理論力學,動力學,第八章剛體平面運動-r

1、HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS剛體的平面運動剛體的平面運動第八章第八章 HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 平面運動：平面運動：剛體在運動過程中，其上各點都始剛體在運動過程中，其上各點都始終保持在與某一固定平面相平行的平面內(nèi)。終保持在與某一固定平面相平行的平面內(nèi)。一、運動特征一、運動特征8-1 剛體平面運動的運動方程HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS平面圖形：平面圖形：剛

2、體上任一個與固定平面平行的截面。剛體上任一個與固定平面平行的截面。顯然，只需確定平面圖形的位置，即可確定整個剛顯然，只需確定平面圖形的位置，即可確定整個剛體的運動狀態(tài)體的運動狀態(tài)注意：注意：平面圖形的形狀和尺寸并不重要，需要的平面圖形的形狀和尺寸并不重要，需要的話，可以擴展為整個平面。話，可以擴展為整個平面。一、運動特征一、運動特征O1xySHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSO1xyS討論：討論：1. 1. 為常數(shù)為常數(shù)二、運動方程二、運動方程)()()(321tftfytfxOO剛體剛體隨基點平移隨基點平移2 2. (

3、xO,yO)為常數(shù)為常數(shù)剛體剛體繞基點轉(zhuǎn)動繞基點轉(zhuǎn)動3. O點位置和點位置和 均變化均變化剛體剛體平面運動平面運動由此看出，平面運動可以分解為由此看出，平面運動可以分解為“平移平移”和和“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動”O(jiān)Px0y0 剛體平面運動方程剛體平面運動方程稱稱O為為基點基點x y ( (隨同動系平移隨同動系平移) )( (相對動系轉(zhuǎn)動相對動系轉(zhuǎn)動) )HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS平面運動平面運動 = 隨隨基點基點的平移的平移繞繞基點基點的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動+平面圖形隨平面圖形隨基點平移的基點平移的速度和加速度與基點速度和加速度與基點的

4、選擇的選擇有關(guān)。有關(guān)。 平面運動剛體繞基點轉(zhuǎn)動的角速度和平面運動剛體繞基點轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度與基點的選擇無關(guān)！角加速度與基點的選擇無關(guān)！O1xySOPx0y0 x y HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例1: 已知曲柄滑塊機構(gòu)中已知曲柄滑塊機構(gòu)中OA=r , AB=l;曲柄曲柄OA以以勻角速度勻角速度 繞繞O軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動。求連桿求連桿AB的運動方程。的運動方程。 解：解：xy建立圖示參考坐標系，建立圖示參考坐標系，由幾何關(guān)系，得：由幾何關(guān)系，得：sinsinrltlrlrsinsinsin AB桿做平面運動，獨立的

5、桿做平面運動，獨立的方程運動有三個，可取桿上方程運動有三個，可取桿上A點為基點，建立運動方程。點為基點，建立運動方程。則連桿的運動方程：則連桿的運動方程：)sinarcsin(sincostlrtrytrxAAHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS8-2 平面圖形內(nèi)各點的速度 速度瞬心一、速度基點法一、速度基點法 根據(jù)前面的分析，下面應用點的合根據(jù)前面的分析，下面應用點的合成運動方法來導出平面運動剛體上任意成運動方法來導出平面運動剛體上任意一點的運動公式一點的運動公式BAABvvvOxyAAvBx y BvBAvAv1. A

6、點為基點，可以是該剛體上任意一個點，一般點為基點，可以是該剛體上任意一個點，一般我們選擇速度已知的點。我們選擇速度已知的點。2. B點為剛體上任意一點，點為剛體上任意一點，此公式給出了剛體此公式給出了剛體上任意兩點間的速度關(guān)系上任意兩點間的速度關(guān)系。BAvBAHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS二、速度投影定理二、速度投影定理ABAABBvv 如將上式投影到如將上式投影到A、B兩點的連線上，兩點的連線上，并注意到并注意到vBA垂直于垂直于AB連線，在連線上連線，在連線上的投影為零，可得的投影為零，可得 平面圖形上任意兩點的

