齊次線性方程組解結(jié)構(gòu)PPT課件

1、一、一、 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1）齊次線性方程組,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21則方程組(1)可寫成向量方程若記回顧回顧.Ax0 1212111nnx,x,x 若為方程 的解0 Ax 121111nx 稱為方程組(1) 的解向量解向量，它也是向量方程的解則第1頁/共20頁 顯然齊次線性方程組總是有解，就是該方程組的一個解，這個解叫做零解，若方程組還有其他解，那么這些解就叫做非零解.12000nx,x,x方程組方程組 有非零解的充

2、要條件是 。 0Ax( )r An齊次線性方程組的解有如下的性質(zhì)性質(zhì)（性質(zhì)（1 1）若 為 的解，則 12,xx0Ax12x0Ax也是 的解. .證證12120AAA120,0AA120.xAx故也是的解性質(zhì)（性質(zhì)（2 2）若 為 的解， 為實數(shù)，則 也是 的解1x0Ax k1xk0Ax 證證1100.A kkAk證畢. 由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組 的解空間0Ax第2頁/共20頁 因此，求齊次線性方程組的解就是求出解空間，這就需要求出解空間的一組因此，求齊次線性方程組的解就是求出解空間，這就

3、需要求出解空間的一組基。稱解空間的一組基為方程組的基。稱解空間的一組基為方程組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系。12 , 0,tAx 稱為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 如果12(1),0 ;tAx 是的一組線性無關(guān) 的解12 (2)0,.tAx 的任一解都可由線性表出12 ,0,0tAxAx 如果為齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系那么的任一解可表示為ttkkkx 2211.,21是任意常數(shù)其中tkkk定義定義 1 1并稱為方程組的通解通解。第3頁/共20頁定理定理 1 齊次線性方程組若有非零解，則它一定有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ) 解系所含解向量的個數(shù)等于n-r，其中r是系數(shù)矩陣的秩。 基礎(chǔ)解系的求法基礎(chǔ)解系的求法證明：證明

4、：系數(shù)矩陣為 111212122212nnmmm naaaaaa,aaaA有非零解，從而秩rn.對A進行行初等變換，A可化為齊次線性方程組0Ax （1）11121211000010000010000,rn,rnr ,rrncccc,cc第4頁/共20頁111112211211000,rrnn,rrnnrr ,rrrnnxcxc x,xcxcx,xcxc x.與之對應(yīng)的方程組為令12rrnx, x, x為自由未知量，得111112211211,rrnn,rrnnrr,rrrnnxcxc x ,xcxc x ,xcxc x . 取 ,100,010,00121nrrxxx第5頁/共20頁11121

5、122222212,r,rn,r,rnr,rr,rrnrcccxcccx,cccx 可得從而得到(1)的n-r個解 .100,010,001212,2,22, 121,1,21, 11rnnnrnrrrrrrrrccccccccc第6頁/共20頁首先，這n-r個解向量顯然線性無關(guān). 其次，設(shè)(12nk ,k ,k)是方程組的任意解，代入方程組得 nrrnnrrrnrrrnrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrkkkkkkkkkkkkkckckckkckckckkckckck1000100012121221122,11,222, 211, 22122, 111, 11第7頁/共20頁121

6、122rrnn rnkkkkkk于是因此方程組的每一個解向量，都可以由這nr個解向量所以12nr,是方程組的基礎(chǔ)解系. 定理的證明實際上指出了求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的一種方法. 12nr,線性表示，第8頁/共20頁例例 1 1 解齊次線性方程組1234123412340,0,220.xxxxxxxxxxxx解 齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為 11 11111 11122A對A A進行行初等變換，得 11 1100220033A 330011001111 000011001111第9頁/共20頁 000011001111000011000011秩r24，故有非零解.其對應(yīng)的方程組是 . 0, 0

7、4321xxxx10,0142xx令10,0131xx得基礎(chǔ)解系為1100,001121方程組的通解為 為任意常數(shù)為任意常數(shù)212211,ccccx第10頁/共20頁二、非二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)稱為非齊次線性方程組(12mb ,b ,b不全為0). 如果把它的常數(shù)項都換成0，就得到相應(yīng)的齊次線性方程組，稱它為非齊次線性方程組(2)的導(dǎo)出方程組，簡稱導(dǎo)出組. 線性方程組11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xb ,a xa xa xb ,a xaxaxb（2）第11頁/共20頁定理定理 3 3 （非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理

8、）如果非齊次線性方程組有 解，那么它的一個解與其導(dǎo)出方程組的解之和是非齊次線性方 程組的一個解，非齊次線性方程組的任意解都可以寫成它的一 個特解與其導(dǎo)出方程組的解之和。 0,AXbAX若 是非齊次線性方程組的解， 是其導(dǎo)出方程組的解 則bAA0AAA)(bA)(的解。是非齊次線性方程組故bAX 第12頁/共20頁.11 rnrnkkx 其中 為對應(yīng)齊次線性方程組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個特解.11n rn rkk非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組Ax=b的通解為例例 2 2 試求 的全部解。 1234512345123453243,28729,456111

9、015,xxxxxxxxxxxxxxx第13頁/共20頁解解 對增廣矩陣進行行初等行變換 151011654927812342131 36310703631070342131 0000003631070342131131243103630177770000002323103010777710363017777000000系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是25，故有解。 第14頁/共20頁對應(yīng)的齊次線性方程（去掉常數(shù)列）的基礎(chǔ)解系為 0017107231 010737232 100767103 令x3x4x50，得齊次線性方程組的一個特解為( (30/7,-3/7,0,0,0) )， (不能忽略常數(shù)列)

10、，于是它的全部解為 33221100073730 kkkx 其中k1，k2，k3，為任意實數(shù)。 第15頁/共20頁例 3 設(shè)線性方程組試就p,t討論方程組的解的情況，有解時并求出解. ptttppptttpA241) 1(002411031141213114111231231234324pxxx,xtxx,xtxx.解 對增廣矩陣進行行初等變換 123211142(1)(1)ttpt,.pttptxxx(1)當(dāng) 時，有惟一解0,1,0)1tptp即（第16頁/共20頁(2)(2)當(dāng)p p=1=1，且1-41-4t t+2+2pt pt =1-2=1-2t t=0 =0 即t t = = 時，方

11、程組有無窮多解，此時120000201021010000201031211A于是方程組的一般解為 (k為任意常數(shù)). 101022kx(3)(3)當(dāng)p p=1=1，但1-41-4t t+2pt=1-2+2pt=1-2t t00，即t t1/21/2時，方程組無解. . (4)(4)當(dāng)t t=0=0時，1-41-4t t +2+2pt pt =10=10，故方程組也無解. .第17頁/共20頁練習(xí). 設(shè) (1)求|A|；（2）已知有無窮多解，求，并求的通解. 0011,100100010001baaaaA第18頁/共20頁有有解解0 Ax 個個解解向向量量此此時時基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系中中含含有有ARn 齊次線性方程組解的情況齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法三、小結(jié)三、小結(jié)（一）、（一）、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程