2013年高一數(shù)學(xué)課堂備用課件：4.1.2《圓的一般方程》（新人教A版必修2）

1、圓的一般方程1.掌握圓的一般方程的形式，熟練掌握圓的兩種方程的互化.2.會用待定系數(shù)法求圓的一般方程.3.了解幾種求軌跡方程的方法. (1)形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為_.(2)條件：_,圓心為_,半徑為_.特別地,當(dāng)D2+E2-4F=0時,方程表示點：_.當(dāng)D2+E2-4F0不表示任何圖形1.“判一判理清知識的疑惑點(正確的打“,錯誤的打“).(1)平面內(nèi)任一圓的方程都是關(guān)于x,y的二元二次方程.()(2)圓的一般方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化.()(3)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程都表示圓.()(4)方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圓,那么E0.()提

2、示：(1)正確.因為 可化為x2+y2+Dx+Ey+F=0,均是關(guān)于x,y的二元二次方程.(2)正確.圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化.(3)錯誤.少了條件D2+E2-4F0.(4)正確.因為D2+E2-4F=4+E2-40,那么E0.答案：(1)(2)(3)(4)2.“練一練嘗試知識的應(yīng)用點(請把正確的答案寫在橫線上).(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-1)2+(y-3)2=1化為一般方程為.(2)假設(shè)圓的一般方程為x2+y2+4x+2=0,那么圓心坐標(biāo)為,半徑為.(3)假設(shè)方程x2+y2-x+y+m=0表示圓的方程,那么m的取值范圍是.【解析】(1)因為(x-1)2+(y-3)2=1,所以x2+y

3、2-2x-6y+9=0.答案：x2+y2-2x-6y+9=0(2)因為x2+y2+4x+2=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+y2=2,所以圓心為(-2,0),半徑為 .答案：(-2,0)(3)因為方程x2+y2-x+y+m=0表示圓的方程,所以(-1)2+12-4m0,所以m .答案：m0,通常情況下先配成(x-a)2+(y-b)2=m,通過觀察m與0的關(guān)系,說明方程是否為圓的一般方程,而不要死記條件D2+E2-4F0.類型 一 二元二次方程與圓的關(guān)系嘗試完成以下題目,歸納一個關(guān)于x,y的二元二次方程表示圓的兩種判斷方法.1.(2021晉江高一檢測)方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的圖形是

4、 ()A.以(1,-2)為圓心, 為半徑的圓B.以(1,2)為圓心, 為半徑的圓C.以(-1,-2)為圓心, 為半徑的圓D.以(-1,2)為圓心, 為半徑的圓2.方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圓?假設(shè)能表示圓,求出圓心和半徑.【解題指南】1.將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可確定圓心與半徑.2.此題可直接利用D2+E2-4F0是否成立來判斷,也可把左端配方,看右端是否為大于零的常數(shù).【解析】1.選D.將方程x2+y2+2x-4y-6=0化為(x+1)2+(y-2)2=11,因此,圓心為(-1,2),半徑為 .2.方法一：由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,

5、可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,所以D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,因此,當(dāng)m=2時,D2+E2-4F=0,它表示一個點,當(dāng)m2時,D2+E2-4F0,原方程表示圓的方程,此時,圓的圓心為(2m,-m),半徑為方法二：原方程可化為(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,當(dāng)m=2時,它表示一個點,當(dāng)m2時,原方程表示圓的方程.此時,圓的圓心為(2m,-m),半徑為r= |m-2|.【技法點撥】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的兩種判斷方法(1)配方法.對形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通過配方變形成“標(biāo)準(zhǔn)形式

6、后,觀察是否表示圓.(2)運用圓的一般方程的判斷方法求解.即通過判斷D2+E2-4F是否為正,確定它是否表示圓.提醒：在利用D2+E2-4F0來判斷二元二次方程是否表示圓時,務(wù)必注意x2及y2的系數(shù).類型 二 圓的一般方程的求法通過解答以下求圓的一般方程的題目,試總結(jié)用待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟及兩種方程形式選擇的標(biāo)準(zhǔn).1.過點(-1,1),且圓心與圓x2+y2-6x-8y+15=0的圓心相同的圓的方程是.2.一個圓過P(4,2),Q(-1,3)兩點,且在y軸上截得的線段長為 ,求圓的方程.【解題指南】1.根據(jù)所給圓的方程求出圓心坐標(biāo),再代入設(shè)出的方程求解.2.設(shè)出圓的一般方程,由圓過P,

7、Q兩點可得兩個方程,再根據(jù)圓在y軸上截得的線段長可得到一個方程,通過解方程組可求出圓的方程.【解析】1.設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.由該圓圓心為(3,4),且過點(-1,1),故 所以圓的方程為x2+y2-6x-8y=0.答案：x2+y2-6x-8y=02.設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.令x=0,得y2+Ey+F=0.由|y1-y2|=4 ,其中y1,y2是方程y2+Ey+F=0的兩根,所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.將P,Q兩點的坐標(biāo)分別代入方程,得解聯(lián)立的方程組,得故圓的方程為x2+y2-2x-12=0或【互動探究】假

