物理有限元基本原理學習教案

1、會計學1物理物理(wl)有限元基本原理有限元基本原理第一頁，共130頁。21.1 有限單元有限單元(dnyun)法的概念法的概念1.2 有限單元有限單元(dnyun)法基本步驟法基本步驟第1頁/共130頁第二頁，共130頁。31.1 有限單元有限單元(dnyun)法的概念法的概念基本思想基本思想:借助于數(shù)學和力學知識借助于數(shù)學和力學知識(zh shi)，利，利用計算機技術而解決工程技術問題。用計算機技術而解決工程技術問題。Finite Element Method -_FEMFinite Element Analysis 第2頁/共130頁第三頁，共130頁。4三大類型三大類型(按其推導方法分

2、按其推導方法分):(1) 直接剛度法直接剛度法(簡稱直接法簡稱直接法): 根據(jù)單元的物理意義，建立有關場變量表示的單根據(jù)單元的物理意義，建立有關場變量表示的單元性質方程。元性質方程。 (2) 變分法變分法 直接從求解泛函的極值問題入手，把泛函的極植直接從求解泛函的極值問題入手，把泛函的極植問題規(guī)劃成線性代數(shù)方程組，然后求其近似解的一種問題規(guī)劃成線性代數(shù)方程組，然后求其近似解的一種(y zhn)計算方法。計算方法。 (3) 加權余量法加權余量法 直接從控制方程中得到有限單元方程，是一種直接從控制方程中得到有限單元方程，是一種(y zhn)近似解法。近似解法。 第3頁/共130頁第四頁，共130頁

3、。51.2 有限單元有限單元(dnyun)法基本步驟法基本步驟(1) 待求解域離散化待求解域離散化(2) 選擇插值函數(shù)選擇插值函數(shù)(3) 形成單元性質的矩陣方程形成單元性質的矩陣方程(4) 形成整體系統(tǒng)的矩陣方程形成整體系統(tǒng)的矩陣方程(5) 約束處理，求解系統(tǒng)方程約束處理，求解系統(tǒng)方程(6) 其它參數(shù)其它參數(shù)(cnsh)計算計算第4頁/共130頁第五頁，共130頁。6圖1-2 工程問題有限(yuxin)單元法分析流程 第5頁/共130頁第六頁，共130頁。72.1 結構結構(jigu)幾何構造的必要性幾何構造的必要性 2.2 結構結構(jigu)計算基本知識計算基本知識2.3 結構幾何構造分析

4、的自由度與約束結構幾何構造分析的自由度與約束2.4 自由度計算公式自由度計算公式 第6頁/共130頁第七頁，共130頁。82.1 結構幾何結構幾何(j h)構造的必要性構造的必要性 結構是用來承受和傳遞載荷的。如果不計材料的結構是用來承受和傳遞載荷的。如果不計材料的應變，在其受到任意載荷作用時其形狀和位置沒有發(fā)應變，在其受到任意載荷作用時其形狀和位置沒有發(fā)生剛體位移時，稱之為幾何不變結構或幾何穩(wěn)定結構生剛體位移時，稱之為幾何不變結構或幾何穩(wěn)定結構，反之則稱為幾何可變結構或幾何不穩(wěn)定結構。幾何，反之則稱為幾何可變結構或幾何不穩(wěn)定結構。幾何可變結構不能承受和傳遞載荷。對結構進行幾何構造可變結構不能

5、承受和傳遞載荷。對結構進行幾何構造分析分析(fnx)也是能夠對工程結構作有限單元法分析也是能夠對工程結構作有限單元法分析(fnx)的必要條件。的必要條件。 第7頁/共130頁第八頁，共130頁。9 (a) 結構(jigu)本身可變 (b) 缺少必要的約束條件 (c) 約束匯交于一點 圖2-1 幾何可變結構(jigu) 第8頁/共130頁第九頁，共130頁。102.2 結構結構(jigu)計算基本知識計算基本知識2.2.1 結構結構(jigu)計算計算簡圖簡圖 實際結構總是很復雜的，完全按照結構的實際情況進行力學分析是不可能的，也是不必要的，因此在對實際結構進行力學計算之前，必須將其作合理的簡化

6、，使之成為既反映實際結構的受力狀態(tài)與特點，又便于計算的幾何圖形。這種被抽象化了的簡單的理想圖形稱之為結構的計算簡圖，有時也稱為結構的力學模型。結構計算所常用的結點和支座的簡化形式: （1）結點： 鉸結點； 剛結點； 混合結點。 （2）支座： 活動(hu dng)鉸支座； 固定鉸支座 ； 固定支座 ； 定向支座 第9頁/共130頁第十頁，共130頁。112.2.2 結構結構(jigu)的分類與基本特的分類與基本特征征 (1) 按結構在空間的位置分(2) 結構可分為平面結構和空間結構兩大類(3) (2) 按結構元件的幾何特征分(4) 桿系結構：(5) 梁、拱、桁架、剛架、桁構結構等 。(6) 板殼

