極限和連續(xù)的總結(jié)實(shí)用教案

1、數(shù)列(shli)的極限 若 當(dāng)n時(shí)，un無限趨近于一個(gè)(y )確定的 常數(shù)A 則 稱A為un的極限，或稱 un收斂于A 記為 或 unA （n）limnnuA第1頁/共17頁第一頁，共18頁。 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，如果當(dāng)，如果當(dāng) 的絕對(duì)值無限的絕對(duì)值無限增大時(shí)，函數(shù)增大時(shí)，函數(shù) 無限趨于一個(gè)確定的常數(shù)無限趨于一個(gè)確定的常數(shù)A A，則稱則稱 當(dāng)當(dāng) 趨于無窮時(shí)，函數(shù)趨于無窮時(shí)，函數(shù) 以以A A為極限，為極限，記作記作 A A，或，或 A A ( ). ( ). )(xfx)(xfx)(xflimx)(xf)(xfx )(xf第2頁/共17頁第二頁，共18頁。無窮(wqing)小量與無窮(wq

2、ing)大量極限為零的變量(binling)稱為無窮小量(簡(jiǎn)稱無窮小)。在自變量(binling)的變化過程中絕對(duì)值無限增大的變量(binling)稱為無窮大無窮小量的性質(zhì)：定理1： 在自變量(binling)的同一變化過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。定理2 ： 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。定理3 ：無窮小量除以極限不為零的變量(binling)，其商仍是無窮小。第3頁/共17頁第三頁，共18頁。常用(chn(chn yn yn) )的等價(jià)無窮小當(dāng)0 x時(shí) ;tan )2(xx;sin ) 1 (xx;21cos1 )3(2xx;1 )5(xex;21)1 ( )6(2xx;)1l

3、n( )4(xx;arcsin )7(xx.arctan )8(xx第4頁/共17頁第四頁，共18頁。18:39極限極限(jxin)(jxin)的性質(zhì)與運(yùn)算法則的性質(zhì)與運(yùn)算法則一、極限一、極限(jxin)的性質(zhì)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 2（有界性）有極限（有界性）有極限(jxin)(jxin)的變量是有界的變量是有界變量變量性質(zhì)性質(zhì)1 1（唯一性）（唯一性）函數(shù)若有極限，則其極限必函數(shù)若有極限，則其極限必 唯一唯一性質(zhì)性質(zhì) 3 3( (保保號(hào)號(hào)性性) ) 若若Axfxx)(lim0，且，且A A0 0 （或（或A A0)0)，則在，則在 ),(000 xxx內(nèi)，恒有內(nèi)，恒有0)(xf（或（或0)(xf

4、）. . 第5頁/共17頁第五頁，共18頁。18:39性質(zhì)性質(zhì) 4 4 若若Axfxx)(lim0, ,且且在在 ),(000 xxx內(nèi)恒有內(nèi)恒有)(xf0 0（或（或)(xf0 0） ，則） ，則A A0 0（或（或A A0 0）. . 性性 質(zhì)質(zhì) 5 5 若若BxgAxfxxxx)(lim,)(lim00， 且且 在在),(000 xxx內(nèi)內(nèi) 恒恒 有有)()(xgxf， 則則BA . . 第6頁/共17頁第六頁，共18頁。18:39二、極限的四則運(yùn)算二、極限的四則運(yùn)算(s z yn sun)法則法則定理定理( (四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則) )設(shè)設(shè) lim( )f xA，lim ( )g

5、xB, , 則則 法則法則 1 1 lim( )( )lim( )lim ( )f xg xf xg xAB 法則法則 2 2 lim( )( )lim( ) lim ( )f xg xf xg xA B 法則法則 3 3 ( )lim( )lim0( )lim( )f xf xABg xg xB（） 推論推論 1 1 lim( )lim( )cf xcf x ( (c c 為為常常數(shù)數(shù)) ) 推論推論 2 2 lim( )lim( )f xf x )(R 第7頁/共17頁第七頁，共18頁。極限存在(cnzi)性定理 兩個(gè)重要極限ennn)11 (lim (1)1sinlim0 xxx(2)e

