第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(4)

1、 控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容主要內(nèi)容n2.1 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程n2.2 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n2.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化n2.4 考慮擾動(dòng)的考慮擾動(dòng)的反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n2.5 相似原理相似原理n2.6 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型n2.7 數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型的MATLABMATLAB描述描述系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡化n一、基本概念一、基本概念n二、基本組成形式二、基本組成形式n三、系統(tǒng)方框圖的建立三、系統(tǒng)方框圖的建立n四、方框圖等效變換及其簡化四、方框

2、圖等效變換及其簡化n五、梅遜公式五、梅遜公式n一、基本概念n系統(tǒng)由若干環(huán)節(jié)按一定關(guān)系組成，各環(huán)節(jié)以方框表示，用相應(yīng)的變量及信號(hào)流向連接；n數(shù)學(xué)模型的圖解表示；n揭示和評價(jià)每個(gè)組成環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響；n可通過運(yùn)算求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)。n1、函數(shù)方框、函數(shù)方框G(s)Xi(s)Xo(s)n輸出信號(hào)量綱等于輸入與傳函的量綱乘積n方框中表示元器件、環(huán)節(jié)、系統(tǒng)。框內(nèi)為輸入輸出之間的傳函n箭頭表示信號(hào)傳遞方向( )( )( )oiXsG s X sn2、相加點(diǎn)、相加點(diǎn)n信號(hào)代數(shù)求和運(yùn)算的圖解表示n輸出信號(hào)等于各輸入信號(hào)的代數(shù)和n同種變量加減，量綱相同n多輸入，單輸出n3、分支點(diǎn)n同一信號(hào)不同方向的傳遞n量綱相同

3、，數(shù)值相等n不表示該物理量被分為幾份n二、基本組成形式n1、串聯(lián)（一個(gè)對象輸入是另一個(gè)的輸出）n2、并聯(lián)（輸入相同輸出相加）n3、反饋G(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)nG(S):前向通道或主通道n信號(hào)傳遞方向：輸入 輸出nH(S):反饋通道n信號(hào)傳遞方向：輸出 輸入n輸出信號(hào)Xo(S)=E(S)G(S)n偏差信號(hào)E(S)=Xi(S)-B(S)n反饋信號(hào)B(S)= Xo(S)H(S)G(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)n閉環(huán)傳遞函數(shù)Xo(S)=E(S)G(S)=G(S)Xi(S) -B(S) =G(S)Xi(S) - Xo(S)H(S) = Xi(S)

4、 G(S) Xo(S) G(S)H(S)()(1)()()()(SHsGsGSXSXsGioBn對于正反饋，有)()(1)()()()(SHsGsGSXSXsGioBnH=1的負(fù)反饋系統(tǒng)稱為單位負(fù)反饋，有)(1)()()()(sGsGSXSXsGioBn三、系統(tǒng)方框圖的建立If=const測速發(fā)電機(jī)uauur+給定電位+-直流調(diào)速控制系統(tǒng)uuerekuaacku ammukdtdT比較器放大器直流電機(jī)測速發(fā)電機(jī))()()(sUsUsEr )()(sEksUaa )()()(sUksssTamm1)()(sTksUsmma)()(sksUc kaUr(s)kc-E+U1sTkmm)(sn四、方框

5、圖等效變換及化簡四、方框圖等效變換及化簡（一）簡化目的：得到反饋連接形式 簡化原則：1.變換前后有關(guān)量之間的傳遞函數(shù)關(guān)系不 變2.輸出量在變換后不改變G(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)(二)簡化規(guī)則1、移動(dòng)相加點(diǎn)相加點(diǎn)逆箭頭移動(dòng)，相加點(diǎn)逆箭頭移動(dòng)，除以所經(jīng)方框除以所經(jīng)方框GR+-YQGYR+-GQ相加點(diǎn)順箭頭移動(dòng)，相加點(diǎn)順箭頭移動(dòng)，乘以所經(jīng)方框乘以所經(jīng)方框2、移動(dòng)分支點(diǎn)YGRYYGRYG分支點(diǎn)逆箭頭移動(dòng)，分支點(diǎn)逆箭頭移動(dòng)，乘以所經(jīng)方框乘以所經(jīng)方框YGRRYGRR1/G分支點(diǎn)順箭頭移動(dòng)，分支點(diǎn)順箭頭移動(dòng)，除以所經(jīng)方框除以所經(jīng)方框3、相鄰相加點(diǎn)之間可以隨意調(diào)換位置，即可以合并

6、為一個(gè)；4、相鄰分支點(diǎn)之間可以隨意調(diào)換位置，即可以合并為一個(gè)；5、分支點(diǎn)和相加點(diǎn)之間交換位置必須在支路上補(bǔ)償，實(shí)際中應(yīng)盡量避免。（三）化簡步驟n1、移動(dòng)相加點(diǎn)和分支點(diǎn)，消除交叉回路n2、減少內(nèi)反饋回路引用串、并、反饋連接的等效規(guī)則對局部回路（內(nèi)反饋）進(jìn)行等效化簡。n3、最后得到 形式 用 化簡G(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-+)()(1)()()()(SHsGsGSXSXsGioBn示例1五、梅遜公式knkkBGG11式中，式中，GB：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)； ：特征式特征式 1（每個(gè)回路傳遞函數(shù)乘積之和）每個(gè)回路傳遞函數(shù)乘積之和） （每兩個(gè)互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和）