7、結構(7) 實體結構實體結構的長、寬、高三個尺寸都很(8) 大，具有(jyu)同一量級。 (9) 混合結構 第10頁/共130頁第十一頁，共130頁。12(3) 按結構自由度分 靜定結構自由度為零的幾何不變結構。其特征: a. 靜定結構的內力及支座反力可全部由平衡(pnghng)方程式求出，并且解答是唯一的。 b. 靜定結構的內力及支座反力與材料的性質和截面特征（幾何尺寸，形狀）無關。 c. 靜定結構上無外載荷作用時，其內力及支座反力全為零。 d. 若靜定結構在載荷作用下， 結構中的某一部分能不依靠于其它部分， 獨立地與載荷保持平衡(pnghng)時，則其它部分的內力為零。 e. 當將一平衡(

8、pnghng)力系作用于靜定結構的一個幾何不變部分時，結構的其余部分都無內力產生。 f. 當靜定結構中的一個內部幾何不變部分上的載荷作等效變換時，其余部分的內力不變。 g. 當靜定結構中的一個內部兒何不變部分作構造改變時，其余部分的內力不變。 第11頁/共130頁第十二頁，共130頁。13 超靜定結構自由度大于零的幾何不變結構。其特性： a. 超靜定結構僅僅滿足靜力平衡條件的解有無窮多個，但同時滿足結構變形協(xié)調條件的解僅有一個。 b. 超靜定結構的內力及支反力不僅與載荷有關，而且與林料的力學性能和截面尺寸有關。 c. 超靜定結構在非載荷因素作用下，如溫度變化、支座沉陷、制造誤差等而產生的位移會

9、受到多余(duy)約束的限制，結構內必將產生內力。 d. 超靜定結構中的多余(duy)約束破壞后，結構仍然保持幾何不變性，因而仍有一定的承載能力， 不致整個結構遭受破壞。 e. 超靜定結構由于具有多余(duy)的約束，因而比相應的靜定結構具有較大的剛度和穩(wěn)定性， 在載荷作用下，內力分布也較均勻，且內力峰值也較靜定結構為小。 第12頁/共130頁第十三頁，共130頁。14(1) 具有奇數(shù)(j sh)跨的剛架 正對稱載荷作用 2.2.3 結構對稱結構對稱(duchn)性的利用性的利用 對稱對稱(duchn)結構在正對稱結構在正對稱(duchn)載荷下，對稱載荷下，對稱(duchn)軸截面上只能產生

10、正對稱軸截面上只能產生正對稱(duchn)的位移，反對稱的位移，反對稱(duchn)的位移為零；對稱的位移為零；對稱(duchn)結構在反對稱結構在反對稱(duchn)載荷下，對稱載荷下，對稱(duchn)軸截面上只有反對稱軸截面上只有反對稱(duchn)的位移，正對稱的位移，正對稱(duchn)的位移為零。的位移為零。 (a) 對稱剛架 （b) 變形狀態(tài)分析 (c) 對稱性利用 圖2-22對稱性利用示意圖 第13頁/共130頁第十四頁，共130頁。15 對稱剛架承受反對稱載荷(zi h)作用 (a) 對稱剛架 (b) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對稱性利用 圖2-23 反對稱性利用示意圖 第14

11、頁/共130頁第十五頁，共130頁。16 (a) 變形狀態(tài)分析 (b) 對稱性利用 圖2-24對稱性利用示意圖(2) 具有偶數(shù)跨的剛架 正對稱載荷(zi h)作用 第15頁/共130頁第十六頁，共130頁。17 反對稱載荷(zi h)作用 (b) 反對稱性狀態(tài)分析 (a) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對稱性受力分析 (d) 反對稱性利用 圖2-25對稱性利用示意圖第16頁/共130頁第十七頁，共130頁。18 2.3 結構幾何結構幾何(j h)構造分析的自由度與約束構造分析的自由度與約束 (1) 自由度指結構在所在空間(kngjin)運動時，可以獨立改變的幾何參數(shù)的數(shù)目，也就是確定該結構位置時所需

12、的獨立參數(shù)的數(shù)目。(2) 約束 指減少結構自由度的裝置，即限制結構結構運動的裝置。 a. 支座鏈桿的約束 b. 鉸的約束: 單鉸； 復鉸； 完全鉸與不完全鉸。第17頁/共130頁第十八頁，共130頁。19(1)桁架(hngji)自由度計算公式 一個平面體系的自由度計算結果，不外下述三種可能： a. W0 表明結構缺少必要的約束， 可運動， 故結構必定是幾何(j h)可變體系。 b. W=0 表明結構具有保證幾何(j h)不變所需的最少的約束數(shù)。 c. W0 表明結構具有多余約束。 2.4 自由度計算公式自由度計算公式zgjW 2zgjW 3平面桁架 空間桁架 桁架中的結點數(shù)為j，桿件數(shù)為g，支

