哈工大控制工程課件3

1、2022-6-261HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析本章重點 時域響應的基本概念； 一階系統的時域響應、性能指標和參數的求??； 二階系統的時域響應及欠阻尼狀態(tài)下性能指標的計算； 系統暫態(tài)性能隨極點變化的規(guī)律； 代數穩(wěn)定性判據； 輸入信號和擾動信號作用下穩(wěn)態(tài)誤差的計算。2022-6-262HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析本章難點 二階系統的時域響應； 改善系統動態(tài)性能的方法； 輸入信號和擾動信號同時

2、作用時穩(wěn)態(tài)誤差的計算； 代數穩(wěn)定性判據的應用。2022-6-263HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析3.1 3.1 典型的輸入信號典型的輸入信號3.2 3.2 線性定常系統的時域響應線性定常系統的時域響應3.3 3.3 一階系統的暫態(tài)響應一階系統的暫態(tài)響應3.4 3.4 控制系統暫態(tài)響應的性能指標控制系統暫態(tài)響應的性能指標3.5 3.5 二階系統的暫態(tài)性能指標二階系統的暫態(tài)性能指標第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析3.6 3.6 高階系統的動態(tài)性能高階系統的動態(tài)性能3.73.7控制系

3、統的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統的穩(wěn)態(tài)誤差3.8 3.8 穩(wěn)定性和代數穩(wěn)定性判據穩(wěn)定性和代數穩(wěn)定性判據3.9 3.9 勞斯赫爾維茨穩(wěn)定判據勞斯赫爾維茨穩(wěn)定判據3.103.10基本控制規(guī)律分析基本控制規(guī)律分析2022-6-264HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析建立系統數學模型的目的是為了分析控制系統的性能。 系統的性能分為動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能如何評價？動態(tài)性能：用控制系統在典型輸入下的響應來評價 穩(wěn)態(tài)性能：一般是通過系統在典型輸入信號下引起的穩(wěn)態(tài)誤差來評價 。建立穩(wěn)態(tài)誤差的概念；介紹穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法；討論消除

4、或減少誤差的途徑。第三章控制系統的時域分析2022-6-265HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析確定性能指標，使分析系統化，便于比較系統的性能。預測系統在更為復雜的輸入下的響應。3.1典型的輸入信號為何要采用典型輸入信號進行系統性能研究？實際系統的輸入信號千差萬別；典型信號便于進行數學分析和實驗研究；2022-6-266HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析選取典型信號的原則：1. 反映系統大部分的實際工

5、作情況；2. 盡可能簡單，便于分析和處理；3. 選取可能使系統工作在最不利的情況的實驗信號。、單位階躍函數1,01( )0,0ttt1( )1Lts二、單位斜坡函數,0( )0,0ttr tt21 L ts2022-6-267HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析三、拋物線函數（加速度階躍函數）21,( )2tt0r t0,t 0或211( )2tt23111( )2Ltts四、脈沖函數五、正弦信號( )sinr tAt2022-6-268HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自

6、動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析3.2線性定常系統的時域響應時域分析 就是分析系統的時間響應，也就是分析描述系統運動微分方程的解。一、微分方程解的形式)()()()()(11110trftrbtrdtdbtrdtdbtrdtdbmmmmmm)()()()(1111tcatcdtdatcdtdatcdtdnnnnnn齊次微分的特征方程為：0111nnnnaaa2022-6-269HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析2. 網絡的響應=暫態(tài)響應（暫態(tài)分量）+穩(wěn)態(tài)響應（

7、穩(wěn)態(tài)分量）1. 線性常微分方程的通解=齊次方程通解+非齊次方程任一特解tnttnekekektc21211)(齊次方程通解：ki為待定常數，i為n個互異的根。 tnttnetketketktc)()()()(21212非齊次方程特解：c(t)=c1(t)+c2(t) 微分方程的解：3. 系統的響應=零狀態(tài)響應+零輸入響應零狀態(tài)響應穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量1（由輸入信號引起）零輸入響應暫態(tài)分量2（由初始狀態(tài)引起）2022-6-2610HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析二、利用拉氏變換法分析系統的響應考慮輸出

8、和輸入的初始條件，對微分方程兩端做拉氏變換得到： )()()(1)()()()(00sNsNsDsRsDsNsCcrnnnnasasassD111)(mmmmbsbsbsbsN1110)(系統的響應為C(s)的拉氏反變換)()()(1)()()()(0011sNsNsDLsRsDsNLtccr由輸入信號引起由初始狀態(tài)引起2022-6-2611HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析)()()()()()()()(sQsPsDsNsRsDsNsClkkkniiissBssAsC11)()()()(sQsP

