gè)數(shù)；resissF s( )表示求F(s)在s=si處的留數(shù)。

29、( )( )res()eeiiiTsTssssszX szX ssszz(7-38)若si為X(s)的ri重極點(diǎn)，則d( )res()e()! deiiiiiiTssTssssirrrzX szX ssszrsz11( )11(7-39)若si為X(s)的單極點(diǎn)，則 2022-6-2644例例7-8 求x(t)=t-at的Z變換。 解解 由于 ，所以s1=0，r1=2。根據(jù)式(7-39)得 22201d1( )(2 1)! de(1)TsszTzX zssszz求x(t)=teat的Z變換。 例例7-9 解解 由于 ，所以s1=a，r1=2。根據(jù)式(7-39)計(jì)算X(z)，即 2221d1e(

30、 )()(2 1)! d()e(e)aTTsaTsazTzX zsassazz21 L ts21()atL tesa2022-6-2645例例7-10 已知 ，求X(z)。 解解 由X(s)可知s1=1，s2=2均為單極點(diǎn)，則可根據(jù)式(7-38)計(jì)算留數(shù)，即 2222212( )resresee( )( )(1)2ee(3)3(2)(e )(1)(e )2(e2e)ee(eTsTsTsTsTsTsTTTTsssssszX szX sX zzzzX szX ssszzszszszszzzz z-zzz11( )( )()()23e)eTTTz3( )(1)(2)sX sss2022-6-2646

31、 常用函數(shù)的Z變換及相應(yīng)的拉氏變換如表7.1所示。這些函數(shù)的Z變換都是z的有理分式，且分母多項(xiàng)式的次數(shù)大于或等于分子多項(xiàng)式的次數(shù)。表中各Z變換的有理分式中，分母z多項(xiàng)式的最高次數(shù)與相應(yīng)的傳遞函數(shù)分母s多項(xiàng)式的最高次數(shù)相等。表7.1 Z變換表1zz 2(1)Tzz X(s)x(t) 或x(k)X(z)1(t)1e-kTs(tkT)zk1(t)t1s21s2022-6-2647表7.1 Z變換表（續(xù)）23(1)(1)T z zzeaTzzzza()as sa(1e)(1)(e)aTaTzzz22s2sin2 cos1zTzzT22ss2(cos)2 cos1z zTzzT2e(e)aTaTTzz2

32、2()sa22esin2 ecoseaTaTaTzTzzT22()sasa222ecos2 ecoseaTaTaTzzTzzTt2e-atak1e-atsintcostTe-aTe-atsinte-atcost32s1sa1ln/sT21()sa2022-6-26487.3.3 Z變換性質(zhì) Z變換有一些基本定理，可以使Z變換的應(yīng)用變得簡(jiǎn)單和方便，在許多方面與拉普拉斯變換的基本定理有相似之處。(1) 線性定理 設(shè)函數(shù)x(t)、x1(t)、x2(t)的Z變換分別為X(z)、X1(z)及X2(z)，a為常數(shù)，則有 )()(zaXtaxZ)()()()(2121zXzXtxtxZ(7-40)(7-41

33、)此定理可由Z變換定義直接證得。2022-6-2649(2) 時(shí)移定理 如果函數(shù)x(t)的z變換為X(z)，則 式(7-42)亦稱延遲定理，式(7-43)亦稱超前定理。(7-42)(7-43)()( )()krrkZ x tkTzX zx rT z-10()( )()kkrrZ x tkTzX zx rT z1證明證明 首先證明式(7-42)。令ik=r，由0()()iiZ x tkTx iTkT z則求得 2022-6-265001()()()()()( )()r kkrrkrkkrrrrkkrrkZ x tkTx rT zzx rT zzx rT zx rT zzX zx rT z()1如

34、果t0時(shí)x(t)=0，則x(kT)=x(2T)=x(T)=0，則式(7-42)可寫成 ()( )kZ x tkTzX z(7-44)延遲定理說(shuō)明，原函數(shù)在時(shí)域中延遲k個(gè)采樣周期，相當(dāng)于像函數(shù)乘以zk 。2022-6-2651再證明式(7-43)，由 ，令i+k=r，則求得0()()iiZ x tkTx iTkT z0000()()()()()( )()ir kkrirkrkkkrrrrkkrrx ik T zx rT zzx rT zzx rT zx rT zzX zx rT z()11若滿足x(0)=x(T)=x(k1)T=0，上式可簡(jiǎn)寫為 )()(zXzkTtxZk(7-45)算子zk的意