8、設(shè)題2條件不變,試判斷原點(0，0)與圓的位置關(guān)系.【解析】(1)假設(shè)圓的方程為x2+y2-2x-12=0,因為02+02-20-12=-120,所以原點(0，0)在圓內(nèi).(2)假設(shè)圓的方程為因為所以原點(0,0)在圓外.【技法點撥】1.待定系數(shù)法求圓的方程的三個步驟(1)根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組.(3)解出a,b,r或D,E,F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.2.對圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的選擇(1)如果由條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑來列方程的問題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r.(2)如果條件和

9、圓心或半徑都無直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再利用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.提醒：當(dāng)條件與圓的圓心和半徑有關(guān)時,常設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;條件與點有關(guān)時,常設(shè)圓的一般方程.【拓展類型】與圓有關(guān)的軌跡問題試著解答以下題目,體會求軌跡方程的一般步驟及常用方法.1.(2021惠州高二檢測)假設(shè)RtABC的斜邊的兩端點A,B的坐標(biāo)分別為(-3,0)和(7,0),那么直角頂點C的軌跡方程為()2+y22+y2=25C.(x-2)2+y2=25(y0) D.(x-2)2+y2=252.ABC的邊AB長為4,假設(shè)BC邊上的中線為定長3,求頂點C的軌跡方程.【解題指南】1.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的

10、一半求解.2.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,易知C不能在AB上,設(shè)BC中點為點D.C,B,D三點為相關(guān)點,利用代入法(也稱相關(guān)點法)求解.【解析】1.選C.線段AB的中點為(2，0)，因為ABC為直角三角形，C為直角頂點，所以C到點(2，0)的距離為 |AB|=5,所以點C(x,y)滿足 =5(y0),即(x-2)2+y2=25(y0).2.以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系(如圖)，那么A(-2,0),B(2,0),設(shè)C(x,y),BC中點D(x0,y0).所以因為|AD|=3,所以(x0+2)2+ =9，將代入,整理得(x+6)2+y2=36.因為點C不能在x軸上，所以y0.綜上，點C的軌

11、跡是以(-6,0)為圓心，6為半徑的圓，去掉(-12, 0)和(0,0)兩點.軌跡方程為(x+6)2+y2=36(y0).【技法點撥】1.用代入法求軌跡方程的一般步驟2.求軌跡方程的幾種常用方法(1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系,直接坐標(biāo)化,列出等式化簡即得動點軌跡方程.(2)定義法：假設(shè)動點軌跡的條件符合某一根本軌跡的定義(如圓等),可用定義直接求解.(3)相關(guān)點法：根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程,通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程.(4)參數(shù)法：假設(shè)動點的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化,我們可以以這個變量為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程.【變式訓(xùn)練】(2021珠海高二檢測

12、)兩直線ax+y=1與x-ay=1的交點的軌跡方程是_.【解題指南】分x0且y0和x=0且y=0求解.【解析】當(dāng)x0且y0時，兩直線方程化為所以 化為x2+y2-x-y=0.當(dāng)x=0且y=0時滿足上式，故交點的軌跡方程為x2+y2-x-y=0.答案：x2+y2-x-y=01.圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)是()A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3)【解析】選D.圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+3)2=13,故圓心坐標(biāo)為(2,-3).2.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圓()A.關(guān)于x軸對稱 B.關(guān)于原點對稱C.關(guān)于直線x-y=0對稱 D

13、.關(guān)于直線x+y=0對稱【解析】選D.圓的方程化為(x+a)2+(y-a)2=2a2,圓心(-a,a).由圓心坐標(biāo)易知圓心在x+y=0上,所以圓關(guān)于直線x+y=0對稱.3.點P(1,1)與圓x2+y2-2x+2y=0的位置關(guān)系是()A.在圓外 B.在圓內(nèi)C.在圓上 D.不確定【解析】選A.因為12+12-21+21=20,所以點P在圓外.4.方程x2+axy+y2+bx+ y+7=0是圓的一般方程,那么a=_;b的取值范圍是.【解析】要使方程表示圓的一般方程，需答案：0 (-,-5)(5,+)5.假設(shè)圓x2+y2-6x+6y+14=0關(guān)于直線l：ax+4y-6=0對稱,那么直線l的斜率是.【解析】圓x2+y2-6x+6y+14=0關(guān)于直線l：ax+4y-6=0對稱,那么直線l通過圓心(3,-3),故3a-12-6=0,解得a=6,故斜率k=- .答案：-6.判斷以下二元二次方程是