13、座鏈桿數(shù)為z，則桁架的自由度W 為(2) 平面混合結構的自由度計算公式平面混合結構的自由度計算公式第18頁/共130頁第十九頁，共130頁。20 3.1 結構結構(jigu)離散與向量表示離散與向量表示 第三章第三章 桿系結構桿系結構(jigu)靜力分析的有限單靜力分析的有限單元法元法3.2 位移函數(shù)及單元位移函數(shù)及單元(dnyun)的剛度矩陣的剛度矩陣 3.3 坐標變換及單元剛度矩陣坐標變換及單元剛度矩陣 3.4 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 3.5 約束處理及求解約束處理及求解 3.6 計算示例計算示例 第19頁/共130頁第二十頁，共130頁。213.1 結構離散結構離散(lsn)與向量表示

14、與向量表示 工程上許多由金屬構件所組成的結構，如塔式桁構支承架、起重機起重臂架、鋼結構橋梁、鋼結構建筑等可以(ky)歸結為桿系結構。桿系結構按各桿軸線及外力作用線在空間的位置分為平面桿系和空間桿系結構。 桿系結構可以(ky)由桿單元、梁單元組成。 (a) Liebherr塔式起重機 (b) Liebherr履帶式起重機(c) 鋼結構橋梁(qioling) (d) 埃菲爾鐵塔 圖3-1 桿系結構第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第20頁/共130頁第二十一頁，共130頁。223.1.1 結構結構(jigu)離散化離散化 由于桿系結構本身是由真實桿件聯(lián)接而成，故

15、離散化比較簡單，一般將桿件或者(huzh)桿件的一段( 一根桿又分為幾個單元 )作為一個單元，桿件與桿件相連接的交點稱為結點。桿系結構的離散化的要點可參考如下： a. 桿件的轉折點、匯交點、自由端、集中載荷作用點、支承點以及沿桿長截面突變處等均可設置成結點。這些結點都是根據(jù)結構本身特點來確定的。 b. 結構中兩個結點間的每一個等截面直桿可以設置為一個單元。變換為作用在結點上的等效結點載荷。 第三章第三章 桿系結構桿系結構(jigu)靜力分析的有限單靜力分析的有限單元法元法第21頁/共130頁第二十二頁，共130頁。23 c. 變截面桿件可分段處理(chl)成多個單元，取各段中點處的截面近似作為

16、該單元的截面，各單元仍按等截面桿進行計算。 d. 對曲桿組成的結構，可用多段折線代替，每端折線為一個單元。如若提高計算精度，也可以在桿件中間增加結點。 e. 在有限元法計算中，載荷作用到結點上。當結構有非結點載荷作用時，應該按照靜力等效的原則將其第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限桿系結構靜力分析的有限(yuxin)單單元法元法(a) 結點載荷(zi h)處理方式 (b) 等效結點載荷(zi h)處理方式圖3-2桿系結構離散化示意圖 第22頁/共130頁第二十三頁，共130頁。243.1.2 坐標系坐標系 圖3-3 坐標系示意圖 為了建立結構的平衡條件，對結構進行整體分析，尚需要建立一個對每個

17、單元都適用(shyng)的統(tǒng)一坐標系，即結構坐標系或稱之為整體坐標系、總體坐標系。 第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限桿系結構靜力分析的有限(yuxin)(yuxin)單元法單元法第23頁/共130頁第二十四頁，共130頁。253.1.3 向量向量(xingling)表示表示 在有限單元法中力學向量的規(guī)定為：當線位移及相應力與坐標軸方向一致時為正，反之為負；轉角位移和力矩，按右手法則(fz)定出的矢量方向若與坐標軸正向相一致時為正。對于任意方向的力學向量，應分解為沿坐標軸方向的分量。 (a)剛架結構示意圖 (b) 結點位移(wiy)和結點力分向量(b) 圖3-4 平面剛架分析示意圖 第三章第

18、三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第24頁/共130頁第二十五頁，共130頁。26 Tiiiivu Tjjjjvu結點位移(wiy)列向量為 單元(dnyun)e結點位移列向量為 Tjjjiiijieuu 結點(ji din)力向量為 TeiiieiMVUF TejjjejMVUF 單元e結點力列向量為 TejjjiiiejeieMVUMVUFFF第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第25頁/共130頁第二十六頁，共130頁。273.2 位移函數(shù)位移函數(shù)(hnsh)及單元的剛度矩陣及單元的剛度矩陣 3.2.1 軸向拉壓桿單元的位移軸

19、向拉壓桿單元的位移(wiy)的函的函數(shù)數(shù) 有限單元法分析中，雖然對不同結構可能會采取不同的單元類型，采用的單元的位移模式不同，但是構建的位移函數(shù)的數(shù)學模型的性能、能否真實反映真實結構的位移分布規(guī)律等，直接影響計算結果的真實性、計算精度及解的收斂性。 為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應當滿足(mnz)下列要求: a. 單元位移函數(shù)的項數(shù)，至少應等于單元的自由度數(shù)。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項和一次項。至于高次項要選取多少項，則應視單元的類型而定。第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第26頁/共130頁第二十七頁，共130頁。28 由單元結點位移，確定待定系數(shù)項 當