35、義，相當(dāng)于把時(shí)間信號(hào)超前k個(gè)采樣周期。2022-6-2652(3) 初值定理 如果函數(shù)x(t)的Z變換為X(z)，并且t0時(shí)有x(t)=0，則)(lim)(lim0zXtxzt(7-46)證明證明 由Z變換定義可得 012( )()(0)( )(2 )()kkkX zx kT zxx T zxT zx kT z在上式中，當(dāng)z時(shí)，除第一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均為零，即 )0()(lim)(lim0 xzXtxzt2022-6-2653(4) 終值定理 如果函數(shù)x(t)的Z變換X(z)的極點(diǎn)均位于z平面的單位圓內(nèi)，且不含有z =1的二重以上的極點(diǎn)，則x(t)的終值為1lim ( )lim(1)( )tzx

36、 tzX z(7-47)證明證明 由 0) 1()0()()(kkzTkxzxzzXTtxZ得00)() 1()()0()(kkkkzkTxzTkxzXzxzzX0)() 1()0()() 1(kkzkTxTkxzxzXz當(dāng)z1時(shí)，兩邊取極限得)(lim)0()()0( )() 1()0()() 1(lim01txxxxkTxTkxxzXztkz2022-6-26547.3.4 Z反變換方法 根據(jù)X(z)求離散時(shí)間信號(hào)x*(t)或采樣時(shí)刻值的一般表達(dá)式x(kT)的過(guò)程稱為Z反變換，記為Z-1X(z)。下面介紹三種常用求Z反變換的方法。(1) 長(zhǎng)除法 由函數(shù)的Z變換表達(dá)式，直接利用長(zhǎng)除法求出按z

37、-1升冪排列的級(jí)數(shù)形式，再經(jīng)過(guò)拉氏反變換，求出原函數(shù)的脈沖序列。 X(z)的一般形式為( )mmmnnnb zb zbX zmna za za101101 2022-6-2655用長(zhǎng)除法求出z-1的升冪形式，即 12012( )kkX zcc zc zc z(7-48)求X(z)= 的Z反變換，其中e-aT=0.5。 111eaTz例例7-11 解解 用長(zhǎng)除法將X(z)展開(kāi)為無(wú)窮級(jí)數(shù)形式 12311231231( )10 50 250 1251 0 5(0)( )(2 )(3 ) 10.50.250.125X z. z.z.z. zxx T zxT zx T zzzz 相應(yīng)的脈沖序列為)3(1

38、25. 0)2(25. 0)(5 . 0)(1)(*TtTtTtttx2022-6-2656(2) 部分分式法 通過(guò)部分分式法求取Z反變換的過(guò)程，與應(yīng)用部分分式法求取拉普拉斯反變換很相似。首先需將用部分分式法展開(kāi)成形式的諸項(xiàng)之和，即2211)(pzApzAzzX(7-49)再將等號(hào)兩邊同乘以復(fù)變量z，通過(guò)Z反變換求取相應(yīng)的時(shí)間函數(shù)，最后將上述各時(shí)間函數(shù)求和即可。例例7-12 求 的Z反變換。 )2)(1(10)(zzzzX解解 首先將 展開(kāi)成下列部分分式 ( )X zz2022-6-2657( )1010101)(212X zzzzzz()由此可得210110)(zzzzzXk-zzZzzZ2

39、2111 1 2, 1, 0, )21(10)(kkTxk得*( )10( 12 ) ()kkx ttkT 0*/( )( )10( 1 2) 0, , 2 , t Tx tx ttTT 根據(jù)t=kT，并且只考慮采樣時(shí)刻的函數(shù)值，則x*(t)還可用x(t)來(lái)表示，即再由2022-6-2658(3) 留數(shù)計(jì)算法 留數(shù)法又稱反演積分法。實(shí)際問(wèn)題中遇到的Z變換函數(shù)X(z)除有理分式外也可能是超越函數(shù)，此時(shí)無(wú)法應(yīng)用部分分式法或冪級(jí)數(shù)法來(lái)求取Z反變換，只能采用留數(shù)計(jì)算法。若x(kT)的Z變換為X(z)，則有11()( )d2kcx kTX z zzj(7-50)式中，積分曲線c為逆時(shí)針?lè)较虬鼑鶻(z)z

