理論力學(xué)-第19-20課時

1、ABOddtABBAxyzxyzxyz(a)原來位形原來位形(b) 繞繞z軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) /2(c) 繞繞y軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) /2xyzxyzxyz(a)原來位形原來位形(b)繞繞y軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) /2(c) 繞繞z軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) /2 nr+ rrPPMO無限小轉(zhuǎn)動時無限小轉(zhuǎn)動時, 繞定點(diǎn)繞定點(diǎn)O的某軸轉(zhuǎn)的某軸轉(zhuǎn)動了動了 , 其方向和大小用轉(zhuǎn)軸上的其方向和大小用轉(zhuǎn)軸上的有方向線段有方向線段 n來表示來表示, 叫做角位移叫做角位移.P為轉(zhuǎn)動前位置為轉(zhuǎn)動前位置, P繞定點(diǎn)繞定點(diǎn)O的某軸的某軸轉(zhuǎn)動了轉(zhuǎn)動了 后位置后位置.sinsinrPMrrn rnr 即即注意：只有在無限小轉(zhuǎn)動注意：只有在無限小轉(zhuǎn)動的情況下才成立！的情況

2、下才成立！ nr+ rrPPMO如果剛體先后繞過如果剛體先后繞過O點(diǎn)的軸線作了兩次點(diǎn)的軸線作了兩次微小轉(zhuǎn)動微小轉(zhuǎn)動 n和和 n, 則則P點(diǎn)的位矢分別為點(diǎn)的位矢分別為(1) 轉(zhuǎn)動前轉(zhuǎn)動前: r (2) 轉(zhuǎn)動了轉(zhuǎn)動了 n后后: r + nr(3) 再轉(zhuǎn)動了再轉(zhuǎn)動了 n后后: r + nr + n(r + nr)略去二階項(xiàng)略去二階項(xiàng), 則得線位移則得線位移n rnrrr 如果轉(zhuǎn)動次序?qū)σ祝瑒t如果轉(zhuǎn)動次序?qū)σ?，則:nrn rrr 則則: 遵守矢量合成法則遵守矢量合成法則.nnnn 下面證明滿足對易：下面證明滿足對易：l角速度定義角速度定義0limtndntdt 大小大小:ddt方向方向: 轉(zhuǎn)動軸方向，

3、與轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動軸方向，與轉(zhuǎn)動方向構(gòu)成右手螺旋動方向構(gòu)成右手螺旋dkdt與線速度關(guān)系與線速度關(guān)系: 因?yàn)橐驗(yàn)閞nr 所以所以vr定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動:ddt22ddkkdtdtP點(diǎn)線加速度與角量的關(guān)系點(diǎn)線加速度與角量的關(guān)系() dvdardtdtrvarnav2narar 歐拉角：歐拉角：剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時, 選定點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)選定點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn), 用三個用三個獨(dú)立角度來獨(dú)立角度來確定轉(zhuǎn)動軸在空間的取向確定轉(zhuǎn)動軸在空間的取向和和剛體繞這軸所轉(zhuǎn)剛體繞這軸所轉(zhuǎn)過的角度過的角度. 這三個能夠獨(dú)立變化的角度叫做歐拉角這三個能夠獨(dú)立變化的角度叫做歐拉角. 取兩組右手正交坐標(biāo)系取兩組右手正交坐標(biāo)系, 它們的

4、原點(diǎn)都在定點(diǎn)它們的原點(diǎn)都在定點(diǎn)O上上. 坐標(biāo)系坐標(biāo)系O- 固定不動固定不動, 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 O-xyz 固定在剛體上固定在剛體上隨之一起轉(zhuǎn)動隨之一起轉(zhuǎn)動. 假定假定O- 系系和和 O-xyz系開始重合系開始重合, 令令O-xyz繞繞 軸逆時針軸逆時針轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 , 于是于是x軸和軸和 軸分開，軸分開，y 軸和軸和 軸分開軸分開, 而且而且Ox軸軸轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到Ox(即即ON); 進(jìn)動進(jìn)動 然后令活動系繞然后令活動系繞ON 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 ,于是于是 z 軸和軸和 軸分開軸分開, 活動系三個活動系三個軸變到軸變到x, y和和z, z軸和軸和 軸夾角是軸夾角是 , x Oy平面和平面和 O 平平面夾角也是面夾角