20、時， 當 時， 所以 用結點位移表示 其中 、 分別表示當 ， 時； ， 時的單元內的軸向位移狀態(tài)(zhungti)，故稱為軸向位移形函數(shù)。0 xlx iuu juu iu1jjuiiuuNNxu)(lxNiu1lxNjuiuNjuN1iu0ju0iu1ju第三章第三章 桿系結構靜力分析桿系結構靜力分析(fnx)的有限單元的有限單元法法 b. 單元的剛體位移狀態(tài)和應變狀態(tài)應當全部包含在位移函數(shù)中。 c. 單元的位移函數(shù)應保證在單元內連續(xù)(linx)，以及相鄰單元之間的位移協(xié)調性。 第27頁/共130頁第二十八頁，共130頁。29 3.2.2 梁單元平面彎曲的位移函數(shù)梁單元平面彎曲的位移函數(shù) 梁

21、單元平面彎曲僅考慮結點的四個位移分量梁單元平面彎曲僅考慮結點的四個位移分量 ， ， ， ，由材料力學知，由材料力學知,各截面的轉角各截面的轉角: 故梁單元平面彎曲的位移表達式可分為僅故梁單元平面彎曲的位移表達式可分為僅包含四個待定系數(shù)包含四個待定系數(shù)(xsh) ， ， ， 的多項的多項式式 單元結點位移條件單元結點位移條件 當當 時時 ， 當當 時時 ，iijjxv1234342321)(xxxxv0 xivv ixvlx jvv jxvjijijijiiilvvllvvlv234232112213第三章第三章 桿系結構靜力分析桿系結構靜力分析(fnx)的有限單的有限單元法元法第28頁/共13

22、0頁第二十九頁，共130頁。3032233223223322112312231xlxlNxlxlNxlxlxNxlxlNjjviivjjjjviiiivNvNNvNxv)( ejjiijuiuNNNNNNvu000000 eNf稱為形函數(shù)(hnsh)矩陣。 N第三章第三章 桿系結構桿系結構(jigu)(jigu)靜力分析的有限單靜力分析的有限單元法元法第29頁/共130頁第三十頁，共130頁。313.2.3 單元的應力應變單元的應力應變 在彈性范圍內，并且不考慮剪力的影響時，在彈性范圍內，并且不考慮剪力的影響時，平面剛架單元內任一點的軸向線應變由兩部分平面剛架單元內任一點的軸向線應變由兩部分(

23、b fen)組成，即軸向應變與彎曲應變之和，其軸向應組成，即軸向應變與彎曲應變之和，其軸向應變與平面桁架軸向應變相同。變與平面桁架軸向應變相同。 軸向應變?yōu)檩S向應變?yōu)?彎曲應變?yōu)閺澢鷳優(yōu)?y為梁單元任意截面上任意點至中性軸為梁單元任意截面上任意點至中性軸(x軸軸)的距離。的距離。 得出平面剛架單元應變得出平面剛架單元應變 xulx22xvybx圖3-5 彎曲應變計算(j sun)示意圖 22xvyxubxlxx exB則 xllyxllylxllyxllylB232232621261641261平面剛架梁(ji lin)單元的應變轉換矩陣。 B exxBEE第三章第三章 桿系結構靜力分析的有

24、限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第30頁/共130頁第三十一頁，共130頁。323.2.4 平面剛架梁平面剛架梁(ji lin)單元的剛單元的剛度矩陣度矩陣 梁單元的梁單元的i，j結點發(fā)生虛位移為結點發(fā)生虛位移為 T*jjjiiieuu 單元內相應(xingyng)的虛應變應為 exB*由虛功原理有 dxdydzFxvxeeT*T* evedxdydzBEBTT* 由于(yuy)結點虛位移 的任意性，故上式可寫成 e eeevekdxdydzBEBFT 上式稱為局部坐標下的平面剛架單元的剛度方程，簡稱為單剛。 第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第31頁/

25、共130頁第三十二頁，共130頁。33 dxdydzBEBkveT 橫截面積A 橫截面對形心軸z的靜矩S 橫截面對主慣性軸z的慣性矩I 得到四個3 3子塊所組成的局部坐標系下的平面剛架梁(ji lin)單元的單元剛度矩陣。 AdydzA0AydydzSAdydzyI2 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkkkkkejjejieijeiie460260612061200000260460612061200000222323222323第三章第三章 桿系結構桿系結構(jigu)靜力分析的有限靜力分析的有限單元法單

26、元法第32頁/共130頁第三十三頁，共130頁。34 平面(pngmin)桁架的單元剛度矩陣為 lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie 空間桁架單元每個結點(ji din)有3個位移分量，其單元結點(ji din)位移列向量 Tjjjiiijiewuwu 空間桁架局部坐標下的單元(dnyun)剛度矩陣是66的 00000000000000000000000000000000lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第33頁/共130頁第三十四頁，共130頁。35 空間(kngjin)剛

