多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、第六章多元函數(shù)微積分第六章多元函數(shù)微積分6-6-4 4多元函數(shù)多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 6-4-1 6-4-1 偏偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)6-4-2 6-4-2 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)6-4-3 6-4-3 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法6-4-4 6-4-4 隱函數(shù)的求導(dǎo)法隱函數(shù)的求導(dǎo)法一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念：一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念：0000()()()limxf xxf xfxx 表示函數(shù)表示函數(shù)( )f x在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)其中其中00()()yf xxf x 函數(shù)的改變量函數(shù)的改變量對(duì)于二元函數(shù)對(duì)于二元函數(shù)( , ),zf x y類似的有函數(shù)的改變量類似的有函數(shù)的改變量稱為偏增量稱為偏增量0

2、000(,)(,)xzf xx yf xy0000(,)(,)yzf xyyf xy00(,),xyfx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)有定義，若有定義，若 存在，則存在，則稱此極限值為稱此極限值為 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) 處對(duì)處對(duì)x的偏的偏導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)，( , )zf x y 00(,)xy( , )zf x y 00(,)xy00000(,)(,)limxf xx yf xyx 定義定義 6-8 6-4-1 6-4-1 偏偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)1偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義00(,),xyzx 00(,),xzxy00(,).xfxy ， 記作記作 同理，若同理，若 存在，則存在，則稱此極限值為

3、稱此極限值為 在點(diǎn)在點(diǎn) 處對(duì)處對(duì)y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)，數(shù)， 00000(,)(,)limyf xyyf xyy ( , )zf x y 00(,)xy00(,).yfxy 00(,),xyzy 00(,),yzxy 記作記作即即0000000(,)(,)(,)limxxyf xx yf xyzxx 00(,),xyfy 即即0000000(,)(,)(,)limyxyf xyyf xyzyy 如果如果 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn) 處對(duì)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是 的函的函數(shù)，此函數(shù)稱為數(shù)，此函數(shù)稱為 函數(shù)對(duì)自變量函數(shù)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)

4、，( , )zf x y ( , )x y, x y( , )zf x y ,zx ( , ),f x yx ,xz ( , )xfx y 記作記作 類似地，可以定義函數(shù)類似地，可以定義函數(shù) 對(duì)自變量對(duì)自變量y的的偏導(dǎo)函數(shù)，偏導(dǎo)函數(shù)，( , )zf x y ,zy ( , ),f x yy ,yz ( , )yfx y 記作記作 在不致混淆的情況下，偏導(dǎo)函數(shù)也稱偏導(dǎo)數(shù)在不致混淆的情況下，偏導(dǎo)函數(shù)也稱偏導(dǎo)數(shù)。 偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)。 2偏導(dǎo)數(shù)的求法偏導(dǎo)數(shù)的求法 232 ,22zzxyxyxy (1,1)(1,1)5,4zzxy解：解：所以所以

5、 例例6-29 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)2332zxxyy (1,1)因?yàn)橐驗(yàn)閷?duì)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)把求偏導(dǎo)數(shù)把y看成?？闯沙?shù)；對(duì)數(shù)；對(duì)y 求偏導(dǎo)數(shù)把求偏導(dǎo)數(shù)把x看看成常數(shù)；成常數(shù)； 例例6-30 設(shè)設(shè) 求求(0),yzxx,zzxy 1yzyxx 解：解：lnyzxxy 例例6-31 設(shè)設(shè) ， 求證：求證：222uxyz 2224uuuuxyz 2 ,2 ,2uuuxyzxyz 222uuuxyz 證明：證明：所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?22244xyzu3偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 二元函數(shù)二元函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的偏導(dǎo)數(shù)，處的偏導(dǎo)數(shù)，是一元函數(shù)是一元函數(shù) 及及 分別在點(diǎn)分

6、別在點(diǎn) 及及 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)( , )zf x y 00(,)xy0( ,)zf x y 0(, )zf xy 0yy 0 xx 因此二元函數(shù)因此二元函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的線的斜率斜率( , )zf x y 6-4-2 6-4-2 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù) 如果這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于如果這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于x，y的偏導(dǎo)數(shù)也存在，的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是 的二階偏導(dǎo)數(shù)。的二階偏導(dǎo)數(shù)。 ( , )zf x y 函數(shù)函數(shù) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)( , )zf x y ( , ),xzfx yx ( , )yzfx yy 一般說(shuō)來(lái)仍然是一般說(shuō)來(lái)仍然