40、k-1全部極點(diǎn)的圓。式(7-50)可等效為 ()reskx kTX z z1( )(7-51)上式表明，x(kT )為函數(shù)X(z)zk-1在其全部極點(diǎn)上的留數(shù)之和。2022-6-2659例例7-13 求 的Z反變換。 2 1 021010)2)(1()2)(1(10) 1()2)(1(10)2)(1(10res)2)(1(10res)(21,k zzzzzzzzzzzzzzzzkTxkzkzkkk 10)()()(kkkTttx2110*或10( )(1)(2)zX zzz解解 例例7-14 求 的Z反變換。 2) 1)()(zazzzX解解 X(z)中互不相同的極點(diǎn)為z1=a及z2=1， 2

41、022-6-2660, , k aakaazazzzzzazzazkTxkzkazk210)1 (11) 1(2) 1)() 1(dd)!12(12) 1)()()(22112212)()1 (11) 1()(022*kTtaakaatxkk由此可求得X(z)的Z反變換為 以上列舉了求取Z反變換的三種常用方法。其中長(zhǎng)除法最簡(jiǎn)單，但是由長(zhǎng)除法得到的Z反變換是開(kāi)式而非閉式，因此應(yīng)用時(shí)較為困難。而部分分式法和留數(shù)計(jì)算法得到的Z反變換均為閉式。 其中z1為單極點(diǎn)，即r1=1；z2為二重極點(diǎn)，即r2=2，不相同的極點(diǎn)數(shù)為l=2。則2022-6-26617.4 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述

42、系統(tǒng)中各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)，一般采用微分方程來(lái)描述系統(tǒng)輸入變量與輸出變量之間的關(guān)系。而在分析研究離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)，需建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可以采用差分方程描述在離散的時(shí)間點(diǎn)上（即采樣時(shí)刻），輸入離散時(shí)間信號(hào)與輸出離散時(shí)間信號(hào)之間的相互關(guān)系。2022-6-26627.4.1 線性常系數(shù)差分方程 對(duì)于一般的連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)，輸入和輸出信號(hào)都是連續(xù)時(shí)間的函數(shù)，用連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程或積分方程描述其內(nèi)在規(guī)律。而離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)都是離散時(shí)間函數(shù)，kT時(shí)刻的輸出不但與kT時(shí)刻的輸入有關(guān)，還與kT時(shí)刻以前若干個(gè)采樣時(shí)刻的輸入和輸出有關(guān)，其動(dòng)力學(xué)行為不能用時(shí)間的微

43、商來(lái)描述，必須用差分方程來(lái)描述。 差分方程是反映離散系統(tǒng)輸入-輸出序列之間的運(yùn)算關(guān)系。微分方程中的各項(xiàng)包含有連續(xù)自變量的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)。差分方程中自變量是離散的，方程的各項(xiàng)除了包含有這種離散變量的函數(shù)，還包含此函數(shù)序數(shù)增加或減少的函數(shù)。2022-6-266311)(1sTsG)()()(dd1txtytytT 設(shè)系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)，如圖7.12(a)所示。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 其微分方程為 該連續(xù)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的離散系統(tǒng)如圖7.12(b)所示。采樣開(kāi)關(guān)Ka對(duì)輸入信號(hào)每隔T秒采樣一次，得序列 。輸出經(jīng)過(guò)與Ka同步的采樣開(kāi)關(guān)Kb后的序列為 。下面來(lái)研究y(kT)與x(kT)之間的關(guān)系。(7-52)() ()k

44、x kTtkT0() ()ky kTtkT02022-6-2664(a)(b)圖7.12 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)的方框圖 與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中求解微分方程的方法一樣，對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，求解差分方程時(shí)也可以分別求出其零輸入分量和零狀態(tài)分量，然后迭加得到方程的全解。考察在tkT時(shí)的情況。當(dāng)tkT而該時(shí)刻的脈沖尚未施加時(shí)，由該時(shí)刻開(kāi)始的零輸入分量為1()/1( )()et kTTy ty kT(7-53)2022-6-2665由于此系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是 。( )et Tg tT1/112()( )et kTTx kTy tT1()/1(7-54)于是，tkT后的系統(tǒng)總輸出為12()( )( )( )

