2001考研數(shù)一真題及解析

1、2001 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上.)X(1)設(shè)y e (CiSin X C2cosx)(Ci,C2為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的通解，則該方程為_(kāi).|222-(2)設(shè)ry Z，則div(gradr)(1,2,2)=_.01 y(3)交換二次積分的積分次序：_dy 2f (x, y)dx =_.(4)設(shè)矩陣A滿(mǎn)足A2A 4E 0,其中E為單位矩陣，則(A E)1=_.(5)設(shè)隨機(jī)變量X的方差是2,則根據(jù)切 比雪夫不 等式 有估計(jì)PX E(X) 2二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿(mǎn)分15分.)

2、(1)設(shè)函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y f (x)的圖形如右圖所示則y f (x)的圖形為(2)設(shè)f(x, y)在點(diǎn)(0,0)附近有定義，且fx(0,0)3, fy(0,0)1,則(A)dz|(0,0)3dx dy.(B)曲面z f (x, y)在(0,0, f(0,0)處的法向量為3,1,1.(C)曲線(xiàn)z f(x,y)在(o,o, f(o,o)處的切向量為1,0,3.y o(D)曲線(xiàn)z f(x,y)在(o,o, f(o,o)處的切向量為3,o,i.y o(3)設(shè)f(o) o,則f (x)在x=o處可導(dǎo)的充要條件為1(A)lim2f(1h oh21(C)lim2f (hh oh2cosh)存

3、在.sinh)存在.1h(B)lim f (1 e )存在.oh1(D)I叫h【f(2h)f(h)存在.1 1 1 14o oo1 1 1 1oo oo(4)設(shè)A,B,則A與B1 1 1 1oo oo1 1 1 1oo oo(A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似.(D)不合同且不相似(5)將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和丫分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和丫的相關(guān)系數(shù)等于1(A)-1.(B) o.(C) .(D) 1.2三、(本題滿(mǎn)分6分)arcta nex2xdx四、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(1,1)處可微，且f (1,1) 1,丄|(11)2,丄|

4、(11)3,(x) f (x, x yf(x, x).求d3(x)x1.dx五、(本題滿(mǎn)分8分)（1）對(duì)于（1,1）內(nèi)的任一x0,存在惟一的(x)(0,1)，使f (x)=f (0)+xf ( (x)x)成立; lim (x)x 0八、（本題滿(mǎn)分8分）長(zhǎng)度單位為厘米，時(shí)間單位為小時(shí)），已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比130（厘米）的雪堆全部融化需多少小時(shí)？九、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)1,2,S為線(xiàn)性方程組Ax 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，1t1 1t2 2,2右2t23,|,St1 st2 1,其中t1,t2為實(shí)常數(shù).試問(wèn)t1,t2滿(mǎn)足什么條件時(shí)，1,2, ,S也為Ax 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系十、（本題滿(mǎn)分8分）2

5、32已知3階矩陣A與三維向量x,使得向量組x, Ax, A x線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且滿(mǎn)足A x 3Ax 2A x.設(shè)f (x)=1 x2k arcta nx,1,x 0（ 1 ）n將f （x）展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù),并求級(jí)數(shù)一的和.x 0,n 11 4 n六、(本題滿(mǎn)分7分)計(jì)算I (y2z2)dx (2z2x2)dy (3x2y ）dz,其中L是平面x y z 2與柱面x y 1的交線(xiàn)，從Z軸正向看去，L為逆時(shí)針?lè)较蚱摺ⅲū绢}滿(mǎn)分7分）設(shè)f （x）在（1,1）內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f （x） 0,試證:設(shè)有一高度為h（t）（t為時(shí)間）的雪堆在融化過(guò)程，其側(cè)面滿(mǎn)足方程z h(t)2 22(x y )h(t)（比

6、例系數(shù)為0.9）,問(wèn)高度為（1）記P=（x, Ax, A2x），求3階矩陣B，使A PBP（2）計(jì)算行列式A E（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)某班車(chē)起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為(0)的泊松分布，每位乘客在中途下車(chē)的概率為p(0 p 1),且中途下車(chē)與否相互獨(dú)立以Y表示在中途下車(chē)的人數(shù)，求:(1)在發(fā)車(chē)時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車(chē)的概率；(2)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布.十二、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)總體X服從正態(tài)分布N( ,2)(0),從該總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X11X2,X2n(n 2),其樣本均值為X12n2nXii 1求統(tǒng)計(jì)量Y(Xii 12Xn i2X)的數(shù)學(xué)期望E(Y).2001 年考研數(shù)

7、學(xué)一試題答案與解析、填空題(1)【分析】由通解的形式可知特征方程的兩個(gè)根是r,r21 i,從而得知特征方程為(rrj(r2r2(r1r2)r吋2r 2r 20由此,所求微分方程為y2y2y0.(2)【分析】 先求grad r.,rrrx y z.grad r=-JJxyzr r r再求div grad r=一(-)()一(-)x r y r z r1x21=()(-(-x2f (x):正負(fù)正,(B)不對(duì),(D)對(duì).應(yīng)選(D).(2)【分析】 我們逐一分析于是div grad r|(1, 2,2)=T(1,2,2)r(3)【分析】 這個(gè)二次積分不是二重積分的累次積分，因?yàn)? y 0時(shí)0 21 y