7、是x，y的函數(shù)，的函數(shù)，xzx yzx xzy 22( , )yyyyyzzzfx yzyyyy 依照對(duì)變量的不同求導(dǎo)次序，依照對(duì)變量的不同求導(dǎo)次序， 的二階的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)：偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)：( , )zf x y zxx 22zx ( , )xxxxfx yz xzx zyx 2zx y ( , )xyxyfx yz xzy zxy 2zy x ( , )yxyxfx yz yzx 其中其中 及及 稱為二稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。階混合偏導(dǎo)數(shù)。2( , )xyzfx yx y 2( , )yxzfx yy x 對(duì)于二階混合偏導(dǎo)數(shù)有下述定理對(duì)于二階混合偏導(dǎo)數(shù)有下述定理 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域

8、D上兩個(gè)二階混合上兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 及及 連續(xù)，則連續(xù)，則 在區(qū)域在區(qū)域D上有上有( , )zf x y 22zzx yy x 2( , )xyzfx yx y 2( , )yxzfx yy x 定理定理 6-3 類似地，可以定義三階、四階、類似地，可以定義三階、四階、n階偏導(dǎo)階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。 例例6-32 求函數(shù)求函數(shù) 的所有二階偏導(dǎo)數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù).e cosxzy e cos,xzyx e sinxzyy 22(e cos )xxzyx 2( e sin )xxzyy x 2(e cos )xyzyx y

9、 22( e sin )xyzyy 解解 ： 因?yàn)橐驗(yàn)樗运詄 sinxy e sinxy e cosxy = e cosxy例例6-33 求函數(shù)求函數(shù) 的所有二階偏導(dǎo)數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù).exyz e ()xyxzxyx exyzxy 222(e )xyxzyx 2( e )xyyzyx y 2( e )xyxzxy x 22( e )( )()xyxyxyyyyzxxex ey 解解 ： 因?yàn)橐驗(yàn)樗运?exyy ee ,xyxyxy( ) e(e )xyxyyyyy= eexyxyxy ( ) e(e )xyxyxxxx2exyx exyy 6-4-3 6-4-3 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

10、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法一元復(fù)合函數(shù)一元復(fù)合函數(shù)( ),( )yf u ux 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則uxdy duyyudu dx( ),( ) )zftt 可理解為可理解為(,)zf u v ( ),ut ( )vt 復(fù)合而成復(fù)合而成稱為多元復(fù)合函數(shù)稱為多元復(fù)合函數(shù)6-4-3 6-4-3 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法1 1中間變量均為一元函數(shù)的情形中間變量均為一元函數(shù)的情形 如果函數(shù)如果函數(shù) 均在點(diǎn)均在點(diǎn)t處可導(dǎo)，函處可導(dǎo)，函數(shù)數(shù) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) 處具有連續(xù)的偏導(dǎo)處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處可導(dǎo)，且有求導(dǎo)公式：有求導(dǎo)公式：( ),ut ( )vt (

11、,)zf u v (,)u v( ),( ) )zftt ddddddzzuzvtutvt 用樹(shù)圖形象地表示它的用樹(shù)圖形象地表示它的結(jié)構(gòu)，就是結(jié)構(gòu)，就是 zu tv t其中其中 表示多元表示多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)）,zzuv2 2中間變量均是二元函數(shù)的情形中間變量均是二元函數(shù)的情形 (,) xy 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處都具有處都具有偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), ,二元函數(shù)二元函數(shù) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) 處具有處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) 處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，并有求導(dǎo)公式：處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，并有求導(dǎo)公式：(,),(,)uxyvxy(,)xy(,)zf u v (,)

