第二章塑性成形力學基礎(chǔ)1

1、研究變形體受力的6各假設：1、連續(xù)性假設 由連續(xù)介質(zhì)組成2、均勻性假設 組織、化學成分均勻且相同3、各向同性假設 各方向的物理、化學性能相同4、初應力為零 受到外力前處于自然平衡5、體積力為零6、體積不變 變形前后的體積相等2.1.1 應力與點的應力狀態(tài)外力(load)與內(nèi)力(internal force) 外力P：施加在變形體的外部載荷。 內(nèi)力Q：變形體抗衡外力機械作用的體現(xiàn)。 應力（stress）應力S 是內(nèi)力的集度 內(nèi)力和應力均為矢量 應力的單位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2 1MPa=106 N/m20limAPSA 過一點可以有無窮多個方位的面。這些面上的應力如何

2、？選取三個相互垂直的面，則每個面上都有全應力。應力可以進行分解 Sn n 、n （nnormal,法向） 某截面（外法線方向為n）上的應力： 或者 （求和約定的縮寫形式） 全應力全應力(stress)正應力正應力(normal sress)剪應力剪應力(shear stress)nnnnxyznxyzS22nij ijnij innnl lSlS一點的應力狀態(tài)：是指通過變形體內(nèi)某點的單元體所有截面上的應力的有無、大小、方向等情況。一點的應力狀態(tài)的描述： 數(shù)值表達：x=50MPa，xz=35MPa 圖示表達：在單元體的三個正交面上標出 張量表達： (i,j=x,y,z) （對稱張量，單元體處于平

3、衡狀態(tài)，故繞單元體各坐標軸的合力矩為零，由此可得剪應力互等，即， 9個分量，6個獨立分量。）zyzyxzxyxij.一點的應力狀態(tài)及應力張量u 應力分量圖示平行于坐標面上應力示意圖平行于坐標面上應力示意圖 應力的分量表示及正負符號的規(guī)定 ij xx 、 xz （便于計算機應用） i應力作用面的外法線方向(與應力作用面的外 法線方向平行的坐標軸) j應力分量本身作用的方向 當 i=j 時為正應力，即： i、j同號為正，異號為負 簡稱為拉應力為正、壓應力為負 當 ij 時為切應力 i、j同號為正，異號為負 任意斜面的應力變形體內(nèi)任一點M某一斜面上的應力分布為？四面體受力示意圖 m、n、l ，全應力

4、為，它在三個坐標軸上的投影為sx、sy、sz。在n上的分量為 ，在作用面上的分量為 。 應力平衡方程為：nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx解得：222xyxSSSS)2(zxyzxy2z22nlmnlmnmlnSmSlSyxzyx22S過M點任意斜面上的應力情況取決于:1)方向余弦2) 三個坐標面上的應力，該點任意斜面上的應力均可求出。因此一點的應力狀態(tài)可用來描述 用三個坐標面上的應力表示一點的應力狀態(tài)是充分條件2.1.2.1 主應力及應力張量不變量1、主應力是指作用面上無切應力時所對應的正應力，該作用面稱作主平面，法線方向為主軸或主方向 ，則的三個主平面上的切應力為

5、： 0zxyzxylSxmSynSz并且： 代入任意微分斜面的應力方程，可得應力特征方程：032213JJJ其中稱作應力張量的第一、二、三不變量 zyxJ12222)(zxyzxyxzzyyxJ)(22223xyzzxyyzxzxyzxyzyxJ 討論討論： 1. 可以證明，在應力空間，主應力平面是存在的； 2. 三個主平面是相互正交的； 3. 三個主應力均為實根，不可能為虛根； 4. 應力特征方程的解是唯一的； 5. 對于給定的應力狀態(tài)，應力不變量也具有唯一性； 6. 應力第一不變量J1反映變形體體積變形的劇烈程度，與塑性變形無關(guān)；J2與屈服準則有關(guān)。因所以，第一不變量表示物體的體積變化。

6、7. 應力不變量不隨坐標而改變，是點的確定性的判據(jù)。3211zyxJ121)(21JEEVVzyx例題：1.主應力的求解02040 20000101001010ij 2.比較下列應力張量是否表示同一個點的應力狀態(tài)0301010302、主應力圖3、應力橢球面 若取三個主應力的方向為坐標軸，這種坐標系稱為主軸坐標系，則一點的應力張量為 321000000ij11Sl 22Sm 33Sn 1232222212SSS應力橢球面1）對于一個確定的應力狀態(tài)，在主軸坐標系中，任意斜微分面上的全應力矢量的端點都在一個橢球面上 2）若三個主應力相等，則為一個球面，任意方向都是主方向S2.1.2.2 主切應力和最

7、大切應力改變所取坐標軸的方向，總有三個互相垂直的方向使切應力達到極值，這時稱為主切應力，其作用面為主切平面。即：主切應力為極值切應力（不為零）平面上作用的切應力。因：22322212232222212)(nmlnml022l0 22m0 22n1222nml求解 可得 組解因子 一二三四五六001001001000000lmn321212121212121232213221232213221 主平面及其上的主應力和主切平面及其上的主切應力 32123113max當有時，有最大剪切應力 2.1.2.3 八面體應力與等效應力設m為平均應力，則有： 131)(31Jzyxm在主應力空間中，每一象限中