7、速度在這兩點連線上平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等，這稱為的投影相等，這稱為速度投影定理速度投影定理。 問：此定理直觀的力學意義是什么？問：此定理直觀的力學意義是什么？ OxyAAvBx y BvBAvAvBAABvvvHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例例2：vAvAvBvBA解：因為因為A點速度點速度 vA已知，故選已知，故選A為基點為基點其中其中vA的大小的大小 vA=R 一、基點法一、基點法)sin()2sin()2sin(BBAAvvv由速度合成矢量圖可得由速度合成矢量圖可得cos)sin(

8、RvBcoscoslRlvBAABBAABvvvABHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS應用速度投影定理，有應用速度投影定理，有 cos90cos0BAvv同樣可得同樣可得cos)sin( RvB例例2： 解：二、速度投影法二、速度投影法vAvB900-HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 解：三：點的合成運動三：點的合成運動 以以B為動點，為動點，OA桿為動系桿為動系 vevBvr OBvetanevvBcos)sin( Rcos/ervv cosc

9、os/lRlvrcoscoslRlvBAAB例例2：HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 解：四、直角坐標表示法四、直角坐標表示法 xB點的運動方程：點的運動方程： coscoslROBx222sincosRlR2222sincossinsinRlRRxvB cos)sin( R-cos)sin( RvB例例2：HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS8-2 平面圖形內(nèi)各點的速度 速度瞬心一、速度基點法一、速度基點法 根據(jù)前面的分析，下面應用點的合根據(jù)前面

10、的分析，下面應用點的合成運動方法來導出平面運動剛體上任意成運動方法來導出平面運動剛體上任意一點的運動公式一點的運動公式BAABvvvOxyAAvBx y BvBAvAv1. A點為基點，可以是該剛體上任意一個點，一般點為基點，可以是該剛體上任意一個點，一般我們選擇速度已知的點。我們選擇速度已知的點。2. B點為剛體上任意一點，點為剛體上任意一點，此公式給出了剛體此公式給出了剛體上任意兩點間的速度關(guān)系上任意兩點間的速度關(guān)系。BAvBAHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSAIAv d三、速度瞬心法三、速度瞬心法 一般情形下一般

11、情形下，剛體作平面運剛體作平面運動時速度瞬心確實是存在的，并動時速度瞬心確實是存在的，并且唯一。且唯一。 我們稱某瞬時速度為零的點為我們稱某瞬時速度為零的點為平面圖形在此瞬時的速度中心，簡平面圖形在此瞬時的速度中心，簡稱稱“速度瞬心速度瞬心”，一般用，一般用I I 表示之。表示之。 以以I為基點，則有為基點，則有AIAvv BIBvv CICvv I I I CvBvAvCBA即即BAABvvvAIAIvBBIvCIvCIAvAvHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 注意：注意：I I點僅僅此時刻速度為零，一般情況下，速點

12、僅僅此時刻速度為零，一般情況下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬時度瞬心的加速度不等于零，下一瞬時I I的速度也就不再的速度也就不再為零了。因此，速度瞬心在圖形本身上和在固定平面上為零了。因此，速度瞬心在圖形本身上和在固定平面上的位置都是隨時間而變的，在不同的瞬時，圖形具有不的位置都是隨時間而變的，在不同的瞬時，圖形具有不同的速度瞬心。同的速度瞬心。 三、速度瞬心法三、速度瞬心法HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS四、瞬心的確定四、瞬心的確定( () ) 已知圖形上任意兩點速度方位已知圖形上任意兩點速度方位AAvBvBIH

13、OHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例3：曲柄滑塊機構(gòu)，已知曲柄角速度曲柄滑塊機構(gòu)，已知曲柄角速度 ，求速度瞬心，求速度瞬心I。 vAIABvB AB HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSOAB例例3：曲柄滑塊機構(gòu)，已知曲柄角速度曲柄滑塊機構(gòu)，已知曲柄角速度 ，求速度瞬心，求速度瞬心I。 vAIABHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例3：曲柄滑塊機構(gòu)，已知曲柄角速度曲柄滑塊機構(gòu)