27、架單元每個結點有6個位移分量，其單元結點位移列向量 Tjzjyjxjjjiziyixiiijiewvuwvu 空間(kngjin)剛架局部坐標下的單元剛度矩陣是1212的。 (a) 桿單元i端產生單位位移 (b) 桿單元j端產生單位位移圖3-6 平面桁架單元剛度系數(shù)(xsh)的物理意義 (a) 梁單元i端產生單位位移 (b) 梁單元j端產生單位位移 第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第34頁/共130頁第三十五頁，共130頁。36(c) 梁單元i端產生單位角位移 (d) 梁單元j端產生單位角位移圖3-7 平面剛架單元剛度(n d)系數(shù)的物理意義 3.2.5

28、單元的剛度矩陣的性質單元的剛度矩陣的性質 a. 單元剛度矩陣僅與單元的幾何特征和單元剛度矩陣僅與單元的幾何特征和材料性質有關。僅與單元的橫截面積材料性質有關。僅與單元的橫截面積A、慣、慣性矩性矩I、單元長度、單元長度l、單元的彈性模量、單元的彈性模量E有關。有關。 b. 單元剛度矩陣是一個對稱陣。在單元單元剛度矩陣是一個對稱陣。在單元剛度矩陣對角線兩側對稱位置上的兩個剛度矩陣對角線兩側對稱位置上的兩個(lin )元素數(shù)值相等，即，根據(jù)是反力互元素數(shù)值相等，即，根據(jù)是反力互等定理。等定理。 c. 單元剛度矩陣是一個奇異陣。單元剛度矩陣是一個奇異陣。 d. 單元剛度矩陣可以分塊矩陣的形式表單元剛度

29、矩陣可以分塊矩陣的形式表示。具有確定的物理意義。示。具有確定的物理意義。第三章第三章 桿系結構桿系結構(jigu)靜力分析的有限單靜力分析的有限單元法元法第35頁/共130頁第三十六頁，共130頁。373.3 坐標坐標(zubio)變換及單元剛度矩陣變換及單元剛度矩陣 3.3.1 坐標變換坐標變換 在整體坐標系中單元結點在整體坐標系中單元結點(ji din)力向量和結點力向量和結點(ji din)位移列向量位移列向量 可分別表示成可分別表示成 Tjjjiiiejeievuvu TjjjiiijieMYXMYXFFF (a) 向量轉換(zhunhun)分析 (b) 向量轉換(zhunhun)圖3

30、-8 向量轉換(zhunhun)示意圖 sincosiiivuucossiniiivuvii第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第36頁/共130頁第三十七頁，共130頁。38iiiiiivuvu1000cossin0sincos對于(duy)梁單元如圖3-8(b)所示，則有 jjjiiijjjiiivuvuvuvu1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos可簡寫(jinxi)為 eeT第三章第三章 桿系結構桿系結構(jigu)(jigu)靜力分析的有限靜力分析的有限單元法單元法第37頁/共130頁

31、第三十八頁，共130頁。39 同理 eeFTF式中 平面剛架梁單元的從局部坐標系向整體(zhngt)坐標系的轉換矩陣。 T 1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosT3.3.2 整體坐標系下的單元整體坐標系下的單元(dnyun)剛度矩陣剛度矩陣 eeeeeeekTkTTkTFT1 式中 整體坐標下的單元剛度(n d)矩陣。 ek TTkTkee 和 一樣， 為對稱陣、奇異陣。 ek ek第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第38頁/共130頁第三十九頁，共130頁。403.4 整體整體(zhngt

32、)剛度矩陣剛度矩陣 3.4.1 整體剛度矩陣的建立整體剛度矩陣的建立 整體剛度矩陣也稱之為結構剛度矩陣或總整體剛度矩陣也稱之為結構剛度矩陣或總體剛度體剛度 矩陣，簡稱總剛。矩陣，簡稱總剛。 整體剛度矩陣的求整體剛度矩陣的求解解(qi ji)是建立在結構是建立在結構 平衡條件的基礎之上平衡條件的基礎之上， 因此研究對象以整體坐標系為因此研究對象以整體坐標系為 依據(jù)。依據(jù)。 圖3-9 載荷(zi h)向量示意圖 如右圖所示剛架結構，其結點載荷列向量分別為 T111. 1MPPPyx T2212. 2MPPPyx T3331. 3MPPPyx T444. 4MPPPyx第三章第三章 桿系結構靜力分析

33、的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第39頁/共130頁第四十頁，共130頁。41結構載荷(zi h)列向量 T4321PPPPP T444333222111MPPMPPMpPMPPPyxyxyxyx結點(ji din)位移列向量 T4321 T444333222111vuvuvuvu對于結點對于結點1對于結點對于結點2對于結點對于結點3對于結點對于結點4111111111MPPMYXyx 111PF222222222121212MPPMYXMYXyx 22212PFF333333333232323MPPMYXMYXyx 33323PFF444343434MPPMYXyx 434PF建立(

