D95隱函數(shù)求導(dǎo)64850學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D95隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)64850第一頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足滿足條件導(dǎo)數(shù)第1頁(yè)/共23頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。兩邊對(duì) x 求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則第2頁(yè)/共23頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),xy則還可求隱函數(shù)的 第3頁(yè)/共23頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解

2、解: 令連續(xù) ;由 定理1 可知, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求第4頁(yè)/共23頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。,eyFxxxyFy cos第5頁(yè)/共23頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。兩邊對(duì) x 求導(dǎo)1兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)令 x = 0 , 注意此時(shí) 利用隱函數(shù)求導(dǎo)第6頁(yè)/共23頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ;則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確第7頁(yè)/共23頁(yè)第八頁(yè)，編輯

3、于星期六：五點(diǎn) 三十二分。兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)同樣可得則第8頁(yè)/共23頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對(duì) x 求導(dǎo)第9頁(yè)/共23頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。設(shè)則兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)第10頁(yè)/共23頁(yè)第十一頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù), 則已知方程故第11頁(yè)/共23頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。對(duì)方程兩邊求微分:解法解法2 微分法. 2F第12頁(yè)/共23頁(yè)第十三頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的

4、行列式稱為F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 ,即雅可比 第13頁(yè)/共23頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；第14頁(yè)/共23頁(yè)第十五頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：xxGFyyGF第15頁(yè)/共23頁(yè)第十六頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。有隱函數(shù)組則兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)xuxvxF00解的公式 故得系數(shù)行列式第16頁(yè)/共23頁(yè)第十七頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同樣可得第17頁(yè)/共23頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。解解:方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求由題設(shè)故有第18頁(yè)/共23頁(yè)第十九頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。練習(xí)練習(xí)設(shè)求第19頁(yè)/共23頁(yè)第二十頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。 1f 2f 211fyxf21fzyf1f 2f 21fzyf第20頁(yè)/共23頁(yè)第二十一頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二分。分別由下列兩式確定 :又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè)解解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得x x解得因此第21頁(yè)/共23頁(yè)第二十二頁(yè)，編輯于星期六：五點(diǎn) 三十二