數(shù)列經(jīng)典例題剖析

1、經(jīng)典例題剖析考點一：等差、等比數(shù)列的概念與性質例題1.1數(shù)列an和bn滿足 n=1，2，3，1求證bn為等差數(shù)列的充要條件是an為等差數(shù)列。 2數(shù)列an和cn滿足，探究為等差數(shù)列的充分必要條件。提示：設數(shù)列bn為分析：此題第1問的充要條件的解決可以分別設出等比、等差數(shù)列的通項；對探究問題我們通常采用的是先假設再論證。證明：1必要性 假設bn為等差數(shù)列，設首項b1，公差d那么 an為是公差為的等差數(shù)列充分性 假設an為等差數(shù)列，設首項a1，公差d那么當n=1時，b1=a1也適合bn+1bn=2d， bn是公差為2d的等差數(shù)列 2結論是：an為等差數(shù)列的充要條件是cn為等差數(shù)列且bn=bn+1其中

2、 n=1，2，3 點評：此題考查了等差、等比數(shù)列的根本知識，但解決起來有一定的難度，同時還需要對問題進一步深入下去。例題2.數(shù)列的首項a是常數(shù)，且，數(shù)列的首項，。 1證明：從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列；2設為數(shù)列的前n項和，且是等比數(shù)列，求實數(shù)的值；3當a0時，求數(shù)列的最小項。分析：第1問用定義證明，進一步第2問也可以求出，第3問由的不同而要分類討論。解：1(n2)由得， ，即從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列。2當n2時，是等比數(shù)列, (n2)是常數(shù)，3a+4=0，即 。3由1知當時，所以，所以數(shù)列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，顯然最小項是前三項中的一項。當時，最小項為8

3、a-1；當時，最小項為4a或8a-1；當時，最小項為4a；當時，最小項為4a或2a+1；當時，最小項為2a+1。 點評：此題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學思想，有一定的綜合性。考點二：求數(shù)列的通項與求和例題3.數(shù)列中各項為： 12、1122、111222、 1證明這個數(shù)列中的每一項都是兩個相鄰整數(shù)的積. 2求這個數(shù)列前n項之和Sn . 分析：先要通過觀察，找出所給的一列數(shù)的特征，求出數(shù)列的通項，進一步再求和。解：1 個記：A = , 那么A=為整數(shù) = A (A+1) ， 得證 (2) 點評：此題難點在于求出數(shù)列的通項，再將這個通項“分成 兩個相鄰正數(shù)的積，解決此題需要一定的觀察能力

4、和邏輯推理能力。例題4. 數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；設，求數(shù)列的前項和；設，數(shù)列的前項和為求證：對任意的，分析：此題所給的遞推關系式是要分別“取倒再轉化成等比型的數(shù)列，對數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。解：，又，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列 ，即. ， 當時，那么， 對任意的， 點評：此題利用轉化思想將遞推關系式轉化成我們熟悉的結構求得數(shù)列的通項，第三問不等式的證明要用到放縮的方法，這將到下一考點要重點講到?？键c三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系例題5.為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列an的首項. 求函數(shù)的表達式； 求證：； 求證：分析：此題是借助函數(shù)給出遞推關系，第2問的不等式利用了函數(shù)的性質，第

5、3問是轉化成可以裂項的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解： 又為銳角 都大于0 , , 又 點評：把復雜的問題轉化成清晰的問題是數(shù)學中的重要思想，此題中的第3問不等式的證明更具有一般性。例題6數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式；假設數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；證明：分析：本例1通過把遞推關系式轉化成等比型的數(shù)列；第2關鍵在于找出連續(xù)三項間的關系；第3問關鍵在如何放縮。解：1，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。，2，得，即得，即所以數(shù)列是等差數(shù)列3設，那么 點評：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。例題7. 函數(shù),數(shù)列滿足, ;

