小學奧數(shù)最大與最小教師版(共6頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第七講：最大與最小模塊一、數(shù)論中的極端思想【例 1】 18這八個數(shù)字各用一次，分別寫成兩個四位數(shù)，使這兩個數(shù)相乘的乘積最大。那么這兩個四位數(shù)各是多少？【解析】 8531和7642。高位數(shù)字越大，乘積越大，所以它們的千位分別是8，7，百位分別是6，5。兩數(shù)和一定時，這兩數(shù)越接近乘積越大，所以一個數(shù)的前兩位是85，另一個數(shù)的前兩位是76。同理可確定十位和個位數(shù).【鞏固】 兩個自然數(shù)的和是15，要使兩個整數(shù)的乘積最大，這兩個整數(shù)各是多少？【解析】 將兩個自然數(shù)的和為15的所有情況都列出來，考慮到加法與乘法都符合交換律，有下面7種情況：15=1+14，1×14=14

2、；15=2+13，2×13=26；15=3+12，3×12=36；15=4+11，4×11=44；15=5+10，5×10=50；15=6+9，6×9=54；15=7+8，7×8=56。由此可知把15分成7與8之和，這兩數(shù)的乘積最大。結論：如果兩個整數(shù)的和一定，那么這兩個整數(shù)的差越小，他們的乘積越大。特別地，當這兩個數(shù)相等時，他們的乘積最大.【鞏固】 兩個自然數(shù)的積是48，這兩個自然數(shù)是什么值時，它們的和最??？【解析】 48的約數(shù)從小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。所以，兩個自然數(shù)的乘積是48，共有以下5種情

3、況：48=1×48，1+48=49；48=2×24，2+24=26；48=3×16，3+16=19；48=4×12，4+12=16；48=6×8，6+8=14。兩個因數(shù)之和最小的是6+8=14。結論：兩個自然數(shù)的乘積一定時，兩個自然數(shù)的差越小，這兩個自然數(shù)的和也越小?！纠?2】 有一類自然數(shù)，從第三個數(shù)字開始，每個數(shù)字都恰好是它前面兩個數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如257，1459等等，這類數(shù)中最大的自然數(shù)是多少？【解析】 要想使自然數(shù)盡量大，數(shù)位就要盡量多，所以數(shù)位高的數(shù)值應盡量小，故滿足條件如果最前面的兩個數(shù)字越大，則按規(guī)則構造的數(shù)的位數(shù)較

4、少，所以最前面兩個數(shù)字盡可能地小，取1與0【例 3】 有一類自然數(shù)，它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和為2003，那么這類自然數(shù)中最小的是幾？【解析】 一個自然數(shù)的值要最小，首先要求它的數(shù)位最小，其次要求高位的數(shù)值盡可能地小.由于各數(shù)位上的和固定為2003，要想數(shù)位最少，各位數(shù)上的和就要盡可能多地取9，而2003÷9=2225，所以滿足條件的最小自然數(shù)為：【例 4】 將前100個自然數(shù)依次無間隔地寫成一個192位數(shù)：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12從中劃去100個數(shù)字，那么剩下的92位數(shù)最大是多少？最小是多少？【解析】 要得到最大的數(shù)，左邊應盡量多地保留9。因為159中有1

5、09個數(shù)碼，其中有6個9，要想左邊保留6個9，必須劃掉159中的109-6103（個）數(shù)碼，剩下的數(shù)碼只有192103=89（個），不合題意，所以左邊只能保留5個9，即保留149中的5個9，劃掉149中其余的84個數(shù)碼。然后，在后面再劃掉16個數(shù)碼，盡量保留大數(shù)（見下圖）：所求最大數(shù)是6199100。同理，要得到最小的數(shù)，左邊第一個數(shù)是1，之后應盡量保留0。250中有90個數(shù)碼，其中有5個0，劃掉其余90-5=85（個）數(shù)碼，然后在后面再劃掉15個數(shù)碼，盡量保留小數(shù)（見下圖）：所求最小數(shù)是616299100?！纠?5】 把17分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的乘積最大？【解析】 假設分成的