8、 2由此看岀二次積分dy if (x, y)dx是二重積分的一個(gè)累次積分,它與原式只差一個(gè)符號(hào).先把此累次積分表為0 21dy1 yf(x, y)dxf(x,y)dxdy.D由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D：1 y 0,1 y x 2.見(jiàn)圖.現(xiàn)可交換積分次序0 21dy1 yf(x,y)dx原式=2dx0 21(x,y)dy1dx(4)【分析】 定義法.矩陣A的元素沒(méi)有給出1 x0f(x, y)dy.，因此用伴隨矩陣、用初等行變換求逆的路均堵塞.應(yīng)當(dāng)考慮用因?yàn)?A E)(A 2E) 2E A2A 4E故(A E)(A 2E) 2E,即(A E)按定義知11(A E)1-(A 2E).(

9、5)【分析】根據(jù)切比雪夫不等式PX E(X)| D(x)2于是PX E(X)| 2D(x)22二、選擇題(1)【分析】當(dāng)x 0時(shí),f(x)單調(diào)增f (x)O,(A),(C)不對(duì)；當(dāng)x 0時(shí)，f (x):增減增0,關(guān)于(A),涉及可微與可偏導(dǎo)的關(guān)系.由f (x, y)在(o,o)存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f(x,y)在(0,0)處可微因此(A)不一定成立關(guān)于(B)只能假設(shè)f(x, y)在(0,0)存在偏導(dǎo)數(shù)f(0,0),f (0,0),不保證曲面z f (x,y)在xy(0,0, f(0,0)存在切平面.若存在時(shí),法向量n=f (0,0)f (0,0),13,1,-1與3,1,1不xy共線(xiàn)，因而(B)不成立

10、.xt,關(guān)于(C),該曲線(xiàn)的參數(shù)方程為y0,它在點(diǎn)(0,0, f (0,0)處的切向量為zf(t,0),汕,。)仲危。,。)你.因此,(C)成立.足(A),但f (0)不關(guān)于(D):若f (x)在x 0可導(dǎo),再看(C):他x1 coshtf (x) lim.x 0 x1 f (t)1 cosh lim2t 0tf (0)0時(shí),f (0) lim衛(wèi)衛(wèi)limx 0 xx 0關(guān)于(A):limgf(1 cosh) limfCOsh)h 0hh 01 cosh1lim2f (1 cosh)h 0h2(3)【分析】由此可知f (0)若f (x)在x 0可導(dǎo)(A)成立,反之若(A)成立h2f (0)、f

11、(0)如f(x) | x |滿(mǎn)lim0hf(2h) f(h)(D)成立 仮之(D)成立lim( f (2 h)pm2f (0) f (0).0連續(xù)，.f (x)在x 0可導(dǎo).如f (x)x ，x0, x 0滿(mǎn)足(D),但f (x)在x0處不連續(xù)，因而f(0)也不(2lim $ f (hh 0h2sin h)hn丹2s hhlnhh sin h f (t)h2t(當(dāng)它們都時(shí)).注意，易求得lim S2inh0因而若f(0)( C)成立 仮之若(C)成立lim丄即h 0t 0tf (t)f (0).因?yàn)橹灰薪?，任?C)成立，如f (x) |x|滿(mǎn)足(C)但f (0)不.t因此，只能選(B).(

12、4)【分析】由I E A|4430,知矩陣A的特征值是4,0,0,0.又因A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，A必能相似對(duì)角化，所以A與對(duì)角矩陣B相似.作為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，當(dāng)A仲B時(shí),知A與B有相同的特征值，從而二次型xTAx與xTBx有相同的 正負(fù)慣性指數(shù)，因此A與B合同.所以本題應(yīng)當(dāng)選(A).注意，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣合同時(shí)，它們不一定相似，但相似時(shí)一定合同.例如1 0一1 0A與B,0 20 3它們的特征值不同，故A與B不相似，但它們的正慣性指數(shù)均為2,負(fù)慣性指數(shù)均為0.所以A與B合同.(5)【分析】 解本題的關(guān)鍵是明確X和Y的關(guān)系：X Y n,即Y n X，在此基礎(chǔ)上利用性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)XY的絕對(duì)值等于1的充要條件是隨機(jī)

13、變量X與Y之間存在線(xiàn)性關(guān)系，即Y aX b(其如25曲ex ar如ex) C.中a,b是常數(shù))，且當(dāng)a 0時(shí)，XY1;當(dāng)a0時(shí)，XY1，由此便知XY1應(yīng)選(A).事實(shí)上,Cov(X,Y)Cov(X,n X)DX,DYD(nX)DX，由此由相關(guān)系數(shù)的定義式有Cov(X,Y)DXXYDX DY DX “ DY三、【解】原式=-2x2 x12 xxarctane d(e )尹arctanedex2x2X1(e2xarctanex嗎星)/ 2x丿1 e先求(1)f(1,f(1,1) f(1,1)1.2n( 1)n 12nx- - - -x2n 1n 02 n 1J V才右x”四、【解】求Adx3(x)