14、，已知曲柄角速度 ，求速度瞬心，求速度瞬心I。 vAvB瞬時平移瞬時平移 HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例4：齒輪齒輪-齒桿機構(gòu)，已知齒桿機構(gòu)，已知C、D點的速度，點的速度，求求 輪心輪心O的速度。的速度。 IvOIvOHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 畫出圖示機構(gòu)中作平面運動的構(gòu)件在圖示瞬時的速度瞬心（輪A純滾動）。 IABvBvCIBCvDCD桿瞬時平移桿瞬時平移HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGI

15、NEERING MECHANICScos)sin( RvB例例5： 解：三、速度瞬心法三、速度瞬心法vAvB900- ABI2AIvABABIvABBcoscoslRAIvAABA、B兩點的速度大小分別為：兩點的速度大小分別為：HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例例6：車輪沿直線純滾動，已知車輪半徑為車輪沿直線純滾動，已知車輪半徑為R，中心，中心O的速的速度為度為vO。求車輪上。求車輪上A,B,C,D點的速度。點的速度。 CRvO解：解：一、先確定輪的角速度二、求各點速度OvABDHOHAI UNIVERSITYHOH

16、AI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例7：曲柄曲柄OA長為長為r，以勻角速度，以勻角速度轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。AB長長2r，輪，輪B半徑半徑為為R，在地面作純滾動。求圖示兩種狀態(tài)下，輪緣最右端點，在地面作純滾動。求圖示兩種狀態(tài)下，輪緣最右端點的速度。的速度。AvBvI解：（1）AB桿的瞬心在桿的瞬心在B點，點，說明此時說明此時B點速度為零點速度為零。輪輪B作純滾動，作純滾動，I點速度必為零，點速度必為零，所以此刻輪所以此刻輪B的角速度為零。的角速度為零。vM = 0HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANI

17、CSIAvBv（2）AB為為瞬時平移瞬時平移vA = vB = rRrRvBBrRRrNIvBN22 BNv例例7：曲柄曲柄OA長為長為r，以勻角速度，以勻角速度轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。AB長長2r，輪，輪B半徑半徑為為R，在地面作純滾動。求圖示兩種狀態(tài)下，輪緣最右端點，在地面作純滾動。求圖示兩種狀態(tài)下，輪緣最右端點的速度。的速度。AvBvI解：HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例8：橋由三部分組成，當橋由三部分組成，當C支座有一水平微小位移。試確支座有一水平微小位移。試確定定D、E點的位移的方向及它們的大小與的點的位移的方向及它

18、們的大小與的 SC比值。比值。 CBADESCISDSEaaaa2CDssDEss 當當C有微小水平位移時，有微小水平位移時，系統(tǒng)各部分的位置都將有微小系統(tǒng)各部分的位置都將有微小改變。根據(jù)所受的約束，可知改變。根據(jù)所受的約束，可知ACD、BE均發(fā)生微小轉(zhuǎn)動。均發(fā)生微小轉(zhuǎn)動。解：解：DE作平面運動，其速度瞬心在作平面運動，其速度瞬心在I，HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSABAax y 8-3 平面運動剛體上各點加速度tnBABAABaaaa指向基點方向由2nBABaBA 連線于方向垂tABABaBA直 BatBAanBA

19、aAa強調(diào)：強調(diào)：reaaa 平面圖形內(nèi)任一點的加速度，等于基點的加速度與平面圖形內(nèi)任一點的加速度，等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的加速度的矢量和。該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的加速度的矢量和。 HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例9：車輪沿直線滾動，已知車輪半徑為車輪沿直線滾動，已知車輪半徑為R，中心，中心O的速度為的速度為vO，加速度為，加速度為aO。設車輪與地面接觸無相對滑動。求車輪上。設車輪與地面接觸無相對滑動。求車輪上速度瞬心的加速度。速度瞬心的加速度。 OOaOvRvORaO解：解：一、先確定輪的角加速度一

20、、先確定輪的角加速度 naO二、求二、求I點加速度點加速度取中心取中心O為基點為基點tnIOIOOIaaaaOIOaRatRvRaOIO22n向向x方向投影方向投影0tIOOIxaaa向向y方向投影方向投影RvaaOIOIy2nxyMHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSBrOAAv例例10：長度長度2r的桿，的桿，A端在半徑為端在半徑為r的半圓形軌道上以勻速的半圓形軌道上以勻速率率vA運動。試求運動。試求A到達最低點時，到達最低點時，AB桿的角速度和角加速度。桿的角速度和角加速度。BrOAvBI aBaBnABatABaa