34、jinl)結點平衡條件方程式如右表。第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第40頁/共130頁第四十一頁，共130頁。42用分塊矩陣的形式，建立桿端內力用分塊矩陣的形式，建立桿端內力(nil)與結點位移的關系式。與結點位移的關系式。對于單元對于單元1有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元1的剛度的剛度矩陣矩陣 關系式展開為關系式展開為 211221211121111211kkkkFF 111kF 1221211121111kkkkk21221121122112111111kkFkkF第三章第三章 桿系結構桿系結構(jigu)靜力分析的有限單元靜力分析的有限單元法法

35、第41頁/共130頁第四十二頁，共130頁。43對于單元對于單元2有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元2的剛度矩陣的剛度矩陣 關系式展開為關系式展開為 322332322232222322kkkkFF 222kF 2332322232222kkkkk32332232232223222222kkFkkF第三章第三章 桿系結構靜力分析桿系結構靜力分析(fnx)的有限單元的有限單元法法第42頁/共130頁第四十三頁，共130頁。44對于單元對于單元3有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元3的剛度矩的剛度矩陣陣 關系式展開為關系式展開為 433443433343333433kkkkFF 333kF 34

36、43433343333kkkkk43443343344334333333kkFkkF第三章第三章 桿系結構靜力分析桿系結構靜力分析(fnx)的有限的有限單元法單元法第43頁/共130頁第四十四頁，共130頁。45 單元剛度矩陣由22的子矩陣組成， 每個子矩陣是33的方陣。 的上角標表示單元編號，下角標表示單元j端單位位移所引起的i端相應力。 將桿端內力(nil)與結點位移關系式代入結點的平衡條件方程式中，經整理得： eijk43214321344343334333233232223222122121112111000000PPPPkkkkkkkkkkkk簡寫(jinxi)為 PK稱之為結構原始

37、平衡方程(fngchng)。其中 344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK 為整體剛度矩 陣。 K第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第44頁/共130頁第四十五頁，共130頁。463.4.2 整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣的集成 整體剛度矩陣是由在整體坐標系下，整體剛度矩陣是由在整體坐標系下，矩陣按照結點編號的順序組成矩陣按照結點編號的順序組成(z chn)的的行和列的原則，將全部單元剛度矩陣擴展成行和列的原則，將全部單元剛度矩陣擴展成nn方陣后對號入座疊加得到。方陣后對號入座疊加得到。

38、對于(duy)單元1 0000000000001221211121111kkkkK對于(duy)單元2 0000000000002332322232222kkkkK對于單元3 34434333433330000000000000kkkkK 單元剛度矩陣集成得出整體剛度矩陣 34434333433323323222322212212111211132100000043214321kkkkkkkkkkkkKKKK結點編號第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第45頁/共130頁第四十六頁，共130頁。473.4.3 整體剛度矩陣的性質整體剛度矩陣的性質 整體剛度矩陣

39、整體剛度矩陣 中位于主對角線上的子塊中位于主對角線上的子塊 ，稱為主子塊，其余，稱為主子塊，其余 為副子塊。為副子塊。 a. 中主子塊中主子塊 由結點由結點i的各相關單元的主的各相關單元的主子塊擴展之后疊加求得，即子塊擴展之后疊加求得，即 b. 當結點當結點i、 j為單元為單元e的相關結點時，的相關結點時， 中中副子塊副子塊 為該單元為該單元e相應的副子塊，即相應的副子塊，即 。 c. 當結點當結點i、 j為非相關結點時，為非相關結點時， 中副子塊中副子塊 為零子塊，即為零子塊，即 。 d. 僅與各單元的幾何特性、材料特性，即僅與各單元的幾何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有關。等因素有

40、關。 e. 為對稱方陣，為對稱方陣， f. 為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因為建為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因為建立整體剛度矩陣時沒有立整體剛度矩陣時沒有(mi yu)考慮結構的邊界考慮結構的邊界約束條件。約束條件。 KiiKijK KeiiiikK KijKeijijkK KijK 0ijK K KjiijKK K第三章第三章 桿系結構靜力分析桿系結構靜力分析(fnx)的有限單的有限單元法元法第46頁/共130頁第四十七頁，共130頁。48 g. 為稀疏矩陣，整體剛度矩陣中的非零元素分布區(qū)域(qy)的寬度與結點編號有關，非零元素分布在以對角線為中心的帶狀區(qū)域(qy)內，稱為帶狀分布規(guī)律，見圖3

41、-10(a)。在包括對角線元素在內的區(qū)域(qy)中，每行所具有的元素個數(shù)叫做把半帶寬，以d表示。最大半帶寬等于相鄰結點號的最大差值加 1 與結點自由度數(shù)的乘積，結點號差越大半帶寬也就越大。計算機以半帶寬方式存儲，見圖3-10(b)。半帶寬越窄，計算機的存儲量就越少，而且可以大幅度減少求解方程所需的運算次數(shù)。其效果對大型結構顯得尤為突出。 圖3-10 整體剛度矩陣存儲方法 h. 整體剛度矩陣稀疏陣。 故整體剛度矩陣不能求逆，必須作約束處理方能正確地將結點位移求出，進而求出結構的應力場。 (a) 帶狀分布(fnb)規(guī)律 (b) 帶狀存儲(cn ch) 第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系