9、sR展成部分分式： siD(s)=0的根，即系統傳遞函數的極點。skQ(s)=0的根，和系統輸入信號的形式有關。得到系統的零狀態(tài)響應為：lktsknitsikieBeAsC11)(零狀態(tài)響應的暫態(tài)分量 零狀態(tài)響應的穩(wěn)態(tài)分量 2022-6-2612HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析給定輸入是單位階躍函數，系統輸出即為單位階躍響應BeAssDsNLthnitsii111)()()(常數B是穩(wěn)態(tài)分量。給定輸入是單位斜坡函數，系統輸出即為單位斜坡響應tBBeAssDsNLthinitsii01211)()

10、()(如果多項式輸入具有如下形式：kktkRtRtRRtr! 2)(2210穩(wěn)態(tài)響應為：kksstkBtBtBBtc! 2)(22102022-6-2613HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析如果輸入是單位脈沖函數 1)()(0dtettLst單位脈沖響應為： )()()(1sDsNLtg權函數只有暫態(tài)響應，而穩(wěn)態(tài)響應總是為零。 3-3 一階系統的暫態(tài)響應 系統的單位脈沖響應是單位階躍響應的導數。2022-6-2614HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理

11、論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析分析在零初始條件下對一些典型信號的響應 、一階系統的單位階躍響應11111)(TsTssTsshTteth1)(做拉氏反變換t=0處斜率最大，為1/T 沒有超調 經過T和T響應分別達到穩(wěn)態(tài)值的95%和98% 。T越小響應速度就越快。 2022-6-2615HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析二、單位脈沖響應11)(TssgTteTsCLtg1)()(1)()(thdtdtg2022-6-2616HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLO

12、GY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析三、單位斜坡響應11111)(222TsTsTssTssC)1 ()(TtTteTteTttc)1 ()()()(TteTtctrte一階系統時域分析一階系統時域分析無零點的一階系統無零點的一階系統 (s)=Ts+1k, T時間常數時間常數(畫圖時取畫圖時取k=1,T=0.5)單單位位脈脈沖沖響響應應k(t)=T1e-Ttk(0)=T1K(0)=T12單位階躍響應單位階躍響應h(t)=1-e-t/T?c(t)=t-T+Te-t/T1 、3個圖各如何求個圖各如何求T？2 、調節(jié)時間、調節(jié)時間ts=？3 、r(t)=vt時

13、，時，ess=？4、求導關系、求導關系h(0)=1/Th(T)=0.632h()h(2T)=0.865h()h(3T)=0.95h()h(4T)=0.982h()T單位斜坡響應單位斜坡響應r(t)= (t) r(t)= 1(t) r(t)= t k(0)=T1K(0)=T12問問1 、3個圖各如何求個圖各如何求T？2 、調節(jié)時間、調節(jié)時間ts=？3 、r(t)=vt時，時，ess=？4、求導關系、求導關系2022-6-2618HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析11111)()()(000TsKsK

14、sKsKsRsCs01, 1KTK1111111)()()(00000000TsKsKTKKsTKsTKsRsCs00001,1KTTKKK2022-6-2619HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析.4 控制系統暫態(tài)響應的性能指標1. 最大超調量: 在暫態(tài)期間輸出超過對應于輸入的終值的最大偏離量。表示相對穩(wěn)定性。 %100)()(%maxccc2. 峰值時間tp: 對應于最大超調量發(fā)生的時間。3. 上升時間tr： 第一次達到對應于輸入的終值的時間 4. 調整時間ts: 又叫過渡過程時間,偏差達到容許

15、的范圍之內所經歷的暫態(tài)過程時間。 5. 延遲時間td： 輸出第一次達到穩(wěn)態(tài)值的50所需要的時間。 6. 振蕩次數N： 在調整時間內響應曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的振蕩次數。 7. 穩(wěn)態(tài)誤差ess： )(1cess2022-6-2620HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析tp、ts、tr、td、是階躍響應過程的快速性指標。%、N是時間響應的平穩(wěn)性指標。它們描述了瞬態(tài)響應過程，反映了系統的動態(tài)性能。稱為動態(tài)性能指標。 ess描述了穩(wěn)態(tài)響應，反映了穩(wěn)態(tài)性能，稱為穩(wěn)態(tài)性能指標。其它性能指標：02)( dtteISE誤差