21、A30cos60cos0tnABABaax:raraABAB2;2其中：t2n以以B為基點，分析為基點，分析A點加速度：點加速度： xrvA3解：解： 1. AB桿的角速度桿的角速度 2. AB桿的角加速度桿的角加速度 2293rvAHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS四桿機構(gòu)四桿機構(gòu) ： HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSlABCD450450l例例11：圖示四桿機構(gòu)中已知曲柄圖示四桿機構(gòu)中已知曲柄AB以勻角速度以勻角速度轉(zhuǎn)動，試轉(zhuǎn)動，試計算圖示瞬

22、時計算圖示瞬時BC、DC桿的角速度和角加速度。桿的角速度和角加速度。解：解：1.計算計算BC、DC桿的角速度桿的角速度22llIBvBCB422lICDCvCBCCDIvBvC CB CDHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS.計算計算BC、DC桿的角加速度桿的角加速度（基點法）（基點法）tnCBCBBCnCtaaaaan045cosCBBCtaaat045sinCBBCnaaaCBCBCBCBCDCCDClalalala222222t2nt2n ,其中2283,83:CBCD 解得解得lABCD450450l解：解：Ban

23、CatCatCBanCBaBa CD考察考察BC桿，以桿，以B為基點，分析為基點，分析C點加速度：點加速度：例例11：圖示四桿機構(gòu)中已知曲柄圖示四桿機構(gòu)中已知曲柄AB以勻角速度以勻角速度轉(zhuǎn)動，試轉(zhuǎn)動，試計算圖示瞬時計算圖示瞬時BC、DC桿的角速度和角加速度。桿的角速度和角加速度。HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS解：解：AB為瞬時平動為瞬時平動vA = vB = rRrRvBBrRRrNIvBN22BNAIAvBv BNvRrraNx22233raNy233練習：練習：HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIV

24、ERSITY ENGINEERING MECHANICSHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS運動學課外題運動學課外題 HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 是非題：是非題： 1. 設設A為平面運動剛體上任意一點，為平面運動剛體上任意一點，I為剛體在該瞬時的速為剛體在該瞬時的速度瞬心，則點度瞬心，則點A的運動軌跡在此處的曲率半徑等于的運動軌跡在此處的曲率半徑等于A、I間間的距離。的距離。2. 剛體作平面運動時，若某瞬時其上有兩點加速度相同，剛體作平面運動

25、時，若某瞬時其上有兩點加速度相同，則此瞬時剛體上各點的速度都相同。則此瞬時剛體上各點的速度都相同。3. 平面圖形瞬時平移時，其上任意兩點的加速度在這兩點平面圖形瞬時平移時，其上任意兩點的加速度在這兩點連線上的投影相等。連線上的投影相等。HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 判斷速度瞬心：判斷速度瞬心： DEOABOA=AB=BC=AD=BE=DEABECDCHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 題題1：vAvAvBvBA解：因為因為A點速度點速度 vA

26、已知，故選已知，故選A為基點為基點其中其中vA的大小的大小 vA=R 一、基點法一、基點法cos)sin( RvBcoscoslRlvBAABBAABvvvABHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 解：二、點的合成運動二、點的合成運動 以以B為動點，為動點，OA桿為動系桿為動系 vevBvr OBvetanevvBcos)sin( Rcos/ervv coscos/lRlvrcoscoslRlvBAAB題題1：HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 解：三、直角坐標表示法三、直角坐標表示法 xB點的運動方程：點的運動方程： coscoslROBx222sincosRlR2222sincossinsinRlRRxvB cos)sin( R-題題1：cos)sin( RvBHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS題題2：在圖示機構(gòu)中，已知在圖示機構(gòu)中，已知AA =BB =r， 且且AB= A B ；連桿；連桿AA 以勻角速度以勻角速度繞繞A 轉(zhuǎn)動，當轉(zhuǎn)動，當 =600時，桿時，桿OC位置水平，位置水平，