42、結構靜力分析的有限單元法第47頁/共130頁第四十八頁，共130頁。493.5 約束處理約束處理(chl)及求解及求解 3.5.1 約束處理的必要性約束處理的必要性 建立結構原始平衡方程式建立結構原始平衡方程式 時，并未時，并未考慮支承條件（約束），也就是說，將原始結構處理考慮支承條件（約束），也就是說，將原始結構處理成一個成一個(y )自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變結構。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解。結構。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解?？梢詤⒄盏诳梢詤⒄盏?2 章的原則，結合實際工程結構引入支承章的原則，結合實際工程結構引入支承條件，

43、即對結構原始平衡方程式條件，即對結構原始平衡方程式 做約束處做約束處理。理。 約束處理后的方程稱為基本平衡方程。約束處理后的方程稱為基本平衡方程。 統(tǒng)一記為統(tǒng)一記為 PK PK PK3.5.2 約束約束(yush)處理方法處理方法 約束約束(yush)處理常用方法有填處理常用方法有填0置置1法和乘大數(shù)法。采法和乘大數(shù)法。采用這兩種方法不會破壞整體剛度矩陣的對稱性、稀疏性及帶狀用這兩種方法不會破壞整體剛度矩陣的對稱性、稀疏性及帶狀分布等特性。分布等特性。 第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第48頁/共130頁第四十九頁，共130頁。50 下面以圖3-11所示剛

44、架結構為例，解釋如何進行(jnxng)約束處理。對于下圖所示剛架結構 設結點位移列向量(xingling)為設結點載荷列向量(xingling)為 T9321T321uuuu T9321T321ppppPPPP(a)固定(gdng)支座 (b) 支座強迫位移已知 (b)圖3-11 結構約束第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第49頁/共130頁第五十頁，共130頁。51其原始(yunsh)平衡方程式為 32132123323222322212212111211100PPPkkkkkkkk 按照每個結點(ji din)的位移分量將上式展開為98765432198

45、7654321999897969594939291898887868584838281797877767574737271696867666564636261595857565554535251494847464544434241393837363534333231282726262524232221191817161514131211pppppppppuuuuuuuuukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk第三章第三章 桿系結構靜力分析桿系結構靜力分析(fnx)(fnx

46、)的有限單的有限單元法元法第50頁/共130頁第五十一頁，共130頁。52 對于如圖3-11(a)所示，結構約束（支座）位移全部為零，此時做約束處理時，采用(ciyng)填0置1法比較適宜。 對于如圖3-11(b)所示，某約束（支座）位移為給定的強迫值，此時做約束處理時，采用(ciyng)乘大數(shù)法比較適宜。 (1) 填0置1法 如右圖所示結點1、3處為固定支座，可知 將整體剛度矩陣中與之相對應的主對角元素全部置換成1， 相應行和列上的其它元素均改為0。 同時，所在同一行上的載荷分量替換成0，則有0987321uuuuuu第三章第三章 桿系結構靜力分析桿系結構靜力分析(fnx)的有限的有限單元法

47、單元法第51頁/共130頁第五十二頁，共130頁。5300000001000000001000000000100000000000000000000000000000010000000001000000000165498765432192666564565554464544pppuuuuuuuuukkkkkkkkkk654654666564565554464544pppuuukkkkkkkkk則第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限桿系結構靜力分析的有限(yuxin)單元法單元法 也可簡便(jinbin)地采用劃行劃列的辦法。在整體剛度矩陣中將與約束位移為 0 的行和列劃掉，包括相關的所在行的位

48、移和載荷向量。第52頁/共130頁第五十三頁，共130頁。54 處理后得基本平衡方程 (2) 乘大數(shù)法 右圖所示剛架，結點1為固定支座，結點3處在方向的約束為已知強迫位移。即 將整體剛度矩陣中與之相對應的主對角元素全部乘以一個大數(shù)N，一般取 。同時，將相應(xingyng)同一行上的載荷分量替換成 N 乘以其主對角剛度系數(shù)和給定的強迫位移（包括零位移）。 22222122Pkk097321uuuuu088uu 15101010N第三章第三章 桿系結構桿系結構(jigu)靜力分析的有限單靜力分析的有限單元法元法第53頁/共130頁第五十四頁，共130頁。550000088865498765432

49、1999897969594939291898887868584838281797877767574737271696867666564636261595857565554535251494847464544434241393837363534333231282726262524232221191817161514131211kNpppuuuuuuuuukNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkN0921111jjukukN得到(d do)由于N 足夠(zgu)大，可

50、以近似認為 0921jjuk,則得出(d ch) 01u同時得到09732uuuu088uu 求出位移 之后，即可以求出結構的應力場 。 第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第54頁/共130頁第五十五頁，共130頁。56第三章第三章 桿系結構桿系結構(jigu)靜力分析的有限靜力分析的有限單元法單元法 用有限單元法計算空間剛架結構，在原理上及推導過程與計算平面(pngmin)剛架結構相同。在此不再重復。但應注意到，由于空間的每一結點一般具有六個自由度，故計算較之復雜些。3.6 計算示例計算示例 設兩桿的桿長和截面尺寸設兩桿的桿長和截面尺寸(ch cun)相同