6、自然數(shù)中有1，a是分成的另一個自然數(shù)，因為1×a1+a，也就是說，將1+a作為分成的一個自然數(shù)要比分成1和a兩個自然數(shù)好，所以分成的自然數(shù)中不應該有1。如果分成的自然數(shù)中有大于4的數(shù)，那么將這個數(shù)分成兩個最接近的整數(shù)，這兩個數(shù)的乘積大于原來的自然數(shù)。例如，5=2+32×3，8=3+53×5。也就是說，只要有大于4的數(shù)，這個數(shù)就可以再分，所以分成的自然數(shù)中不應該有大于4的數(shù)。如果分成的自然數(shù)中有4，因為4=2+2=2×2，所以可以將4分成兩個2。由上面的分析得到，分成的自然數(shù)中只有2和3兩種。因為2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=

7、6，3×3=9，說明雖然三個2與兩個3的和都是6，但兩個3的乘積大于三個2的乘積，所以分成的自然數(shù)中最多有兩個2，其余都是3。由此得到，將17分為五個3與一個2時乘積最大，為3×3×3×3×3×2=486。結論：整數(shù)分拆的原則：不拆1，少拆2，多拆3?！眷柟獭?把14拆成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積，如何拆可以使乘積最大？【解析】 14拆成3、3、3、3、2時，積為3×3×3×3×2=162最大.【例 6】 某國家的貨幣中有1元、3元、5元、7元、9元五種，為了能支付1元、2元100元的錢

8、數(shù)（整數(shù)元），那么至少需要準備貨幣多少張？【解析】 為了使貨幣越少越好，那么9元的貨幣應該盡量多才行。當有10張9元時，容易看出1、1、3、5這四張加上后就可以滿足條件。當9元的貨幣超過11張時，找不到比14張更少的方案。當9元的貨幣少于10張時，至少有19元需要由5元以下的貨幣構成，且1元的貨幣至少2張，這樣也找不到比14張更少的方案。綜上分析可以知道，最少需要10張9元的、2張1元的、1張3元的、1張5元的，共14張貨幣。 【例 7】 在五位數(shù) 22576的某一位數(shù)碼后面再插入一個該數(shù)碼，能得到的六位數(shù)中最大的是幾？【解析】【鞏固】 在六位數(shù)的某一位數(shù)碼后面再插入一個該數(shù)碼，能得到的七位數(shù)

9、中最小的是幾？【解析】 .【例 8】 設自然數(shù)n有下列性質：從1、2n中任取50個不同的數(shù)，其中必有兩數(shù)之差等于7，這樣的n最大不能超過多少？【解析】 當n=98時，將1、298按每組中兩數(shù)的差為7的規(guī)則分組：1，8、2、9、7，14、15，2290，97、91、98。一共有49組，所以當任取50個數(shù)時，必有兩個數(shù)在同一組，他們的差等于7。當n=99時，取上面每組中的前一個數(shù)，即1、27、1521、2935、4349、5763、7177、8591和99一共是50個數(shù)，而它們中任2個的差不為7。因此n最大不能超過98?！纠?9】 在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1這10個數(shù)的每相鄰兩個數(shù)

10、之間都添上一個加號或一個減號，組成一個算式。要求：（1）算式的結果等于37；（2）這個算式中的所有減數(shù)（前面添了減號的數(shù)）的乘積盡可能地大。那么，這些減數(shù)的最大乘積是多少？【解析】 把10個數(shù)都添上加號，它們的和是55，如果把其中一個數(shù)的前面的加號換成減號，使這個數(shù)成為減數(shù)，那么和數(shù)將要減少這個數(shù)的2倍。因為55-3718，所以我們變成減數(shù)的這些數(shù)之和是18÷2=9。對于大于2的數(shù)來說，兩數(shù)之和總是比兩數(shù)乘積小，為了使這些減數(shù)的乘積盡可能大，減數(shù)越多越好（不包括1）。9最多可拆成三數(shù)之和234=9，因此這些減數(shù)的最大乘積是2×3×424，添上加、減號的算式是：10

11、 9 8 7 6 5- 4- 3- 2 137。模塊二、智巧趣題中的極端思想【例 10】 99個蘋果要分給一群小朋友，每一個小朋友所分得的蘋果數(shù)都要不一樣，且每位小朋友至少要有一個蘋果問：這群小朋友最多有幾位? 【解析】 1+2+3+13=9199，1+2+3+14=10599，說明若13位各分得1，2，3，13個蘋果，未分完99個，若14位各分得1，2，3，14個蘋果，則超出99個因91+8=99，在13位上述分法中若把剩下的8個蘋果分別加到后8位人上，就可得合題意的一個分法：13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，lO，11，12，13，14個所以最多有13位小朋友(注：13人的分法不