16、平方積分：時間乘誤差平方積分：02)( dttteITSE時間乘誤差絕對值積分：0)(dtteIAE0)(dttetITAE誤差絕對值積分：h(t)t時間時間tr上上 升升峰值時間峰值時間tpAB超調量超調量% =AB100%動態(tài)性能指標定義動態(tài)性能指標定義1h(t)t調節(jié)時間調節(jié)時間tsh(t)t時間時間tr上上 升升峰值時間峰值時間tpAB超調量超調量% =AB100%調節(jié)時間調節(jié)時間ts2022-6-2622HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析3.5 二階系統的動態(tài)性能指標一、二階系統的結構0

17、2012002010020100201) 1(1) 1()(KKssTKKTsKKTsKKs12111220201202010TssTKsKKsKKT02010KKTT 1K00201121TKK2022-6-2623HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析12112)(002200002200sTsTKsTsTKs12)1 (2220002200TssTKKsTsTK001KTT001K001KKK自己做！2022-6-2624HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自

18、動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析121)(22TssTs2222nnnssTn1)()(221121)()(122222sCsCssssssssssCssnnnnnn(1) 當=0時，特征方程有一對共軛虛根。s1,2=jn。瞬態(tài)響應為：tssLtcnncos)(2211瞬態(tài)響應是無阻尼的周期振蕩,振蕩角頻率是n2022-6-2625HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析（2） 當01時，方程有兩個不同的負實數根。122, 1nns)1(exp121)1(exp12122222

19、2ttnn瞬態(tài)響應是兩個單調衰減的過程。 221122)(nnnsssLtc)1)(12(1)1)(12(12222221nnnnssL2022-6-2628HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析121(1)nT221(1)nT)1(exp121)1(exp121222222ttnn2112122111exp()exp()1111TTttTTTTTT21121211exp()exp()11ttTTTTTT令：令：注意：注意：1. c1(t)的形狀？的形狀？ c1(0)=？ c1()=？ 3. 單調性。

20、單調性。c(t)的符的符號。號。2022-6-2629HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析2022-6-2630HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析二階系統的瞬態(tài)響應有如下特點：參數 對瞬態(tài)響應曲線的形狀影響極大。當0，瞬態(tài)響應是等幅振蕩，頻率為n。n稱為無阻尼振蕩角頻率，系統被稱為無阻尼系統。 01時，瞬態(tài)響應是一個從-1到0單調遞增的過程。阻尼系數和n決定了二階系統的瞬態(tài)響應特征，稱為二階系統的特征參

21、數。2 - 1S1,2=-nnS1,2=-n-n=S1,2 = jn01101j0j0j0j0二二階系統單位階系統單位階躍響應定性分析階躍響應定性分析2(s)=s2+2ns+n2n2-j1-2 nS1,2=nh(t)= 1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)= 1-(1+nt) e- tnh(t)= 1-cosntj0j0j0j0T11T2111010sin(dt+)e- t h(t)=1-211n過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼零阻尼零阻尼2022-6-2632HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三

22、章控制系統的時域分析二、二階系統的動態(tài)性能指標二、二階系統的動態(tài)性能指標ns1s2jn21-nj21-nj01cos1,2ns1欠阻尼二階系統的動態(tài)性能指標2( )1sin1ntdec tt (1) 上升時間tr,( )1rc t2sin01n rtd retd rtrdt2022-6-2633HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析(2) 峰值時間tp 應為c(t)第一次出現峰值所對應的時間。根據dc(t)/dt=0,得2( )1sin1ntdec tt ( )0dc tdtsincos()0nddd

23、tt21tantanddntd pt21pdnt2022-6-2634HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析（3）最大超調量% 當t=tp時，c(t)有最大值cmax(t)=c(tp)，而階躍響應的穩(wěn)態(tài)值為1，最大超調量為： 2( )1sin1ntdec tt 21pdnt2221( )1exp()sin()1exp()111pc t 注意到2sin()sin1 2% ( ) 1 100%exp100%1pc t說出超調量和阻尼比的關系？2022-6-2635HARBIN INSTITUTE OF T

24、ECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析%和關系曲線2022-6-2636HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析（4）調節(jié)時間ts根據調節(jié)時間的定義，當tts時，應有( )( )( )c tcc 2( )1sin1ntdec tt 211nte曲線的包絡線為：2sin1ntdet 2022-6-2637HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析設當t=ts時包絡線