51、，相同， 27kN/m101 . 2 E桿件長 m。 10l圖3-12 剛架受力簡圖第55頁/共130頁第五十六頁，共130頁。57(1)結構離散(lsn)化后 (2)將結構劃分為4個結點、3個單元2m5 . 0A43m2411215 . 0I截面積 ，慣性矩 (2) 求結點載荷 首先須求局部坐標系中固定(gdng)端內力 eF0 (a) 單元1作為兩端(lin dun)固定梁反力示意圖 (b) 單元2作為兩端(lin dun)固定梁反力示意圖圖3-13內力示意圖 第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第56頁/共130頁第五十七頁，共130頁。58單元(dny

52、un)1 mKN8012106 . 912kN482106 . 922212101102101glMMglVVo單元(dnyun)2 mKN20081016081KlMMPVV在局部坐標系下單元載荷在局部坐標系下單元載荷(zi h)列向量列向量 單元1 804808048010F單元2 20080020080020F單元3 00000030F第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第57頁/共130頁第五十八頁，共130頁。59 為了求出在整體坐標下的載荷列向量，先求單元(dnyun)得坐標轉換矩陣 T單元(dnyun)1、

53、2 00 I1000000100000010000001000000100000011000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos1T單元(dnyun)3 090 1000000010000100000001000000010000101000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos3T第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第58頁/共130頁第五十九頁，共130頁。60 求各單元在整體坐標下的等效(dn xio)結點載荷 eP0 102011010

54、1108048080480PPFFTPT 203022020220200800200800PPFFTPT第三章第三章 桿系結構靜力分析桿系結構靜力分析(fnx)(fnx)的有限的有限單元法單元法第59頁/共130頁第六十頁，共130頁。61 30204303T30000000000000100000001000010000000100000001000010PPFTPT 求剛架的等效(dn xio)結點載荷 0P 3020100PPPP 00020080012012808048000000000000000020080020080000000000080480804800P第三章第三章 桿系結

55、構靜力分析的有限桿系結構靜力分析的有限(yuxin)(yuxin)單元法單元法第60頁/共130頁第六十一頁，共130頁。62因為無結點(ji din)載荷作用，總結點(ji din)載荷即為等效結點(ji din)載荷。 T0000200800120128080480 PP(3) 求單元剛度矩陣(j zhn)由于單元1、2、3的尺寸相同，材料彈性模量相同，故 ek 321kkk梁單元的局部坐標下的剛度梁單元的局部坐標下的剛度(n d)矩陣表達式矩陣表達式 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAke4602606

56、12061200000260460612061200000222323222323第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第61頁/共130頁第六十二頁，共130頁。63 2321103500525017505250525105052510500010500001050017505250350052505251050525105000105000010500kkk則（4）求整體(zhngt)坐標系中的 ek單元(dnyun)1 111111T122211211kkkkkIkIk單元(dnyun)2 222222233322322kkkkkkk單元3 33T33Tk

57、Tk第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第62頁/共130頁第六十三頁，共130頁。64 33343323222444103500052517500525010500001050005250105525010517500525350005250105000010500052501055250105kkkkk（5）求結構整體剛度(n d)矩陣 K利用剛度利用剛度(n d)集成法集成法 344342223242321111000000233223222222211211kkkkkkkkkkkkK（6）建立(jinl)原始平衡方程式43214321344342223

58、242321111000000233223222222211211PPPPkkkkkkkkkkkk第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第63頁/共130頁第六十四頁，共130頁。65（7）引入約束條件解方程組 由于1、3、4為固定端， 修改整體(zhngt)剛度矩陣中的13，612行與列， 以及載荷列向量中的相應的行，既約束處理。 0444333111vuvuvu建立建立(jinl)基本平衡方程基本平衡方程 22222222Pkkk即622210428.1145145.1198465. 2vu得到(d do) （8）求各桿的桿端力 eF 單元3結點位移列向量

59、3336666010000001000000000100000100000102.8465 10119.5145000100119.5145 102.8465000001114.428 10114.428T第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第64頁/共130頁第六十五頁，共130頁。66單元1桿端內力(nil)計算 10111FkF7753.1137526.529888. 22496.662474.439888. 2單元2桿端內力(nil)計算 20222FkF2994.2262624.879888. 26757.1537376.729888. 2單元(dn

60、yun)3桿端力計算 30333FkF9004.399776. 54902.1258755.199776. 54902.125第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第65頁/共130頁第六十六頁，共130頁。67（9）作內力圖(lt) （a） 剛架軸力圖(lt)（b） 剛架剪力圖(lt)（c） 剛架軸彎矩圖 圖3-14 剛架內力圖 第三章第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法桿系結構靜力分析的有限單元法第66頁/共130頁第六十七頁，共130頁。684.1 平面應力平面應力(yngl)問題問題 第四章第四章 平面結構問題平面結構問題(wnt)的有限單元法的有限單元