5、也是 . 章動章動 最后最后,令活動系繞令活動系繞 z軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 , 這時這時Ox和和Ox夾角是夾角是 , Oy 和和Oy夾角也是夾角也是 , 這時這時, 活動系為活動系為Ox y z.自轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn) 變化范圍：變化范圍：xyzx y zx y zx y z 02020 O 平面平面和和xOy 平面的交平面的交線線ON 稱節(jié)線稱節(jié)線. ON和和O 間的間的夾角夾角 是一個歐勒角是一個歐勒角(進(jìn)動角進(jìn)動角). ON和和Ox間的夾角間的夾角 是另一個是另一個歐勒角歐勒角(自轉(zhuǎn)角自轉(zhuǎn)角). O 和和Oz間間的夾角的夾角 是第三個歐勒角是第三個歐勒角(章章動角動角). 從圖知從圖知: z軸垂直軸垂直O(jiān)N,

6、 故故 z軸位置與軸位置與N有關(guān)有關(guān), 因此因此 z軸位置要用軸位置要用 與與 兩個角來確定兩個角來確定. 為系統(tǒng)繞為系統(tǒng)繞 z軸轉(zhuǎn)動的角軸轉(zhuǎn)動的角. 剛體繞著通過定點(diǎn)剛體繞著通過定點(diǎn)O某一某一軸線以角速度軸線以角速度 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, 在活在活動系動系Oxyz上的投影是上的投影是 x , y和和 z 則則 xyzijk也可以認(rèn)為也可以認(rèn)為 是繞軸是繞軸O 的的角速度角速度 ,繞繞ON軸的角速軸的角速度度 及繞及繞Oz軸的角速度軸的角速度 三者的矢量和三者的矢量和.xyz00sinsincossincossincosxyz 歐拉運(yùn)動學(xué)方程歐拉運(yùn)動學(xué)方程 三個歐拉角已知，則三個歐拉角已知，則可求解角速

7、度在動坐可求解角速度在動坐標(biāo)系上的三個分量。標(biāo)系上的三個分量。 0cossincossinsinsincos 例題例題2 陀螺做如陀螺做如圖所示的轉(zhuǎn)動圖所示的轉(zhuǎn)動(1)請分別指出某請分別指出某時刻它的三個歐拉時刻它的三個歐拉角；角；(2)寫出其歐拉運(yùn)寫出其歐拉運(yùn)動方程動方程 解解: (1)三個歐拉角三個歐拉角分別為進(jìn)動，章動分別為進(jìn)動，章動和自轉(zhuǎn)角，如圖所和自轉(zhuǎn)角，如圖所示。示。(2)其中，章動角為常數(shù)，其中，章動角為常數(shù)，進(jìn)動和自轉(zhuǎn)是勻速轉(zhuǎn)動。進(jìn)動和自轉(zhuǎn)是勻速轉(zhuǎn)動。sinsinsincoscosxyztt 平動平動: 可當(dāng)一個質(zhì)點(diǎn)處理，可當(dāng)一個質(zhì)點(diǎn)處理，3個獨(dú)立變量描述質(zhì)心個獨(dú)立變量描述質(zhì)心

8、 定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動: 固定軸，固定軸，1個獨(dú)立變量，描述轉(zhuǎn)動角度個獨(dú)立變量，描述轉(zhuǎn)動角度 平面平行運(yùn)動平面平行運(yùn)動: 2個獨(dú)立變量描述質(zhì)心，個獨(dú)立變量描述質(zhì)心，1個變量描述繞個變量描述繞 質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，需質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，需3個獨(dú)立變量個獨(dú)立變量 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動定點(diǎn)轉(zhuǎn)動: 2個獨(dú)立變量描述轉(zhuǎn)動軸的方位，個獨(dú)立變量描述轉(zhuǎn)動軸的方位，1個變量描個變量描 述繞轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動，需述繞轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動，需3個獨(dú)立變量個獨(dú)立變量 一般運(yùn)動一般運(yùn)動: 3個獨(dú)立變量描述質(zhì)心運(yùn)動，個獨(dú)立變量描述質(zhì)心運(yùn)動，3個變量描個變量描 述繞質(zhì)心的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，需述繞質(zhì)心的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，需6個獨(dú)立變量個獨(dú)立變量 0limtndntdt 定義及其推導(dǎo)過程定義及其推導(dǎo)過程 nr+ rrPPMOrnr 要求理解角速度是矢量要求理解角速度是矢量