45、()et kTTx kTy ty ty ty kTT 1()/1(7-55)當(dāng)t=(k+1)T時(shí)，式(7.55)為()() ()eT Tx kTy kTy kTT1/11()e(1) e()T TT Tx kTy kTy kTT11/1或(7-56)(7-57)所以當(dāng)t=kT，第k個(gè)脈沖x(kT)(tkT)加于系統(tǒng)后，系統(tǒng)輸出的零狀態(tài)分量為 2022-6-2666 差分方程式(7-56)或(7-57)是描述描述了系統(tǒng)在第k個(gè)采樣周期時(shí)輸入與輸出信號(hào)的關(guān)系。從式中可以看出，差分方程的系數(shù)與采樣周期T有關(guān)。 比較式(7-52)和式(7-57)可以看出，若y(t)與y(kT)相當(dāng)，則y(kT)中離散

46、變量序號(hào)加1與y(t)對(duì)連續(xù)變量t取一階導(dǎo)數(shù)相當(dāng)，于是上面兩式中各項(xiàng)都可一一對(duì)應(yīng)。差分方程和微分方程不僅形式相似，而且在一定條件下還可以互相轉(zhuǎn)化。假設(shè)時(shí)間間隔T足夠小，當(dāng)t=kT時(shí)，有TkTyTkytyt)() 1()(dd因此，式(7-52)可改寫為)()()() 1(1kTxkTyTkTyTkyT2022-6-2667經(jīng)整理后，可得1(1) 1()()TTy kTy kTx kTTT1(7-58) 式(7-58)與式(7-57)形式相同。當(dāng)T足夠小時(shí)，微分方程(7-52)可以近似為差分方程式(7-58)，采樣時(shí)間T越小，則近似得越好。對(duì)于一個(gè)物理系統(tǒng)，用常系數(shù)線性n階差分方程來(lái)描述時(shí)，一般

47、形式為( )()()nniiiiy kb x kia y ki00(7-59)式中，ai和bi(i=0,1,2,n)均為常數(shù)。式(7-59)再次說(shuō)明輸出y(k)不僅取決于當(dāng)前的輸入x(k)，而且與前n個(gè)輸入x(ki)以及前n個(gè)輸出y(ki)有關(guān)，且其關(guān)系是線性的。2022-6-26687.4.2 脈沖傳遞函數(shù) 引入z變換的一個(gè)重要作用是用于導(dǎo)出離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，這為離散時(shí)間系統(tǒng)的分析和控制帶來(lái)極大的方便。(1) 脈沖傳遞函數(shù)定義 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零的情況下分別取輸入r(t)和輸出c(t)的拉氏變換，則它們的比值C(s)/R(s)=G(s)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在離

48、散系統(tǒng)中也有同樣的表達(dá)方法，在初始條件為零的情況下取輸出Z變換與輸入Z變換之比( )( )( )C zG zR z(7-60)上式稱為系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)，也稱z傳遞函數(shù)。2022-6-2669下面從系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的角度推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)，并說(shuō)明其物理意義。設(shè)輸入信號(hào)r(t)經(jīng)采樣開(kāi)關(guān)后為一脈沖序列，如圖7.13(a)所示。*0( )() ()kr tr kTtkT這一脈沖序列作用于系統(tǒng)的G(s)時(shí)，系統(tǒng)輸出為一系列脈沖響應(yīng)之和，如圖7.13所示。(a)(b)(c)圖7.13 脈沖響應(yīng)2022-6-2670當(dāng)0tT時(shí)，作用于G(s)的輸入脈沖為r(0)時(shí)，則系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為 ( )(0) ( )

49、c trg t式中g(shù)(t)為系統(tǒng)G(s)的單位脈沖響應(yīng)，且滿足 0 00 tttgtg)()(當(dāng)Tt2T時(shí)，系統(tǒng)處于兩個(gè)輸入脈沖的作用下：一個(gè)是t=0時(shí)的r(0)脈沖作用，它產(chǎn)生的響應(yīng)依然存在；另一個(gè)是t=T時(shí)的r(T)脈沖作用。因此在此區(qū)間內(nèi)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)為 ( )(0) ( )( ) ()c trg tr T g tT2022-6-2671在kTt0時(shí)，g(t)=0，所以當(dāng)ik時(shí)，式(7-62)中0)( Tikg 可見(jiàn)當(dāng)系統(tǒng)輸入為一系列脈沖時(shí)，輸出為各脈沖響應(yīng)之和。在t=kT時(shí)刻系統(tǒng)輸出的采樣信號(hào)值為2022-6-2672 因此，kT時(shí)刻以后的輸入脈沖，如r(k+1)T,r(k+2)T,不