12、u v(,),(,) )zfxyxy (,)xyzzuzvxuxv x zzuzvyuyv y 用樹(shù)圖形象地表示它用樹(shù)圖形象地表示它的結(jié)構(gòu)，就是的結(jié)構(gòu)，就是 xyvzuxy 上述公式稱為上述公式稱為“鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t”. .在多元復(fù)合函數(shù)在多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程中的求導(dǎo)過(guò)程中, , “鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t”的使用有多種情形的使用有多種情形. 例如：例如： 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處都具有偏導(dǎo)數(shù)處都具有偏導(dǎo)數(shù), ,三元函數(shù)三元函數(shù) 在對(duì)應(yīng)在對(duì)應(yīng) 點(diǎn)點(diǎn) 處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的兩個(gè)偏處的兩個(gè)偏 導(dǎo)數(shù)存在，并有求導(dǎo)公式：導(dǎo)數(shù)存在，并有求導(dǎo)公式：(,),(,),

13、(,)uxyvxywxy(,)xy(,)zf u v w (,)u v w(,),(,) )zfxyxy (,)xyzzuzvzwxuxv xwx zzuzvzwyuyv ywy zwxyvxyuxy設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，處可導(dǎo)， 在點(diǎn)在點(diǎn) 具有偏導(dǎo)數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù), , 函數(shù)函數(shù) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) 處具處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) 處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，并有求導(dǎo)公式：處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，并有求導(dǎo)公式：(),ux (,)xy(,)zf u v (, )u v(),(,) )zfxxy (,)xy(,)vxy ddzzuzvxu xv x zzvyv y xyvu

14、zx例例6-34 設(shè)設(shè) 求求2ln ,xzuv uvxyy ,zzxy zzuzvxuxv x 212 ln1uuvyv2222 ln()()xxyxyxy y zzuzvyuyv y 222 ln()( 1)xuuvyv 22322ln()()xxyxyxy y 解：解：例例6-35 設(shè)設(shè) 求求,sin ,cos ,vzu ut vt ddztdzz duz dvdtudtv dt 1cosln( sin )vvvutuut (coslnsin )vvututu 2coscos(sin )(sinlnsin )sintttttt 解：解：例例6-36 設(shè)設(shè) ，求求e22(,)xyzf xy

15、zx zzuzvxuxvx e2xyuvfxfy e2xyuvxfyf 解：解： 設(shè)設(shè)22,xyuxyve則則(,),zf u v 若用若用 表示對(duì)第表示對(duì)第 個(gè)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)個(gè)中間變量的偏導(dǎo)數(shù) ，則，則if i(1, 2)i e122xyzxfyfx 2uzzufxxux 1( 2 )uzzufyyux 2(2)uuzzyxfxyxxyfxxy例例6-37 設(shè)設(shè) ，其中其中 可導(dǎo)，可導(dǎo)， 證明；證明；22( ),zyf uuxy zzyxxxy f證：證：所以所以6-4-4 6-4-4 隱函數(shù)的求導(dǎo)法隱函數(shù)的求導(dǎo)法復(fù)習(xí)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）復(fù)習(xí)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）=

16、( , )zf u v= ( , ),( , )ux y vx y 則有則有zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy而e22(,)xyzf xy zx 求求則有則有2212()()xyxxzfxyfex 6-4-4 6-4-4 隱函數(shù)的求導(dǎo)法隱函數(shù)的求導(dǎo)法 1 1由二元方程由二元方程 所確定的一元隱函數(shù)所確定的一元隱函數(shù) 的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式 ( , )0F x y ( )yf x 將方程將方程 兩邊對(duì)兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 x( , )0F x y dd( )0 xxyyFxFxddxyFyxF 所以所以按多元復(fù)合函按多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則數(shù)求導(dǎo)法則 2由二元方程由二元方程 所確定的二元隱函

17、數(shù)所確定的二元隱函數(shù) 的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式 ( , , )0F x y z (,)zfxy 將方程將方程 兩邊對(duì)兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 x( , , )0F x y z ( )( )0 xxyxzzFxFyFx xzFzxF 所以所以同理同理yzFzyF 按多元復(fù)合函按多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則數(shù)求導(dǎo)法則需要說(shuō)明的是需要說(shuō)明的是表示三元函數(shù)分別對(duì)表示三元函數(shù)分別對(duì)自變量自變量 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),xyzFFF, ,x y z33( , )16F x yxyx 2316,xFx 23yFy 223163xyFdyxdxFy 令令 例例6-38 設(shè)設(shè) ，求求3316xyx ddyx解：解：因?yàn)橐驗(yàn)樗运岳?-39 設(shè)設(shè) ，求求ddyxsin()