6、數(shù)列滿足, .求證: 假設那么當n2時,.分析：第1問是和自然數(shù)有關的命題，可考慮用數(shù)學歸納法證明；第2問可利用函數(shù)的單調性；第3問進行放縮。解：()先用數(shù)學歸納法證明,.1當n=1時,由得結論成立;2假設當n=k時,結論成立,即.那么當n=k+1時,因為0 x1時,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當n=k+1時,結論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.又由, 得,從而.綜上可知()構造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0 xg(0)=0.因為,所以,即0,從而() 因為 ,所以, , 所以 = 1 * GB3 , 由()知:, 所以=

7、 ,因為, n2, 所以 = = 2 * GB3 .由 = 1 * GB3 = 2 * GB3 兩式可知: . 點評：此題是數(shù)列、超越函數(shù)、導數(shù)的數(shù)學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意?？键c四：數(shù)列與函數(shù)、向量等的聯(lián)系例題8.函數(shù)f(x)=，設正項數(shù)列滿足=l， (1)寫出、的值; (2)試比擬與的大小，并說明理由；(3)設數(shù)列滿足=，記Sn=證明：當n2時,Sn(2n1)分析：比擬大小常用的方法是作差法，而求和式的不等式常用的方法是放縮法。解：(1)，因為所以2因為所以,因為所以與同號，因為，即3當時，所以，所以 點評：此題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。例題9.在平面

8、直角坐標系中，三個點列An，Bn，Cn，其中 ，滿足向量與向量共線，且點B，n在方向向量為1，6的線上 1試用a與n表示； 2假設a6與a7兩項中至少有一項為哪一項an的最小值，試求a的取值范圍。分析：第1問實際上是求數(shù)列的通項；第2問利用二次函數(shù)中求最小值的方式來解決。解：1又Bn在方向向量為1，6的直線上， 2二次函數(shù)是開口向上，對稱軸為的拋物線又因為在a6與a7兩項中至少有一項為哪一項數(shù)列an的最小項，對稱軸 點評：此題是向量、二次函數(shù)、不等式知識和交匯題，要解決好這類題是要有一定的數(shù)學素養(yǎng)的。例題10.，假設數(shù)列an 成等差數(shù)列. 1求an的通項an; 2設 假設bn的前n項和是Sn，

9、且分析：觀察數(shù)列特征，利用等差數(shù)列根本條件，得出通項公式，進而求解.解：解：設2，f(a1), f(a2), f(a3),，f(an),2n+4的公差為d，那么2n+4=2+(n+21)dd=2, 2， 點評：此題考查等差、等比數(shù)列的性質，數(shù)列的求和，不等式的放縮，有一定的綜合性。例題11. 數(shù)列中， 1求； 2求數(shù)列的通項； 3設數(shù)列滿足，求證：分析：條件中有類似于前n項和的形式出現(xiàn)，提示我們應該考慮anSnSn1(n2)解：12 得即：，所以所以3由2得：，所以是單調遞增數(shù)列，故要證：只需證假設，那么顯然成立假設，那么所以因此：所以所以 點評：與數(shù)列相關的不等式證明通常需要“放縮，而放縮的

10、“度尤為關鍵，此題中這種拆分方法是數(shù)學中較高要求的變形.強化訓練選擇題1在等差數(shù)列中，那么 A B C D以上都不對【答案】A解析：，。2在等比數(shù)列中， 和 是二次方程 的兩個根，那么的值為 A B C D【答案】A解析：根據(jù)韋達定理，有，又因為，那么，所以。設為等差數(shù)列的前項和。那么等于 A B C D【答案】B解析：， ，在數(shù)列中，那么等于 A B C D【答案】D解析：，。5. 數(shù)列的通項公式，那么該數(shù)列的前 項之和等于。ABCD【答案】B 6. 等差數(shù)列項和為等于 ABCD【答案】C 7. 設函數(shù)fx滿足fn+1=nN*且f1=2，那么f20為A95B97C105D192【答案】Bfn