7、（每兩個(gè)互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和） （每三個(gè)互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和）（每三個(gè)互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和） Gk：第第k條前向通道的傳遞函數(shù)條前向通道的傳遞函數(shù) k：與第與第k條前向通道不接觸部分的特征式（余子式）條前向通道不接觸部分的特征式（余子式）仍以上題為例，求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)4321GGGGGk （只有一條前向通道）)()GGGGGGGGG43213343211GGGGGGGGGG 每個(gè)回路傳函乘積之和兩個(gè)互不接觸回路傳函乘積1 k（所有回路都與前向通道接觸）4321324321432111)(GGGGGGGGGGGGGGGsGkkB 數(shù)數(shù)乘乘積積

8、之之和和每每一一反反饋饋回回路路的的傳傳遞遞函函前前向向通通道道傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)之之積積 1)()()(SXSXSGioB梅森公式的特殊情況：當(dāng)系統(tǒng)的方框圖符合以下條件：1、整個(gè)方框圖只有一個(gè)前向通道；2、各局部網(wǎng)絡(luò)間存在公共的傳遞函數(shù)。則舉例舉例考慮擾動(dòng)的反饋控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)n一、系統(tǒng)開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)n二、干擾作用下的傳遞函數(shù))(SG)(SH)(SG1.前向通道傳遞函數(shù)2.反饋通道傳遞函數(shù)3.閉環(huán)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)n一、系統(tǒng)開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù))()(SESXo)()(SXSBo)()(SESB)()(SHSGn閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以

9、認(rèn)為：n系統(tǒng)封閉回路在相加點(diǎn)處斷開，以E(S)作為輸入，經(jīng)G(S)、H(S)產(chǎn)生輸出B(S)，此輸入與輸出之比：B(S)/E(S)。n注意：非開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，而是閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。n開環(huán)傳遞函數(shù)無量綱，相加點(diǎn)處B(S)、E(S)量綱相同。G(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)4. 閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù))()(1)()()()(SHsGsGSXSXsGioB若H(S)=1稱為單位反饋系統(tǒng)，有)(1)()()()(sGsGSXSXsGioBG(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)n二、干擾作用下的傳遞函數(shù)n系統(tǒng)在工作過程中會(huì)受到兩類信號(hào)作用，輸入信號(hào)（給

10、定值、指令、參考輸入），另一類則是擾動(dòng)信號(hào)（干擾n(t)）。n通常x(t)加在系統(tǒng)輸入端，n(t)一般作用在被控對象上，也可在其他部件，或指令中。G1(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-+G2(s)N(S)+n系統(tǒng)輸出由兩部分組成：n給定輸入Xi(S)引起的輸出Xo1(S)n干擾輸入N(S)引起的輸出Xo2(S)n求Xi(S)作用下的輸出，令N(S)0，有G1(s)G2(s)Xo1(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)()()(1)()()()()(21211SHSGSGSGSGSXSXSGioXin求N(S)作用下的輸出，令Xi(S)=0，有Xo2(s)N(s)H(s)-+G2(s)G

11、1(s)()()(1)()()()(2122SHSGSGSGSNSXSGoNn注意：相加點(diǎn)處的符號(hào)，原反饋為負(fù)反饋，則H(S)前為負(fù)號(hào)，盡管原圖中N(S)相加點(diǎn)處為正號(hào)，負(fù)反饋本質(zhì)不變，H(S)符號(hào)保留。n線性系統(tǒng)輸出滿足疊加原理：)()(1)()()(121211SNSXGHGGGSXSXSXiooon注意：注意：n1.傳函是一個(gè)輸出相應(yīng)于一個(gè)輸入，所以不能傳函是一個(gè)輸出相應(yīng)于一個(gè)輸入，所以不能得到系統(tǒng)對于得到系統(tǒng)對于X(S)和和N(S)的共同傳函；的共同傳函；n2.由于由于Xi與與N的作用點(diǎn)不同，所以二者傳函不同；的作用點(diǎn)不同，所以二者傳函不同；n3.兩者傳函分母相同，分子不同，說明傳函分兩者傳函分母相同，分子不同，說明傳函分母由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)（特征多項(xiàng)式）決定，分子母由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)（特征多項(xiàng)式）決定，分子與輸入作用于系統(tǒng)的位置有關(guān)，與輸入信號(hào)形與輸入作用于系統(tǒng)的位置有關(guān)，與輸入信號(hào)形式無關(guān)。式無關(guān)。2.5 相似原理(P58)n考慮考慮m-c-k系統(tǒng)和系統(tǒng)和R-L-C電網(wǎng)絡(luò)電網(wǎng)絡(luò)Xi(t)Xo(t)uiuon對于m-c-k系統(tǒng)可寫出Xi(t)Xo(t)ooioxcxxkxm )(ioooxxxkcxkm Laplace變換后，可