14、 -QIII3 (1) (1) 3 (1),歸結(jié)為求(1).由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法(x)df1(x,f(x,x)f2(x,f(x,x)dxf(x,x),(1)f1(1,1)f2(1,1)f1(1,1)f2(1,1).、:I .7.汪意f1(1,1)皿2,f2(1,1)皿3.y因此(1) 2 3(2 3) 17,dx3(x)|x131751.五、【分析與求解】關(guān)鍵是將arctanx展成幕級(jí)數(shù)，然后約去因子x,再乘上1x2并化簡(jiǎn)即可.直接將arctanx展開(kāi)辦不到，但(arctanx)易展開(kāi)，即1(arctan x)2(1)nx2n,|x|n 01,x積分得arctanxo(arctant) dtx -

15、n0(1)n0tndt(1)n2n 12n 1rx,x 1,1.因?yàn)橛叶朔e分在xx 1成立.1時(shí)均收斂,又arctanx在x1連續(xù),所以展開(kāi)式在收斂區(qū)間端點(diǎn)現(xiàn)將式兩邊同乘以2arcta nx (1xx2)Tno2n 14n 02n 12nn 2n 2(1) xn 02n 11)n5|x2nn 11 4n21,1,x 0上式右端當(dāng)x0時(shí)取值為1,于是x 1,1.上式中令x六、【解】為圍部分.由f(x) 1古X”n 114n2-4寸f(1)1n 11 4 n 2i(2用斯托克斯公式來(lái)計(jì)算.記S為平面xL的定向，按右手法則S取上側(cè)，S的單位法向量(cos ,cos,cos )1(1,1,1).于是由

16、斯托克斯公式得coscoscos于是z2y2z2z2 23x ydS(S2y12z 6x)3(2x12y)dS(4x2y 3z)dS(利用x yz 2)2(6 x y)dS.- 3S2 2 xZy1 ZxZ按第一類(lèi)曲面積分化為二重積分得x y)、3dxdy2(6 x y)dxdy,D其中D圍S在xy平面上的投影區(qū)域|x|y| 1(圖).由D關(guān)于x,y軸的對(duì)稱(chēng)性及被積函數(shù)的奇偶性得(x y)dxdyDI 12 dxdyD12(E)224.七、【證明】(1)由拉格朗日中值定理，x (1, 1),x 0 ,(0,1),使上式右端當(dāng)x0時(shí)取值為1,于是x 1,1.f(x) f(0) xf ( x)(與

17、x有關(guān));又由f(x)連續(xù)而f(x)0,f (x)在(1, 1)不變號(hào)，f(x)在(1,1)嚴(yán)格單調(diào)，唯一.(2)對(duì)f(x)使用f(0)的定義由題(1)中的式子先解岀f(x),則有1f (x)f(x)f(0)x再改寫(xiě)成1f (x) f(0)f(x) f(0) xf(0)x)T(0)x1f (x) f(0)f(x) f(0) xf(0)x21x解岀，令x0取極限得lim.f(x)f(0) xf(0)f(x) f(0)1-f(0)1lim2/ limIIx 0 x 0 x2x 0 xf (0)2h(t)先求S(t)與V(t).2 2、2(x y )Dxy:02 ,0 r ；h(t).八、【解】(1

18、)設(shè)t時(shí)刻雪堆的體積為V(t)，側(cè)面積為S(t).t時(shí)刻雪堆形狀如圖所示4x zh(t) y4yh(t)S(t)Dxy(二)2dxdy yDxy2 2 2h(t雹xS.作極坐標(biāo)變換：x r cos , y r sin，則側(cè)面方程是z h(t)2(x, y) Dxy: xh(t)用先二后一的積分順序求三重積分V(t)odz dxdy,D(x)V(t)fh2(t) h(t)zdz -h3(t) 1h(t)3 -h3(t).(2)按題意列岀微分方程與初始條件.體積減少的速度是dV，它與側(cè)面積成正比dt(比例系數(shù)0.9)，即dV0.9Sdt將V(t)與S(t)的表達(dá)式代入得73h2(t)蟲(chóng)0.9h2(

19、t),即dt12dh13dt10.h(0)130.(3)解得h(t)型C.10由得C13130,即h(t)t10130.令h(t) 0,得t 100.因此，高度為130厘米的雪堆全部融化所需時(shí)間為100小時(shí).九、【解】 由于i(i1,2|卜)是1,2,IIIs線(xiàn)性組合，又2,111s是Ax 0的解,所以根據(jù)齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)知i(i1,|s)均為Ax 0的解.從1,2,卅s是Ax 0的基礎(chǔ)解系，知s n r(A).s(t)1h(t)2h(t)12_h(t)d2丄h2(t)48、.h2(t) 16r2rdr31h(t)1316r22|o22f(t).其中鬧晉2 2h(t) z(t)，即x y1h2(t) h(t)z.下面來(lái)分析1,2,IIIs線(xiàn)性無(wú)關(guān)的條件.設(shè)k11k22|kss0