6、xxx )11(limexxx10)1 (lim第8頁/共17頁第八頁，共18頁。定義（函數(shù)在某區(qū)間連續(xù)）定義（函數(shù)在某區(qū)間連續(xù)） 如果函數(shù)如果函數(shù))(xfy 在區(qū)間在區(qū)間),(ba或或,ba上的每一點(diǎn)都上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱連續(xù)，則稱函數(shù)函數(shù))(xf在在),(ba內(nèi)或內(nèi)或,ba上是上是連續(xù)的連續(xù)的如果函數(shù)如果函數(shù))(xfy 在其定義域內(nèi)的在其定義域內(nèi)的每點(diǎn)均連續(xù)， 則稱每點(diǎn)均連續(xù)， 則稱函數(shù)函數(shù))(xf在其定義域內(nèi)是在其定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的 第9頁/共17頁第九頁，共18頁。定義 （函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)）定義 （函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果自變

7、量的的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果自變量的增量增量x趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量 y也趨也趨于零，即于零，即 00 xy 或或 0000limlim()()0 xxyf xxf x 則稱則稱函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)處連續(xù)，稱，稱點(diǎn)點(diǎn)0 x為函為函數(shù)的數(shù)的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn) 定理定理 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)的處連續(xù)的充分必要條件充分必要條件是是 )()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 第10頁/共17頁第十頁，共18頁。函數(shù)的兩類間斷點(diǎn)：函數(shù)的兩類間斷點(diǎn)： 1 1、第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn) （1 1）可去間斷點(diǎn)）可去間斷點(diǎn) （2 2）跳躍間

8、斷點(diǎn)）跳躍間斷點(diǎn) 2 2、第二類第二類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) 三、函數(shù)三、函數(shù)(hnsh)的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)第11頁/共17頁第十一頁，共18頁。（1 1）間斷）間斷(jindun)(jindun)點(diǎn)分類點(diǎn)分類: :第一類間斷第一類間斷(jindun)點(diǎn)點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf均存在(cnzi) , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf中至少一個(gè)不存在 ,稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱0 x若其中有一個(gè)為,為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn) .為無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn) .為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) .第12頁/共17頁第十二頁

9、，共18頁。)(. 2xf0 x第一類間斷(jindun)點(diǎn)可去間斷(jindun)點(diǎn)跳躍(tioyu)間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型我們可以這樣記憶第13頁/共17頁第十三頁，共18頁。18:39可去型可去型第一類間斷(jindun)點(diǎn)oyx跳躍跳躍(tioyu)型型無窮無窮(wqing)型型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x第14頁/共17頁第十四頁，共18頁。（2 2）分子、分母分解）分子、分母分解(fnji)(fnji)因式，約因式，約去趨于零但不等于零的因子去趨于零但不等于零的因子（3 3）分子）

10、分子(fnz)(fnz)分母同除以高次冪分母同除以高次冪（3939頁例頁例6 6）（4 4）分子）分子(fnz)(fnz)、分母有理化（、分母有理化（3939頁例頁例5 5）(5)(5)利用兩個(gè)重要極限公式求極限利用兩個(gè)重要極限公式求極限（1）基本極限x第15頁/共17頁第十五頁，共18頁。（6）代值法）代值法（7）約去零因子）約去零因子(ynz)法法（8）利用(lyng)無窮小替換定理（1010）化無窮）化無窮(wqing)(wqing)多項(xiàng)的和（或積）為有限多項(xiàng)的和（或積）為有限項(xiàng)項(xiàng)（9 9）通分化簡(jiǎn)）通分化簡(jiǎn));1311(lim ) 1 (31xxx第16頁/共17頁第十六頁，共18頁。謝謝您的觀看(gunkn)！第17頁/共17頁第十七頁，共18頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)數(shù)列的極限。則 稱A為un的極限，或稱 un收斂于A?；?unA （n）。極限為零的變量稱為無窮小量