50、會(huì)對(duì)kT時(shí)刻的輸出信號(hào)產(chǎn)生影響，故式(7-62)中求和上限可擴(kuò)展為i，可得0()() () ic kTr iT g ki T(7-63)*( )()() ()kkic tc kTtkTr iT g ki TtkT 000()()由Z變換的定義，得000( )() ()() () ()kkiC zc kTtkTr iT g ki T tkT (7-64)于是有下式成立2022-6-2673(7-65)令ki=n，同樣考慮到當(dāng)n0時(shí)，g(nT)=0，又有()000( )() ()()()( ) ( )n iniininiC zr iT g nTzg nT zr iT zG z R z (7-66)

51、故( )( )()( )nnC zG zg nT zR z0(7-67) G(z)就是圖7.13(b)所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。由于式(7-67)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的采樣序列的Z變換，所以又稱為系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)。000( )()() () kkkkiC zc kT zr iT g ki Tz 2022-6-2674 有兩點(diǎn)需要說(shuō)明： 物理系統(tǒng)在輸入為脈沖序列的作用下，其輸出量是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，如圖7.14的c(t)。但如前所述，Z變換只能表征連續(xù)時(shí)間函數(shù)在采樣時(shí)刻的采樣值。因此，這里所求得的脈沖傳遞函數(shù)，是取系統(tǒng)輸出的脈沖序列作為輸出量。因此，在方框圖上可在輸出端虛設(shè)一個(gè)同步采樣開(kāi)關(guān)，如圖7.14所

52、示。實(shí)際系統(tǒng)中這個(gè)開(kāi)關(guān)并不存在。圖7.14 z傳遞函數(shù)2022-6-2675 G(s)表示線性環(huán)節(jié)本身的傳遞函數(shù)，而G(z)表示圖7.14中的線性環(huán)節(jié)與采樣開(kāi)關(guān)組合形成的傳遞函數(shù)。盡管計(jì)算G(z)時(shí)只需知道該環(huán)節(jié)的G(s)即可，但計(jì)算出來(lái)的G(z)卻包括了采樣開(kāi)關(guān)。若無(wú)采樣開(kāi)關(guān)且輸入信號(hào)是連續(xù)時(shí)間函數(shù)，那么就無(wú)法求出z傳遞函數(shù)，即在此情況下不能將輸入信號(hào)和線性環(huán)節(jié)分開(kāi)進(jìn)行Z變換，只能求出輸出信號(hào)的Z變換。 若G(s)形式比較復(fù)雜，要先展開(kāi)成部分分式，以便與拉氏變換和Z變換中的基本形式相對(duì)應(yīng)。例例7-15 系統(tǒng)如圖7.14所示，已知 ) 110(1)(s.ssG求z傳遞函數(shù)G(z)。2022-6

53、-2676解解 將G(s)分解成部分分式1011)(sssG查表7.1可得101010(1 e)( )1e(1)(e)TTTzzzG zzzzz例例7-16 離散系統(tǒng)的差分方程為 101( )(1)()( )(1)()nmc ka c ka c knb r kbr kb r km假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零，試求系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)。解解 對(duì)上式兩側(cè)進(jìn)行Z變換，由時(shí)移定理中的延遲定理，并提出公因子可 () ( )() ( )nmnma za zC zbb zb zR z1110112022-6-2677整理后得10111( )( )( )1mmnnbb zb zC zG zR za za z例例7-17

54、 設(shè)離散系統(tǒng)的差分方程為 ( )3 (1)2 (2)(2)c kc kc kr k式中10( 1)(0)0, ( )00 kccr k k試求系統(tǒng)響應(yīng)c(k)。解解 對(duì)差分方程兩側(cè)取Z變換得 122(1 32) ( )( )zzC zR z z整理并注意到r(k)的Z變換R(z)=1，得12211( )( )()323212zzC zR zzzzzzzz查表7.1Z變換表，并應(yīng)用延遲定理，可以得到11( )( 1)( 2) 1, 2, 3, kkc kk 2022-6-2678(2) 串聯(lián)環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 當(dāng)開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)由幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)的求法與連續(xù)系統(tǒng)情況不完全相同。