12、唯一)【例 11】 （第四屆希望杯1試）一位工人要將一批貨物運上山，假定運了5次，每次的搬運量相同，運到的貨物比這批貨物的多一些，比少一些。按這樣的運法，他運完這批貨物最少共要運 次，最多共要運 次?！窘馕觥?這道題目用到了極值判斷法，體會極值判斷法：假定5次運的恰好等于，則每一次最少運÷5=，所以最多運1÷=9次；假定5次運的恰好等于，則每一次最多運÷5=，所以最少運1÷=7次.【例 12】 某學校，星期一有15名學生遲到，星期二有12名學生遲到，星期三有9名學生遲到，如果有22名學生在這三天中至少遲到過一次，則這三天都遲到的學生最多有多少人？ 【解析

13、】 三天都遲到的要盡量多，則將遲到的22人次分為僅遲到一次和三天都遲到的可求出三天都遲到的學生最多有(15+12+9-22)÷2=7(人)【鞏固】 某次數(shù)學、英語測試，所有參加測試者的得分都是自然數(shù)，最高得分198，最低得分169，沒有得193分、185分和177分，并且至少有6人得同一分數(shù)，參加測試的至少多少人？ 【解析】 得分數(shù)共有198-169+1-3=27(種)，當只有6個人得分相同時，參加測試的人最少，共有27+6-1=32(人)【例 13】 149位議員中選舉一位議長，每人可投一票候選人是A，B，C三人開票中途，A已得45票，B已得20票，C已得35票如果票數(shù)最多者當選，

14、那么A至少再有多少票才能一定當選? 【解析】 45+20+35=100，還有149-100=49(票)45-35=10，如果49票中有10票都給C，49-10=39，那么A至少還要有20票才能當選【例 14】 如圖，司機開車按順序到五個車站接學生到學校，每個站都有學生上車第一站上了一批學生，以后每站上車的人數(shù)都是前一站上車人數(shù)的一半車到學校時，車上最少有多少學生?【解析】 因為每個站都有學生上車，所以第五站至少有1個學生上車假如第五站只有一個學生上車，那么第四、三、二、一站上車的人數(shù)分別是2，4，8，16個因此五個站上車的人數(shù)共有1+2+4+8+16=31(人)，很明顯，如果第五站有不止一個學

15、生上車，那么上車的總人數(shù)一定多于31個所以，最少有31個學生【例 15】 某公共汽車從起點開往終點站，中途共有15個停車站。如果這輛公共汽車從起點站開出，除終點站外，每一站上車的乘客中，正好各有一位乘客從這一站到以后的每一站，那么為了使每位乘客都有座位，這輛公共汽車至少應有多少個座位？【解析】 （法1）：只需求車上最多有多少人。依題意列表如下：由上表可見，車上最多有56人，這就是說至少應有56個座位。本題問句出現(xiàn)了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取決于什么時候車上人數(shù)最多，要保證乘客中每人都有座位，應準備的座位至少應當?shù)扔诔丝妥疃鄷r的人數(shù)。所以，我們不能只看表面現(xiàn)象，誤認為有了“至

16、少”就是求最小數(shù)，而應該把題意分析清楚后再作判斷。（法2）：因為車從某一站開出時，以前各站都有同樣多的人數(shù)到以后各站（每站1人），這一人數(shù)也和本站上車的人數(shù)一樣多，因此：車開出時人數(shù)=（以前的站數(shù)+1）×以后站數(shù)=站號×（15-站號）。因此只要比較下列數(shù)的大?。?×14， 2×13， 3×12， 4×11， 5×10，6×9， 7×8， 8×7， 9×6， 10×5，11×4， 12×3， 13×2， 14×1 . 由這些數(shù)，得知7&#

17、215;8和8×7是最大值，也就是車上乘客最多時的人數(shù)是56人，所以它應有56個座位 .此題的兩種解法都是采用的枚舉法，枚舉法是求解離散最值問題的基本方法。這種方法的大意是：將問題所涉及的對象一一列出，逐一比較從中找出最值；或者將與問題相關的各種情況逐一考察，最后歸納出需要的結論?！纠?16】 某班學生50人，年齡均為整數(shù)，年齡的平均值為12.2，已知班上任意兩人的年齡差都不超過3那么這班學生中年齡最大的能是多少歲?如果有一個學生的年齡達到這個值，那么這個班里年齡既不是最大也不是最小的學生最多有多少人?【解析】 因為全班50人的年齡總和比平均12歲的年齡總和多(12.2-12)