25、與誤差帶的邊線相交。 21nte 211ln1sntsstt取0.05時，3snt取0.02時，4snt當較小時，可取211，進步計算可近似有：sftNt（5）振蕩次數N2221fdnt要求要求：已知極點的位置或是、n，確定系統的性能指標。給定性能指標可以確定二階系統的特征參數值。2022-6-2638HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析和ts/T的關系曲線(01)ts/T0.707時，ts=3T,%5%。0.7，工程上稱最佳阻尼比。通常取0.40.8，%在2.5%25%，ts=3.75T8T 。2

26、022-6-2639HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析ts/T和ts/T的關系曲線(10，使得所有的的初態(tài)x(t0)，引起的受擾運動滿足：0( )x t( )x t，tt0，t(-,+)。則原點0z稱為李亞普諾夫意義下t0時間穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。說明：1初始條件區(qū)域只是一個很小的區(qū)域，所以李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定是一種“局部穩(wěn)定性”，即“小偏差”穩(wěn)定性。2對于任意初始條件下的穩(wěn)定性問題，只能在方程下進行討論。2022-6-2670HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自

27、動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析系統的穩(wěn)定性表現為時域響應的收斂性。如果系統的零輸入響應和零狀態(tài)響應都是收斂的，系統就被認為是總體穩(wěn)定的。二、線性定常系統穩(wěn)定的充分必要條件)()()()(1111tcatcdtdatcdtdatcdtdnnnnnn)()()()()(11110trftrbtrdtdbtrdtdbtrdtdbmmmmmm)()()(1)()()()(00sNsNsDsRsDsNsCrc)()()(1)()()()(0011sNsNsDLsRsDsNLtcrc2022-6-2671HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自

28、動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析1 零輸入響應的穩(wěn)定性系統的零輸入響應為：dsesDsNsNjsDsNsNLtcstjcjcrcrc)()()(21)()()()(000011如果對于任何初始狀態(tài))0()0()0()1(1)1 (11nccc、0)(lim1tct則稱該系統的零輸入響應是穩(wěn)定的。2022-6-2672HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析假設)()()(00sDsNsNrc的n個極點分布如下實數極點有q個，其中s1是l重極點，另外q-l是相異實極點si(i=2

29、,3,q-l)。復數極點有2r個，設其為kkkjs(k=1,2,r)。由拉氏反變換可得系統零輸入響應為tsllllebtbtlbtlbtc1122111)!2()!1()(rkkktklqitsiteCeBki12)cos(2022-6-2673HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析可見，系統零輸入響應穩(wěn)定的充分必要條件是系統傳遞函數的全部極點si(i=1,2,3,n)，完全位于s平面的左半平面。), 2 , 1(0)Re(nisi2.零狀態(tài)響應的穩(wěn)定性定義：系統的零狀態(tài)響應為dsesRsDsNjtc

30、stjcjc)()()(21)(2如果系統對于每一個有界輸入的零狀態(tài)響應仍保持有界，則稱該系統的零狀態(tài)響應是穩(wěn)定的，或稱為有界輸入有界輸出穩(wěn)定（BIBO）。2022-6-2674HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析dtrgtc)()()(02零狀態(tài)響應可以用卷積分表示dtrgtc)()()(02假定r(t)有界。則有1)(Ktr則有|為范數算子10K如果系統的單位脈沖響應也能夠滿足20)(Kdg20K則必然有2102)()()(KKdtrgtc說明對有的t，零狀態(tài)響應c2(t)有界。2022-6-2

31、675HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析系統的單位脈沖響應是其傳遞函數的原函數，所以有tslllleatatlatlatc1122112)!2()!1()(rkkktklqitsiteDeAki12)cos(可見，只要系統傳遞函數的全部極點si(i=1,2,3,n)，完全位于s平面的左半平面，即：), 2 , 1(0)Re(nisi才能使20)(Kdg20K2022-6-2676HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系

32、統的時域分析線性定常系統穩(wěn)定的充分必要條件是：系統傳遞函數的全部極點都必須位于系統傳遞函數的全部極點都必須位于S S平面的左平面的左半平面，或者說全部極點都有負實部。半平面，或者說全部極點都有負實部。3-9 勞斯赫爾維茨穩(wěn)定判據種由特征方程的系數來判定系統穩(wěn)定性的的代數方法。對于一階系統，特征方程為0)(10asasD極點為01aaP極點為負的充要條件是0, 010aa2022-6-2677HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析對于一階系統，特征方程為0)(2120asasasD其根為02201012