8、均有一組與三個坐標軸成等傾角的平面，八個象限共有八組，構(gòu)成正八面體，簡稱八面體面。八面體表面上的應力為八面體應力，即為八面體正應力和八面體切應力。其方向余弦為： )2(zxyzxy2z22nlmnlmnmlnSmSlSyxzyx在主應力空間有：232221nml則八面體正應力為：mzyxJ)(3131)(311321831nml因：22322212232222212）（nmlnml因：八面體切應力為：2132322218)()()(313211J)(1332212J由得2218332JJ)(6)()()(31222222zxyzxyxzzyyx1J2Jm88對某一確定的應力狀態(tài)，應力張量不變量

9、 是個常量， 都是不變量。為了使不同應力狀態(tài)具有可比性，定義了等效應力823213232221)()()(21)(6)()()(21222222zxyzxyxzzyyx 2.1.3 應力張量的分解與幾何表示1.分解:塑性變形時體積變化為零，只有形狀變化。因此，可以把 分解成與體積變化有關(guān)的量和與形狀變化有關(guān)的量。前者稱應力球張量，后者稱應力偏張量。 ijijmijmijij)(),( zyxjiijmij 其中其中 即平均應力，即平均應力， 為柯氏符號。為柯氏符號。 即即 )(31zyxm100010001.mzyzyxzxyxzyzyxzxyx,mxxmyymzz與應力張量類似，偏應力張量也

10、存與應力張量類似，偏應力張量也存在相應的不變量：在相應的不變量：ijzxyzxyxzzyyxzyxJJJ)(6)()()(610322222221對于主軸坐標系，則01J)()()(612132322212J3213J01J應力偏張量已不含平均應力成份 2 J反映了物體形狀變化的程度 3 J反映了變形的類型 2.幾何表示應力平面一點的應力狀態(tài)可用一矢量來表示 2.1.4 應力莫爾圓 1.平面應力莫爾圓若變形體內(nèi)與某方向軸(如z軸)垂直的平面上沒有應力分量，即變形體內(nèi)各點的0zyzxz 則z方向是一個主方向。在這種情況下，形體內(nèi)各點的應力狀態(tài)由 、 、 三個應力分量確定，且這些應力分量與z軸無關(guān)

11、，這種應力狀態(tài)稱為平面應力狀態(tài)，其應力張量為 xyxy00000yyxxyxijcoslsinm0n任意斜微分面AC 法線N的方向余弦為：代入任意斜面的應力方程，得2sin2cos)21)21xyyxyx（2cos2sin)21xyyx （消去參數(shù) 2222)2()2(xyyxyx這就是平面應力狀態(tài)下的應力莫爾圓，其圓心和半徑分別為圓心： )0 ,2(yxD半徑： 22)2(xyyxR12xyxy從應力莫爾圓，可以方便地寫出平面應力狀態(tài)下主應力之間的關(guān)系式 2221)2(2xyyxyx03主應力的方向與x軸之間的夾角為，則 yxxy2arctan21與x軸成逆時針角的斜微分面AC，在應力莫爾圓

12、上由x面(即B點)逆時針旋轉(zhuǎn)2則得到N點，N點的坐標、即為微分面AC上的正應力和切應力。22112212從應力莫爾圓上可得主切應力由于不一定是代數(shù)值最小的主應力，所以不一定是最大切應力。2.三向應力莫爾圓 在主應力坐標系中，應力張量：321ij作一方向余弦分別為l、m、n的斜面ABC，則有：1)(22223322213232222212332221nmlnmlnmlnml解得：221221322313212223231212)()()()()()(nml對第一個式子，假定l已知，求232312122232)2()()2(l同樣可求出：000nml若分別令可作圓心、半徑分別如下表示的三個圓2)0

13、 ,2(2)0 ,2(2)0 ,2(2121313132323.任意平面在莫爾圓上的位置1）平面應力zyyxxyx0000在莫爾圓上，規(guī)定正應力：拉為正、壓為負切應力：使單元體順時針旋轉(zhuǎn)為正、逆時針旋轉(zhuǎn)為負2）三向應力L、m、n已知，2.1.5 應力平衡微分方程ij0, 0, 0ZYX應力平衡微分方程就是物體任意無限相鄰二點間 關(guān)系，可以通過單元體沿坐標軸的力平衡來得到。 推導原理： 靜力平衡條件： 靜力矩平衡條件： 泰勒級數(shù)展開0, 0, 0zyxMMM.)(! 21)(! 11)()(22xxfxxfxfdxxfxxfxf)()(xxxdxx 1.直角坐標下的應力平衡微分方程),(zyxij,(dxxij),dzzdyyij假設物體為連續(xù)介質(zhì)。無限相鄰近二點的應力狀態(tài)分別為 。， 假設連續(xù)可導，則有 z)y,x,kj,(i, d),()d,d,d(kkijijijxxzyxzzyyxx直角坐標系微體受力 物理意義：表示變形體內(nèi)無限相鄰兩質(zhì)點的點的應力狀態(tài)的關(guān)系。對彈性變形和塑性變形均適用。0008zyxzyxzyxyzxzzyyxyzxyxx2.圓柱坐標下的應力平衡微分方程 010210)(11rzrrrz