11、+1fn=相加得f20f1=1+2+19f20=95+f1=978. 由公差為d的等差數(shù)列a1、a2、a3重新組成的數(shù)列a1+a4， a2+a5， a3+a6是A公差為d的等差數(shù)列B公差為2d的等差數(shù)列C公差為3d的等差數(shù)列D非等差數(shù)列考查等差數(shù)列的性質【答案】B a2+a5a1+a4=a2a1+a5a4=2da3+a6a2+a5=a3a2+a6a5=2d依次類推9. 三角形的三邊構成等比數(shù)列,它們的公比為,那么的取值范圍是 A B C D 【答案】D 設三邊為那么，即 得，即10. 在中,是以為第三項, 為第七項的等差數(shù)列的公差,是以為第三項, 為第六項的等比數(shù)列的公比,那么這個三角形是 A

12、鈍角三角形 B銳角三角形 C等腰直角三角形 D以上都不對【答案】B ，都是銳角11彈子跳棋共有顆大小相同球形彈子，現(xiàn)在棋盤上將它們疊成正四面體形球垛，使剩下的彈子盡可能的少，那么剩余的彈子共有 A顆 B4顆 C顆 D顆【答案】B解析：最上面一層放1個，設最上一層是第一層，由上而下共有層，第層彈子數(shù)為，總彈子數(shù)為，由得，故時剩余最小，且剩余顆。12三個數(shù)成等比數(shù)列，且，那么的取值范圍是 A B C D【答案】D解析：設，那么有。當時，而，；當時，即，而，那么，故。填空題13. 數(shù)列中，那么數(shù)列通項_?！敬鸢浮?是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，14. 數(shù)列的一個通項公式是_。【答案】 15. 等比

13、數(shù)列前項的和為，那么數(shù)列前項的和為_。【答案】 解答題17函數(shù) 1求的反函數(shù)，并指出其定義域； 2假設數(shù)列an的前n項和Sn對所有的大于1的自然數(shù)n都有，且a1 =1，求數(shù)列an的通項公式；3令18數(shù)列an滿足 1求證：an為等比數(shù)列； 2記為數(shù)列bn的前n項和，那么：當a=2時，求Tn；當時，是否存在正整數(shù)m，使得對于任意正整數(shù)n都有如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由.19函數(shù)的最小值為且數(shù)列的前項和為 求數(shù)列的通項公式； 假設數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)； 假設，求數(shù)列的最大項20數(shù)列中， 1求； 2求數(shù)列的通項； 3設數(shù)列滿足，求證：21數(shù)列滿足遞推式，其中 求； 求數(shù)列的通

14、項公式； 求數(shù)列的前n項和.22等差數(shù)列，公差d大于0，且是方程的兩個根，數(shù)列的前n項和為。1求數(shù)列、的通項公式；2記解答題答案18解：1當n2時， 整理得所以an是公比為a的等比數(shù)列.4分2當a=2時，兩式相減，得9分因為1a0，所以：當n為偶數(shù)時，當n為奇數(shù)時，所以，如果存在滿足條件的正整數(shù)m，那么m一定是偶數(shù).當所以所以當當故存在正整數(shù)m=8，使得對于任意正整數(shù)n都有19解：由 ， 由題意知：的兩根， ， 為等差數(shù)列， 經(jīng)檢驗時，是等差數(shù)列， 20解：12 eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,1) eq oac(,2)得即：，所以所以3由2得：，所以是單調遞增數(shù)列

15、，故要證：只需證假設，那么顯然成立假設，那么所以因此：所以所以21解：1由知解得：同理得 2由知構成以為首項以2為公比的等比數(shù)列；為所求通項公式 322解：1設的公差為d，由題意得：2創(chuàng)新試題1. 在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數(shù)列.求點的坐標；設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：.解：12的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=2. 設數(shù)列an的首項a1=1，前n項和Sn滿足關系式 3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4) (1)求證 數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設數(shù)列an的公比為f(t)，作數(shù)列bn，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4)，求數(shù)列bn的通項bn；(3)求和 b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1解 (1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)(2t+3)=3t a2= 又3tSn(2t+3)Sn1=3t，3tSn1(2t+3)Sn2=