33、, 122aaaaaa要使系統穩(wěn)定，極點必須具有負實部，因此其穩(wěn)定的充要條件為. 0, 0, 0210aaa一、勞斯判據不必求解方程，判定在一個多項式方程中是否存在位于復平面右半部的正根 。 2022-6-2678HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析(1)寫出關于s的多項式方程 0122110nnnnnasasasasa系數為實數，an0，排除零根的情況。(2)設方程中所有系數都存在，并且均大于0，這是系統穩(wěn)定的必要條件。方程如果缺項或是具有負的系數，則一定是不穩(wěn)定的。 （3）如果系數都是正的按下列

34、方式編制勞斯表2022-6-2679HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析s sn na0a2a4a6s sn n1 1a1a3a5a7s sn n2 2b1b2b3b4s sn n3 3c1c2c3c4s s2 2e1e2s s1 1f1s s0 0g113021131201aaaaaaaaaaaaaaaaaaab12131121311bbaabbbbaabaabbbbaac判據系統極點實部為正實數根的數目等于勞斯表中第一列系數符號改變的次數。20

35、22-6-2680HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析三、勞斯判據的應用1.判定系統的穩(wěn)定性例：D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0s413524s3s2124231520251s1615142s0005 勞斯表第一列元素符號改變2次，表明系統有2個正實部的根，該系統是不穩(wěn)定的。2022-6-2681HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析計算勞斯表時可能出現的幾種特殊情況如果勞斯表第1列中出現0，則

36、可以用一個小的正數代替它，然后繼續(xù)計算其它元素。D(s)=s4+3s3+3s2+3s+2=0s413233s3s2s1s002220在勞斯表中上面一行的首列和下面行的首列符號相同，勞斯表第一列元素沒有符號改變。 有一對純虛根存在。 系統的特征根為j， 1，2。 系統穩(wěn)定的定義，該系統是不穩(wěn)定的。2022-6-2682HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析設系統特征方程為：設系統特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞勞 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64

37、)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1= -8-8 41 2 第一列出現零元第一列出現零元素時，素時，用正無窮小量用正無窮小量 代替。代替。2+87-8(2 +8) -7271 2 7 -8勞斯表出現零行勞斯表出現零行設系統特征方程為：設系統特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞勞 斯斯 表表s0s1s2s3s451756116601 勞斯表何時會出現零行勞斯表何時會出現零行?2 出現零行怎么辦出現零行怎么辦?3 如何求對稱的根如何求對稱的根? 由零行的上一行構成由零行的上一行構成輔助方程輔助方程: 有大小相等符號相反的有大小相等符號相反的特征根時會出

38、現零行特征根時會出現零行s2+1=0對其求導得零行系數對其求導得零行系數: 2s1211繼續(xù)計算勞斯表繼續(xù)計算勞斯表1第一列全大于零第一列全大于零,所以系統穩(wěn)定所以系統穩(wěn)定錯啦錯啦!由綜合除法可得另兩由綜合除法可得另兩個根為個根為s3,4= -2,-3解輔助方程得對稱根解輔助方程得對稱根: s1,2=j2022-6-2684HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析s5+s4+3s3+3s2+2s+2=0設系統特征方程為：設系統特征方程為：s513213s4s3s2s122/34603/2第三行全部為零！

39、由上一行構造輔助方程。Q(s)=s4+3s2+2=0求導得：4s3+6s=0由此方程得到s3行的各項系數2s02 勞斯表第一列元素符號沒有改變， 系統沒有正實部的根，但該系統是不穩(wěn)定的。 原方程中關于原點對稱的根可以通過解輔助方程Q(s)=s4+3s2+2=0求出。2022-6-2685HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析利用勞斯判據判斷系統的穩(wěn)定性的結論為：系統穩(wěn)定的充分必要條件是系統的特征方程沒有缺項，全部系數大于0，且勞斯表第一列所有元素也大于0。2分析系統參數對穩(wěn)定性的影響已知系統的開環(huán)傳遞

40、函數為) 125. 0)(11 . 0()(sssKsG確定穩(wěn)定的開環(huán)放大倍數的取值范圍，和臨界放大系數KP。 特征方程為：0) 125. 0)(11 . 0(Ksss035. 0025. 023Ksss040401423Ksss2022-6-2686HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統的時域分析第三章控制系統的時域分析s3s2s1144040K14001440Ks040K穩(wěn)定條件為K0144040K0解得使系統穩(wěn)定的K值范圍0K143. 確定系統的相對穩(wěn)定性 具體做法是：sz-a代入原系統的特征方程，得出以z為變量的方程。應用勞斯判據于新的方程。若滿足穩(wěn)定的充要條件。則該系統的特征根都落在s平面中s-a直線的左半部分，即只有a以上的穩(wěn)定裕度。ajS平面02022-6-2687HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自動控制理論自動控制理論第三章控制系統