55、即使兩個(gè)開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)完全相同，但是由于采樣開(kāi)關(guān)的數(shù)目和位置不同，所求的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也是截然不同的。離散系統(tǒng)中總的脈沖傳遞函數(shù)可歸納為兩種典型形式，串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)(圖7.15)和串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)(圖7.16)。 1) 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān) 圖7.15(a)所示為系統(tǒng)串聯(lián)的兩個(gè)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)的情形。根據(jù)方框圖簡(jiǎn)化原則可簡(jiǎn)化為圖7.15(b)。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可由連續(xù)工作狀態(tài)的傳遞函數(shù)G1(s)和G2(s)的乘積求得2022-6-26791212( )( )( )( )( )( )C zG zZ G s G sGG zR z(7-68)即

56、等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積的z變換。 (a)(b)圖7.15 環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣器分隔上述結(jié)論可推廣到無(wú)采樣開(kāi)關(guān)間隔的n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。 2022-6-2680例例7-18 兩串聯(lián)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)， szGasasG1)( )(21試求串聯(lián)環(huán)節(jié)等效的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解解 串聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為12121( )( )( )( )11e(1 e)(1)(e)aTaTaTaG zGG zZ G s G sZsa sazzZssazzzzz2022-6-2681 2) 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)11( )( )( )C zG zR z圖7.16 環(huán)節(jié)之間有采樣器分隔 圖7.16所

57、示為兩串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)的情形。圖中采樣器T1和T2是同步的。對(duì)于第一個(gè)環(huán)節(jié)，由于前后都存在采樣開(kāi)關(guān)，其輸入為采樣輸入r(kT)，輸出經(jīng)采樣器后為c1(kT)，有2022-6-2682對(duì)于第二個(gè)環(huán)節(jié)，其輸入為c1(kT)，輸出為c(t)，其Z變換為21( )( )( )C zG zC z兩環(huán)節(jié)串聯(lián)后，其總的脈沖傳遞函數(shù)為12( )( )( )( )C zG z G zR z(7-69) 當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)時(shí)，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。上述結(jié)論可以推廣到多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而且環(huán)節(jié)間都存在同步采樣開(kāi)關(guān)的情形，總的脈沖傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。2022-6

58、-2683例例7-19 兩串聯(lián)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間有采樣開(kāi)關(guān)， szGasasG1)( )(21試求串聯(lián)環(huán)節(jié)等效的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解解 串聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 121221( )( )( )( ) ( ) 1e(1)(e)aTaTaG zG z G zZ G s Z G sZZsaszazazzzzz 說(shuō)明：在串聯(lián)環(huán)節(jié)間有無(wú)采樣開(kāi)關(guān)其脈沖傳遞函數(shù)是完全不同的。勿將G1G2(z)與G1(z)G2(z)相混淆。G1G2(z)表示兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘后再取z變換，而G1(z)G2(z)表示G1(s)和G2(s)先各自取z變換后再相乘。通常G1G2(z)G1(z)G2(z)。2

59、022-6-2684(3) 閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 由于采樣開(kāi)關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中可能存在于多個(gè)位置，因此閉環(huán)離散系統(tǒng)沒(méi)有唯一的結(jié)構(gòu)形式。下面介紹幾種常用的閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。 1) 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如圖7.17所示。圖中虛線所示的理想采樣開(kāi)關(guān)是為了便于分析而虛設(shè)的。所有采樣開(kāi)關(guān)都是同步工作的。在系統(tǒng)中，誤差信號(hào)是采樣的。由方框圖可得( )( )( )( )( ) ( )E zR zB zB zGH z E z式中，E(z)、R(z)和B(z)分別是e(t)、r(t)和b(t)經(jīng)采樣后脈沖序列的Z變換；GH(z)為環(huán)節(jié)串聯(lián)且環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣器時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)，它是G(s)H(s)的Z變換，由以上兩式可求得

60、2022-6-2685( )( )1( )R zE zGH z(7-70)系統(tǒng)輸出的Z變換為C(z)=G(z)E(z)，即( ) ( )( )1( )G z R zC zGH z(7-71)或( )( )( )1( )C zG zR zGH z(7-72)式(7-72)為圖7.17所示閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。圖7.17 閉環(huán)離散系統(tǒng)2022-6-2686 2) 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如圖7.18所示。討論系統(tǒng)的連續(xù)部分有擾動(dòng)輸入n(t)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)。此時(shí)假設(shè)給定輸入信號(hào)為零，即r(t)=0。由方框圖得到212( )( )( ) ( )C zNGzGGz E z( )( )E zC z 由以上兩式可求得