18、15;50=10(歲)，所以年齡最大的能是12+3=15(歲)如果有人年齡達到15歲，那么剩下的49人的年齡和比平均12歲的年齡和多103=7(歲)，所以最多有7人的年齡大于12歲，小于15歲【例 17】 若干名家長（爸爸或媽媽，他們都不是老師）和老師陪同一些小學生參加某次數(shù)學競賽，已知家長和老師共有22人，家長比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有1名男老師，那么在這22人中，爸爸有多少人？ 【解析】 家長比老師多，所以老師少于22÷2=11人，即不超過10人；相應的，家長就不少于12人。在至少12個家長中，媽媽比爸爸多，所以媽媽要多于12÷2=6人，即不少于

19、7人。因為女老師比媽媽多2人，所以女老師不少于9人。但老師最多就10個，并且還至少有1個男老師，所以老師必定是9個女老師和1個男老師，共10個。那么，在12個家長中，就有7個是媽媽。所以，爸爸有12-7=5人?！纠?18】 現(xiàn)有三堆蘋果，其中第一堆蘋果個數(shù)比第二堆多，第二堆蘋果個數(shù)比第三堆多。如果從每堆蘋果中各取出一個，那么在剩下的蘋果中，第一堆個數(shù)是第二堆的三倍。如果從每堆蘋果中各取出同樣多個，使得第一堆還剩34個，則第二堆所剩下的蘋果數(shù)是第三堆的2倍。問原來三堆蘋果數(shù)之和的最大值是多少？【解析】 先每堆拿出一個，這樣第一堆就是第二堆的3倍：“如果從每堆蘋果中各取出同樣多個，使得第一堆還剩3

20、4個，則第二堆所剩下的蘋果數(shù)是第三堆的2倍”，第三堆最少剩一個，那么第一堆的每一份就是：（34-2）÷2=16，即三堆分別有：16×3+1=49，16+1=17和16個，總數(shù)：49+17+16=82個；如果第三堆剩2個，那么第一堆的每一份為：（34-4）÷2=15，各堆分別為：15×3+1=46，15+1=16和14個，總數(shù)減少.顯然第三堆留下的越多，第一堆的每一份就越少，總數(shù)越少.所以原來三堆蘋果之和的最大值是82. 【例 19】 如圖，小明要從A走到B，每段路上的數(shù)字是小王走這段路所需的分鐘數(shù)請問小明最快需幾分鐘?【解析】 從A到B要想最快，肯定不能

21、走回頭路，路線分為過C點和不過C點兩類不過C點有兩條路：第一條是15+7+9+18=49(分鐘)；第二條是14+6+17+12=49(分鐘)；兩條路所用時間相同經(jīng)過C點的路線分為兩段，AC、CB同上面一樣：AC：14+13=27(分鐘)；15+11=26(分鐘)CB：10+12=22(分鐘)；5+18=23(分鐘)在分析已知條件時。很可能會出現(xiàn)不同情況和不同結果，而且不好推理說明誰是極端情形，那就應該列舉比較所以從ACB最少用48分鐘，比前面不過C的少用1分鐘【例 20】 階梯教室座位有10排，每排有16個座位，當有150個人就座，某些排坐著的人數(shù)就一樣多我們希望人數(shù)一樣的排數(shù)盡可能少，這樣的

22、排數(shù)至少有多少排？【解析】 至少有4排如果10排人數(shù)各不相同，那么最多坐：16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人)；如果最多有2排人數(shù)一樣，那么最多坐：(16+15+14+13+12)×2=140(人)；如果最多有3排人數(shù)一樣，那么最多坐：(16+15+14)×3+13=148(人)；如果最多有4排人數(shù)一樣，那么至多坐：(16+15)×4+14×2=152(人)148<150<152， 所以，至少有4排課后練習練習1. 如果一個自然數(shù)N的各個位上的數(shù)字和是1996，那么這個自然數(shù)最小是幾？【解析】 1996÷

23、;9=2217，N= .練習2. 有四個數(shù)，其中每三個數(shù)的和分別是45，46，49，52，那么這四個數(shù)中最小的一個數(shù)是多少？ 【解析】 把4個數(shù)全加起來就是每個數(shù)都加了3遍，所以，這四個數(shù)的和等于（45+46+49+52）÷3=64。用總數(shù)減去最大的三數(shù)之和，就是這四個數(shù)中的最小數(shù)，即64-52=12。 3小王現(xiàn)有一個緊急通知需要傳達給小區(qū)內的975個人若用電話聯(lián)系，每通知1個人需1分鐘，而見面可一次通知60個人，但需10分鐘，問：完成傳達任務最少需多少分鐘?(每人均有電話)【解析】 應該充分發(fā)揮每個人的作用，即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道的人因此，可以先花10分鐘安排一次見面

24、通知，然后凡被通知的人再不斷打電話，到第14分鐘時共可通知：(1+60)×2×2×2×21=975(人)，因此最少用14分鐘練習3. 當A+B+C10時(A、B、C是非零自然數(shù))。A×B×C的最大值是，最小值是?！窘馕觥?當為3+3+4時有A×B×C的最大值，即為3×3×436；當為1+1+8時有A×B×C的最小值，即為1×1×88。練習4. 要砌一個面積為72米2的長方形豬圈，長方形的邊長以米為單位都是自然數(shù)，這個豬圈的圍墻最少長多少米？【解析】 將72

25、分解成兩個自然數(shù)的乘積，這兩個自然數(shù)的差最小的是9-8=1。，豬圈圍墻長9米、寬8米時，圍墻總長最少，為（8+9）×2=34（米）.練習5. 公園里有一排彩旗，按3面黃旗、2面紅旗、4面粉旗的順序排列，小紅看到這排旗的盡頭是一面粉旗已知這排旗不超過200面，這排旗子最多有多少面?【解析】 旗子排列是9面一循環(huán)，關鍵在于最后幾面旗子，如果最后四面都能是粉旗那就好了200÷9=222，所以最多可以出現(xiàn)200-2=198面旗子，共22個循環(huán)練習6. 有四袋糖塊，其中任意三袋的總和都超過60塊，那么這四袋糖塊的總和至少有多少塊？ 【解析】 最多的一袋糖數(shù)不小于另三袋糖的平均數(shù)，故不

26、小于61÷3=，即它不小于21從而四袋糖總和不小于21十61=82(塊)比如四袋糖數(shù)量分別為21，21，20，20即可月測備選測試1、比較下面兩個乘積的大?。篴=×， b=× .【解析】 對于a，b兩個積，它們都是8位數(shù)乘以8位數(shù)，盡管兩組對應因數(shù)很相似，但并不完全相同。直接計算出這兩個8位數(shù)的乘積是很繁的。仔細觀察兩組對應因數(shù)的大小發(fā)現(xiàn)，因為比多3，比少3，所以它們的兩因數(shù)之和相等，即+=+。因為a的兩個因數(shù)之差小于b的兩個因數(shù)之差，根據(jù)上題結論，可得ab測試2、將前100個自然數(shù)依次無間隔地寫成一個192位數(shù)：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

27、2從中劃去170個數(shù)字，剩下的數(shù)字形成一個22位數(shù)，這個22位數(shù)最大是多少？最小是多少？【解析】 在前100個自然數(shù)中，共有20個9，再保留后面的“10”，即得到最大數(shù)：9999999100（20個9）；最小數(shù)的第一位是“1”，再保留1090中的9個“0”，再在91100中留下12個盡量小的數(shù)，即得最小數(shù)： .測試3、（第一屆希望杯1試）一艘輪船往返于A、B碼頭之間 ，它在靜水中船速不變，當河水流速增加時，該船往返一次所有時間比河水流速增加前所用時間_ (填“多”或“少”)【解析】 極限判斷，當水速為10，船速是20時，我們可以往來A，B兩地，當河水速度增加時，比如增加到20，這樣逆水時，船速=水速，永遠到不了B地，所以時間變多了。測試4冬季運動會共有58面金牌，至今A隊已得lO面，B隊已得11面，C隊已得13面如果A隊要想金牌數(shù)居第一位，A隊至少還要得多少面金牌?【解析】 10+ll+13=34還有58-